dr in. Adam Sota
Instytut Technologii Maszyn i Automatyzacji Produkcji Politechnika Krakowska
MODEL KOORDYNACJI TRAJEKTORII EFEKTORÓW DWÓCH
MANIPULATORÓW KARTEZJASKICH Z UWZGLDNIENIEM
DYNAMIKI UKADÓW NAPDOWYCH
W pracy przedstawiono model dwóch manipulatorów kartezjaskich paskich obejmujcy dynamik ukadów napdowych elektrycznych z silnikami prdu staego. Przedstawiono przyjte zaoenia upraszczajce. Do generowania wartoci zadanych pooenia wykorzystano algorytm koordynacji trajektorii z proporcjonalno-cakujc korekcj zaprogramowanego ruchu prostoliniowego do pooenia docelowego. Dla wybranych parametrów modelu przeprowadzono symulacje i przedstawiono wyniki.
A TRAJECTORY COORDINATION MODEL OF TWO CARTESIAN MANIPULATORS WITH DRIVES DYNAMICS
A model of two planar Cartesian manipulators including dynamics of electric drives with DC motors is presented in the paper. For position set values generation an algorithm of trajectory coordination with proportional-integral correction of programmed linear motion to the final position is used. For selected values of model parameters simulations were carried out and results are presented.
1. WSTP
Prace dotyczce koordynacji pracy robotów ukierunkowane s na realizacj zada niemoliwych lub trudnych do wykonania przez pojedyncze roboty. Zadaniem takim jest transport duych i cikich przedmiotów, który nie moe by zrealizowany przez pojedynczy manipulator, ale moe by wykonany przez dwa manipulatory dziaajce w skoordynowany sposób. Realizacja takiego zadania przez dwa manipulatory wymaga sterowania, które uwzgldnia ograniczenia wynikajce z równoczesnej pracy manipulatorów. Moe to by zrealizowane przez sterowanie centralne lub rozproszone. W przypadku sterowania centralnego jeden ukad sterowania steruje prac dwóch robotów. Rozwizania dostarczane przez firmy produkujce roboty przemysowe umoliwiaj sterowanie dwoma robotami o 6 stopniach swobody. W przypadku sterowania rozproszonego kady robot sterowany jest przez oddzielny ukad sterowania, który realizuje zaprogramowane zadanie ruchu, równoczenie uwzgldniajc ograniczenia wynikajce z faktu cigego wspódziaania z drugim robotem.
W pracy [2] przedstawiono algorytm generowania trajektorii manipulatorów kartezjaskich w ruchu paskim dla realizacji zada transportowych. Zadanie sformuowano nastpujco: dwa manipulatory kartezjaskie maj zrealizowa zadanie transportu elementu, wykonujc równoczenie ruch z biecego pooenia pocztkowego do zaprogramowanego pooenia docelowego z zadan prdkoci. Zaoono, e trajektoria kadego z manipulatorów
kadego z manipulatorów mog by róne. Przyjto, e ukad sterowania jednego manipulatora posiada informacje o aktualnym pooeniu efektora drugiego manipulatora, ale nie posiada informacji dotyczcych jego zaprogramowanego pooenia docelowego i zaprogramowanej prdkoci ruchu. Trajektorie ruchu miay by generowane on-line w trakcie realizacji ruchu. Celem byo wygenerowanie takich trajektorii, aby zmiany odlegoci efektorów manipulatorów w trakcie realizacji ruchu byy moliwie mae. Generowany ruch efektora skada si z dwóch ruchów skadowych: ruchu w kierunku zaprogramowanego pooenia docelowego ze sta zaprogramowan prdkoci oraz ruchu korekcyjnego w kierunku czcym efektory manipulatorów (kierunku transportowanej belki). Prdko ruchu korekcyjnego jest sum czci proporcjonalnej do zmiany odlegoci pomidzy efektorami manipulatorów i czci proporcjonalnej do caki ze zmiany odlegoci pomidzy efektorami manipulatorów. Dla powyszych zaoe zbudowano model i przeprowadzono symulacje. W modelu przedstawionym w [2] nie uwzgldniono parametrów dynamicznych ukadów napdowych manipulatorów oraz wystpujcego pomidzy efektorami manipulatorów oddziaywania siowego. Wygenerowane wartoci zadane pooenia traktowane byy jako rzeczywicie zrealizowane i jako takie przyjmowane do oblicze kolejnych wartoci zadanych. W ukadzie rzeczywistym serwonapdu wystpuje uchyb regulacji - w trakcie realizacji ruchu ze sta prdkoci pooenie rzeczywiste róni si do pooenia zadanego. Warto tej rónicy zaley od parametrów dynamicznych napdu oraz zadanej prdkoci ruchu. Algorytm generowania trajektorii wylicza zadan warto pooenia na podstawie zmiany odlegoci pomidzy efektorami manipulatorów, a wic na podstawie rzeczywistego pooenia efektorów obydwu manipulatorów. Dlatego efekt dziaania algorytmu – generowana trajektoria ruchu – oraz realizacja wygenerowanej trajektorii bd zalee od parametrów dynamicznych napdów manipulatorów.
