Roznorodne algorytmy i ich komputerowe realizacje

RÓŻNORODNE ALGORYTMY OBLICZEŃ

I ICH KOMPUTEROWE REALIZACJE

Maciej M. Sysło

Uniwersytet Wrocławski Uniwersytet UMK w Toruniu

syslo@ii.uni.wroc.pl

2

Algorytm, algorytmika

Algorytm

– opis rozwiązania krok po kroku postawionego

problemu lub sposobu osiągnięcia jakiegoś celu

Pierwszy algorytm –

algorytm Euklidesa

300 p.n.e

algorytm

od

Muhammad

ibn Musa al-Chorezmi

IX w.

Algorytmika

– dziedzina zajmująca się algorytmami i ich

własnościami

informatyka +

3

Na str. 3-7 są zamieszczone uwagi wstępne na temat algorytmiki.

Algorytmy a informatyka

Informatyka –

jedna z definicji:

dziedzina wiedzy i działalności

zajmująca się algorytmami

Czy zajmuje się też

algorytmami kulinarnymi?

Donald E. Knuth:

Mówi się często, że człowiek dotąd nie zrozumie czegoś,

zanim nie nauczy tego – kogoś innego.

W rzeczywistości,

człowiek nie zrozumie czegoś (

algorytmu

) naprawdę,

zanim nie zdoła nauczyć tego – komputera.

Ralf Gomory (IBM):

Najlepszym sposobem przyspieszania komputerów

jest obarczanie ich mniejszą liczbą działań (

szybszymi algorytmami

)

informatyka +

4

Będziemy uczyć komputery, czyli programować je !

Algorytmiczne rozwiązywanie problemu

Dla problemu – chcemy otrzymać rozwiązanie

komputerowe, które jest:

•

zrozumiałe

dla każdego, kto zna problemu

• poprawne

, czyli spełnia specyfikację (opis) problemu

• efektywne

, czyli nie marnuje czasu i pamięci komputera

Metoda rozwiązywania:

•

analiza

sytuacji problemowej

•

sporządzenie

specyfikacji

: wykaz danych, wyników i relacji

• projekt

rozwiązania

•

komputerowa realizacja rozwiązania –

implementacja

• testowanie poprawności

rozwiązania

•

dokumentacja

i

prezentacja

rozwiązania

Rozwiązywanie problemów z pomocą komputerów

Objaśnienie dwóch terminów:

Problem

:

•problem, gdy nie podano nam, jak należy go rozwiązać, ale wiemy wystarczająco, by poradzić sobie z nim

•a więc, problem jest dla każdego nie tylko dla orłów

Programowanie:

•komputery wykonują tylko programy

•cokolwiek uruchamiamy na komputerze: Google, dokument w Word, arkusz w Excel, naciśnięcie klawisza – jest programem

•każdy widoczny i niewidoczny efekt działania komputera to wynik działania jakiegoś programu

Konkluzja:

powinniśmy

lepiej poznać programowanie

komputerów

Myślenie algorytmiczne

Myślenie komputacyjne

(ang. computational thinking)

informatyka +

7

Reklama firmy IBM z 1924 roku

Komputer to maszyna do myślenia !!!

Różnorodne algorytmy obliczeń

i ich komputerowe realizacje

PLAN

• Rozgrzewka (warm-up) – kilka krótkich programów

• Obliczanie wartości wielomianu – Schemat Hornera

• Liczby dziesiętne, binarne, … – system pozycyjny, zamiana

liczb między systemami

• Rekurencja: Wieże Hanoi, liczby Fibonacciego, wyprowadzania

liczb od początku

• Podnoszenie do potęgi – szybko!

• Algorytm Euklidesa

• Algorytmy zachłanne: wydawanie reszty, zmartwienie

kinomana, pakowanie plecaka, najdłuższa droga na piramidzie

• Przeszukiwanie z nawrotami: wychodzenie z labiryntu i

rozstawianie hetmanów na szachownicy

Rozgrzewka przy komputerach

Rozgrzewka (warm-up)

– kilka krótkich programów:

• obliczanie pole trójkąta

• dodatkowo sprawdzanie, czy dane są dobre –

warunek

• obliczanie pola trójkąta dla ciągu danych –

iteracja

i

tablice

Ciekawe zadanie

dotyczące trójkątów:

Dane:

ciąg (bardzo długi) liczb

Odpowiedź:

czy z każdej trójki liczb z tego ciągu można

zbudować trójkąt?

