Wybrane aspekty modelu dystrybucji ładunków na obszarach aglomeracji miejskiej z uwzględnieniem danych losowych

Pełen tekst

(1)PRACE NAUKOWE POLITECHNIKI WARSZAWSKIEJ z. 97. Transport. 2013. Emilian Szczepa ski Politechnika Warszawska, Wydzia Transportu. WYBRANE ASPEKTY MODELU DYSTRYBUCJI ADUNKÓW NA OBSZARACH AGLOMERACJI MIEJSKIEJ Z UWZGLDNIENIEM DANYCH LOSOWYCH Rkopis dostarczono, maj 2013. Streszczenie: W artykule przedstawiono koncepcj wielokryterialnego modelu matematycznego systemu dystrybucji na obszarach miejskich, w ujciu wielokryterialnej optymalizacji z uwzgldnieniem danych losowych. Prezentowana koncepcja modelu dotyczy systemów dystrybucji wielostopniowych wykorzystujcy Centra Konsolidacji adunków i punkty przeadunkowe (HUB). Zdefiniowano elementy systemu istotne z punktu widzenia definiowanego modelu matematycznego. Przedstawiono formalny zapis skadowych funkcji kryterium. Sowa kluczowe: problem VRP, optymalizacja wielokryterialna, modelowanie wieloszczeblowych systemów dystrybucyjnych. 1. WPROWADZENIE W artykule przedstawiono wybrane aspekty konstruowania modelu matematycznego w ujciu optymalizacji wielokryterialnej z uwzgldnieniem danych losowych. Ze wzgldu na szerokie spektrum aspektów, które naley uwzgldni jest to proces bardzo zoony. Wymaga okrelenia nie tylko waciwych ogranicze, czstkowych kryteriów, ale take doboru odpowiednich metod jego rozwizania. Transport towarów na obszarach zurbanizowanych z jednej strony jest gównym czynnikiem umoliwiajcym rozwój wikszoci dziaa gospodarczych i spoecznych zachodzcych w obszarach miejskich. Dotyczy m.in. zaopatrzenia sklepów, miejsc pracy oraz gospodarki odpadami. Z drugiej jednak strony transport towarowy jest gównym czynnikiem niepokojcym i utrudniajcym ycie spoeczne mieszkaców aglomeracji miejskich [8]. Jednym z rozwiza wpywajcych na jako systemu transportowego jest szeroko rozumiana logistyka miejska. Ma na celu zmniejszenie negatywnego wpywu transportu towarów na funkcjonowanie miasta przy jednoczesnym wsparciu rozwoju gospodarczego i spoecznego miast [3], [7]..

(2) 510. Emilian Szczepaski. Odpowiednie zidentyfikowanie sabych punktów systemu dystrybucji adunków ma duy wpyw na jego ulepszanie i reorganizowanie. W logistyce bardzo istotne jest sprostanie wymaganiom stawianym przez klientów. Dlatego istotne jest uwzgldnienie m.in. jakoci obsugi transportowej w trakcie konstruowania planu przewozów. Jednym z istotnych czynników wpywajcych na jako obsugi jest realizacja zakadanego planu przewozów. Naley przez to rozumie obsuenie bd nie obsuenie klientów zgodnie z ustalonym planem, w wyznaczonych przedziaach czasu [3].. 2. PROBLEMATYKA OPTYMALIZACJI WIELOKRYTERIALNEJ Problem optymalizacji wielokryterialnej dotyczy sytuacji decyzyjnej, w której wystpuje wicej ni jedno kryterium i poszukiwane jest rozwizanie akceptowalne z punktu widzenia kadego z nich. Idealne rozwizanie to takie które jest najlepsze dla kadej funkcji celu [5]. Jest to tzw. rozwizanie utopijne przy czym rozwizanie takie nie zawsze jest osigalne i moe nie spenia ogranicze zadania. Zadanie optymalizacji wielokryterialnej polega na sformuowaniu funkcji kryteriów czstkowych np. f 1 x

(3) i f 2 x

(4) dcych do lokalnych ekstremów oraz funkcji globalnej skadajcej si dcej do ekstremum z kryteriów czstkowych np. F f 1, f 2

(5) f 1 x

(6) , f 2 x

(7) globalnego. Moliwe rozwizania klasyfikuj si do przestrzeni rozwiza zdominowanych i niezdominowanych, czyli pareto optymalnych. Prezentacj przestrzeni rozwiza w optymalizacji wielokryterialnej z zaznaczonymi obszarami rozwiza zdominowanych i niezdominowanych przedstawiono na rys.1.. f1(x). Rozwizania zdominowane. Rozwizania pareto optymalne – nie zdominowane. f2(x). . Rys. 1. Przykadowa prezentacja przestrzeni rozwiza w optymalizacji wielokryterialnej [6], [7].

