R
O
Z
P
R
A
W
Y
RO C ZN IK I FILO ZO FIC ZN E Tom X L I, zeszyt 1 - 1993
LUDWIK BORKOWSKI
L O G IC Z N A A N A LIZA W Y R A ŻEN IA „jakiś (jakaś, ja k ieś) a ”
Przypuśćmy, że na pytanie: “Kto tu przychodzi?” otrzymujemy odpowiedź: “Jakiś (pewien) mężczyzna tu przychodzi” lub “Jakaś (pewna) kobieta tu przychodzi)” lub też “Jakieś (pewne) dziecko tu przychodzi” . Zajmiemy się analizą wyrazów “jakiś (jakaś, jakieś)” — bądź używanych z nimi zam iennie wyrazów “pewien (pewna, pewne)” — występujących w kontekstach takich, jakie stanowią powyższe zdania. Drugim przykładem użycia rozważanego wyrazu jest wnioskowanie, w którym korzystając z twierdzenia, że każda liczba podzielna przez dziewięć jest podzielna przez trzy, i zakładając, że n jest jakąś (pewną) liczbą podzielną przez dziewięć, dochodzimy do wniosku, że liczba n jest podzielna przez trzy.
Zajmiemy się najpierw określeniem kategorii składniowej tych wyrazów. Na podstawie struktury gramatycznej wyrażeń, w których w ystępują rozpatry wane wyrazy, stwierdzamy, że są one funktoram i od argumentów nazwowych. Ponieważ wyrażenia “jakiś mężczyzna” , “jakaś kobieta” , “jakieś dziecko” są odpowiednio podm iotam i przytoczonych powyżej zdań, a więc wyrażeniami nazwowymi, można przyjąć, że są to funktory nazwotwórcze.
Powstaje następujący problem. Ze względu na ilość desygnatów dzieli się nazwy n a ogólne, jednostkowe i puste. Do której z tych klas zaliczyć wyrażenie “jakiś mężczyzna” występujące w zdaniu “Jakiś mężczyzna tu przychodzi” . Można by sądzić, że do nazw jednostkowych, skoro chodzi w tym zdaniu o jednego mężczyznę. Z drugiej jednak strony nazwa jednostkowa to nazwa oznaczająca tylko jeden dokładnie określony desygnat. Jak odpowiedzieć na ten problem?
Na tem at wyrazu “jakiś” , występującego w tej nazwie, czytam y w podrę czniku gram atyki, że jest to zaimek nieokreślony i że “Zaimki te wskazują
6 L U D W IK B O R K O W SK I
n a najrozm aitsze przedmioty lub ich właściwości, których jednak bliżej nie oznaczamy” 1. Z trochę podobną sytuacją m am y do czynienia w logice, a m ia nowicie w węższym rachunku predykatów przy stosowaniu reguły opuszcza nia kwantyfikatora szczegółowego, gdy z wyrażenia 3 P ( x ) wyprowadzamy
X
wyrażenie P (a ), w którym stała a m a oznaczać jakiś przedm iot, o którym przyjmujemy tylko tyle, że m a on własność P . Jak na to wskazywałem w swej Logice fo rm a ln e j2, ta k ą stałą można zastąpić przez wyrażenie nazwowe u£P(a;)” , które czytamy: jakiś x , taki że P { x ) .
X
W ydaje mi się, że można w następujący sposób odpowiedzieć n a posta wiony powyżej problem. Podział nazw na ogólne, jednostkowe i puste doty czy przede wszystkim nazw, których treść językowa3 jest n a tyle kompletnie określona, że pozwala na rozstrzyganie o dowolnych przedm iotach, czy należą do zakresu danej nazwy. Oprócz tego zarówno w logice, jak i w języku n a tu ralnym w ystępują wyrażenia nazwowe, które — podobnie jak nazwy jednost kowe — m ają desygnować jeden przedmiot rodzaju P , w którego określeniu uwzględniamy tylko te własności, z uwagi n a które należy on do rodzaju P , gdyż 1) nie wiemy jeszcze, jakie m a indywidualne własności różniące go od in nych przedmiotów rodzaju P , lub też 2) celowo abstrahujem y od innych jego własności. W yrażenia nazwowe drugiego rodzaju okazują się bardzo przy datne we wnioskowaniach dotyczących przedmiotów ro dzaju P , których is t nienie zostało uprzednio stwierdzone. Sposób użycia takich wyrażeń został sformalizowany w regule opuszczania kwantyfikatora szczegółowego.
Rozpatrywane wyrazy występują w języku naturalnym . Mówiąc o ich an a lizie logicznej mamy n a myśli ich określenie (aksjomatyczne lub definicyjne) w rachunku logicznym odpowiadającym jak najadekw atniej językowi n a tu ralnemu. Za taki rachunek uważamy ontologię Leśniewskiego. Nie będziemy przy tym analizować wszystkich znaczeń tych wyrazów, lecz ograniczymy się tylko do jednego ich znaczenia, które uważamy za podstawowe.
Będziemy używać zapisu: a |a | zamiast wyrażenia: jakiś (jakaś, jakieś) a. O kreślając funktor cr, odpowiadający wyrazowi “jakiś (jakaś, jakieś)” , sko rzystam y z wyników przedstawionych w moim artykule Definicja operatora
epsilonowego w ontologii Leśniewskiego*. W artykule tym podałem definicję o peratora epsilonowego w ontologii Leśniewskiego wzbogaconej o operatory różne od kwantyfikatorów. Za pomocą zdefiniowanego ta m operato ra ep silonowego można by funktor a zdefiniować następująco:
1 S. S z o b e r. G ram atyka je ż y k a polskiego. W arszaw a 1967 s. 100. 2 L. B o r k o w s k i . Logika f o r m a ln a . W arszaw a 1977 s. 138.
