Index of /rozprawy2/10648

Pełen tekst

(1)Akademia Górniczo-Hutnicza im. Stanisława Staszica w Krakowie Wydział In˙zynierii Metali i Informatyki Przemysłowej ˙ Katedra Metalurgii Stopów Zelaza. ROZPRAWA DOKTORSKA ´ ´ W YZNACZANIE WARTO SCI WSPÓŁCZYNNIKA LEPKO SCI DYNAMICZNEJ STALI W OPARCIU O POMIARY REOLOGICZNE. M ARTA KOROLCZUK -H EJNAK. P ROMOTOR : dr hab. inz˙ . Mirosław Karbowniczek, prof. AGH P ROMOTOR POMOCNICZY: dr inz˙ . Piotr Migas. Kraków 2013.

(2) Spis tre´sci 1. Wst˛ep . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 3. 2. Poj˛ecie lepko´sci . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 6. 2.1.. Wielko´sci charakteryzujace ˛ przepływ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 6. 2.2.. Zjawisko lepko´sci . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 8. 2.3.. Zjawisko lepko´sci w metalurgii . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 10. 2.4.. Klasyfikacja płynów . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 13. 2.5.. Matematyczne modele obliczania współczynnika lepko´sci dynamicznej cieczy . . . . .. 17. 2.5.1.. Modele reologiczne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 17. 2.5.2.. Modele niereologiczne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 25. 2.5.3.. Modele niereologiczne do obliczania lepko´sci metali . . . . . . . . . . . . . . .. 31. 3. Metody pomiarowe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 36. 4. Cel i teza pracy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 40. 5. Pomiary reologiczne ciekłych stopów z˙ elaza . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 41. 5.1.. Charakterystyka reometru wysokotemperaturowego FRS1600 . . . . . . . . . . . . . .. 41. 5.2.. Stosowane układy pomiarowe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 43. 5.3.. Schemat obliczeń parametrów reologicznych . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 49. 5.3.1.. Obliczenia w układzie koncentrycznych cylindrów typu Searle’a . . . . . . . .. 51. 5.3.2.. Liczby kryterialne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 54. 5.4.. Weryfikacja przeprowadzonej kalibracji urzadzenia ˛ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 55. 5.5.. Badane roztwory z˙ elaza . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 59. 6. Analiza uzyskanych wyników . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 61. Wpływ temperatury na warto´sc´ lepko´sci ciekłej stali . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 63. 6.1.1.. Krzywe lepko´sci . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 63. 6.1.2.. Krzywe płyni˛ecia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 69. Wpływ składu chemicznego na warto´sc´ lepko´sci ciekłej stali . . . . . . . . . . . . . . .. 74. 6.2.1.. Krzywe lepko´sci . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 74. 6.2.2.. Krzywe płyni˛ecia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 78. 6.2.3.. Krzywe składu chemicznego . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 81. 7. Modele matematyczne lepko´sci dynamicznej ciekłej stali . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 84. 8. Podsumowanie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 91. Spis rysunków . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 94. Spis tablic . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 96. Literatura . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 97. 6.1.. 6.2..

(3) Rozprawa doktorska. 1. Wst˛ep Reologia jest gał˛ezia˛ nauki, która rozwin˛eła si˛e jako gała´ ˛z fizyki, na dzień dzisiejszy stanowi ona niezalez˙ na˛ dziedzin˛e wiedzy liczac ˛ a˛ sobie ponad 70 lat. Termin reologia po raz pierwszy został uz˙ yty przez profesora E.C. Binghama w 1929 roku. W j˛ezyku greckim termin rheo oznacza płyna´ ˛c. Reologia zajmuje si˛e badaniem odpowiedzi substancji rzeczywistych na napr˛ez˙ enia [11]. Zgodnie z tradycyjna˛ definicja˛ reologii jest ona nauka˛ o odkształceniu i przepływie materii. M. Reiner i S. Blair zaproponowali modyfikacj˛e powyz˙ szej definicji: “Reologia jest nauka˛ o odkształceniu materii, mi˛edzy innymi o jej przepływie” [41]. W zagadnieniach reologicznych nie interesuje nas ruch ciała jako cało´sci, lecz ruchy jednych elementów tego ciała wzgl˛edem drugich. Celem reologii jest umiej˛etno´sc´ przewidzenia zachowania ciała na przyłoz˙ ony do niego układ sił, bad´ ˛ z przewidzenie układu sił, który spowoduje okre´slone zachowania ciała [23]. Reologiczne zachowanie si˛e materiału opisuja˛ zwiazki ˛ mi˛edzy napr˛ez˙ eniami, odkształceniami, pr˛edko´sciami odkształcenia, czasem w trakcie którego materiał poddawano odkształcaniu. Zalez˙ no´sci tego typu nazywamy reologicznymi równaniami stanu materiału lub w skrócie - równaniami reologicznymi [6]. Głównym zadaniem reologii jest opracowywanie modeli słuz˙ acych ˛ do opisu zachowań ciał poddanych działaniu siły. Opis zachowania idealnych ciał stałych oraz ciekłych został sformułowany w postaci modeli matematycznych, uwzgl˛edniajacych ˛ zalez˙ no´sc´ mi˛edzy napr˛ez˙ eniem, odkształceniem, pr˛edko´scia˛ odkształcenia oraz pr˛edko´scia˛ narastania napr˛ez˙ eń (funkcja reologiczna [17]). Nalez˙ y jednak zaznaczyć, z˙ e poniz˙ sze reologiczne równania stanu (1-3) opisuja˛ wyidealizowane ciała - ciała doskonałe, które nie wyst˛epuja˛ w rzeczywisto´sci. Koncepcja ciała doskonałego upraszcza rozwaz˙ ania teoretyczne i umoz˙ liwia stosowanie metod matematycznych do analizy interesujacych ˛ nas zjawisk. Ciała doskonałe stanowia˛ jedynie graniczne przypadki, do których ciała rzeczywiste zbliz˙ aja˛ si˛e w mniejszym lub wi˛ekszym stopniu. W okre´slonych warunkach wła´sciwo´sci reologiczne ciał rzeczywistych przybliz˙ ane sa˛ przez matematyczne modele reologiczne, które stanowia˛ kombinacj˛e trzech podstawowych modeli reologicznych ciał doskonałych, którymi sa˛ [23]: • ciało doskonale spr˛ez˙ yste Hooke’a, • ciało doskonale plastyczne St. Venanta, • płyn doskonale lepki Newtona. R. Hook w roku 1676 sformułował prawo opisujace ˛ zachowanie ciała idealnie spr˛ez˙ ystego, w którym to przyłoz˙ one napr˛ez˙ enie jest proporcjonalne do odkształcenia [20, 33, 34]:. σ = E ·ε gdzie: σ - napr˛ez˙ enie [Pa], 3. (1).

