dr inĪ. Jerzy Graffstein Instytut Lotnictwa
ZMIANY PRZEBIEGU LOTU SPOWODOWANE BàĉDAMI POMIARU
POàOĩENIA KĄTOWEGO SAMOLOTU PODCZAS WYKONYWANIA
AUTOMATYCZNIE STEROWANEGO MANEWRU
W pracy przedstawiono ideĊ dziaáania automatycznego sterowania lotem wzdáuĪ trajektorii wyznaczonej przez automatycznie wygenerowany manewr obiektu. PodjĊto badania zmian ruchu samolotu po wpáywem báĊdów pomiaru kątów orientacji obiektu. Przeprowadzono analizĊ báĊdów liniowego poáoĪenia samolotu i jego kąta odchylenia dla róĪnych wartoĞci báĊdów pomiarowych i jednoczeĞnie wystĊpujących cyklicznych podmuchach wiatru. BáĊdy poáoĪenia samolotu w prze-strzeni zaleĪaáy od poziomu niedokáadnoĞci pomiarów, zakáóceĔ zewnĊtrznych oraz od fazy realizowanego manewru.
FLIGHT TRAJECTORY VARIATIONS CAUSED BY THE ATTITUDE MEASUREMENT ERRORS IN A MANOEUVRE CONTROLLED
AUTOMATICALLY
In the article the idea of automatic flight control is presented for the case of flight trajectory computed as automatically generated manoeuvre. Variations of air-craft’s motion caused by measuring error of attitude are investigated. The analy-ses of aircraft’s position error and yaw angle error have been completed for several values of measuring errors and wind blasts occurring simultaneously. Aircraft’s position error depends on level of inaccuracy of measurements, exter-nal disturbances and phase of performed manoeuvre.
1. WSTĉP
W rozwaĪaniach dotyczących badania jakoĞci funkcjonowania automatycznego ukáadu stero-wania ruchem samolotu brane są pod uwagĊ róĪne kryteria w zaleĪnoĞci od zadaĔ jakie są stawiane przed wybranym obiektem. Jednym z istotnych czynników jaki powinien byü uwzglĊdniany we wspomnianej ocenie jest wraĪliwoĞü sterowanego lotu samolotu na zakáó-cenia zewnĊtrzne i báĊdy pomiarów wybranych zmiennych opisujących ruch obiektu. Znacze-nie mają tylko pomiary tych zmiennych, które uwzglĊdnione są w przyjĊtych prawach sterowania. W pracy skupiono siĊ na badaniu dokáadnoĞciach toru lotu samolotu i kąta odchy-lenia, na które oddziaáywają dwa odmienne rodzaje zakáóceĔ. Weryfikacją przeprowadzonych rozwaĪaĔ byáy wyniki obliczeĔ symulacji numerycznej ruchu samolotu wzdáuĪ arbitralnie przyjĊtej trajektorii dla wybranego przykáadu záoĪonego manewru. Porównano przebieg ruchu w sytuacji wystĊpowania róĪnych báĊdów pomiaru kątów poáoĪenia samolotu oraz oddziaáy-wania cyklicznych podmuchów wiatru.
2. IDEA AUTOMATYCZNIE WYKONYWANEGO MANEWRU
Sposób dziaáania zaproponowanej w pracy idei automatycznego sterowania ruchem samolotu wykonującego zadany, záoĪony manewr przedstawiono na rys 1. Ukáady wykonawcze zapew-niają wymagane poáoĪenie kątowe powierzchni sterowych samolotu (ster wysokoĞci, kierun-ku i lotki), oraz regulacjĊ ukáadu napĊdowego. PowyĪszymi ukáadami steruje wektor u C
praw sterowania. Wektor u ma za zadanie przeciwdziaáanie wpáywom zakáóceĔ, które mogą S
powodowaü miĊdzy innymi ruch obiektu niezgodny z przyjĊtymi zaáoĪeniami. Uchyb ' x
stanowi róĪnicĊ pomiĊdzy aktualnie zmierzonymi zmiennymi stanu samolotu xP a
warto-Ğciami zadanymi x pobranymi z bazy manewrówG
.