Wskazówka:

istnieje rozwiązanie, w którym nie trzeba

sprawdzać warunku trójkąta dla każdej trójki liczb

Warsztaty

Algorytm, język programowania, komputer

informatyka +

10

Proces komputerowej realizacji algorytmu:

•Opis algorytmu – słowny

•Zapis w języku programowania (Pascal, C++)

•Kompilacja – przetłumaczenie na język zrozumiały przez komputer •Wykonanie

•Testowanie •Dokumentacja

Obliczanie wartości wielomianu

Obliczanie wartości wielomianu jest bardzo ważną operacją w

komputerze, bo wartość każdej funkcji jest liczona jako wartość

wielomianu, np.

cos x = 1 – 0.49670x

2

+ 0.03705x

4

.

Wielomian stopnia 2:

w(x) = ax

2

+ bx + c = a*x*x + b*x + c 3 mnożenia 2 dodawania

w(x) = ax

2

+ bx + c = (a*x + b)*x + c

2

mnożenia 2 dodawania

Wielomian stopnia 3:

w(x) = ax

3

+ bx

2

+ cx + d = ((a*x + b)*x + c)*x + d 3 mnoż. 3 dod.

Wielomian stopnia n:

w

n

(x) = a

0

*x

n

+ a

1

*x

n-1

+ … + a

n-1

*x + a

n

=

= (a

0

*x

n-1

+ a

1

*x

n-2

+ … + a

n-1

)*x + a

n

= … =

= ((…((a

0

*x + a

1

)*x + a

2

)*x + … + a

n-2

)*x + a

n-1

)*x + a

n

Obliczanie wartości wielomianu

specyfikacja, algorytm

Problem Wielomian – Obliczanie wartości wielomianu

Dane: n – nieujemna liczba całkowita

a0, a1, a2, ..., an – n + 1 współczynników wielomianu

z – wartość argumentu – obliczamy wn(z).

Wynik: wn(z) – czyli wartość wielomianu wn(x) w punkcie x = z

Algorytm do obliczania wartości wielomianu:

wn(z) = ((…((a0*z + a1)*z + a2)*z + … + an-2)*z + an-1)*z + an Schemat Hornera: y := a0 y := y*z + a1 y := y*z + a2 ….. y := y*z + an-1 y := y*z + an

informatyka +

12

y := a₀ y := y*z + a_i dla i = 1, 2, …, n Specyfikacja problemu – dokładny opis problemu

n mnożeń i n dodawań Nie ma szybszego algorytmu !!!

Schemat blokowy algorytmu Hornera

informatyka +

13

Instrukcja iteracyjna Instrukcja warunkowa: rozgałęzienia algorytmu

Ada Augusta, córka Byrona, uznawana powszechnie za pierwszą programistkę komputerów, przełomowe znaczenie

maszyny analitycznej Ch. Babbage’a,

pierwowzoru dzisiejszych komputerów, upatrywała właśnie „w możliwości

wielokrotnego wykonywania przez nią danego ciągu instrukcji, z liczbą powtórzeń z góry zadaną lub zależną od wyników obliczeń”, a więc w iteracji.

i := 0; y := a₀ Początkowe wartości

Czy i = n

Czyli, czy wyczerpano wszystkie współczynniki Nie Tak i := i + 1 y := y*z + a_i Wyprowadź wartość y Koniec algorytmu

Pełny

schemat

blokowy

algorytmu

Hornera

informatyka +

14

Algorytm Hornera w postaci programu (Pascal)

program Horner;

var i,n :integer; a,y,z :real;

begin

read(n); read(z); read(a);

y:=a;

for i:=1 to n do begin read(a); y:=y*z+a end; write(y) end.

informatyka +

15

nazwa programu

deklaracje, typy zmiennych

blok programu – początek czytaj n, czytaj z

czytaj pierwszy współczynnik początkowa wartość wyniku pętla od 1 do n

czytaj kolejny współczynnik powiększenie wyniku

iteracja – koniec pisz wynik

Algorytm Hornera – współczynniki w tablicy (Pascal)

Program Horner_tablica;

var i,n :integer; y,z:real;

a:array[0..100] of real {Co najwyzej 100 wspolczynnikow}

begin

read(n);

for i:=0 to n do read(a[i]); writeln(' z y');

read(z);

while z <> 0 do begin y:=a[0];

for i:=1 to n do y:=y*z+a[i]; write(' ',y:2:5); writeln; read(z) end end.

informatyka +

16

Deklaracja tablicy Czytanie współczynników

Instrukcja iteracyjna z warunkiem: Obliczanie wartości tego samego wielomianu tak długo, jak długo argument jest różny od zera, czyli z <> 0.