(8) Wybrane aspekty modelu dystrybucji adunków na obszarach aglomeracji miejskiej …. 511. Rozwizaniem optymalnym w sensie pareto jest rozwizanie nalece do rozwiza dopuszczalnych oraz takie dla którego poprawienie wartoci jednego z kryteriów nie odbywa si bez pogarszania wartoci pozostaych [9]. Przy czym wybór rozwizania zaley od indywidualnych preferencji decydenta. Istnieje wiele metod poszukiwania rozwiza w zadaniach optymalizacji wielokryterialnej. Do takich metod mona zaliczy metod waonych celów (Weighting Method) czy metod ogranicze (Constraint Method). Powysze metody zaliczane s do podej klasycznych. Wraz z rozwojem technik informatycznych czsto stosowane s metody oparte o algorytmy ewolucyjne takie jak VEGA (Vector Evaluated Genetic Algorithm), NSGA (The Nondominated Sorting Genetic Algorithm), SPEA (The Strength Pareto Evolutionary Algorithm) [9].. 3. ELEMENTY SYSTEMU DYSTRYBUCJI System dystrybucji poddany badaniom skada si z CK , HUB’ów oraz odbiorców w okrelonych relacjach obsugi. Schematycznie struktur rozwaanego systemu dystrybucji przedstawiono na rys. 2. ODBIORCY. CK. ഥ ൅ ͳ ܰ. ͳ. ഥ൅‫ܪ‬ ഥ൅ʹ ܰ ഥ ൅ ʹ ܰ. ʹ ഥ൅‫ܪ‬ ഥ൅͵ ܰ. ഥ ൅ ͵ ܰ. Systemdwuszczeblowy (dostawaporednia). ഥ൅‫ܪ‬ ഥ൅ͳ ܰ. HUB. ഥ൅‫ܪ‬ ഥ ܰ. ഥ൅‫ܪ‬ ഥ൅ͷ ܰ. ഥ ܰ ഥ൅‫ܪ‬ ഥ ൅ ܱത ܰ. Systemjednoszczeblowy (dostawabezporednia). ഥ൅‫ܪ‬ ഥ൅Ͷ ܰ. Rys. 2. Struktura systemu dystrybucji dla potrzeb obsugi transportowej miasta.

(9) 512. Emilian Szczepaski. Wieloszczeblowe systemy dystrybucji w aglomeracjach miejskich skonstruowane s z Centrów Konsolidacji adunków (CK ) zlokalizowanych na obrzeach miast oraz miejskich punktów przeadunkowych (HUB). W takim ujciu z punktu widzenia realizacji procesu dystrybucji mona wyróni systemy: bezporednie, porednie, mieszane. Systemy bezporednie s to systemy w których adunek przewoony jest bezporednio z miejsca nadania do miejsca odbioru tzw. door to door. Systemy porednie wykorzystuj punkty przeadunkowe np. HUB’y jako punkt dystrybucyjny. W systemach mieszanych dostawa moe odbywa si zarówno bezporednio jak i z wykorzystaniem punktów porednich [4]. Analizowany system dystrybucyjny jest systemem wieloszczeblowym mieszanym. Zakada si, e system ten moe obsugiwa odbiorców bezporednio w relacji „CK – odbiorca”, czyli w ujciu jednoszczeblowym, jak i porednio w relacji „CK – HUB – odbiorca”, czyli w ujciu dwuszczeblowym [2], [3]. Na obszarach miejskich najczciej stosowane s systemy jedno i dwuszczeblowe. Liczba szczebli dystrybucji jest uzaleniona od liczby poredników wystpujcych bezporednio po sobie. Struktura takiego systemu zaley przede wszystkim od lokalizacji nadawców oraz odbiorców adunków, a take umiejscowienia punktów porednich [1]. Do przedstawienia struktury sieci transportowej badanego obszaru wykorzystano graf. G. ^. W , L , gdzie: W = 1,.., a ,..., w , w ',..., b,..., W. w sieci (CK , HUB’y, odbiorcy) oraz L. `. – zbiór elementów punktowych. ^ w, w '

(10) : w, w '