Dodatkowo do wyznaczania uchybu wy-korzystywany jest báąd przestrzennej trajektorii d wyliczany na podstawie wspóárzĊdnych aktualnie zmierzonego poáoĪenia samolotu>
x1P, y1P, z1P@
oraz referencyjnych poáoĪeĔ>
x1G, y1G, z1G@
odczytanych z bazy manewrów. WartoĞü báĊdu d jest poddawanaogranicze-niom w bloku z nasyceniem i strefą nieczuáoĞci oraz róĪniczkowany w bloku z operatorem s (rys. 1). Uzyskane metodą symulacyjną [8] wartoĞci wektora sterowaĔ u i zmiennych stanu G
G
x zapisane są przed lotem z przyjĊtym krokiem czasowym do bazy manewrów. 3. SPOSÓB AUTOMATYCZNEGO STEROWANIA
Matematyczny model dynamiki samolotu sterowanego wzdáuĪ zadanej trajektorii, w ukáadzie osi związanych z samolotem, opisuje nieliniowe równanie macierzowe [4], [6] i [10]):
) ( ~ ~ ~ ~ 2 1 1 1 1 P z wz x x K Q M x K Q M x , (1)
gdzie Q1 - macierz zewnĊtrznych siá i momentów siá grawitacji, aerodynamiki i ukáadu napĊ-dowego, M~ – macierz bezwáadnoĞci, Q – macierz pochodnych aerodynamicznych sterów, ~2
1 ~
K – macierz prĊdkoĞci i transformacji, x - wektor zmiennych stanu (poáoĪenia liniowe i
ką-towe oraz ich prĊdkoĞci) x - pierwsza pochodna wektora zmiennych stanu, xz - wektor za-danych zmiennych stanu, xP - wektor mierzonych zmiennych stanu. Automatyczne sterowanie ruchem wzdáuĪ zadanej trajektorii odbywa siĊ w czterech kanaáach wedáug przed-stawionych praw sterowania zawartych w równaniu (1). RóĪnią siĊ formą w porównaniu z typowymi stosowanymi do stabilizacji ruchu samolotu [3], [5] i [7]. RóĪnica polega miĊdzy
UKàADY WYKONAWCZE
UKàADY
WYKONAWCZE SAMOLOTSAMOLOT
PRAWA STEROWANIA PRAWA STEROWANIA uS x ' x ZAKàÓCENIA ZEWNĉTRZNE ZAKàÓCENIA ZEWNĉTRZNE URZĄDZENIA POMIAROWE URZĄDZENIA POMIAROWE xG GC xP uC BAZA MANEWRÓW BAZA MANEWRÓW uG BLĄD TRAJEKTORII BLĄD TRAJEKTORII s s xP x1P, y1P, z1P x1G, y1G, z1G d BàĄD POMIARU BàĄD POMIARU 'xP uW, vW, wW
innymi na sposobie okreĞlania wartoĞci zadanych (patrz poniĪej kąty przechylenia i odchy- lenia). » » » » ¼ º « « « « ¬ ª 12 , 4 11 , 4 42 41 12 , 3 11 , 3 32 31 12 , 2 11 , 2 22 21 12 , 1 11 , 1 12 11 ... ... ... ... k k k k k k k k k k k k k k k k wz K (2)
Obliczenia wspóáczynników wzmocnienia praw sterowania Kwz przeprowadzano metodą
LQR [1], [6] w oparciu o caákowy wskaĨnik jakoĞci sterowania [4], [10]. CzĊĞü elementów macierzy Kwz otrzymana tą metodą posiadaáa wartoĞci bliskie zero i jako nieistotne dla
proce-su sterowania zostaáa uproce-suniĊta z praw sterowania. WartoĞciami zadanymi są przede wszyst-kim elementy wektora zmiennych stanu z indeksami G, które zgromadzono w bazie
manewrów. Zgodnie z przedstawionym opisem idei automatycznie wykonywanego manewru (rys. 1) prawdziwe jest xz xG za wyjątkiem wartoĞci zadanej kąta przechylenia:
H H
G
Z ) k ) d k )d
) 1 2 oraz kąta odchylenia ȌZ ȌG k1< dH k2<dH. Dodatkowe wyraĪenia k1) dH k2)dH ')Z i k1< dH k2<dH 'ȌZ, w podanych powyĪej zaleĪno-Ğciach posiadają niezerową wartoĞü gdy speániony jest warunek dH !HH, w którym HH jest zaáoĪonym otoczeniem wokóá trajektorii. WielkoĞü HH, odpowiadająca strefie nieczuáoĞci, wprowadzana jest w celu zapobiegania zbyt czĊstemu przeáączaniu ukáadów wykonawczych.