(4) Rozprawa doktorska E - współczynnik proporcjonalno´sci zwany modułem Younga, bad´ ˛ z modułem spr˛ez˙ ysto´sci [Pa], ε - odkształcenie [-]. W roku 1687 I. Newton rozwaz˙ ał zjawisko oporu płynu w trakcie obrotu wrzeciona w naczyniu [34]. Efekt jego badań stanowi opracowane równanie (2) opisujace ˛ zachowanie płynu idealnie lepkiego [39]: τ = η · γ˙. (2). gdzie: τ - napr˛ez˙ e˛ nie styczne [Pa], η - współczynnik proporcjonalno´sci zwany współczynnikiem lepko´sci dynamicznej lub lepko´scia˛ dynamiczna˛ [Pa·s], γ˙ - pr˛edko´sc´ sćinania [s-1 ]. Dział mechaniki zajmujacy ˛ si˛e spr˛ez˙ ysto´scia˛ oraz dynamika˛ płynów rozwinał ˛ si˛e dzi˛eki pracom L. Eulera (1755), C. L. Naviera (1821,1823) i A. L. Cauchy’ego (1827). Navier sformułował teori˛e przepływu płynów (1821) oraz spr˛ez˙ ysto´sci (1823) poczawszy ˛ od idei molekularnej. Cauchy stworzył podwaliny matematycznego sformułowania zwiazku ˛ mi˛edzy napr˛ez˙ eniem a odkształceniem jako bli´zniaczymi aspektami tensora napr˛ez˙ enia. Stokes (1845) ostatecznie sformułował prawo Naviera dotyczace ˛ przepływu płynów [53, 54]. W roku 1855 A. J. de Saint-Venant sformułował prawo (3) opisujace ˛ zachowanie si˛e ciała idealnie plastycznego: σ = σ0. (3). gdzie: σ - napr˛ez˙ enie [Pa], σ0 - granica plastyczno´sci [Pa]. W przypadku, gdy napr˛ez˙ enie jest mniejsze od granicy plastyczno´sci (σ <σ0 ) ciało jest ciałem idealnie spr˛ez˙ ystym Hooka. W 1865 roku W. T. Kelvin opracował koncepcj˛e “lepko´sci ciał stałych” [54]. W 1867 J. C. Maxwell zaproponował równanie opisujace ˛ model cieczy, w przypadku której przyłoz˙ enie dowolnie małej siły b˛edzie powodować ciagle ˛ wzrastajace ˛ odkształcenie [23]. W 1874 roku O. E. Meyer sformułował prawo, które obecnie nazywane jest prawem Kelvina-Voighta, poniewaz˙ idea Meyera została zgeneralizowana przez Voighta, a eksperymenty dotyczace ˛ tłumienia wiskotycznego w metalach przeprowadził Kelvin [54]. Model ciała opisany przez Kelvina (Kelvina-Voighta) jest złoz˙ ony z dwóch elementów (opracowanych przez Hooke’a i Newtona) 4.

(5) Rozprawa doktorska połaczonych ˛ równolegle. Uzyskany w ten sposób model ciała stałego, w przypadku którego maksymalne odkształcenie jest efektem przyłoz˙ onej siły i jest niezalez˙ ne od czasu. Model Kelvina-Voighta wykazuje zjawisko pełzania - wydłuz˙ enie nie nastapi ˛ natychmiast po przyłoz˙ eniu stałej siły, lecz b˛edzie wzrastać stopniowo [23]. Ogromny wkład w rozwój nauki miał L. Boltzman, który swoje wczesne prace publikował w 1874 roku. Ciałami Boltzmana nazywamy substancje, których wła´sciwo´sci reologiczne zalez˙ a˛ od czasu sćinania. Wła´sciwo´sci tych ciał moz˙ na przedstawić za pomoca˛ takich samych modeli, jak omówione powyz˙ ej; róz˙ nica polega na tym, z˙ e charakterystyki elementów, z których zbudowany jest dany model, zalez˙ a˛ od “historii” tych elementów [23]. Badania reologiczne materiałów charakteryzujacych ˛ si˛e wysokimi temperaturami topnienia wymagaja˛ specjalistycznego sprz˛etu umoz˙ liwiajacego ˛ podgrzewanie próbki do wysokich temperatur. Tak jest mi˛edzy innymi w przypadku stopów z˙ elaza. W literaturze brakuje danych zawierajacych ˛ informacje o wła´sciwo´sciach reologicznych ciekłych roztworów z˙ elaza. Niniejsza praca ma na celu uzupełnienie danych w tym zakresie; zawarto w niej badania reologiczne roztworów z˙ elaza: sze´sciu składów chemicznych o zawarto´sci w˛egla od 0,15 do 0,89 % przy zastosowanych pr˛edko´sciach sćinania od 40 do 180 s-1 . Uzyskane warto´sci współczynnika lepko´sci dynamicznej sa˛ rz˛edu 0,002-0,018 Pa·s. Otrzymane wyniki moga˛ być przydatne do weryfikacji modeli obliczajacych ˛ parametry ciekłych stopów z˙ elaza, np. podczas odlewania stali, w których lepko´sc´ jest jednym z podstawowych parametrów. S. Sridhar w swojej pracy [51] podkre´slił trudno´sci z dost˛epem do wysokotemperaturowych, termofizycznych danych potrzebnych do komputerowego modelowania procesów; do naukowo - technicznego zrozumienia i rozwoju procesów oraz poprawy kontroli procesu i jako´sci produktu. Generowanie wiarygodnych pomiarów fizycznych wła´sciwo´sci materiałów jest czasochłonne i wymaga znacznej wiedzy eksperymentalnej. Cz˛esto w warunkach przemysłowych dane eksperymentalne sa˛ potrzebne bardzo szybko w celu weryfikacji oraz optymalizacji okre´slonego procesu. Tak wi˛ec istnieje znaczne zapotrzebowanie na modele matematyczne opisujace ˛ fizyczne oraz termofizyczne parametry materiałowe w stanach: stałym, ciekłym i półciekłym.. 5.