(11) W uW ; w z w '`. – zbiór. pocze transportowych. Drog w grafie G z wza a do b bdzie cig zapisany jako (wzór 1): pi a , b

(12) a , } , w, w ' , } , b ! gdzie i. 1, 2,} , I ; a , w, w ' , b W. (1). gdzie: i – numer drogi w sieci, I – oznacza liczb dróg. W przypadku gdy wszystkie. wierzchoki s róne jest ona drog prost. Zbiór wszystkich dróg z wza a do wza ab b oznaczono jako P . Poniewa zbiór W jest zbiorem CK , HUB’ów i odbiorców, celem okrelenia tych zbiorów zadano odwzorowanieJ na zbiorze W, przeprowadzajce elementy tego zbioru w zbiór {0,1,2} tj. (wzór 2):. J: W przy czym: gdy J w

(13). o. {0, 1, 2}. (2). 0 to w -ty wze struktury ma interpretacj numeru CK , gdy. J w

(14) 1 to w -ty wze struktury ma interpretacj numeru HUB’u, gdy J w

(15) 2 to w ty wze struktury ma interpretacj numeru odbiorcy zlokalizowanego na obszarze miasta. Powysze pozwala na zdefiniowanie: x zbioru N numerów CK postaci (wzór 3):. N {w { n : J w

(16) 0, w W,n 1,2,}, N}. (3).

(17) Wybrane aspekty modelu dystrybucji adunków na obszarach aglomeracji miejskiej …. 513. gdzie: n – numer n -tego nadawcy; N – oznacza liczb nadawców. CK bior udzia w procesie dystrybucji poprzez dostarczanie adunków do HUBów przeadunkowych zlokalizowanych na obszarze miasta, jednak istnieje równie moliwo bezporedniego dostarczenia adunku do odbiorcy z pominiciem HUB’u. x zbioru H numerów HUB’ów postaci (wzór 4):. H {w { h : J w

(18) 1, w W, h N 1, N 2,}, N H}. (4). gdzie: h – numer h -tego punktu poredniego; H – oznacza liczb punktów porednich. Miejskie punkty przeadunkowe s punktami w których nastpuje podzia adunków na poszczególne trasy i zaadunek na pojazdy o mniejszej adownoci. x zbioru O numerów odbiorców postaci (wzór 5):. O {w { o : J w

(19) 2, w W ,o N H 1, N H 2, }, N H O}. (5). gdzie: o – numer o -tego odbiorcy; O – oznacza liczb odbiorców. Odbiorcy s istotnym elementem sieci transportowej. Okna czasowe, czasy rozadunku towarów determinuj wyznaczany plan przewozu. Czas obsugi pojazdu w takim punkcie jest zaleny od wielu czynników chociaby dostpnego wyposaenia adunkowego. x zbioru P wszystkich dróg w systemie dystrybucji przy czym P i,nh , P i,no , P i,ho , P i,oo' P i,nh. i,no. gdzie zbiór P numerów dróg midzy CK i HUB’ami; zbiór P numerów dróg i,ho midzy CK i odbiorcami; zbiór P numerów dróg midzy HUB’ami i odbiorcami; i,oo zbiór P ' numerów dróg midzy odbiorcami. Liczba moliwych pocze midzy dowolnymi wzami w sieci transportowej odgrywa bardzo wan rol, poniewa kada z dróg moe charakteryzowa si rónymi cechami. x zbioru S typów pojazdów (wzór 6):. S {s : s 1, 2, } S}. (6). gdzie: s – numer typu pojazdu; S – oznacza liczb typów pojazdów. W ukadaniu planu przewozów istotny jest czas realizacji przewozu. Przejcie przez kady element sieci transportowej wymaga pewnego czasu. Suma czasów przejazdu, prac adunkowych u poszczególnych odbiorców nie moe przekracza dopuszczalnego czasu pracy kierowcy. W zalenoci od dopuszczalnej masy pojazdu (DMC) obowizuj odpowiednie normy czasu pracy kierowcy. Dlatego niezbdne jest zdefiniowanie zbioru typów pojazdów, przy czym kady typ pojazdu charakteryzuje si pewn adownoci oraz DMC. x zbioru K typów pojazdów (wzór 7):. . {k : k 0,1,2,3}. (7).