4. WYBÓR TRAJEKTORII I SPOSÓB WYLICZANIA JEJ BàĉDU
Báąd realizacji trajektorii w páaszczyĨnie poziomej okreĞlany jest zgodnie ze wzorem (3) w odniesieniu do najbliĪszego punku trajektorii:
0 500 1000 1500 2000 2500 3000 3500 4000 4500 0 500 1000 1500 2000 2500 3000 3500 0 500 1000 1500 2000 2500 x [m] y [m] H [ m ]
2 1 1 2 1 1 ) ( ) ( G P G P H x x y y d . (3)
Pierwsza pochodna báĊdu trajektorii po czasie wyliczana jest z definicji wedáug wzoru:
H(i 1) H(i)
/ (i 1) (i)
H d d t t
d (4)
Do dalszych rozwaĪaĔ wybrano manewr, w którym na początku ruch samolotu byá ustalony, poziomy z prĊdkoĞcią V0=50 m/s na wysokoĞci H=200 m. NastĊpnie po przebyciu drogi
oko-áo s=2500 m samolot zmieniaá swoją wysokoĞü ze staáą prĊdkoĞcią wznoszenia i jednoczeĞnie wykonywaá zakrĊt z malejącym promieniem zakrĊtu aĪ do momentu osiągniĊci zmiany kąta odchylenia o wartoĞü <=9000. Po osiągniĊciu tej wielkoĞci i na wysokoĞci ok. H=2000 m samolot wykonywaá lot poziomy ustalony. Zmienne sterujące niezbĊdne do wykonania opisa-nego manewru oraz wartoĞci zadane uzyskano metodami opisanymi w pracy [8]. Są one prawdziwe dla ĞciĞle okreĞlonych warunków początkowych oraz przyjĊtego powyĪej staáego wektora prĊdkoĞci liniowej wzglĊdem Ziemi i Īądanego przebiegu wysokoĞci.
5. BADANIA WPàYWU BàĉDÓW POMIARU NA DOKàADNOĝû TORU LOTU
W wyniku szeregu numerycznych symulacji automatycznie sterowanego ruchu samolotu wy-konującego opisany, záoĪony manewr uzyskano przebiegi zmian poáoĪenia samolotu w páasz-czyĨnie poziomej i pionowej oraz kąt odchylenia dla róĪnych wartoĞci báĊdu pomiaru kątów
orientacji samolotu w trakcie wystĊpowania cyklicznych zakáóceĔ podmuchów wiatru. Na wykresach (rys. 3) pokazano zmiany maksymalnego odchylenia od trasy dmax i jego Ğredniej
wartoĞci dsr w funkcji wielkoĞci báĊdu pomiaru kątów poáoĪenia samolotu. Maksymalne
od-chylenie nie przekraczające 100 m od zadanego poáoĪenia w páaszczyĨnie horyzontalnej wy-stąpiáo dla najwiĊkszego badanego báĊdu z jakim wykonywany byá symulowany pomiar kąta odchylenia ('<P=50). Ta sama wartoĞü báĊdu ale dotycząca pomiaru trzech kątów
(')P = '4P ='<P =50) byáa powodem powstania maksymalnego odchylenia ruchu samolotu
od zadanej trasy o 277 m a przy oddziaáywaniu zewnĊtrznych zakáóceĔ osiągaáa wartoĞü 500 m. Na tak znaczne odchylenie od zadanej trasy dominujący wpáyw mają báĊdy pomiaru
0 1 2 3 4 5 ' [0] 0 100 200 300 400 500 600 dma x [m] '< [0](V W=0 [m/s]) '< [0] (V W=6 [m/s]) ')'4'< [0] (V W=0 [m/s]) ')'4'< [0] (V W=6 [m/s]) 0 1 2 3 4 5 ' [0] 0 20 40 60 80 100 dsr [m] '< [0](V W=0 [m/s]) '< [0] (V W=6 [m/s]) ')'4'< [0] (V W=0 [m/s]) ')'4'< [0] (V W=6 [m/s])
Rys.3. Maksymalne wartoĞci dmax i Ğrednie wartoĞci dsr odchylenia od zadanej trasy w funkcji
kąta przechylenia i odchylenia – pomiar trzeciego z kątów czyli pochylenia nie ma istotnego wpáywu. Charakterystycznym zjawiskiem w rozwaĪanym przypadku jest nie jednoznaczny wpáyw podmuchów wiatru (rys. 3).