(6) Rozprawa doktorska. 2. Poj˛ecie lepko´sci 2.1. Wielko´sci charakteryzujace ˛ przepływ Wielko´sciami wykorzystywanymi do scharakteryzowania przepływu sa: ˛ g˛esto´sc´ , pr˛edko´sc´ , ci´snienie, napr˛ez˙ enie. Pr˛edko´sc´ jest wektorem o trzech składowych, wszystkie wielko´sci sa˛ rozwaz˙ ane jako ciagłe ˛ funkcje w przestrzeni i czasie. G˛esto´sc´ płynu jest stała˛ materiałowa,˛ wyraz˙ ana˛ jako stosunek: N ·M m = lim 4V →0 4V 4V →0 4V. ρ = lim. (4). gdzie: N - liczba czastek ˛ w obj˛eto´sci płynu [-], M - masa atomowa czastek ˛ [u], m - masa [kg], ∆V - obj˛eto´sc´ płynu [m3 ]. Połoz˙ enie i pr˛edko´sc´ wszystkich czastek ˛ ciała okre´slaja˛ w kaz˙ dej chwili jego stan kinematyczny. Połoz˙ enie czastki ˛ okre´slaja˛ współrz˛edne x, y, z. Pr˛edko´sc´ czastki, ˛ która po upływie czasu zmienia swoje połoz˙ enie wyraz˙ ona jest w sposób nast˛epujacy: ˛ u 4t→0 4t. ν = lim. (5). gdzie: ν - pr˛edko´sc´ [m/s], u - przemieszczenie (przesuni˛ecie) [m], ∆t - przyrost czasu [s]. Ci´snienie jest wielko´scia˛ skalarna˛ wyraz˙ ajac ˛ a˛ stosunek warto´sci siły do powierzchni na jaka˛ ona oddziałuje: p=. F S. (6). gdzie: p - ci´snienie [Pa], F - siła [N], S - powierzchnia [m2 ]. Reologia opisuje zjawiska, które wyst˛epuja˛ w bardzo szerokim obszarze mi˛edzy stanem stałym i płynnym. Zatem reologi˛e moz˙ na traktować jako nauk˛e zajmujac ˛ a˛ si˛e zachowaniem substancji rzeczywistych, które poddane odkształceniu wykazuja˛ wi˛ecej niz˙ jedna˛ podstawowa˛ wła´sciwo´sc´ reologiczna: ˛ spr˛ez˙ ysto´sc´ bad´ ˛ z lepko´sc´ . Reologia jest nauka˛ interdyscyplinarna,˛ co powoduje duz˙ e zróz˙ nicowanie w sposobie podej´scia, rodzaju stosowanych metod badawczych 6.

(7) Rozprawa doktorska oraz sposobie wykorzystania wyników badań reologicznych (Rys. 1). Moz˙ na wyróz˙ nić cztery podstawowe kierunki badań reologicznych [11]: 1. Reologia fenomenologiczna lub makroreologia - kierunek powyz˙ szych badań zajmuje si˛e opisem zjawisk zachodzacych ˛ podczas odkształcania ciał rzeczywistych w skali makro. W tym rodzaju podej´scia nie jest brana pod uwag˛e molekularna struktura materii, natomiast stosowane jest podej´scie o´srodka ciagłego. ˛ 2. Reologia strukturalna lub mikroreologia - w tego rodzaju badaniach poszukiwane sa˛ zwiazki ˛ mi˛edzy struktura˛ substancji na poziomie mikro a jej wła´sciwo´sciami reologicznymi. Badania mikroreologiczne znajduja˛ szerokie zastosowanie zwłaszcza w badaniach polimerów. 3. Reometria - zajmuje si˛e empirycznym wyznaczaniem parametrów reologicznych charakteryzujacych ˛ wła´sciwo´sci płynów. 4. Reologia stosowana lub techniczna - ten kierunek badań zajmuje si˛e opisem przepływu płynów o złoz˙ onych wła´sciwo´sciach reologicznych w procesach o znaczeniu przemysłowym.. Rys. 1. Podział reologii ciał stałych i cieczy [33, 34]. Głównym przedmiotem zainteresowania reologii sa˛ płyny złoz˙ one (rzeczywiste). Płyny w przeciwieństwie do ciał stałych (które płyna˛ do pewnego momentu, a nast˛epnie si˛e zatrzymuja˛ [33]) pod wpływem przyłoz˙ onego napr˛ez˙ enia płyna˛ w sposób ciagły. ˛ Ciała stałe charakteryzuja˛ si˛e spr˛ez˙ ysta˛ odpowiedzia˛ na zadane napr˛ez˙ enie, podczas gdy płyny nie posiadaja˛ powyz˙ szej cechy i pod wpływem napr˛ez˙ enia ulegaja˛ ciagłemu ˛ odkształceniu (płyna). ˛ Do płynów zaliczamy zarówno ciecze, jak i gazy. Róz˙ nica pomi˛edzy ich zachowaniem na przyłoz˙ one napr˛ez˙ enie jest stosunkowo niewielka z makroskopowego punktu widzenia, jednak pod wzgl˛edem budowy molekularnej jest zasadnicza. Ze wzgl˛edu na swa˛ budow˛e wewn˛etrzna˛ gazy charakteryzuja˛ si˛e duz˙ o wi˛eksza˛ szybko´scia˛ odkształcenia na przyłoz˙ one napr˛ez˙ enie, niz˙ ma to miejsce w przy7.