Zastosowania Algorytmu Hornera

1. Obliczanie wartości wielomianów.

2. Obliczanie wartości dziesiętnej liczb danych w systemie o podstawie różnej od 10, np. liczb binarnych.

Uwaga: jest to bardzo prosta metoda, np. dla obliczeń na

kalkulatorze bez pamięci.

3. Szybkie potęgowanie (w dalszej części)

To są tylko niektóre zastosowania schematu Hornera.

System dziesiętny, system pozycyjny

Liczba dziesiętna: 357 ma wartość (dziesiętną):

357 = 3*100 + 5*10 + 7*1 = 3*102 + 5*101 + 7*100

a zatem liczba: dn-1 dn-2 … d1 d0 która ma n cyfr

ma wartość:

dn-1*10n-1 + dn-2*10n-2 + … + d1*101 + d0*100

10 – podstawa systemu {0, 1, 2, 3, …, 8, 9} – cyfry 2, 8, 16 – podstawy systemów używanych w komputerach

podstawa cyfry 2 0, 1 system binarny 8 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 16 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E, F 60 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E, F, G, …

informatyka +

18

System binarny, przejście 2 → 10

Liczba binarna: 10101 = (10101)

2

ma wartość (dziesiętną):

1*2

4

+ 0*2

3

+ 1*2

2

+ 0*2

1

+ 1*2

0

= 2

4

+ 2

2

+ 1 = 16 + 4 + 1 =

21

a zatem liczba binarna: (b

n-1

b

n-2

… b

1

b

0

)

2

która ma n cyfr

ma wartość:

a = b

n-1

*2

n-1

+ b

n-2

*2

n-2

+ … + b

1

*2

1

+ b

0

*2

0

(*)

Jak szybko obliczać wartość dziesiętną binarnego rozwinięcia?

Wzór (*) jest wielomianem, w którym zamiast x jest 2.

A zatem wartość a obliczamy za pomocą schematu Hornera. .

informatyka +

19

Binarne rozwinięcie liczby a

Najbardziej

Otrzymywanie postaci binarnej liczb, czyli 10 → 2

Szkolna metoda: dzielimy przez dwa tak długo, jak długo iloraz jest większy od zera – słupki:

dzielenie iloraz reszta

187|2 93 1 93|2 46 1 46|2 23 0 23|2 11 1 11|2 5 1 5|2 2 1 2|2 1 0 1|2 0 1

Reprezentacja od końca reszt: 187 = (10111011)2

informatyka +

20

Program Rozwiniecie_binarne; var a:integer; begin read(a); while a <> 0 do begin write(a mod 2,' '); a:=a div 2 end end.

Ciekawe pytanie: jaka jest długość

rozwinięcia binarnego liczby n? Bardzo prosty program

Techniki algorytmiczne – rekurencja

Myślenie rekurencyjne:

– przykłady z życia: jedzenie, tańczenie – Wieże Hanoi

– liczby Fibonacciego

– wyprowadzanie liczb od początku

– szybkie potęgowanie – algorytm Euklidesa

Rekurencyjny algorytm:

Rozwiązując problem … odwołuje się do siebie

Korzyści:

Część pracy … zwalamy na komputer!

• Jedzenie kaszki z talerza – A. Jerszow

Jedz kaszkę

;

jeśli

talerz jest pusty

to

koniec jedzenia

w przeciwnym razie

weź łyżkę kaszki;

Jedz kaszkę

• Taniec

Tańcz

;

jeśli

nie gra muzyka

to

koniec tańczenia

w przeciwnym razie

zrób krok;

Tańcz

Procedura rekurencyjna wywołuje siebie Warunek początkowy – zatrzymuje wywołania

Rekurencja – przykłady z życia

Opis gry i interaktywna zabawa:

Wieże Hanoi – przekładanie krążków

informatyka +

23

Zasady gry: •przenosimy po jednym •nigdy większy na mniejszym Algorytm iteracyjny: •najmniejszy krążek ma dwie możliwości – ustalamy, którą wybieramy •na dwóch palikach, tylko jeden krążek można

przenieść i tylko na jedno miejsce

Hanoi (n, A, B, C) {z A na B za pomocą C}

if

n = 0

then

nic nie rób

else

begin

Hanoi (n – 1, A, C, B);

Największy krążek z A na B;

Hanoi (n – 1, C, B, A)

end

Procedura rekurencyjna

wywołuje siebie

Warunek

początkowy –

zatrzymuje

wywołania

Wieże Hanoi – Rekurencja

informatyka +

24

Rozwiązanie rekurencyjne:

kiedy można przenieść największy

krążek?

