Statystyczna interpretacja wyników oceny sensorycznej dokonanej na skali porządkowej - test Kramera

Pełen tekst

(1)Akademii Ekonomianel w Krakowie. Tadeusz Jędryka. Statystyczna interpretacja wyników oceny sensorycznej dokonanej na skali porządkowej - test Kramera 1. Wprowadzenie Ocena sensoryczna dokonywana na skali porządkowej jest najlepiej przystosowana do możliwości człowieka. szczególnie gdy osoba mająca brać udział w ocenie nic jest do niej w specjalny sposób przygotowywana. szkolona i tre nowana . Osobie tak iej o wiele łalwiej jest stw i e rdzić, czy porównywane obiek ty różnią s ię między sobą, niż dokonać oceny wielkości tej różnicy. Wydaje się wię c, iż jeśli nie w ocenach laboratoryjnych , to w ocenach konsumenckich. szczególnie w badaniu preferencji , skala porządkowa i oparta na niej metoda szeregowania (ranking) powin ny być narzędziem częst o stosowanym. Jeś li oceniamy tylko dwa obiekty (k = 2), wówczas dla dowolnie dużej liczby oceniających 11, interpretacja statystyczna opiera s i ę na rozkładzie dwu mia nowym i jego przybliżeniu rozk ł adem norma lnym [2}, gdy k> 2 i 1/ = 2 stosujemy współczynnik korelacj i rang Spearmana lub współczynnik korelacji rang Kendalla [2, 19]. Przyczyną niechęc i do stosowania metody szeregowania w przy padkach, gdy liczba obiektów kjest większa od 2, a liczba ocen i ających 1/ jest w i ększa lub równa 2 (k> 2. II 2: 2), są głów n ie, c h oć nie jedynie, trudności statystycznej interpretacji otrzy manych wyników. Analiza i interpretacja wyników pow inny dać odpowiedź na pytanie sform u łowane w jeden z następujących sposobów: - czy badane obiekty róż n ią s i ę między sobą, - które obiekty róż n ią s i ę między sobą, - czy obiek t szczególnie nas i n te res uj ący różni się od pozostałych ..

(2) rade/tSZ Wśród. wielu testów nieparametrycznych, które weryfikują odpowiednio do wyzej postawionych pytatl sform ułowane hipotezy merytoryczne, wyjątkowq popularność w środowisku technologów i ana lityk.ów żyw n ośc i oraz naukowców zajm ują cyc h się analizą sensorycz ną zyska ł tesl Kramera. W lalach 1956-1973 A. Kramer publikował kolejne poprawiane i rozszerzane wersje tablic statystycznych (3,6,13, 14, 15] , które wraz z objaśnie niami ich stosowania oraz przykładami interpretacji wyników podają podręczniki i normy analizy sensorycznej. Test Kramera można znaleść m.in. w normie DIN 10963 ]4, 5] oraz w podręcznikach M.A. Amerine i in. [1], M. O'Mahony'ego [18]. G. Jcllinek [II). Inni autorzy nie zalecają lub ograniczają stosowanie tablic do określonych przypadków. H. Stane i J.L. Sidel. powohtiąc się na informa cję bez posrednią E.B. Roessler'a, wyrażają wą tpliwość, czy podane w tablicach wartości SI! obliczone prawidłowo i czy w zw i ąz ku z tym odpowiadają danemu poziomowi istotnośc i ]20j. D.G. Land i R. Shepherd zwracają uwagę, iż problem stosowania testu Kramera polega wlaściwie nie na tym. i ż poszczególne wersje tablic różnią się międ zy sobą, ale znacznie poważniej szy jest brak pewnośc i , czy służ,! one do ustalenia różnicy między badanymi obiektami. czy też do stwi erdzenia róż ni cy między jednym z obiektów a pozostalymi obiektami; wobec tego zalecają stosowanie podanego przez normę ISO 8587 testu Friedmuna l8 , 161 . M. Meilgaard i.in. uważają, iż test Kramera prowadzi do nieprawidlowej oceny obiek tów, które