(8) Rozprawa doktorska padku cieczy. Przedmiotem zainteresowania reologii jest wpływ oddziaływania przyłoz˙ onej siły na przepływ płynu. Na płyny moga˛ oddziaływać róz˙ nego rodzaju siły: w przypadku rur i kanałów siła ta wynika z róz˙ nicy ci´snień wyst˛epujacych ˛ na ich końcach, w agregatach siła wywołana jest rotacja˛ wirnika. Innym rodzajem siły (naturalnej) oddziaływajacej ˛ na ruch płynów jest siła grawitacji. Przyłoz˙ enie siły jest niezb˛edne, aby wywołać przepływ płynu: płyn w naturalny sposób przeciwstawia si˛e (stawia opór) “odkształceniu”, dlatego siła ta jest niezb˛edna, aby go pokonać. Przedmiotem badań reologii jest okre´slenie zachowania płynu pod wpływem przyłoz˙ onej siły o okre´slonej warto´sci, bad´ ˛ z tez˙ okre´slenia warto´sci siły, z która˛ nalez˙ y zadziałać na płyn w celu wywołania okre´slonego przepływu. 2.2. Zjawisko lepko´sci Lepko´sc´ jest miara˛ “tarcia wyst˛epujacego ˛ w płynie” czy tez˙ “oporu” wyst˛epujacego ˛ w cieczy lub gazie w trakcie przepływu. Zjawisko lepko´sci bardzo dobrze obrazuje ilustracja, gdzie przestrzeń pomi˛edzy dwiema równoległymi płytami oddalonymi od siebie o odległo´sc´ L jest wypełniona płynem. Górna płyta porusza si˛e wzgl˛edem nieruchomej dolnej płyty z pr˛edkosćia˛ U. W pierwszej chwili obydwie płyty znajduja˛ si˛e w spoczynku, płyn równiez˙ znajduje si˛e w stanie spoczynku (Rys. 2a). W momencie poruszenia si˛e górnej płyty górna warstwa płynu porusza si˛e z taka˛ sama˛ pr˛edko´scia,˛ natomiast rozkład pr˛edko´sci płynu mi˛edzy płytami obrazuje krzywa hiperboliczna (Rys. 2b). Po pewnym czasie nast˛epuje ustabilizowanie rozkładu pr˛edko´sci płynu, rozkład staje si˛e liniowy (Rys. 2c) [7].. Rys. 2. Przepływ płynu pomi˛edzy dwiema płytami: (a) płyta i płyn znajduja˛ si˛e w stanie spoczynku, (b) rozkład pr˛edko´sci płynu mi˛edzy płytami, gdy płyta górna rozpoczyna ruch z pr˛edko´scia˛ U (c) rozkład pr˛edko´sci płynu po pewnym czasie poruszania si˛e płyty górnej [7]. Lepko´sc´ jest definiowana dla laminarnego rodzaju przepływu, który opisuje w sposób uproszczony przepływ warstw nie ulegajacych ˛ mieszaniu, zachodzacy ˛ przy małych pr˛edkosćiach [2]. Lepko´sc´ charakteryzuje zdolno´sc´ do przekazywania p˛edu pomi˛edzy sasiaduj ˛ acymi ˛ warstwami płynu poruszajacymi ˛ si˛e z róz˙ nymi pr˛edko´sciami. Zjawisko to zachodzi w wyniku pojawienia si˛e napr˛ez˙ eń sćinajacych ˛ na granicach. Róz˙ nica pr˛edko´sci warstw jest opisana przez tzw. pr˛edko´sc´ sćinania. Wyróz˙ niane sa˛ dwie podstawowe miary lepko´sci: • lepko´sc´ dynamiczna (równanie Newtona) η= 8. τ γ˙. (7).

(9) Rozprawa doktorska gdzie: η - współczynnik lepko´sci dynamicznej [Pa·s], τ - napr˛ez˙ enie styczne [Pa], γ˙ - szybko´sc´ sćinania [s-1 ]. Jednostka˛ lepko´sci dynamicznej jest Paskalosekunda w układzie SI lub centyPuaz w układzie CGS (1Pa·s=1000cP). • lepko´sc´ kinematyczna ν=. η ρ. (8). gdzie: 2. ν - współczynnik lepko´sci kinematycznej [ ms ], η - współczynnik lepko´sci dynamicznej [Pa·s], ρ - g˛esto´sc´ płynu [kg/m3 ]. Jednostka˛ lepko´sci kinematycznej jest. m2 s. w układzie SI lub centyStokes w układzie CGS.. Płyny newtonowskie sa˛ doskonale lepkie. Charakteryzuja˛ si˛e liniowa˛ zalez˙ no´scia˛ napr˛ez˙ enia sćinajacego ˛ od szybko´sci sćinania (7). W przypadku przepływu laminarnego, posługujac ˛ si˛e prawem Newtona, moz˙ na obliczyć sił˛e oporu lepkiego wyst˛epujacego ˛ przy ruchu w o´srodku lepkim ciał o róz˙ nym kształcie oraz szybko´sc´ przepływu płynu (cieczy, gazów, past, zawiesin, emulsji). W przypadku cieczy newtonowskich warto´sc´ lepko´sci dynamicznej mierzona dla danego składu chemicznego jest stała w danej temperaturze i danych warunkach ci´snienia. Płyny nienewtonowskie charakteryzuje zmienno´sc´ lepko´sci dynamicznej w czasie. Podczas przemysłowego pomiaru lepko´sci w cieczach nienewtonowskich wykorzystywane sa˛ te same przyrzady ˛ pomiarowe jak w przypadku pomiaru lepko´sci cieczy newtonowskich, jednakz˙ e procedury pomiarowe sa˛ zmodyfikowane oraz stosowane sa˛ dodatkowe wska´zniki charakteryzujace ˛ lepko´sc´ płynów. W przypadku przepływów nielaminarnych (tzw. turbulentnych) model teoretyczny jest bardziej złoz˙ ony i wymaga wprowadzenia innych miar, np. lepko´sci turbulentnej. W celu porównania własno´sci róz˙ nych płynów stosuj˛e si˛e poj˛ecie lepko´sci wzgl˛ednej (inaczej zwanej lepko´scia˛ umowna), ˛ która jest liczba˛ bezwymiarowa˛ liczona˛ według okre´slonej zalez˙ no´sci np. jako stosunek lepko´sci cieczy badanej i cieczy wzorcowej: • lepko´sc´ wzgl˛edna gdzie: η wzg - współczynnik lepko´sci wzgl˛ednej [-], η c - współczynnik lepko´sci dynamicznej badanej cieczy [Pa·s], η w - współczynnik lepko´sci dynamicznej cieczy wzorcowej (zazwyczaj wody) [Pa·s]. Lepko´sc´ wzgl˛edna˛ wyraz˙ a si˛e w jednostkach umownych, które stanowia˛ stosunek czasu wypływu badanej cieczy do czasu wypływu cieczy wzorcowej lub okre´slaja˛ czas wypływu 9.