Odpowiedź:

gdy pozostałe będę na jednym paliku, następnie

możemy je przenieść na największy

Hanoi (n, A, B, C)

if

n = 0

then

nic nie rób

else

begin

Hanoi (n – 1, A, C, B);

Największy krążek z A na B;

Hanoi (n – 1, C, B, A)

end

h(n) =

h(n – 1) +

1 +

h(n – 1) =

h(n) = 2h(n – 1) + 1

h(0) = 0

Wieże Hanoi – Rekurencja –

liczba przestawień h(n)

h(n) = 2h(n – 1) + 1 =

z tego samego wzoru: h(n – 1) = 2h(n – 2) + 1

stąd h(n) = 2[2h(n – 2) + 1] + 1 =

= 2

2

h(n – 2) + 2 + 1 =

podobnie h(n) = 2

3

 h(n – 3) + 2

2

+ 2 + 1 =

…

h(n) = 2

n

h(n – n) + 2

n - 1

+ … + 2 + 1 =

ostatecznie

h(n) = 2

n

– 1

= h(0) = 0

Wieże Hanoi – Rekurencja –

liczba przestawień h(n)

s(n)

– liczba sposobów osiągnięcia schodka n

…

n n–1 n–2 1 0







s(n) =

s(n –1)

+ s(n – 2)

s(1) =

s(2) =

dla n > 2

2

1

2

Chaotyczny profesor S.

Profesor S. bierze jeden lub _{dwa schodki – na ile} sposobów wyjdzie na piętro n

Myśl rekurencyjnie!

F(n)

– liczba par królików po n miesiącach

n n–1 n–2 1 2

F(n) =

F(n – 1)

+ F(n – 2)

F(1)=1 F(2)=1

dla n > 2:













3 Króliki, które

przeżywają Króliki, urodzone _{przez pary żyjące} ponad miesiąc

Liczby Fibonacciego:

1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, …

Warunki początkowe

Rekurencja:

Rekurencja – króliki Fibonacciego

informatyka +

28

Na początku jest jedna para królików, która po miesiącu rodzi kolejną parę. Króliki nie umierają i po miesiącu, co miesiąc rodzą nową parę.

F

₆

F

₅

F

₂

F

₄

F

₄

F

₃

F

₂

1

F

₁

1

2

3

_F

3

F

₂

F

₁

1

1

1

2

5

Powtórne obliczanie F₄

Pamiętajmy: Rekurencja – może być bardzo rozrzutna pod względem liczby

wykonywanych operacji i zajmowanej pamięci

?

?

Liczby Fibonacciego – rozrzutna rekurencja

F(n)

– liczba par królików po n miesiącach

n n–1 n–2 1 2

= F(n)

F(n – 2) F(n – 1)

F(1)=1 F(2)=1











3

Warunki początkowe Rekurencja jako iteracja dla n > 2

F(n)

{n-ta liczba Fibonacciego obliczona iteracyjnie}

if

(n = 1)

lub

(n = 2)

then

F := 1

else

begin

a := 1; b := 1; {a i b – dwie poprzednie wartości}

for

i := 3

to

n

do

begin

c := a + b; a := b; b := c

end

;

F := c

end



+

Liczby Fibonacciego – oszczędna iteracja

Algorytm – drukowania cyfr liczby 3045

1. Najpierw drukuj cyfry liczby 304

2. Później drukuj cyfrę 5

Potrzebne są dwie operacje:

reszta z dzielenia

mod

: np. 3045

mod

10 = 5

dzielenie całkowite

div

: np. 3045

div

10 = 304

Liczbę 3045 drukuj w kolejności cyfr:

3

0

4

5

Rekurencja – wyprowadzanie kolejnych cyfr liczby

Liczba 304 to: 3045 div 10 = 304

Cyfra 5 to reszta: 3045 mod 10 = 5 Zauważmy: możemy

zastosować ten sam

algorytm ale do liczby 304 – REKURENCJA

KolejnaCyfra (m)

if

m < 10

then

write

(m)

else

begin

KolejnaCyfra

(m

div

10);

write

(m

mod

10)

end

Uwagi:

1. Można zastąpić 10 przez 2 i otrzymamy kolejne cyfry

binarne, od najbardziej znaczącej

2. Po zmianie kolejności poleceń – drukowanie cyfr od końca

Warunek początkowy –

gdy liczba ma jedną cyfrę.

Rekurencja – wyprowadzanie kolejnych cyfr liczby

Wywołanie rekurencyjne dla liczby bez ostatniej cyfry

Drukowanie ostatniej cyfry

KolejnaCyfra (3045)

KolejnaCyfra (304)

KolejnaCyfra (30)

KolejnaCyfra (3)

write

(3045

mod

10) = 5

write

(304

mod

10) = 4

write

(30

mod

10) = 0

write

(3)

= 3

Kolejno

drukowane

cyfry

Powrót z wywołań rekurencyjnych

Wywołania rekurencyjne

304 = 3045 div 10

Rekurencja – wyprowadzanie kolejnych cyfr liczby

Podnoszenie do potęgi, 1

Problem potęgowania

Dane: m – liczba naturalna, x – liczba rzeczywista

Wynik: y = xm Przykład: m = 22

Sposób 1.