Charakterystyczną cechą przebiegu odchylenia od trasy w czasie (rys. 4 i 5) jest tendencja narastania wartoĞci d w początkowej fazie lotu (w przybliĪeniu w przedziale t 0s;150s ) i dąĪenie do wartoĞci ustalonej w koĔcowej czĊĞci prostoliniowego, poziomego odcinka lotu. WartoĞü ustalona odchylenia d zwiĊksza siĊ ze wzrostem poziomu niedokáadnoĞci pomiaru
0 100 200 300 400 500 t [s] 0 20 40 60 80 100 d [m] 0 100 200 300 400 500 t [s] 0 20 40 60 80 100 d [m]
Rys. 4. Przebieg odchylenia o zadanej trasy w czasie wykonywania manewru dla báĊdu pomia-ru kąta odchylenia '<P bez podmuchów oraz przy cyklicznych podmuchach wiatru
o maksymalnej amplitudzie 6 m/s 0 100 200 300 400 500 t [s] 0 100 200 300 d [m ] 0 100 200 300 400 500 t [s] 0 200 400 600 d [m]
Rys. 5. Przebieg odchylenia o zadanej trasy w czasie wykonywania manewru dla báĊdu pomia-ru kąta przechylenia, pochylenia i odchylenia ')P '4 P '< P bez podmuchów oraz
i zewnĊtrznego zakáócenia. Maksimum wartoĞci d wystĊpuje w trakcie manewru zakrĊtu ze wznoszeniem w przedzialet 200s;350s . Analiza uzyskanych wyników nie pozwoliáa na
podanie jednoznacznych przyczyn, które powodują wystąpienie maksimum wartoĞci d w do-káadnie okreĞlonym momencie manewru.
Ksztaát trajektorii w páaszczyĨnie poziomej w trakcie realizacji przyjĊtego manewru pokazano na rys.6. Dotyczy on dwóch przykáadów uwzglĊdniających báĊdy pomiarów poáoĪenia kąto-wego samolotu, których wartoĞci wybrano z okolicy górnej granicy badanego przedziaáu.
0 1000 2000 3000 4000 5000 x [m] 0 1000 2000 3000 4000 5000 y [m ] xz,yz [m] x1,y1 [m] 0 1000 2000 3000 4000 5000 x [m] 0 1000 2000 3000 4000 5000 y [m ] xz,yz [m] x1,y1 [m]
Rys. 6. Trasa lotu w czasie wykonywania manewru dla báĊdu pomiaru kąta odchylenia '<P
przy cyklicznych podmuchach wiatru o maksymalnej amplitudzie 6 m/s oraz dla báĊdów przechy-lenia, pochylenia i odchylenia ')P '4 P '<P bez podmuchów
0 1 2 3 4 5 ')'4'< [0] 0 10 20 30 40 ' Hmax [m] ')'4'< [0] (V W=0 [m/s]) ')'4'< [0] (V W=6 [m/s]) 0 1 2 3 4 5 ')'4'< [0] 0 2 4 6 8 10 12 ' Hsr [m ] ')'4'< [0] (V W=0 [m/s]) ')'4'< [0] (V W=6 [m/s])
Rys. 7. Maksymalne wartoĞci 'Hmax i Ğrednie wartoĞci 'Hsr odchylenia od zadanej wyso-
WystĊpują znaczne deformacje wynikające z róĪnic pomiĊdzy zadanym przebiegiem (xz, yz)
a uzyskanym z symulacji (x1, y1). NajwiĊksze znieksztaácenia przebiegu trasy zarejestrowano
w zakresie wiĊkszych wartoĞci krzywizny toru. Tą prawidáowoĞü najlepiej odzwierciedla tra-sa, zrealizowana dla báĊdu pomiaru kąta odchylenia równego '<P Na wielkoĞü
ustalo-nego báĊdu 'd wystĊpującego podczas ruchu prostoliniowego najwiĊkszy wpáyw ma báąd
pomiaru kąta przechylenia.