(20) 514. Emilian Szczepaski. gdzie: k – oznacza numer typu kierowcy, przy czym: gdy k 0 to kierowca jest kierowc pojazdu na trasie CK – HUB ( trasy wahadowe), gdy k 1 to kierowca jest kierowc pojazdów dystrybucyjnych i posiada due dowiadczenie oraz dobr znajomo tras, gdy k 2 to kierowca jest kierowc pojazdów dystrybucyjnych i posiada due dowiadczenie oraz ma znajomo tras, gdy k 3 to kierowca jest kierowc pojazdów dystrybucyjnych i posiada mae dowiadczenie oraz ma znajomo tras.. 4. KONCEPCJA WIELOKRYTERIALNEGO MODELU OBSUGI TRANSPORTOWEJ AGLOMERACJI MIEJSKIEJ Jak wczeniej wspomniano z optymalizacj wielokryterialn wie si zdefiniowanie tzw. globalnej (wektorowej) funkcji celu, której skadowymi s czstkowe funkcje kryterium. W konstruowaniu modelu zdefiniowano trzy czstkowe funkcje kryterium. Pierwsza z nich G1 dotyczy minimalizacji kosztów realizacji planu przewozów i uwzgldnia koszty funkcjonowania obiektów magazynowych, koszty dostawy adunków wynikajce z przebiegu pojazdów oraz czasu pracy kierowców, a take koszty karne za opó nienia w obsudze bd brak obsugi danego odbiorcy. Niektóre dane wchodzce w skad funkcji kryterium s zmiennymi losowymi, a do wyznaczenia funkcji G1 uyto ich wartoci oczekiwanych. Z powyszego wynika, i funkcja G1 równie bdzie wartoci oczekiwan kosztów realizacji planu dostaw. Kolejne dwie funkcje kryterium zwizane s z prawdopodobiestwem poprawnej realizacji planu przewozu. Funkcja G2 oznacza prawdopodobiestwo, e liczba opó nie w obsudze odbiorców podczas realizacji planu przewozów nie bdzie wiksza ni liczba opó nie zaplanowanych. Funkcja G3 oznacza prawdopodobiestwo, e liczba nieobsuonych odbiorców podczas realizacji planu przewozów nie bdzie wiksza ni zaplanowana liczba odbiorców nieobsugiwanych. Zakada si, i odbiorca nie jest obsuony jeeli nie zosta dostarczony mu adunek w liczbie równej jego zapotrzebowaniu. Sformuowano zatem trzy funkcje kryterium oraz wektorow funkcj kryterium, której skadowymi s wspomniane funkcje G1, G2, G3, która przybiera posta (wzór 8).. ªG1 E XA, XB, YA, YB

(21)

(22) « F (G1, G 2, G 3) « G2( Z , YB ) «G3( Z , YB ) ¬. o min º » o max » o max ¼». (8).

(23) Wybrane aspekty modelu dystrybucji adunków na obszarach aglomeracji miejskiej …. 515. Do rozwizania sformuowanego zadania niezbdnym jest ustalenie danych wej ciowych dotyczcych: x struktury sieci transportowej w tym zbioru nadawców, punktów porednich i odbiorców; x odlegoci midzy poszczególnymi elementami sieci transportowej (CK ’ami, HUB’ami, odbiorcami); x wartoci oczekiwanych czasu przejazdu danym poczeniem transportowym bdcego zmienn losow o znanym lub dajcym si ustali rozkadzie; x wartoci oczekiwanych czasu trwania operacji adunkowych u nadawców, w punktach porednich oraz u odbiorców bdcego zmienn losow o znanym lub dajcym si ustali rozkadzie; x zapotrzebowania odbiorców; x okien czasowych u odbiorców; x kosztów, w tym: o kosztów staych: funkcjonowania CK , funkcjonowania HUB’ów, realizacji pojedynczego kursu pojazdu, zatrudnienia kierowcy; o kosztów jednostkowych: przejcia jednostki adunkowej przez CK , przejcia jednostki adunkowej przez HUB, zatrudnienia kierowcy, przewozu jednej jednostki adunkowej dla rónych relacji, przejazdów prónych; o kosztów karnych: za opó nienia w obsudze danego odbiorcy, za nieobsuenie danego odbiorcy; x pojemnoci CK i HUB’ów w liczbie jednostek adunkowych; x pojemnoci pojazdów danego typu; x DMC(dopuszczalnej masy cakowitej) pojazdów danego typu; x dopuszczalnych dobowych czasów pracy kierowcy danego typu; x charakterystyk niezawodnociowych pojazdu danego typu zalenej od przebytych kilometrów oraz przebytych kilometrów od ostatniego przegldu technicznego; x charakterystyk niezawodnociowych kierowcy danego typu zalenych od czasu przepracowanego w dobie; x liczby dostpnych pojazdów danego typu; x liczby dostpnych kierowców danego typu; x przebiegów oraz przebiegów zrealizowanych od ostatniego przegldu technicznego przez dany pojazd danego typu. Przy uwzgldnieniu powyszych danych naley wyznaczy : x warto ci zmiennych decyzyjnych typu XA o interpretacji wielkoci przewozów w danej relacji, okrelajcych:.