2. MODEL SYMULACYJNY KOORDYNACJI TRAJEKTORII 2.1. Zaoenia przyjte przy budowie modelu
Przy budowie modelu przyjto ponisze zaoenia upraszczajce:
x zadanie transportu realizowane jest przez dwa takie same (o identycznych uwzgldnianych w modelu wartociach parametrów dynamicznych) manipulatory kartezjaskie,
x zakresy ruchów manipulatorów oraz ich wzajemne usytuowanie (niezmienne w trakcie realizacji ruchu) s takie, e moliwa jest realizacja zaprogramowanego ruchu z biecego pooenia pocztkowego do pooenia docelowego z uwzgldnieniem korekcji trajektorii ruchu,
x odpowiednie osie obydwu manipulatorów s wzajemnie równolege,
x w czci mechanicznej napdów manipulatorów nie wystpuj luzy, pomija si podatno i tumienie - cz mechaniczna napdu jest traktowana jako idealny element proporcjonalny,
x opory ruchu s proporcjonalne do prdkoci ruchu,
x oddziaywanie siowe pomidzy manipulatorami wystpuje tylko w kierunku czcym efektory manipulatorów, poczenie pomidzy manipulatorami jest traktowane jako liniowe poczenie spryste,
x model napdu uwzgldnia ograniczenia prdkoci ruchu i ograniczenie obcienia (prdu/momentu) do maksymalnych wartoci dopuszczalnych dla dobranych silników.
2.2. Model koordynacji trajektorii manipulatorów
Na rys. 1 przedstawiono schemat blokowy modelu koordynacji trajektorii manipulatorów. Blok Gen. W.Z. odpowiedzialny jest za generowanie w czasie rzeczywistym wartoci zadanych pooenia. Modu ten realizuje algorytm przedstawiony w pracy [2]. Warto zadana pooenia dla manipulatora A YSA(t) jest generowana na podstawie zaprogramowanego pooenia docelowego YDA, zadanej prdkoci ruchu VpA oraz zarejestrowanej zmiany dugoci wektora czcego efektory manipulatorów 'lAB(t).
Gen. W. Z.
A
Manipulator
A
Belka
A p A DV
Y ,
Y
(t
)
A S)
(t
M
IA)
(t
Y
AGen. W. Z.
B
Manipulator
B
B p B D V Y ,)
(t
Y
SBY
B(t
)
)
(t
M
IB)
(t
l
AB'
Rys. 1. Schemat blokowy modelu koordynacji trajektorii
Modu Manipulator A obejmuje model dynamiczny manipulatora zbudowany z
wykorzystaniem zaoe przedstawionych w rodziale 2.1. Modu ten skada si z modeli dwóch sterowanych pooeniowo napdów z silnikami prdu staego, z ptlami sprzenia zwrotnego prdkociowego i prdowego. Struktur pojedynczej osi napdowej przedstawiono na rys. 2. A s x G(s) A r
x
A Ox M A x i vxARys. 2. Schemat blokowy pojedynczej osi ukadu napdowego manipulatora [1]
Cz mechaniczna manipulatora zbudowana jest przy wykorzystaniu moduów liniowych z napdem rubowo–tocznym firmy HIWIN. Dla obydwu osi manipulatora przyjto moduy
KK100 o maksymalnym przemieszczeniu równym 1,1 metra [3]. Jako silniki napdowe
wykorzystano silniki prdu staego firmy BALDOR. Dla osi X przyjto silnik MT-2250-A, dla osi Y silnik MT-3353-D [4].