Rozłóż m na sumę potęg liczby 2 mamy: 22 = 2 + 4 + 16

A stąd: x22 = x2+4+16 = x2 *x4 *x16 Kolejne mnożenia:

x2, x4 = (x2)2, x8 = (x4)2, x16 = (x8)2, y = x2 *x4 = x6, y = y*x16 Liczba mnożeń: 6 (kwadrat to jedno mnożenie)

informatyka +

34

Ważne działanie w kryptografii, gdzie potęguje się duże liczby, np.

Sposób 2. (przykład dla m = 22)

 Znajdź rozwinięcie binarne liczby m; 22 = (10110)2

 Przedstaw wykładnik w postaci schematu Hornera;

22 = 1*24 + 0*23 + 1*22 + 1*21 + 0*20 = (((2 + 0)2 + 1)2 + 1)2 +0

 Z postaci wykładnika określ kolejność mnożeń:

x(((2+0)2+1)2+1)2+0 = x(((2+0)2+1)2+1)2 = (x(((2+0)2+1)2+1)2 = (x(((2+0)2+1)2 x)2 =

= (x(((2+0)2+1)2 x)2 = (x(((2+0)2x)2 x)2 = (x(((2+0)2x)2x)2 = (((x2)2x)2x)2 = x22

 Kolejne mnożenia:

x2, x4 = (x2)2, x5 = (x4)x, x10 = (x5)2, x10x = x11, (x11)2 = x22

Liczba mnożeń: 6, jak w Sposobie 1, ale są liczone inne iloczyny.

informatyka +

35

Podnoszenie do potęgi, 3

Algorytm rekurencyjny, korzysta ze spostrzeżenia: jeśli m jest parzyste, to xm = (xm/2)2

jeśli m jest nieparzyste, to xm = (xm –1)x (m – 1 staje się parzyste). Przykład: m = 22

x22 = (x11)2 = ((x10) x)2 = ((x5)2 x)2 = (((x4)x)2x)2 = (((x2)2x)2x)2 = x22

Kolejne mnożenia:

x2, x4 = (x2)2, x5 = (x4)x, x10 = (x5)2, x10x = x11, (x11)2 =

x22

Liczba mnożeń: 6, jak w Sposobie 1 i 2, liczone jak w Sposobie 2.

informatyka +

36

Potega (x, n) { xn _}

if n = 1 then Potega := x

else if n – parzyste then

Potega := Potega (x, n/2)^2 {xn _{= (x}n/2₎2_}

else Potega := Potega (x, n – 1)*x {xn _{= (x}n–1_)x}

Realizacja rekurencyjna

Algorytm Euklidesa, 1

 Uważany za pierwszy algorytm – powstał 300 p.n.e.  Chociaż Chińczycy i Hindusi wcześniej tworzyli przepisy

obliczeniowe.

 Przez długie lata był synonimem algorytmu i od niego zaczynały wszystkie książki akademicki.

 Ma bardzo wiele zastosowań praktycznych i teoretycznych:

 arytmetyka, czyli obliczenia na liczbach całkowitych  kryptografia – RSA

 łamigłówki

 Przykład: Czy za pomocą naczyń 6 i 10 litrowych można napełnić

pojemnik 15 litrami wody – wodę można dolewać lub pobierać z pojemnika tylko całymi naczyniami.

Algorytm Euklidesa, 2

Problem NWD(m,n) – Największy Wspólny Dzielnik

Dane: m, n – liczby naturalne (można przyjąć, że m ≤ n)

Wynik: NWD(m,n) – Największy wspólny dzielnik liczb m i n.

Przykłady:

NWD(42,14) = 14 NWD(24,16) = 8

NWD(13,21) = 1 13 i 21 są względnie pierwsze

NWD(0,31) = 31 0 jest podzielne przez każdą liczbę

Zasada, wykorzystana w algorytmie – Twierdzenie o ilorazie i reszcie

n = q*m + r, gdzie 0 ≤ r < m q – iloraz, r – reszta.

Algorytm Euklidesa, 3

Wnioski:

1.Jeśli r = 0, to m dzieli n, czyli NWD(m,n) = m

2.Jeśli r ≠ 0, to mamy r = n – qm, czyli każda liczba, która dzieli n oraz m dzieli również r, w szczególności największa taka liczba.