(10) Rozprawa doktorska badanej cieczy ze znormalizowanego aparatu - wówczas lepko´sc´ wzgl˛edna˛ okre´sla si˛e w tzw. stopniach Englera (˚E). Stopnie Englera wyraz˙ aja˛ stosunek czasu wypływu 200 cm3 badanej cieczy w danej temperaturze do czasy wypływu 200 cm3 wody destylowanej w 20 ˚C przez znormalizowana˛ kapilar˛e aparatu Englera. 2.3. Zjawisko lepko´sci w metalurgii Zjawisko lepko´sci w procesach metalurgicznych jest jednym z waz˙ niejszych, majacych ˛ wpływ na zachowanie si˛e reagujacych ˛ faz (metalicznej, z˙ uz˙ lowej, gazowej), w odniesieniu do kinetyki wymiany masy lub reakcji chemicznych [22]. Lepko´sc´ odgrywa znaczac ˛ a˛ rol˛e we wszystkich procesach metalurgicznych: wielkopiecowym, stalowniczym, rafinacji pozapiecowej, odlewania stali, az˙ do procesów zwiazanych ˛ z krzepni˛eciem. Lepko´sc´ jest bardzo waz˙ na z punktu widzenia przepływu ciekłych faz, znajdujacych ˛ si˛e w ciagłym ˛ ruchu w trakcie powyz˙ szych procesów; jak równiez˙ z uwagi na struktur˛e wewn˛etrzna˛ fazy metalicznej, czy z˙ uz˙ lowej i zwiazanej ˛ z tym moz˙ liwo´sciami absorpcji zanieczyszczeń, czy zdolno´sci do odkształcenia w stanach stało-ciekłych. Najwi˛ecej informacji dotyczacych ˛ wła´sciwo´sci reologicznych w obszarze metalurgii odnosi si˛e do formowania metali w stanie stało-ciekłym, wpływu parametrów reologicznych na procesy formowania metalu w stanie stało-ciekłym (ang. SSM - Semi - Solid Metal Forming) [32]. Poczatki ˛ koncepcji formowania metalu w stanie stało-ciekłym si˛egaja˛ roku 1970 [12]. Obecnie powyz˙ sza technologia formowania znalazła zastosowanie przede wszystkim w przetwórstwie metali lekkich (o niz˙ szych temperaturach topnienia) tj.: aluminium, magnezu [47]. Lepko´sc´ jest głównym parametrem reologicznym w procesach formowania stało-ciekłych stopów metali [32]. Wła´sciwo´sci reologiczne substancji czasami wykazuja˛ znaczne zmiany w czasie lub podczas odkształcania. Zmiany te wyst˛epuja˛ odwracalnie lub nieodwracalnie. Lepko´sc´ w procesach SSM jest wska´znikiem definiujacym ˛ zdolno´sc´ metalu do wypełnienia formy (w zalez˙ no´sci od kształtu) oraz okre´sla wymagana˛ sił˛e z jaka˛ nalez˙ y odkształcić materiał. Dany proces moz˙ na nazwać formowaniem tiksotropowym, gdy spełnione sa˛ dwa warunki: temperatura materiału mie´sci si˛e w przedziale mi˛edzy temperaturami likwidus oraz solidus (współistnieja˛ fazy ciekła i stała w odpowiednich proporcjach); mikrostruktura posiada morfologi˛e globularna.˛ Transformacja mikrostruktury z dendrytycznej w globularna˛ (charakteryzujac ˛ a˛ si˛e znacznym spadkiem warto´sci współczynnika lepko´sci badanego medium) nosi nazw˛e przemiany zolu w z˙ el i zachodzi na skutek intensywnego mieszania materiału [9, 42, 43, 44, 47]. Proces tiksoformowania jest procesem dwuetapowym obejmujacym ˛ wytwarzanie materiału wsadowego o globularnej strukturze i dogrzewanie metalu do temperatury, w której wyst˛epuje stan półciekły, a nast˛epnie wykorzystanie metody formowania w stanie stało-ciekłym do kształtowania cz˛esći. Trudno´sci wynikajace ˛ z wysokiej temperatury przetwarzania moga˛ prowadzić do ograniczeń w zastosowaniach powyz˙ szej technologii w rozwiazaniach ˛ przemysłowych, albo10.

(11) Rozprawa doktorska wiem operacje te musza˛ charakteryzować si˛e dobraniem odpowiedniego materiału na matryce, odpowiednia˛ regulacja˛ temperatury i powtarzalno´scia˛ procesu [26]. Celem stosowanych technik tiksoformowania jest poprawa wła´sciwo´sci elementów wytwarzanych w jednym procesie, zapewniajac ˛ wysoka˛ jako´sc´ struktury oraz łatwo´sc´ formowania. Lepko´sc´ roztworów metali w stanie stało-ciekłym zalez˙ y od wielu parametrów i moz˙ e być opisana za pomoca˛ nast˛epujacej ˛ funkcji [4]:. η = f γ˙ + ts + Ta + T˙ +Co + h. . (9). gdzie: η - współczynnik lepko´sci dynamicznej [Pa·s], γ˙ - pr˛edko´sc´ sćinania [s-1 ], ts - czas sćinania [s], Ta - temperatura stopu w stanie stało-ciekłym [K], T˙ - pr˛edko´sc´ chłodzenia [K/s], Co - skład chemiczny stopu [%], h - “historia” stopu [-]. Wyz˙ sza zawarto´sc´ czastek ˛ stałych [4, 18] oraz szybko´sc´ chłodzenia stopu [4, 13] wpływaja˛ na zmiany morfologii mikrostruktury, a tym samy na zmiany warto´sci współczynnika lepkosći. Warto´sc´ współczynnika lepko´sci stopów w stanie stało-ciekłym zalez˙ y równiez˙ od jego poprzedniego stanu wewn˛etrznego (historii stopu). Stan wewn˛etrzny, który nieustannie ulega zmianom musi zostać opisany poprzez parametry “mikrostrukturalne” - dotyczace ˛ morfologii stopu oraz parametry charakteryzujace ˛ przepływ. ˙ z˙ le sa˛ stosowane we wszystkich Innym obszarem badań reologicznych sa˛ fazy z˙ uz˙ lowe. Zu etapach wytwarzania oraz rafinacji stopów z˙ elaza, miedzi, aluminium i innych pierwiastków. ˙ z˙ le zapewniaja˛ ochron˛e powierzchni stopionego metalu przed dost˛epem tlenu z atmosfery Zu oraz wchłaniaja˛ zanieczyszczenia podczas procesów rafinacji metali. Lepko´sc´ z˙ uz˙ li pełni zasadnicza˛ rol˛e w trakcie sćiekania w wielkim piecu przez złoz˙ e koksowe; w procesie pienienia, w trakcie którego nast˛epuje ochrona łuku [51]. Wpływ lepko´sci zasypek krystalizatorowych odgrywa zasadnicza˛ rol˛e podczas smarowania w procesie ciagłego ˛ odlewania stali. W procesach elektroz˙ uz˙ lowej rafinacji lepko´sc´ obydwu faz ma kluczowe znaczenie w trakcie sćiekania kropli metalu przez warstw˛e z˙ uz˙ la. Najmniej informacji literaturowych odnosi si˛e do ciekłych roztworów metali (głównie wysokotemperaturowych), co wynika z faktu trudno´sci eksperymentalnych (tendencja do utleniania; bardzo małe warto´sci lepko´sci rz˛edu tysi˛ecznych i setnych cz˛esći Paskalosekundy). Wartosći te sa˛ na granicy moz˙ liwo´sci pomiarowych obecnie stosowanych urzadze´ ˛ n. Lepko´sc´ ciekłych 11.