ot rzyma ly rangi h}czone; dlatego p referują test Friedmana [1 71. Norma fSO 8587 nie zaleca testu Kramera , ponieważ daje on lepsze rezultaty od testu Friedrnana tylko w przypadkach oceny bardzo malej liczby próbek [IQ]. Próby wykazania błędów popełnionych przez A. Kram era podjął D.N. Joa nes: rozpatrując dwa testy Kramera. z których pierwszy służy do ok reśle ni a, czy jeden z obiektów jest różny od pozosta ł ych, zaś drugi - czy istnieje jakakolwiek r óżnica pomiędzy k obiektami, dochodzi do wniosku, że w obu testach został popełniony ten sam błąd, polegający na traktowaniu g rupow ych sum rang nadanych poszczególnym obiektom jako wzajemnie nieza l eżnych [12]. Niestety sam Joannes popełnił w obliczeniach pewien nieforlunny błąd, co może wzbudzać wątpliwości co do poprawności jego rozumowania. Na l eży wy k azać, iż racje są po stronie Joatmesa (i to mimo błędu) , że metoda Kramera jest opa rta na fałszywym za l ożeniu i w związku z tym nie może być stosowana (a jest stosowana! ) w interpretacji wyn ików ocen sensorycznych dokonanych na skali porz'ldkowej.. 2 . Zdarzenie elementarne w metodzie Kramera Dla danych k obiektów Ofaz 11 oce niających tablice Kramera podają dw ie pary liczb: górna s lu ży do okre ś l e nia, czy istnieje jakakolwiek różnica pomiędzy k obiektami. dolna - czy jeden z obiektów różni się istotn ie od k - I pozostałych..

(3) ". Sposób o bli cze ń wartości podanych w tablicach zilustrowany zostanie najpierw najprostszym przypadkiem, gdy k = 3 i 11 = 2; mamy wówczas na s t ęp ują ce uk łady permutacji:. UP. s. UP. s. UP. s. UP. s. UP. s. UP. s. I I 2 2 3 3. 2. I I 2 3 3 2. 2. I 2 2 I 3 3. 3 3 6. I 2 2 3 3 I. 3. I 3 2 I 3 2. 4. I 3 2 2 3 I. 4 4 4. 4. 6. 5 5. 5 4. 3 5. gdzi e: UP - układ permutacji, s - suma grupowa rang. Nie musimy badać wszystkich (3!)2 układów permutacji , p ozos ta łe są bowiem pennutacja mi ka żdego wyżej wymienionego: np. dla pierwszego układu mamy 6 jego permutacj i:. UP. s. UP. s. UP. s. UP. s. UP. s. UP. s. I I 2 2 3 3. 2. I I 3 3 2 2. 2 6. 2 2 I I 3 3. 4. 6 2. 3 3 I I 2 2. 6 2. 3 3 2 2 I I. 6. 2 6. 2 2 3 3 I I. 4. 4. 6. 4. 4. 4. 2. dl atego wystarczy zbadanie (3!)] uk ładów zam iast (3!)2, a ogólnie zam iast (k!)/ , rozpatrujemy (k1)~ - I, J eś li w badany m przypadku (k = 3, fi ::; 2) jakie mukol wiek obiektow i. nadano rangi " l , I", to jego suma grupowa równa jest 2. pozostale obiek ty mogą ot r zymać tylko ran gę 2 lub 3, a ich sumy grupowe mogą być równe albo 4 i 6, albo 5 i 5. Suma grupowa jednego z obiektów określa su my grupowe pozosta ł ych . Inaczej mów i ąc, sumy g rupowe s ą zw iąza n e z danym układ e m permutacji i s ą od niego za l eż ne, żadnej z sum g rupowych nie moż na rozpatrywać w oderwaniu od tworzącego ją układu permutacji. A. Kramer badając częstość występowania danej sumy rang po s tępuje tak ,jak gdyby nie by ł y one zwi ą za n e z ok reś l o n y m uk ładem permutacji:. suma grupowa s częstość. 2 2 0,111. P(s) widzimy, że. według. 3 4 0 ,222. Kramera P(s =2). 4. 5. 6. 6. 4 0 ,222. 2 0 ,111. 0,333. su ma 18 1,000. =0,1[I ; suma ta wystę puj e tylko w dwóch. u kładach:. zate m P(s. UP. s. UP. s. I I 2 2 3 3. 2 4. I I 2 3 3 2. 5 5. 6. 2. = 2) = 2/6 = 0,333. Otrzyma li śmy dla tego samego zdarzen ia róż n e. wartośc i prawdopodobień stwa. pojawieni a s ię sumy grupowej 2. War t ości te.