Tabela 1. Wartoci parametrów modelu
L.p. Nazwa parametru [jednostki] Napd osi X Napd osi Y
1 Model silnika MT-2250-A MT-3353-D
2 Staa momentowa [Nm/A] 0,115 0,159
3 Staa napiciowa [V/rad/s] 0,115 0,159
4 Moment bezwadnoci wirnika silnika [kg*m2] 0,000054 0,000184
5 Rezystancja uzwoje wirnika [] 2,3 1,8
6 Indukcyjno uzwoje wirnika [H] 0,0058 0,004
7 Dopuszczalny cigy prd wirnika [A] 3,42 4,9
8 Wspóczynnik wzmocnienia regulatora pooenia [1/s]
10 10 9 Wspóczynnik wzmocnienia regulatora prdkoci
[1/s]
30 30
10 Czas zdwojenia regulatora prdkoci [s] 0,005 0,005
11 Wspóczynnik wzmocnienia regulatora prdu [1/s]
20 20
12 Czas zdwojenia regulatora prdu [s] 0,01 0,01
13 Wspóczynnik wzmocnienia wzmacniacza 5 5
14 Skok ruby pocigowej [m/obr] 0,02 0,02
15 Zredukowany na wa silnika moment bezwadnoci czci mechanicznej [kg*m2]
0,000331 0,000566
16 Zakres ruchu osi [m] 1,1 1,1
17 Maksymalna prdko ruchu liniowego efektora manipulatora [m/s]
1,38 1,00 18 Wspóczynnik wzmocnienia prdkoci ruchu
korekcyjnego [1/s]
3 3 19 Czas zdwojenia prdkoci ruchu korekcyjnego [s] 0,5 0,5
2.3. Wyniki eksperymentu symulacyjnego
Symulacja skoordynowanego dziaania manipulatorów przy transporcie belki zostaa przeprowadzona dla konfiguracji pokazanej na rys. 3.
XA YA XB YB XB0 YB0 XA0 YA0 AS AE BE BS Obszar roboczy manipulatorów Pocztkowe pooenie belki Kocowe pooenie belki
Symulacj przeprowadzono dla danych (podane wartoci wspórzdnych wyraone s w metrach):
AS – pooenie pocztkowe efektora manipulatora A – punkt o wspórzdnych (0,4; 0,9)
w ukadzie XAYA.
AE – pooenie docelowe efektora manipulatora A – punkt o wspórzdnych (0,4; 0,1)
w ukadzie XAYA.
BS – pooenie pocztkowe efektora manipulatora B – punkt o wspórzdnych (0,6; 0,1)
w ukadzie XBYB.
BE – pooenie docelowe efektora manipulatora B – punkt o wspórzdnych (0,6; 0,9)
w ukadzie XBYB.
Pooenie ukadu wspórzdnych XBYB wzgldem ukadu wspórzdnych XAYA okrelaj
wspórzdne (1,8; 0).
Zaprogramowane prdkoci ruchu: efektora manipulatora A – VAp=0,1[m/s], efektora
manipulatora B – VBp=0,05[m/s].
2.3.1 Trajektorie bez uwzgldniania dynamiki ukadów napdowych
Na rys. 4 przedstawiono wygenerowane trajektorie efektorów manipulatorów (wartoci zadane pooenia) dla podanych powyej danych wejciowych. Trajektorie zostay wygenerowane na podstawie algorytmu zamieszczonego w pracy [2] bez uwzgldnienia dynamiki ukadów napdowych manipulatorów. Trajektorie na rys. 4 zostay przedstawione w ukadzie wspórzdnych XA0YA0 (zaznaczonym na rys. 3). Biaymi liniami zaznaczono
kolejne pooenia belki – ich niesymetryczne rozmieszczenie wynika z rónych zadanych prdkoci ruchu VAp oraz VBp efektorów obydwu manipulatorów.
Rys. 4. Wygenerowane trajektorie efektorów
Rys. 5 przedstawia zmiany odlegoci efektorów manipulatorów dla wygenerowanych trajektorii w wartociach bezwzgldnych odlegoci wyraonych w metrach (delta lA) oraz jako wartoci procentowe pocztkowej odlegoci efektorów (delta LA procent).
Rys. 5. Zmiany odlegoci efektorów manipulatorów 2.3.2 Trajektorie przy uwzgldnieniu dynamiki ukadów napdowych
Algorytm koordynacji trajektorii zosta zastosowany do generowania wartoci zadanych pooenia dla modeli dwóch paskich manipulatorów kartezjaskich. Modele te uwzgldniaj dynamik ukadów napdowych (zaoenia – rozdzia 2.1, wartoci parametrów – tabela 1). Na rys. 6 przedstawiono wyniki symulacji dla modelu bez oddziaywania siowego pomidzy efektorami manipulatorów: (a) – zmian odlegoci pomidzy efektorami manipulatorów (deltaL A), (b) – wzgldn zmian odlegoci pomidzy efektorami manipulatorów (deltaL
A(%)), (c) – uchyb pooenia osi X manipulatora A (EAx), (d) – uchyb pooenia osi Y
manipulatora A (EAy), (e) – prd wirnika silnika osi X manipulatora A (IAx), (f) – prd wirnika silnika osi Y manipulatora A (IAy). Wyznaczone zmiany odlegoci pomidzy efektorami manipulatorów s wiksze w porównaniu z wynikami uzyskanymi dla modelu nie uwzgldniajcego dynamiki ukadów napdowych (rys. 5). Spowodowane jest to wystpowaniem w ukadzie napdowym uchybu pooenia.