(12) Rozprawa doktorska metali odgrywa kluczowa˛ rol˛e w wielu zjawiskach zachodzacych ˛ w warunkach wysokich temperatur, jako bardzo waz˙ ny parametr wykorzystywany do kontroli procesów technologicznych: odlewania, formowania, itd. [1, 5, 37, 40]. Znajomo´sc´ warto´sci parametrów takich jak: g˛esto´sc´ , napi˛ecie powierzchniowe, lepko´sc´ i przewodno´sc´ cieplna jest konieczna do zrozumienia i poprawnego opisu procesów wymiana masy, p˛edu oraz energii w ciekłych metalach. Dokładno´sc´ pomiarów tych wła´sciwo´sci jest podstawowym warunkiem rozwoju procesów w inz˙ ynierii materiałowej. Lepko´sc´ metalu jest waz˙ nym parametrem reologicznym niezb˛ednym do zrozumienia hydrodynamiki i kinetyki reakcji w trakcie odlewania metali. Szybko´sc´ wzrostu p˛echerzyków gazu oraz wchłanianie wtrace´ ˛ n niemetalicznych z metalu, takich jak fosfor i siarka, przez z˙ uz˙ el jest zwiazana ˛ z lepko´scia˛ obydwu o´srodków. Ponadto, szybko´sc´ reakcji pomi˛edzy metalem i z˙ uz˙ lem moz˙ e być okre´slona przez ciagły ˛ pomiar lepko´sci układu [21]. Na podstawie zalez˙ no´sci pomi˛edzy lepko´scia˛ a czasem sćinania moz˙ na oszacować ułamek frakcji stałej i wielko´sc´ kryształów w temperaturach poniz˙ ej temperatury topnienia [14]. Na potrzeby symulacji procesów metalurgicznych niezb˛edny jest dost˛ep do danych eksperymentalnych w szerokim zakresie składów chemicznych oraz temperatury w odniesieniu do metalu ale równiez˙ faz tlenkowych - z˙ uz˙ li metalurgicznych [46]. Dane pochodzace ˛ z wysokotemperaturowych pomiarów sa˛ niezb˛edne przy projektowaniu nowych procesów oraz optymalizacji juz˙ istniejacych ˛ (lepsza kontrola procesu, poprawa jako´sci produktów). W minionych latach powstało wiele modeli matematycznych pomocnych przy opisach: termodynamicznym, kinetycznym, przepływie płynów oraz wymianie ciepła. Podstawa˛ dla stworzenia dokładnych modeli było otrzymanie “dobrych” (poprawnych) danych pochodzacych ˛ z pomiarów. Ze wzgl˛edu na trudno´sci zwiazane ˛ z dost˛epem do specjalistycznej aparatury (reometry wysokotemperaturowe) oraz stopniem skomplikowania jakim obarczone sa˛ pomiary reologiczne, w literaturze przedmiotu znajduja˛ si˛e nieliczne dane [19, 38] dotyczace ˛ ciekłych roztworów z˙ elaza. Na rysunku 3 zaprezentowano schemat obrazujacy ˛ etapy modelowania matematycznego zjawisk fizycznych, w tym zachodzacych ˛ w procesach stalowniczych. Modelowanie to odbywa si˛e na czterech poziomach [35]: • przeprowadzenie analizy eksperymentalnej – znajdujacej ˛ si˛e w obszarze zainteresowań autorki niniejszej pracy - w kontek´scie badań reologicznych ciekłych stopów z˙ elaza, • zastosowanie do modelowania narz˛edzi sztucznej inteligencji, m.in.: sieci neuronowych, systemów ekspertowych itp., • optymalizacja procesów, • kontrola procesów.. 12.

(13) Rozprawa doktorska. Rys. 3. Schemat matematycznego modelowania zjawisk fizycznych odnoszacych ˛ si˛e takz˙ e do procesów stalowniczych [35]. 2.4. Klasyfikacja płynów Wła´sciwo´sci reologiczne wielu układów rzeczywistych moz˙ na opisać za pomoca˛ koncepcji płynu doskonale lepkiego Newtona (płynu newtonowskiego). Wykres reologiczny płynu newtonowskiego jest sporzadzany ˛ w układzie współrz˛ednych: napr˛ez˙ enie styczne τ jako funkcja ˙ Wykres zalez˙ no´sci: szybko´sci sćinania γ. ˙ τ = f (γ). (10). nazywamy krzywa˛ płyni˛ecia. Drugi sposób przedstawiania zalez˙ no´sci polega na wykre´slaniu krzywej lepko´sci w funkcji szybko´sci sćinania (11): ˙ η = f (γ). (11). Rozwój badań dotyczacych ˛ przepływu płynów moz˙ na podzielić na trzy etapy, wynikajace ˛ z przyjmowanej w danym momencie klasyfikacji płynów [11]. W etapie pierwszym zagadnienia przepływu płynów rozwiazywane ˛ były w oparciu o przepływy płynów doskonałych lub idealnych, czyli nielepkich i nie´sci´sliwych (ciecz Pascala). Koncepcja płynu doskonałego zawodzi w zdecydowanej wi˛ekszo´sci przepływów płynów rzeczywistych. W 1904 roku opracowanie i opublikowanie teorii warstwy granicznej przez Prandtla dało poczatek ˛ drugiemu etapowi rozwoju mechaniki płynów, a nast˛epnie reologii. Teoria ta umoz˙ liwiła opracowanie zagadnień dla najprostszego płynu rzeczywistego - płynu newtonowskiego. Wzrastajace ˛ znaczenie praktycznych procesów z udziałem płynów o złoz˙ onych wła´sciwo´sciach reologicznych dało poczatek ˛ rozwojowi trzeciego etapu badań mechaniki płynów i reologii. Efektem tych badań było stwier13.

(14) Rozprawa doktorska dzenie, z˙ e istnieje wiele płynów, które nie spełniaja˛ prawa Newtona, nalez˙ a˛ one zatem do grupy płynów nienewtonowskich [23]. Na rysunku 4 przedstawiono schemat klasyfikacji płynów.. Rys. 4. Klasyfikacja płynów ze wzgl˛edu na zachowania reologiczne [11]. Płyny, których lepko´sc´ nie jest warto´scia˛ stała˛ w danej temperaturze i ci´snieniu nosza˛ nazw˛e płynów nienewtonowskich. Najogólniej moz˙ na powiedzieć, z˙ e lepko´sc´ w przypadku tych cieczy jest zalez˙ na od czasu oraz szybko´sci sćinania. Płyny rzeczywiste zwykle dzieli si˛e na dwie podstawowe grupy [11, 23, 41]: • Płyny newtonowskie - w tym przypadku wyst˛epuje prosta proporcjonalno´sc´ mi˛edzy napr˛ez˙ eniem stycznym a szybko´scia˛ sćinania. • Płyny nienewtonowskie - lepko´sc´ w przypadku tych cieczy jest zalez˙ na od czasu oraz szybko´sci sćinania: ◦ Płyny reologicznie stabilne - reostabilne (lepkie płyny nienewtonowskie, płyny czysto lepkie) - ich wła´sciwo´sci reologiczne nie zalez˙ a˛ od czasu sćinania, szybko´sc´ sćinania w danym punkcie jest funkcja˛ napr˛ez˙ enia stycznego w tym punkcie; płyn doskonale lepki Newtona moz˙ na traktować jako szczególny przypadek tej grupy płynów: Płyny nie majace ˛ granicy płyni˛ecia (płyny Stokesa): ∗ Płyny rozrzedzane sćinaniem (pseudoplastyczne) - tego typu płyny stanowia˛ najliczniejsza˛ grup˛e płynów nienewtonowskich, w tym przypadku warto´sc´ lepko´sci maleje wraz ze wzrostem warto´sci pr˛edko´sci sćinania. 14.