(4) Tadeusz. Tabela J. Rozklad grupowych sum rang dla 4 obiektów i 6 oce niających Suma grupowa s Częstość'. P(S _ s)". 6. 7. 8. l'. 6'. 21 '. 0,0002 0,00[5 O,OO5[. 9. lO. II. 12. lJ. 44'. 72'. 96'. 132". 156'. l4. 174'. 0,0107 0,0176 0,0234 0,0322 O,038[. 0,0425 0,[7[4. 0,0002 0,0017 0,0068 0,0176 0,0352 0,0586 0,0908 O ,[2lł9 l 336 546 6 21 56 120 216 456 P(S _ S)b 0,0002 0,00[5 O,005[ 0,0[37 0,0293 0,0527 0,0820 0,[ 113 0,[333 PCSS.\)b 0,0002 0,00!7 0,0068 0,0205 0,0498 O,!025 0,[846 0,2959 0,4292 , • WartO~CI podane prlez D,N. Joanesa oraz obIIczema dokonane na podstav.le " tych wartoScl bObliczenia własne . P(S S s)". Cz~stośćb. '. 1:ródło: opracowanie włas ne,. wykluczają się. nawzajem, a o tym, którą uznamy za prawdziwą, a którą za zadecyduje przyjęcie. iz zdarzen iem elementarnym jest: - suma grupowa rang - jest to równoznaczne z przyjęciem koncepcji Kramera; - uk ł ad permutacji - jest to równoznaczne z odrzuceniem koncepcji Kramera. A. Krame r korzysta! z kla sycznej definicji prawdopodobiellstwa. Zatem prawdopodobiellstwo zdarzen ia losowego P(S =: s) jest równe ilorazowi liczby zdarzerl elementarnych 111 s przyjających zajściu zdarzenia S =s i ogólnej liczby zdarze ń elementarnych k(k!)n - I, jednakowo prawdopodobnych i wzajemnie s ię wykluczających. W przypadku k = 3 i /I = 2 dwa zdarzenia elementarne s prtyjają zdarzen iu "suma grupowa rang jest równa 2", czyli m =2 i s t ąd: fałszywą,. 2. 2. 3(3')'. 18. P(S = 2) = - - = L iczbę zdarzeń. = 0,111.. elemen larnyc h d la teslu Krall1era rnozna. p r zeds lawi ć tak że. jako: k(k!)" - ' = k 1k (k - 1J!I" -, = kIk" - 'I (k - l)'. l" - 'I = k" 1(k - 1)!I" - ',. gdz ie: kil - liczba ci'jgów d l ugości II o wyrazach ze zbioru k; [Ck - I)W - 1 - wie lok rot n ość częstości wys l ępowan ia ok rcślo n ego ciągu t wo r zącego su m ę grupową, Wi elkość [Ck - I)W - 1 możemy w obliczen iach pominąć, bow iem jesl taka sama d la wszyslkich ciągów, np, dla k =: 3 i /I =2: kil lek - I)]n - l =: 18. (k - 1)" - 1 = 2 oraz kil =9: suma grupowa s częstość częstość. P(s). 2 2 I 0.111. 3 4. 2 0,222. 4 6 3 0,333. 5. 6. 4 2 0,222. 2 l 0.11 l. suma 18 9 1.000.