Stąd mamy: NWD(m,n) = NWD(r,m) Przykład: NWD(25,70) = NWD(20,25) = NWD(5,20) = NWD(0,5) = 5 NWD(25,70): 70 = 2*25 + 20 NWD(20,25) 25 = 1*20 + 5 NWD(5,20) 20 = 4*5 + 0 r = 0, więc NWD( , ) = 5

Generowane liczby maleją: 70, 25, 20, 5, 0 więc algorytm jest skończony

Algorytm Euklidesa, 4 – dwie realizacje

program Euklides; var m,n,r:integer; begin read(m,n); while m>0 do begin r:=n mod m; n:=m; m:=r end; write(n) end.

informatyka +

40

Realizacja z funkcją: program Euklides_funkcja; var m,n:integer; function NWD(m,n:integer):integer; var r:integer; begin while m>0 do begin r:=n mod m; n:=m; m:=r end; NWD:=n end; begin read(m,n); writeln(NWD(m,n)) end. Funkcja Wywołanie funkcji w programie Przypisanie funkcji wartości

Algorytm Euklidesa, 5 – realizacja rekurencyjna

program Euklides_rekurencja; var m,n:integer; function NWD_rek(m,n:integer):integer; begin if m>n then NWD_rek:=NWD_rek(n,m) else if m = 0 then NWD_rek:=n

else NWD_rek:=NWD_rek(n mod m,m) end; begin read(m,n); writeln(NWD_rek(m,n)) End.

informatyka +

41

Funkcja rekurencyjna Wywołania rekurencyjne Reszta z dzielenia n przez m

Algorytm Euklidesa, 6 – zagadki

Przykład 1. Czy za pomocą naczyń 6 i 10 litrowych można napełnić

pojemnik 15 litrami wody – wodę można dolewać lub pobierać z pojemnika tylko całymi naczyniami.

Jeśli istnieje rozwiązanie, to istnieją takie x i y, że 6x + 10y = 15

Czy istnieją? Uzasadnij odpowiedź.

Rozwiązanie 1. W tym przypadku nie istnieje rozwiązanie. Istnieje, gdy prawa strona jest wielokrotnością NWD(6,10).

Przykład 2. W jednym pojemniku są klocki o wysokości p, a w drugim – o wysokości q. Czy zawsze można zbudować wieże z każdego rodzaju klocków, które mają tę samą wysokość? Jeśli jest to możliwe, to jaka jest najmniejsza wysokość takich wież?

Rozwiązanie 2. Zawsze możliwe. Najmniejsza wysokość NWW(p,q).

Pytanie 3. Jaki zachodzi związek między NWD(m,n) i NWW(m,n)? Mamy NWW(m,n) = (m*n)/NWD(m,n)

Techniki algorytmiczne

– przybliżone i dokładne – idee

• W wielu sytuacjach postępujemy intuicyjnie, podejmując

decyzje

, które wydają się nam

najlepsze

, chociaż nie

potrafimy tego uzasadnić –

podejście zachłanne

• Jednak czasem musimy przejrzeć wszystkie możliwości –

dobrze jest mieć pewność, że przeglądamy (pośrednio lub

bezpośrednio) wszystkie, ale bez powtórzeń – metoda

przeszukiwania z nawrotami

• Stara zasada – korzystać z tego, co już znamy –

strategia

dziel i zwyciężaj

• Komputery

staramy się używać wtedy, gdy bez niech nie

potrafimy sobie poradzić. A najlepiej, gdyby komputery

wykonywały za nas dużą część roboty.

Rekurencja – czyli jak

zwalić robotę na komputer

Techniki algorytmiczne

– przybliżone i dokładne

• Podejście zachłanne:

– wydawanie reszty

– zmartwienie napalonego kinomana – pakowanie najcenniejszego plecaka – najdłuższa droga w piramidzie

• Przeszukiwanie z nawrotami

– poszukiwanie wyjścia z labiryntu

– rozmieszczanie hetmanów na szachownicy

• Strategia dziel i zwyciężaj

– poszukiwanie elementów w zbiorze uporządkowanym

Metoda zachłanna: wydawanie reszty – problem

Problem Reszty.

Dane:

nominały, np. 1 gr, 2 gr, 5 gr, … K – kwota do wydania

Wynik:

Utworzyć K z najmniejszej liczby banknotów i monet

Dyskusja:

•jak wydają sprzedawcy?

•jaki mamy pomysł?

•czy potrafimy uzasadnić, że nasz pomysł da najlepsze

rozwiązanie?