(15) Rozprawa doktorska ∗ Płyny zag˛eszczane sćinaniem - płyny, których warto´sc´ lepko´sci ro´snie wraz ze wzrostem warto´sci pr˛edko´sci sćinania. ∗ Płyny lepkospr˛ez˙ yste - ich wła´sciwo´sci reologiczne stanowia˛ połaczenie ˛ własćiwo´sci reologicznych płynów lepkich i stałych ciał spr˛ez˙ ystych. Podstawowa˛ cecha˛ odróz˙ niajac ˛ a˛ płyn spr˛ez˙ ystolepki od płynu lepkiego jest wyst˛epowanie cz˛esćiowego spr˛ez˙ ystego powrotu odkształcenia po usuni˛eciu przyłoz˙ onego napr˛ez˙ enia stycznego powodujacego ˛ odkształcenie. Natomiast zasadnicza˛ cecha˛ odróz˙ niajac ˛ a˛ płyn spr˛ez˙ ystolepki od ciała spr˛ez˙ ystego jest wyst˛epowanie przepływu, czyli nieodwracalnego, post˛epujacego ˛ w czasie odkształcenia. Płyny z granica˛ płyni˛ecia (plastycznolepkie) - w tym przypadku w układach wyst˛epuje graniczne napr˛ez˙ enie styczne, poniz˙ ej którego substancja zachowuje si˛e jak ciało stałe: ∗ Płyn plastycznolepki Binghama - płyn posiadajacy ˛ granic˛e płyni˛ecia, co oznacza, z˙ e poniz˙ ej pewnej granicy napr˛ez˙ eń zachowuje si˛e jak ciało stałe, a powyz˙ ej jak płyn lepki. ∗ Nieliniowy płyn plastycznolepki - płyn posiadajacy ˛ granic˛e płyni˛ecia. Krzywa płyni˛ecia wykre´slona dla tego typu płynu nie przecina osi rz˛ednych w s´rodku układu współrz˛ednych i nie jest liniowa. ◦ Płyny reologicznie niestabilne - ich wła´sciwo´sci reologiczne zalez˙ a˛ od czasu sćinania, w tym przypadku szybko´sc´ sćinania jest funkcja˛ wielko´sci oraz czasu trwania napr˛ez˙ enia stycznego: Płyny tiksotropowe - warto´sc´ lepko´sci płynów tiksotropowych zalez˙ y zarówno od aktualnie działajacego ˛ napr˛ez˙ enia stycznego lub utrzymywanej szybko´sci sćinania, jak równiez˙ od “historii” sćinania układu, tzn. od przebiegu sćinania w czasie poprzedzajacym ˛ rozwaz˙ any moment. Zjawisko tiksotropii polega na tym, z˙ e w warunkach izotermicznego przepływu płynu, który uprzednio znajdował si˛e przez dłuz˙ szy czas w spoczynku, przy stałej szybko´sci sćinania napr˛ez˙ enie styczne maleje odwracalnie z upływem czasu. Płyny antytiksotropowe - zjawisko antytiksotropii polega na tym, z˙ e w tych samych warunkach napr˛ez˙ enie styczne ro´snie odwracalnie z upływem czasu. Przykładowe krzywe lepko´sci płynów nienewtonowskich zaprezentowano na Rys. 5.. 15.

(16) Rozprawa doktorska. Rys. 5. Krzywe lepko´sci dla płynów bez granicy płyni˛ecia: 1) płyn newtonowski, η = const; 2) płyn rozrzedzany sćinaniem, 3) płyn zag˛eszczany sćinaniem [11]. Linia numer jeden obrazuje zachowanie płynu newtonowskiego, którego lepko´sc´ nie zmienia si˛e w czasie i bez wzgl˛edu na zmian˛e warto´sci pr˛edko´sci sćinania zachowuje stała˛ warto´sc´ . Linie oznaczone symbolami 2 i 3 przedstawiaja˛ krzywe płyni˛ecia przykładowych płynów nienewtonowskich. Krzywa lepko´sci oznaczona cyfra˛ 2 charakteryzuje płyn rozrzedzany sćinaniem, w tym przypadku warto´sc´ lepko´sci maleje wraz ze wzrostem warto´sci pr˛edko´sci sćinania. Wykres podpisany numerem 3 prezentuje krzywa˛ lepko´sci płynu zag˛eszczanego sćinaniem, którego lepko´sc´ ro´snie wraz ze wzrostem warto´sci pr˛edko´sci sćinania. W rzeczywisto´sci najcz˛esćiej mamy do czynienia z płynami, które wykazuja˛ rozrzedzanie struktury pod wpływem przyłoz˙ onych sił.. 16.