(5) 15. 17. 16. ". 19. ll6. 216. 20. 22. 21. 24. 2l. Suma. 4096" 132" 96' 21' 6' l' 72' 4" 0,0479 0,0425 0,0381 0.0322 0,0234 0,0176 0.0107 0,0051 0,0015 0,0002 0.3906 0.2192 0,2617 0.2998 0 .3320 0.3555 0,3730 0.3838 0.3889 0.3904 0.3906 1%'. 174'. 156'. 580 0.1416. 546. 456. 120. 21. 56. l. 6. 0.1333 0.1113 0 ,0820 0,0527 0,0293 0.0137 0,0051 0,0015 0,0002 0.5708 0.7041 0.8154 0.8975 0,9502 0,9795 0.9932 0,9983 O,~)98 1,0000. 4096 1,000. J eś li \II t eście Kramera k" jest li czbą zdarzell elementarnych, zatem zdarzenie m eleme marnym ni e jest suma g rupowa rang tylko c i ąg, kt órego wyrazy [wo rał. okreslonq. s umę.. Obliczenia A. Kramem zoslaną sprawdzone dla k = 4 i II = 6. Należy lo u czy ni ć tak że dlatego, i ż obliczenia D.N. Joancsa dla tego przy padku budzą pewne wątpliwości. Je ś li lXI = 1/ oznacza li cz ność zbioru X. a ! YI = k li cz ność zbioru Y. lO liczba funkcjif: X -jo Y jest równa ktl i są to ciągi długości 1/ o wyrazach ze zbioru Y. Dla czterech obiektów i sześc iu oceniaj'lcych liczba ciilgów tworz ą cyc h sumy g rupowe rang wynosi 4 6 =4096. S umę grupowq 6 tworzy c ią g: l, l, l. l, 1, l. Sumę grupowq 24 tworzy c ią g: 4.4,4.4.4.4. Sumę 7 - c iqg: l, 1. l. I. 1, 2. Sum ę 23 - ciąg: 4. 4. 4, 4. 4. 3. Sumę 8 - ciągi: L l. L l. 2, 2; l. I, l, I, l, 3. Sumę 22 - ciąg i: 4,4,4.4,3.3: 4, 4, 4, 4, 4.2.Sumę9 - c iq g i : l, 1,1,2,2,2; 1. 1.1 , 1. 2,3; l, l , 1. 1, 1.4 . Sum ę2 1 -ciąg i : 4,4,4,3,3,3: 4, 4, 4, 4, 3, 2: 4,4,4,4,4, l. Sumę 10 - ciągi: l, l , I, 1,2,4; I, l, 1.1. 3,3: 1.1 , 1. 2,2,3: I, 1, 2.2,2.2. Sum ę20-ciąg i :4,4,4.4 , 3, 1;4.4,4.4, 2.2; 4, 4, 4,3.3.2; 4, 4. 3. 3. 3, 3 itd. PrawdopodobiensIwo zdarzenia losowego P(S = .1") W roz kład z i e wielomianowym m ożna obliczyć k o rzystając ze wzoru podanego prLez W. Fcllera l7J:. = = = = = = =. = = = = = = = =. =. =. P(S 6) P(S 24) (6!/6! ) (0, 25)' 1(0,25)' 0,00024 ; P(S 7) = P(S 23) (6!15! l') (0,25)' 6(0,25)' 0,00146; I'(S 8) P(S 22) (6!/4! 2! + 6'15' l ') (0,25)' 21(0,25)' 0,00512; P(S 9) P(S 21) (6 !/3 ! 3! + 6!14' l! l! + 6! /5! l !) (0,25)' 56(0,25)' = = 0,01367; P(S = 10) P(S=20) (6!/4! l! 1!+6!/4!2!+6'/4'2'+6!/3!2! l !) (0,25)'= 120(0,25)' 0,0293 ild ,. =. =. =. = =. =. =. =. Obliczenia prawdopodobieilstw wy s t ępowa n ia pozostałyc h sum ra ng pod,tic tabela l . Pierwsze cz łony powy ższyc h iloczynów są c zę st ośc ia m i wy s t ę powania da nej sumy rang w te śc i e Kramera. Od s =6 do s = 8 oraz od s = 22 do s = 24.