W páaszczyĨnie pionowej trajektoriĊ reprezentuje wysokoĞü lotu, dla którego maksymalne i Ğrednie odchylenia od wartoĞci zadanej w funkcji báĊdu pomiaru przedstawiają wykresy na rys. 7. ĝrednie odchylenie od zadanej wysokoĞci narasta proporcjonalnie do poziomu báĊdu
0 100 200 300 400 500 t [s] 0 4 8 12 16 20 ' H [m ] 0 100 200 300 400 500 t [s] 0 10 20 30 40 ' H [ m ]
Rys. 8. Przebieg odchylenia o zadanej wysokoĞci lotu w czasie wykonywania manewru dla báĊdu pomiaru kąta przechylenia, pochylenia i odchylenia ')P '4 P '<P bez
podmu-chów oraz przy cyklicznych podmuchach wiatru o maksymalnej amplitudzie 6 m/s
0 1 2 3 4 5 ' [0] 0 40 80 120 160 '< ma x [ 0] '< [0](V W=0 [m/s]) '< [0] (V W=6 [m/s]) ')'4'< [0] (V W=0 [m/s]) ')'4'< [0] (V W=6 [m/s]) 0 1 2 3 4 5 ' [0] 0 4 8 12 16 '< sr [ 0] '< [0](V W=0 [m/s]) '< [0] (V W=6 [m/s]) ')'4'< [0] (V W=0 [m/s]) ')'4'< [0] (V W=6 [m/s])
Rys. 9. Maksymalne wartoĞci '<max i Ğrednie '<sr niedokáadnoĞci odwzorowania zadanego
pomiaru kąta pochylenia '4 P (pozostaáe kąty poáoĪenia samolotu nie są związane
bezpoĞred-nio ze zmienną 'H). Przebieg wartoĞci 'Hmax posiada globalnie wzrostową tendencjĊ mimo
wystĊpowania lokalnych nieregularnoĞci. Jednoznaczny wzrost omawianych odchyleĔ powo-dowany zewnĊtrznymi zakáóceniami jest obserwowany tylko dla najmniejszych báĊdów po-miarowych. Przebiegi odchylenia od zadanej wysokoĞci lotu przy braku zakáóceĔ zewnĊtrznych jak i w czasie ich oddziaáywania w początkowej i koĔcowej fazie manewru charakteryzują siĊ stanami ustalonymi na podobnym poziomie ok. 10 m.
6. WPàYW BàĉDÓW POMIARU NA DOKàADNOĝû KĄTA ODCHYLENIA
NiedokáadnoĞci maksymalne '<max i Ğrednie '<sr (uzyskanego przez samolot) zadanego kąta
odchylenia, przedstawione na rys. 9. Zgodnie z oczekiwaniami wykazują tendencjĊ wzrosto-wą na skutek zwiĊkszania báĊdów pomiaru kątów orientacji. Nieliczne przypadki braku regu-larnoĞci tej tendencji (dla '<max) są obserwowane jedyni w sytuacji oddziaáywania
cyklicznych podmuchów wiatru. BáĊdy pomiaru ')P i '<P i zewnĊtrzne zakáócenia
powodu-ją szybsze zmiany (rys. 10) '< w porównaniu z czasem reakcji báĊdów poáoĪenia liniowego samolotu (rys. 4, 5 i 8). Z drugiej strony tylko dáugotrwaáe utrzymywanie siĊ katów odchyleĔ
'< mogą wywoáaü wiĊksze rozbieĪnoĞci miĊdzy wykonaną a zadaną trajektorią.
Obserwo-wane znaczne wartoĞci '<max Ğwiadczą o wysokiej wraĪliwoĞci tej zmiennej na dokáadnoĞü
pomiaru kątów odchylenia i przechylenia. Potwierdzają to uzyskane wyniki, w których dla przykáadu báĊdy pomiaru kąta odchylenia w przedziale od 10 do 30 odpowiadają wartoĞciom '<max z zakresu od ok. '< 200 do ok. '< 700.