Konkluzja – algorytm zachłanny:

Wydawaj sukcesywnie, zawsze możliwie największy nominał

banknotu lub monety

informatyka +

45

Dla sprzedawcy to także dobre kryterium – ma mniej okazji, by się pomylić

Metoda zachłanna: wydawanie reszty – w arkuszu

Rozwiązanie w arkuszu –

w arkuszu można również

wykonywać algorytmy

informatyka +

46

Ćwiczenie na warsztatach:

Metoda zachłanna: wydawanie reszty – program

Program Zachlanna_reszta_PL; var i,ile,kwota_int:integer; kwota :real; nominal:array[1..14] of integer =(20000,10000,5000,2000,1000,500,200,100,50,20,10,5,2,1); reszta :array[1..14] of integer;

begin

write('kwota'); read(kwota); kwota_int:=round(kwota*100); for i:=1 to 14 do begin

ile:=kwota_int div nominal[i]; reszta[i]:=ile;

kwota_int:=kwota_int-ile*nominal[i] end;

for i:=1 to 8 do

writeln(nominal[i] div 100,' zl.: ',reszta[i]); for i:=9 to 14 do

writeln(nominal[i],' gr.: ',reszta[i]) end.

informatyka +

47

Nominały w groszach

Zamiana kwoty na grosze Obliczanie wielkości kolejnych nominałów

Metoda zachłanna: wydawanie reszty – jak dobrze?

Pytanie:

jak dobry jest algorytm zachłanny?

Czy zawsze tworzy resztę z najmniejszej

liczby banknotów i monet?

Sytuacje:

•brakuje niektórych nominałów w kasie, np. 5 gr. i 10 gr.

•pojawia się nowa moneta, np. 21 gr.

Fakt:

Istniejące w świecie nominały, gdy tylko jest ich dostatecznie

dużo w kasie, gwarantują, że algorytm zachłanny daje zawsze

najmniejszą liczbę banknotów i monet

Metoda zachłanna: zmartwienie kinomana

Sytuacja:

Dane:

program filmów w Multikinie na dany dzień

Wynik:

Kinoman chce jednego dnia zobaczyć jak najwięcej filmów w

Multikinie

Strategia:

Wybieraj filmy, które kończą się możliwie jak najwcześniej

Uzasadnienie:

Pozostaje więcej czasu na następne filmy

Konkluzja:

Jest to

optymalny

algorytm.

informatyka +

49

Metoda zachłanna: pakowanie plecaka

Ogólny problem plecakowy

Dane:

n rzeczy (towarów, produktów itp.), w nieograniczonej ilości:

i-ta rzecz waży w

i

jednostek i ma wartość p

i

:

W – maksymalna pojemność plecaka.

Wynik:

ilości poszczególnych rzeczy (mogą być zerowe), których

całkowita waga nie przekracza W i których sumaryczna

wartość jest największa wśród wypełnień plecaka rzeczami o

wadze nie przekraczającej W.

Decyzyjny problem plecakowy – 0-1 (zero-jedynkowy)

Rzeczy są tylko w pojedynczych ilościach – decyzja: bierzemy

albo nie

Metoda zachłanna: pakowanie plecaka

Przykład:

wartość towaru:

waga towaru:

Zachłanne kryteria wyboru rzeczy do plecaka:

1. Najcenniejsze najpierw: 7 x nr 5 + 1 x nr 4 = 7x10 + 1x7 = 77

2. Najlżejsze najpierw:

23 x nr 6 = 23x2 = 46

3. Najcenniejsze w stosunku do swojej wagi najpierw, czyli w

kolejności nierosnących wartości ilorazu p

i

/ w

i

Kolejność: 7/2, 10/3, 4/2, 2/1, 5/3, 6/6

11 x nr 4 + 1 x nr 6 = 11x7 + 1x2 =

79 NAJLEPSZE

OPTYMALNE:

10 x nr 4 + 1 x nr 4 = 10x7 + 1x10 =

80

Żadne zachłanne nie jest optymalne – na ogół tak jest

informatyka +

51

Pojemność plecaka

Metoda zachłanna: najdłuższa droga z piramidy

Dane:

Piramida liczb:

Wynik:

Znaleźć najdłuższą drogę z korzenia

Algorytm zachłanny.

1. Zacznij w korzeniu

2. Wybieraj większą liczbę poniżej.

informatyka +

52

3 5 7 8 2 5 4 5 7 5 3 6 3 4 2 Droga z korzenia

Długość drogi zachłannej: niebieska: 3+7+5+7+4 = 26

Długość drogi najdłuższej:

Przeszukiwanie z nawrotami

Opis sytuacji:

• Duża przestrzeń możliwych rozwiązań.