(6) Tadellsz. obliczen ia Joanesa są praw i dłowe, od s = 9 do s = 21 są błędne. Opi erają c s i ę na wy nikach "b" za mieszczonych w labeli I, obliczmy gó rną j dolną parę liczb poda nych w tablicach Kramem dla k =4 i II =6: oblicze nia dla górnej pary: 1'(7 < S < 23) = I - 14/4096 = I - 0 ,00342 = 0,99658;. P(8 < S <22) = I - 56/4096 = I - 0,01 367 = 0,98633; P(9<S<2 1)= 1- 168/4096= 1 - 0.04102=0.95898; P( IO < S < 20) = I - 408/4096 = I - 0,09961 = 0.90039; obl iczenia dla dolnej pary: I'(S> 8) = I'(S < 22)= 1- 28/4096= 1- 0 ,00684 =0.99316; P(S> 9) = P(S < 21) = I - 84/4096 = I - 0,02051 = 0,97949; P(S> 10) = P(S < 20) = I - 204/4096 = I - 0,0498 = 0,9502; 1'(5) II )= P(S< 19)= 1 - 420/4096= 1- 0,10254= 0.89746. Dla pr zy bli żo n yc h wa n ości a =0,05 i a =0,01 liczby te wynoszą odpowiednio: wed ług danych z tabeli l wcdlug tablic Kramera a = 0,05 a = 0,015 a = 0,05 a = 0,01 9 - 21 8 - 22 9 - 21 8 - 22 11 - 19. 9 - 21. 11 - 19. 9 - 21. 3 . Podsumowanie Obliczone wartości górnej i dolnej pary liczb są zgod ne z wartościami podanymi przez A. Kramem. Trudno na tej podstawie orzec, czy wszystk ie pary liczb podane w tablicach są obliczone prawi d łowo, nie ma lo zresztą żad nego znaczenia . przynajmniej dla interpretacji statystycznej wyników oceny met od ą szeregowania. Tablice Kramera z awi e rają prawdopodobi e ń s t wa wyrzucenia ok re ś l o n ej sumy oczek w grze kostkowej /I kostkami. każda o k śc i a nka c h . Stąd właśn i e przest rzell zda r ze ń elementarnych w metodzie Kramera równa jest k". Poni eważ żadna z metod sensorycznych nie jest oparta na tej zasadzie, metoda Kra mem jest zupełnie nieprzydatna dla interpretacji jakichkolwiek wyni ków ocen sensorycznych. Jest to konsekwencja pr zyję t ego przez A. Kramera za loże nia, i ż sumy grupowe rang nie zal eż ą od two rzącego je układu permutacji. J eś li k obiektów jest szeregowanych prlez 11 ocen i ających, wówczas zdarzeniem element arnym jest układ permutacji , s tąd prze s trze ń zdarzeó elementa rnych równa s i ę (k!)n - I, metody nieparametryczne oparte na tym za ł ożeni u podają M. Hollander i D.A . Wolre [9]. Norma ISO 8587 rlOl nie za leca stosowania powszechnie u żywan ej metody Kramera. Mimo 17 lat pracy i trudnego do wyobrażenia w ys iłku włożo nego w poprawianie i rozszerzanie tablic statystycznych, test Kramera nie m oże być podawany w nowych wydaniach podrę cz ników.