3 K. A j d u k i e w i c z . Logika p ra g m a ty c zn a . W arszawa 1965 s. 51 -5 3 . 4 “R oczniki F ilozoficzne” 39-40:1 9 9 1 -1 9 9 2 z. 1 s. 79-83.
<r|a| = sA sa
A
D la określenia funktora a nie m a jednak potrzeby korzystania z definicji operatora epsilonowego sformułowanej w ontologii Leśniewskiego wzbogaconej o operatory różne od kwantyfikatorów, gdyż określenia tego fu nktora m ożna otrzym ać w zwykłej ontologii Leśniewskiego, formułując je jako parafrazy odpowiednich określeń podanych w tym artykule dla operatora epsilonowego. Przedstawimy obecnie takie ujęcie.
Funktor a można wprowadzić za pomocą aksjomatu: A sa —»■ oja|£a
Jest on inferencyjnie równoważny tezie:
3 Asa —► a\a\sa
A
W myśl tej tezy, jeśli istnieje przedm iot, który jest a, to jakieś (pewne) a jest a.
Ta teza jest na podstawie definicji predykatu ex równoważna tezie: ea;(a) —> o\a\sa
Z tej tezy wynika równoważność:
ex(a) = o ja|ea a także teza:
e x ( a) —► V(a c c —* a\a\sc)
C
Zgodne z intuicją wydaje się przyjęcie, że jeśli nazwa “a” jest pu sta, to rów nież nazwa “jakiś (jakaś, jakieś) a ” jest pusta. Na przykład: skoro żaden przed m iot nie jest kwadratowym kołem, to żaden przedmiot nie jest jakim ś kw adra towym kołem. Biorąc to pod uwagę, można wprowadzić — jako odpowiednik definicji D l ’ z cytowanego artykułu — następującą definicję funktora er:
b = cr| a| = e x (a ) A V(a C c —* bsc)\/ ~ ea:(a) A b = A
C
Z tej definicji wynikają tezy:
8 L U D W IK B O R K O W SK I
ex(a) —> a\a\ea
~ e x (a ) —>• a\a\ = A
Dowody wszystkich wymienionych tez są analogiczne do dowodów odpo wiadających im tez podanych w cytowanym artykule.
Z ostatnio wymienionej tezy wynikają tezy:
a = A —* oja| = A
<r|A| = A
N astępująca teza nie jest odpowiednikiem tez podanych w cytowanym ar tykule:
a e V —► a\a\ = a Podajem y dowód tej tezy:
1. a eV z.
2. asa 1, dfP
3. 3 A sa 2
A
4. e x (a ) 3, df ex
5. <r|a|£a 4, teza: e x (a ) —»• a\a\ea
6. asa\a\ 5, 1, teza: aeb A bec—►bea cr\a\ = a 5, 6, df=
W myśl tej tezy oraz tezy: <r|A| = A, jeśli nazwa “a ” jest nazwą jednostkową lub pustą, to denotacje nazw “jakiś (jakaś, jakieś) a” , “a” są identyczne. Ze względów pragmatycznych nie używamy więc przed takim i nazwami wyrazów
“jakiś (jakaś, jakieś)” , traktując je jako zbyteczne w tym kontekście. Z tej tezy korzystamy w dowodzie następującej tezy:
e x (a) —+ o joja|| = oja| Podajem y dowód tej tezy:
1. e x (a ) z.
2. a\a\ea 1, teza: e x(a ) —> a\a\ea
3. a \a\eV 2, teza: aeb —► a eV
W świetle tej tezy oraz tezy: ojajA || = cr|A|, staje się zrozumiale, dlaczego ze względów pragmatycznych nie używamy wyrażenia “jakiś jakiś a” ; oznacza ono bowiem to samo, co wyrażenie “jakiś a” .
T H E LOG ICAL A N A LY SIS OF T H E E X P R E S S IO N “an a (a certain a )” S u m m a r y
T h e n o ta tio n “o ja |” is used for th e expression “an a (a certain a )” .
In L esniew ski’s ontology th e sense o f th e functor “<r” is determ ined by th e axiom:
e x (a ) —► <r|a|ea or by th e definition:
b = o ja | = e x ( a ) A V(a C c —► ftscjv ~ e x ( a ) A b = A
C
B y v irtu e o f th is definition w e can prove th e follow ing theses:
e x (a ) —> V(a C c —> <r|a|£c) e e x (a ) —* oja|£a ~ e x (a ) —>■ <r|a| = A a e V —*■ cr\a\ = a <x| A| = A e x (a ) -+ c r[c r|< x || = cr|a| <t|<t|A || = <t.|A|
If a is an in d ivid u al or em p ty nam e then — by virtue o f th e th eses 4, 5 — th e d en o ta tio n s o f th e expressions “<r|a|” , “a” are identical. Hence, for pragm atical reasons w e do n ot precede su ch nam es by th e functor “a ” .
W e do n o t u se th e iterations o f th e sign “<r” , treating such iteration s as superfluous, since — by virtue of th e th eses 6, 7 — th e den otation s o f th e expressions “ojcr|a||” , “<r|a|” are identical.