(24) 516. Emilian Szczepaski. o wielko przewozu midzy n-tym CK a h-tym HUB’em, w trakcie realizacji kursu i-t drog przez kierowc k-tego typu pojazdem s-tego typu w danym przedziale doby; o wielko przewozu midzy n-tym CK a o-tym odbiorc, w trakcie realizacji kursu i-t drog przez kierowc k-tego typu pojazdem s-tego typu w danym przedziale doby; o wielko przewozu midzy h -tym HUB’em a o-tym odbiorc, w trakcie realizacji kursu i-t drog przez kierowc k-tego typu pojazdem s-tego typu w danym przedziale doby; o wielko przewozu midzy o-tym a o‘-tym odbiorc, w trakcie realizacji kursu it drog przez kierowc k-tego typu pojazdem s-tego typu w danym przedziale doby; x warto ci zmiennych decyzyjnych XB o interpretacji chwili pocztku obsugi danego odbiorcy, okrelajcych: o chwila pocztku obsugi (rozadunku) o-tego odbiorcy w trakcie realizacji kursu z n-tego CK i-t drog przez kierowc k-tego typu pojazdem s-tego typu; o chwila pocztku obsugi (rozadunku) o-tego odbiorcy w trakcie realizacji kursu z h-tego HUB’u i-t drog przez kierowc k-tego typu pojazdem s-tego typu; x warto ci zmiennych decyzyjnych typu Z o interpretacji przepracowanego czasu przez kierowc oraz przebiegu pojazdu wpywajcych na poprawn realizacj wyznaczonego planu przewozów, okrelajcych: o czas przepracowanego przez danego kierowc k-tego typu w dobie podczas realizacji kursu i-t drog danym pojazdem s-tego typu; o przebieg pojazdu podczas realizacji kursu i-t drog danym pojazdem s-tego typu, przy czym warto ta wynika z przebiegu pocztkowego oraz przebytych tras; x zmiennych decyzyjnych binarnych YA okrelajcych istnienie bd nie poczenia powrotnego w danym kursie, okrelajcych: o istnienie poczenia midzy o ' -tym odbiorc, a n-tym CK , w trakcie realizacji kursu i-t drog kierowc k-tego typu pojazdem s-tego typu danym przedziale doby; o istnienie poczenia midzy o ' -tym odbiorc, a h -tym HUB’em, w trakcie realizacji kursu i-t drog kierowc k-tego typu pojazdem s-tego typu danym przedziale doby; o istnienie poczenia midzy h -tym HUB’em, a n-tym CK (drogi powrotnej), w trakcie realizacji kursu i-t drog kierowc k-tego typu pojazdem s-tego typu danym przedziale doby; x zmiennych decyzyjnych binarnych YB okrelajcych obsuenie danego odbiorcy lub opó nienia w jego obsudze, okrelajcych: o obsuenie lub nieobsuenie o-tego odbiorcy; o istnienie bd nie istnienie opó nienia w obsudze o-tego odbiorcy w trakcie realizacji kursu i-t drog przez kierowc k-tego typu danym pojazdem s-tego typu ; Wartoci zmiennych decyzyjnych musz by wyznaczone tak aby czstkowe funkcje kryterium G1, G2, G3 dyy do ekstremów lokalnych, natomiast funkcja F (G1, G 2, G 3) osigaa ekstremum globalne..