(7) i norm analizy sensorycznej , nie ma on bowiem związku w szczególno śc i z m etodą szeregowania.. zja kąkolwiek metodą. sen sorycz ną ,. Literatura I I ] Amerine M.A., Pangborn R.M .. Rocsslcr E.B .. Prillciples ofSel/Sory El'llll/ll1iOIl of Fom/. Acadcmic Prcss, New York 1965. 121 Bar y łko-Pikielna N .. Zarys analizY sensorycznej ży wI/Ości. WNT. Warszaw<t. 1975. [31 Bradley R.A .. Kramer A., Addenda 10 a Quick Rallk Tes/ for SigllifiCllllce of Dlffe rel/ces ill Mu//iple Comparisolls. "Food Technology" 1965, nr 7. /4) DIN 10 963. Sensorische Prufverfahrcn. Rangordnungsprurung. Novcmbcr 1982. 151 DIN - Ka w/og fiir lecJmische Regelen, Beul h Vcrl3g. Berlin- Koln 1993. l6 J EX{J(lIuled Tab/es for Delermining Sigllificallce of Differellces fo r Ranked DO/(l, G. Kah<tn . D. Cooper, A. Papavasiliou, A. Kramer. ., Food Technology" 1973, nr 5. [7] Feller W.. An Im roduCliol/ 10 Probllbili/y T/wory lIIUJ i/s AplJlicaliolls. John Wi ley. New York 1961. [81 Fricd man M. , The Use of RaI/b" /O Al'oid tlle ASSIIIllP/ioll ofNorll/ali/y IlI/ pJici/ ill /he Allalysis of Vorian ce, .,Jo urnal of the American Statistical Associalion" 1937. nr 32. [9] Hollander M., WoHc D.A .. NO llparall/e/ic S/aris/ical Me//IOt/s. John Wil cy, Ncw York 1973.. [ID] ISO 8587. Sensory Ana lysis - MClhodology - Ran king. [III Jclli nck G .. Semory Emll/Glion of Food. TIIemy and Pracrice. Ellis Horwood . C hicheslcr 1985. ]12] Joancs D.N .. O" a Rank Sum Tes/ D/le /0 Kmm er. "Jou rnal ofFood Science" 1985.. nr 50. [131 Kramer A .. A Quick Rank Tes/ fo r Signijicollce of Differellces ill Ml d/iple Com{wrisol1S, " Food Technology" 1956, nr 8. r141 Kramcr A .. A Rapid Me/hod for Derermining Significal/ce ol Diflerellce.\· fro m Rallk Sums, " Food Technology" 1960. nr 11 . 115] Kramer A .. Rel'ised Tab/es fo r De/ermil/ing Sigmficallce of Differellces, ,. Food Tcchnology" 1963. nr 12. L16] Land D.G .. Shcphcrd R .. Scaling {lI/d RaI/kil/g Me/hall:.' [w:] l R. Piggoll. Sensory AlIlIly!>·i.\· of Foods. El sevier. London 1988. [17] Mei lgaard M" Civillc G.V" Carr B.T.. Sensory EI'O/muiml Techniqlles. C RC Press, Boca Rato n 1987. [181 O' Mahony M ., Senso ry Em/l/a/ioll o[ Food . Sla/i.f/iwl Me/ho(l!>' and Procedllres, Marcel Dek ke r, New York 1986. [191 Steczkowsk i J, ZeI iaś A., SIlI/ys/yczne me/ody allalizy cech jakoJciow)'ch , PWN. Warszaw:. 198 1. [201 Slone H .. Sidel J.L, Senso ry El'alllarioll Pmclices, AC:ldemic Prcss. London 1985..

(8) Tadell~'l Jędrykll. Statistieal Interpretation of the Results of a Sensory Analysis Made on an Orderin9 Seale - Kramer's Test From among lots of nonparamctric tem, Kramer's test has gained cspecia lly grcat popu larily with food technologislS and analysts. and scientislS dealing with sensory analyscs. Thc lask 10 show the mislakes made by Kramer was ta ken on by Joanncs, who dellloJlslraled Ihal Kramer's mislake was 10 Ireal group su ms ofranks give n to individual objecIs as mUlual!y independent. However, Joannes hi mself made an unforlunale mislake in his calculal ions, which can raise doubts aboul Ihe correclness of his reasoning. In Ihe papcr il has been shown Ihal Joannes is righl (in spite of Ihe mislake), Ihal Kramer's melhod is based on a falsc assumplion and, in Ih is conneclion, il cannot be used (whi1c il is used) for Ihe inlerprelation of Ihc resulls of sensory analyses made on an ordering scale..

(9)