• Nie znamy innej metody znalezienia rozwiązania niż

przeszukanie tej przestrzeni

• Decydujemy się przeszukać całą przestrzeń, ale

– chcemy to zrobić systematycznie

– każde rozwiązanie powinno się pojawić, bezpośrednio lub pośrednio, ale żadne nie więcej niż raz

• Może nas interesować znalezienie wszystkich rozwiązań

Przykłady:

• Wychodzenie z labiryntu – duża liczba możliwych dróg

• Ustawianie figur na szachownicy – duża liczba

możliwych układów

Przeszukiwanie z nawrotami:

wychodzenie z labiryntu

Opis sytuacji:

Labirynt:

pola = kwadraty, brak zamkniętych komnat

Cel:

znaleźć wyjście z dowolnego pola

Algorytm:

1. Wybieraj kierunki w kolejności:

G

(do góry),

L

(w lewo),

P

(w prawo),

D

(do dołu) – patrzymy zawsze przed siebie

2. Jeśli nie ma przejścia –

cofnij się

na pole, z którego

przyszedłeś.

informatyka +

54

Przeszukiwanie z nawrotami:

wychodzenie z labiryntu

Droga z pola 4a:

G-3a, G-2a, G-1a – do Góry już nie można iść, ale można iść w Prawo

P-1b – z tego pola nie ma już przejść G, L, P – cofamy się

B-1a – także nie ma innego przejścia – cofamy się B-2a – podobnie, cofamy się

B-3a – podobnie, cofamy się – z 3a można iść jeszcze w Prawo

P-3b – istnieje przejście w Lewo L-2b – istnieje przejście w Prawo P-2c – istnieje przejście w Lewo WYJŚCIE z labiryntu

Przeszukiwanie z nawrotami:

rozmieszczanie hetmanów na szachownicy

Opis sytuacji:

Szachownica:

n x n, hetman – atakuje po

wszystkich liniach

Cel:

ustawić jak największą liczbę nie

atakujących się hetmanów

Algorytm:

Poruszamy się kolumnami, od lewej do

prawej, a w kolumnach od góry.

1. Ustaw hetmana

w danej kolumnie na

nie atakowanym polu.

2. Jeśli nie można, to

cofnij się

do

poprzedniej kolumny i wybierz

następne pole

informatyka +

56

Przeszukiwanie z nawrotami:

rozmieszczanie hetmanów na szachownicy

informatyka +

57

a4 b2: brak pola w c d2 !!! c4 b1 nawrót a: a3 c3: brak pola w d nawrót do b: b1

Przeszukiwanie z nawrotami:

rozmieszczanie hetmanów na szachownicy

informatyka +

58

Drzewo poszukiwania ustawień: Ustawienie 4 hetmanów Oś symetrii drzewa Odbicie symetryczne rozwiązania

informatyka +

59

Zgadywana liczba:

17

w przedziale [1 : 20]

Metoda: połowienia przedziału

Kolejne kroki: strzałka wskazuje wybór;

kolor czerwony – ciąg do przeszukania:

5 po

rów

nań

zam

iast

20

!!!

Strategia dziel i zwyciężaj – przykład

Pokrewne zajęcia w Projekcie Informatyka +

Wykład+Warsztaty (Wszechnica Poranna):

• Wprowadzenie do algorytmiki i programowania – wyszukiwanie i porządkowanie informacji

• Proste rachunki wykonywane za pomocą komputera.

• Techniki algorytmiczne – przybliżone (heurystyczne) i dokładne.

Wykłady (Wszechnica Popołudniowa):

• Czy wszystko można policzyć na komputerze?

• Porządek wśród informacji kluczem do szybkiego wyszukiwania. • Dlaczego możemy się czuć bezpieczni w sieci, czyli o szyfrowaniu

informacji.

• Znajdowanie najkrótszych dróg, najniższych drzew, najlepszych małżeństw

Pokrewne zajęcia w Projekcie Informatyka +

Kursy (24 godz.) – Wszechnica na Kołach:

• Algorytmy poszukiwania i porządkowania. Elementy języka programowania

• Różnorodne algorytmy obliczeń i ich komputerowe realizacje • Grafy, algorytmy grafowe i ich komputerowe realizacje

Kursy (24 godz.) – Kuźnia Informatycznych Talentów – KIT dla Orłów:

• Przegląd podstawowych algorytmów • Struktury danych i ich wykorzystanie • Zaawansowane algorytmy

Tendencje – Wykłady

• Algorytmy w Internecie, K. Diks

• Czy P = NP, czyli jak wygrać milion dolarów w Sudoku, J. Grytczuk • Między przeszłością a przyszłość informatyki, M.M Sysło