a) c) e)
b) d) f)
Rys. 6. Wyniki symulacji bez oddziaywania siowego
Wystpujce w trakcie ruchu zmiany odlegoci pomidzy efektorami manipulatorów, przy zaoeniu sprystego poczenia pomidzy efektorami manipulatorów, powoduj, e
oddziaywanie jest ródem dodatkowego obcienia ukadów napdowych manipulatorów. Na rys. 7 przedstawiono wykresy wielkoci (jak na rys. 6) przy uwzgldnieniu oddziaywania siowego dla dwóch rónych wartoci wspóczynnika sztywnoci C poczenia pomidzy efektorami manipulatorów: (a) – C = 12560 N/m, (b) – C = 18840 N/m. Warto wspóczynnika C = 12560 N/m odpowiada, przy pominiciu strat, obcieniu waka silnika momentem 0,4 Nm przy zmianie odlegoci pomidzy efektorami o 0,01 m.
a)
b)
Rys. 7. Wyniki symulacji z uwzgldnieniem oddziaywania siowego
Dodatkowe obcienie ukadów napdowych, bdce wynikiem oddziaywania pomidzy manipulatorami, ma wpyw na realizacj zadanej trajektorii ruchu. W przypadku, gdy obcienie osiga dopuszczalne cige obcienie silnika napdowego (dopuszczalny cigy prd wirnika), dziaanie przejmuje obwód regulacji prdu. Na rys. 7b na wykresie IAx
prdu do dopuszczalnej wartoci maksymalnej. Dla czasu odpowiadajcego ograniczeniu wartoci prdu na wykresie EAx (rys. 7b) widoczna jest zmiana wartoci uchybu (w porównaniu z wykresem EAx na rys. 7a). W rozwaanym okresie uchyb z wartoci ujemnej (wykres EAx na rys. 7a) zmienia si na warto dodatni (wykres EAx na rys. 7b). Powoduje to, przy ustawieniu manipulatorów pokazanym na rys. 3 oraz wystpujcej ujemnej zmianie odlegoci efektorów manipulatorów (skrócenie wektora czcego efektory manipulatorów), zmniejszenie zmian odlegoci pomidzy efektorami manipulatorów. Zmiana ta jest widoczna przy porównaniu wykresów deltaL A na rys. 7a oraz rys. 7b.
3. PODSUMOWANIE
Algorytm generowania skoordynowanych trajektorii dla zada transportowych manipulatorów kartezjaskich wylicza kolejne wartoci zadane pooenia efektora manipulatora na podstawie zadanej pozycji docelowej i zadanej prdkoci ruchu manipulatora oraz na podstawie aktualnego rzeczywistego pooenia efektorów obydwu manipulatorów. Poniewa pooenie rzeczywiste w trakcie realizacji ruchu zaley od parametrów dynamicznych napdów manipulatora, parametry te bd miay wpyw na trajektorie ruchu efektorów.
Uzyskane w drodze symulacji wyniki wskazuj, e realizacja wygenerowanej trajektorii zaley, poza parametrami dynamicznymi ukadów napdowych manipulatorów, od wielkoci oddziaywania siowego pomidzy efektorami. Wpyw ten jest szczególnie istotny, gdy oddziaywanie siowe osiga dopuszczalne cige obcienie silnika napdowego. Zmianie ulega trajektoria ruchu, przy czym kierunek tej zmiany jest taki, e powoduje zmniejszenie zmian odlegoci pomidzy efektorami manipulatorów.
4. LITERATURA
[1] Pritschow, G.: Technika sterowania obrabiarkami i robotami przemysowymi, Oficyna Wydawnicza Politechniki Wrocawskiej.
[2] Sota, A.: Model koordynacji trajektorii efektorów dwóch manipulatorów kartezjaskich dla zada transportowych, Pomiary Automatyka Robotyka 2/2008, str. 688-697.
[3] http://www.hiwin.pl/DownloadCenter/files/HN_PosSyst_eng.pdf, Katalog HIWIN, Positioning Systems.
[4] http://www.baldor.com/pdf/literature/BR1202_F.pdf, Katalog BALDOR, DC Servo Motors & Drives for the automation industry.