7. WNIOSKI
Przeprowadzone badania symulacyjne wpáywu staáego w czasie báĊdu pomiaru poáoĪenia kątowego samolotu na przebieg jego ruchu. Celem badaĔ byáo okreĞlenie wraĪliwoĞci ruchu samolotu w tym przede wszystkim poáoĪenia wzglĊdem zadanej trajektorii na báĊdy pomiaru
0 100 200 300 400 500 t [s] 0 10 20 30 40 50 '< [ 0] 0 100 200 300 400 500 t [s] 0 40 80 120 160 '< [ 0]
Rys. 10. Przebieg niedokáadnoĞci odwzorowania zadanego kąta odchylenia samolotu w czasie wykonywania manewru dla báĊdu pomiaru samego kąta '<P oraz jednoczeĞnie kątów
kątów orientacji. Przy projektowaniu okreĞlonego systemu automatycznego sterowania naleĪy uwzglĊdniü charakter zmiennoĞci przebiegu báĊdów pomiaru poáoĪenia kątowego samolotu wáaĞciwy dla wybranych ukáadów pomiarowych. WystĊpowanie nieregularnych tendencji wzrostu odchyleĔ poáoĪenia samolotu wzglĊdem zadanej trajektorii lub jego zadanego kąta odchylenia spowodowane są wpáywem zewnĊtrznych zakáóceĔ. Z przeprowadzonych symu-lacji numerycznych wynika, Īe przykáadowe utrzymanie poziomu maksymalnego odchylenia od trasy w granicach 100 m do 150 m wymaga aby Ğredni báąd pomiaru kątów przechylenia i odchylenia ')P i '<P nie przekraczaá wartoĞci 1.50. Dla speánienia warunku 'Hmax <30 m
wystarczy zapewnienie dokáadnoĞü pomiaru kąta pochylenia '4P na poziomie nie gorszym
niĪ ok. 50. ĝredniej klasy ukáady pomiaru kątów poáoĪenia samolotu osiągają czĊsto dokáad-noĞci nie gorsze niĪ 10. Ten poziom báĊdów nie powoduje istotnych deformacji wykonywanej trajektorii lotu w odniesieniu do jej zadanego ksztaátu.
Ostatecznie wymagania dotyczące dokáadnoĞci poáoĪenia samolotu wzglĊdem zadanej trajek-torii zaleĪą od rodzaju postawionych zadaĔ w trakcie realizacji misji oraz warunków w jakich odbywa siĊ lot. Wyliczanie wielkoĞci odchylenia od zadanej trasy i zadanej wysokoĞci lotu ma istotne znaczenie dla oszacowania marginesów bezpieczeĔstwa lotów w trakcie planowa-nia misji samolotu a takĪe dla wykonaplanowa-nia manewrów omijaplanowa-nia przeszkód.
BIBLIOGRAFIA
1. M. Athans, P. Falb, Sterowanie optymalne, wstĊp do teorii i jej zastosowania, WNT,
War-szawa, 1969.
2. M. Baarspul, Review of Flight Simulation Techniques, Progress in Aerospace Sciences,
V.27, No.1, Pergamon Press, 1990.
3. J. Graffstein, M. Krawczyk, MoĪliwoĞci uproszczeĔ ukáadu automatycznego sterowania maáym samolotem bezpilotowym, Zeszyty Naukowe Politechniki Rzeszowskiej,
Mechani-ka Nr 56, T 2, Rzeszów, 2001.
4. J. Graffstein, Wpáyw dynamiki ukáadu wykonawczego na ruch automatycznie sterowane-go obiektu, Materiaáy XI Ogólnopolskiej Konferencji Mechanika w lotnictwie, PTMTiS,
Warszawa 2004.
5. J.Graffstein, Wpáyw dynamiki pomiaru prĊdkoĞci kątowej na ruch automatycznie stero-wanego obiektu, Monografia Automatyzacja i eksploatacja systemów sterowania i
áącz-noĞci, Gdynia, 2005.
6. J.Graffstein, Wpáyw charakterystyk obiektu i przebiegu jego ruchu na parametry ukáadu stabilizacji lotu, Materiaáy XI Ogólnopolskiej Konferencji „Mechanika w lotnictwie”,
PTMTiS, Warszawa, 2008.
7. J.Graffstein, Metoda sterowania samolotem i jej dokáadnoĞü podczas ruchu wzdáuĪ zada-nej trajektorii, Zeszyty Naukowe Akademia Marynarki Wojenzada-nej, Nr 177B Gdynia, 2009. 8. J.Graffstein, Wpáyw wybranych zmiennych stanu na dokáadnoĞü toru lotu samolotu pod-czas automatycznie wykonywanego manewru. Prace Instytutu Lotnictwa Nr 202,
War-szawa, 2009.
9. T. Kaczorek, Teoria sterowania, PWN, Warszawa, T 1, 2, 1981.
10. J. Maryniak, Ogólny model matematyczny sterowanego samolotu, Mechanika w
Lotnic-twie, PTMTiS, Warszawa, 1992.
Praca naukowa finansowana ze Ğrodków na naukĊ w latach od 2010 do 2012 jako projekt rozwojowy Nr OR00011711.