(25) Wybrane aspekty modelu dystrybucji adunków na obszarach aglomeracji miejskiej …. 517. Podczas rozwizywania zadania naley speni ograniczenia wynikajce z charakterystyki sieci transportowej oraz cech jej elementów. Uwzgldni naley m.in. nastpujce ograniczenia: x wielko dostaw do o-tego odbiorcy nie moe by wiksza od jego zapotrzebowania; x wielko dostaw przychodzcych z CK do HUB’u musi by równa wielkoci dostaw wychodzcych z HUB’u; x liczba adunków wychodzca z CK nie moe by wiksza ni zapotrzebowanie odbiorców; x adowno pojazdu s–tego typu podczas realizacji kursu nie moe zosta przekroczona; x pojazd wyjedajcy z n-tego CK musi do niego powróci ; x pojazd wyjedajcy z h -tego HUB’u musi do niego powróci ; x liczba adunków wychodzcych z n-tego CK nie moe by wiksza od jego pojemnoci; x liczba adunków wychodzcych z h-tego HUB’u nie moe by wiksza od jego pojemnoci; x czas pracy kierowcy nie moe zosta przekroczony.. 5. WNIOSKI Budowa wielokryterialnych modeli systemów transportowych w wieloszczeblowych systemach dystrybucji jest obszernym zagadnieniem. W artykule przedstawiono jedynie fragment problemu, jaki wystpuje w takich systemach dystrybucji. Wskazano na problematyk dotyczc zarówno okien czasowych jak i czasu pracy kierowców. Sformuowano wektorow funkcj kryterium, a jako czstkowe kryteria zaproponowano koszty transportu oraz prawdopodobiestwo wystpienia opó nie w obsudze odbiorców i prawdopodobiestwo nieobsuenia odbiorców (nieuwzgldnionych w planie przewozów). W artykule przedstawiono koncepcj wykorzystania Centrów Konsolidacji adunków oraz HUB’ów przeadunkowych jako pewn metod suc zwikszeniu wydajnoci oraz poprawy jakoci obsugi transportowej. Przedstawiony model matematyczny pozwala na okrelenie istotnych parametrów systemu transportowego, czyli kosztów realizacji planu oraz prawdopodobiestwa jego wykonania. Na podstawie rozwaa przedstawionych w artykule mona wskaza gówne problemy w rozwizywaniu tego typu zada. Pierwszym z problemów jest wielokryterialne wyznaczanie trasy. Drugim problemem jest rozwizanie problemu VRP z uwzgldnieniem wielu kryteriów.. Artyku jest efektem pracy w ramach grantu dziekaskiego pt. „Model wielokryterialnego wspomagania decyzji w zakresie obsugi transportowej odbiorców na obszarach zurbanizowanych-cz.1” realizowanego na Wydziale Transportu PW..

(26) 518. Emilian Szczepaski. Bibliografia 1. Ambroziak T., Jachimowski R.: Problematyka obsugi transportowej w jednoszczeblowym systemie dystrybucji. Logistyka 4/2011. 2. Ambroziak T. Jacyna M. Wasiak M.: The Logistic Services in a hierarchical distribution System, Transport Science and Technology. ELSEVIER. Chapter 30. ISBN-13: 978-0-08-044707-0 (ISBN-10: 008-044707-4) DEC-2006. 3. Bluszcz M., Jacyna M.: Koncepcja modelu obsugi logistycznej miasta, Logistyka 4/2010 4. Jacyna M.: The role of Cargo Consolidation Center in urban logistic system, Urban Transport XII, WIT Press 2011. 5. Jacyna M.: Modelowanie i ocena systemów transportowych, Oficyna Wydawnicza Politechniki Warszawskiej, Warszawa 2009 6. Michalkiewicz Z.: Algorytmy genetyczne + struktury danych = programy ewolucyjne, WNT, Warszawa 2003. 7. Szczepaski E: Selected Aspects of Multi-Criteria Decision Support in Transport Service in Urban Areas, Conference Proceedings Carpathian Logistics Congress, November 7th - 9th 2012, Jeseník, Czech Republic, EU. 8. Zomer G.R.: Optimisitaion of Urban Freight Systems by strategic co-operations, materiay konferencyjne LIFE-CEDM, Lucca 2008. 9. Zitzler E.: Evolutionary Algorithms for Multiobjective Optimization: Methods and Applications, Zürich 1999.. MODEL OF DISTRIBUTION SYSTEM FOR METROPOLITAN AREAS INCLUDING RANDOM DATA Summary: Paper presents the construction of a mathematical model of the distribution system in urban areas, including multi-criteria optimization with random data. This model refers to systems based on an multi-stage distribution systems with Cargo Consolidation Centers and transshipment points (HUB). Individual elements of transport network in urban areas were analyzed, which were used to formulate a mathematical model. The article contains the concept of a model urban transport system, including the formal record. Vector criteria function was also presented. Keywords: VRP problem, multi-criteria optimization, modeling of multistage distribution systems.

(27)