(17) Rozprawa doktorska 2.5. Matematyczne modele obliczania współczynnika lepko´sci dynamicznej cieczy 2.5.1. Modele reologiczne W literaturze przedmiotu wielokrotnie podejmowano próby opisu krzywej płyni˛ecia odpowiednim matematycznym modelem reologicznym. Powyz˙ sze modele sa˛ niezb˛edne przy analitycznym rozwiazywaniu ˛ zagadnień zwiazanych ˛ z przepływem płynów nienewtonowskich. Modele reologiczne stanowia˛ grup˛e równań, które poza lepko´scia˛ dynamiczna˛ uwzgl˛edniaja˛ takz˙ e pozostałe parametry reologiczne: pr˛edko´sc´ sćinania, czas sćinania. Cz˛esto zwiazek ˛ mi˛edzy napr˛ez˙ eniem sćinajacym ˛ a szybko´scia˛ sćinania wykre´slany jest we współrz˛ednych logarytmicznych. Najprostszym matematycznym modelem reologicznym, który opisuje krzywa˛ płyni˛ecia płynu nienewtonowskiego w zakresie po´srednich szybko´sci sćinania jest tzw. model pot˛egowy Ostwalda - de Waele w postaci [7, 23] : ˙n τ = k(γ). (12). gdzie: k - stała wyznaczana do´swiadczalnie [N·sn /m2 ] , n - wykładnik pot˛egi wyznaczany do´swiadczalnie [-] , τ - napr˛ez˙ enie styczne [Pa], γ˙ - pr˛edko´sc´ sćinania [s-1 ]. Model pot˛egowy stworzony przez W. Ostwalda i A. De Waele jest najprostszym matematycznym modelem reologicznym uogólnionego płynu newtonowskiego, zawierajacym ˛ tylko dwie konieczne do wyznaczenia stałe. W celu lepszego opisu danych do´swiadczalnych liczni autorzy zaproponowali stosowanie matematycznych modeli reologicznych o bardziej złoz˙ onej budowie. W tablicy 1 zaprezentowano najcz˛esćiej cytowane modele [23] opisujace ˛ zalez˙ no´sc´ napr˛ez˙ enia stycznego od szybko´sci sćinania dla wszystkich płynów reostabilnych nie majacych ˛ granicy płyni˛ecia: Tab. 1. Matematyczne modele reologiczne opisujace ˛ zalez˙ no´sc´ napr˛ez˙ enia stycznego od szybko´sci sćinania dla płynów reostabilnych (nie majacych ˛ granicy płyni˛ecia) [23] Twórca modelu. Postać matematyczna. Parametry reologiczne (do´swiadczalnie okre´slone). 1 γ˙ A+Bτ α−1 η0 = 1+Cτ n γ˙. S. B. Ellis. τ=. A [m2 /N·s]; B [m2α /Nα ·s]; a [-]. E. S. De Haven. τ. η0 [N·s/m2 ]; C [[m2n /Nn ]; n[-]. L. Prandtl - H. Eyring R. E. Powell - H. Eyring M. Reiner-W. Philippoff A. Sisko. τ = A arcsin h. 1 ˙ Bγ. A [N/m2 ]; B [s-1 ]. . τ = Cγ˙ + B1 arcsin h A1 γ˙ η0 −η∞ τ = η∞ + 2 γ˙ 1+( Aτ ). . A[s-1 ]; B [m2 /N]; C [N·s/m2 ] η0 , η∞ [N·s/m2 ]; A [N/m2 ] A [N·s/m2 ]; B [N·sn /m2 ]; n [-]. ˙n τ = Aγ˙ + B (γ). 17.

(18) Rozprawa doktorska Symbole η0 , η∞ uz˙ yte w równaniach De Havena oraz Reinera-Philippoffa oznaczaja: ˛ lepko´sc´ graniczna˛ przy odpowiednio bardzo małej i bardzo duz˙ ej szybko´sci sćinania. Korzystajac ˛ z definicji lepko´sci pozornej (η 0 6=0, gdy warto´sc´ lepko´sci przy stałej warto´sci sćinania zmienia swoja˛ warto´sc´ ) moz˙ na sformułować tzw. uogólnione prawo Newtona: 0. τ = η γ˙. (13). gdzie: τ - napr˛ez˙ enie styczne [Pa], 0. η - lepko´sc´ pozorna [Pa·s], γ˙ - szybko´sc´ sćinania [s-1 ]. Równanie (13) jest przydatne do obliczeń tylko wtedy, gdy dokonamy ilo´sciowego okre´slenia lepko´sci pozornej [23]. Dlatego tez˙ od lat podejmowano próby opracowania modeli lepko´sci umoz˙ liwiajacych ˛ obliczenie tej lepko´sci z mniejszym bad´ ˛ z wi˛ekszym przybliz˙ eniem. Najwi˛ecej modeli lepko´sci opracowano dla grupy płynów nienewtonowskich, które moz˙ na opisać za pomoca˛ uogólnionego prawa Newtona. Wielu autorów uwaz˙ a równiez˙ , iz˙ równanie (13) daje moz˙ liwo´sc´ - w połaczeniu ˛ z odpowiednim modelem lepko´sci - opisu płynów spr˛ez˙ ystolepkich [23]. Moz˙ liwo´sc´ ta wynika z faktu, iz˙ w modelach płynów spr˛ez˙ ystolepkich wyst˛epuje co najmniej jedna stała czasu charakteryzujaca ˛ efekt spr˛ez˙ ysty płynu. Z charakterystyki przebiegu krzywej wyznaczonej przez Ostwalda (model Ostwalda - równanie 12) wynika, z˙ e w zakresie szybko´sci sćinania, w którym wyst˛epuje ruch laminarny, uogólniony płyn newtonowski charakteryzowany jest przez dwa parametry η0 , η∞ - lepko´sci graniczne przy (odpowiednio) bardzo małej i bardzo duz˙ ej szybko´sci sćinania. Sa˛ one wykorzystywane do wyznaczenia warto´sci lepko´sci pozornej. Cz˛esto w modelach lepko´sci wykorzystywany jest równiez˙ parametr τm - napr˛ez˙ enie styczne, przy którym: 0. η =. 1 (η0 + η∞ ) 2. (14). dla η∞ << η0 gdzie: 0. η - lepko´sc´ pozorna [Pa·s], η0 - lepko´sc´ graniczna przy bardzo małej szybko´sci sćinania [Pa·s], η∞ - lepko´sc´ graniczna przy bardzo duz˙ ej szybko´sci sćinania [Pa·s]. Z uwagi na fakt, iz˙ dla wielu uogólnionych płynów newtonowskich lepko´sc´ η∞ jest duz˙ o mniejsza od η0 równanie (14) moz˙ na upro´scić do nast˛epujacej ˛ postaci: 0 1 η ≈ η0 2. gdzie: 18. (15).

(19) Rozprawa doktorska 0. η - lepko´sc´ pozorna [Pa·s], η0 - lepko´sc´ graniczna przy bardzo małej szybko´sci sćinania [Pa·s]. Napr˛ez˙ enie styczne odpowiadajace ˛ lepko´sci pozornej równej 1/2 η0 , oznaczamy symbolem τ1/2 . Powyz˙ sze cztery elementy (η0 , η∞ ,τm ,τ1/2 ) wyst˛epuja˛ w wielu modelach lepko´sci [23]. Proponowane przez róz˙ nych autorów modele lepko´sci maja˛ charakter empiryczny, teoretyczny, bad´ ˛ z empiryczno-teoretyczny. Najprostsze funkcje opisuja˛ lepko´sc´ pozorna˛ jedynie w waskich ˛ przedziałach szybko´sci sćinania. Modele lepko´sci, które umoz˙ liwiaja˛ obliczenie warto´sci lepko´sci w szerokim zakresie szybko´sci sćinania charakteryzuja˛ si˛e zwykle skomplikowana˛ formuła˛ i rzadko sa˛ przydatne do rozwiazywania ˛ problemów technicznych. Z punktu widzenia zakresu stosowania modeli lepko´sci moz˙ na je podzielić na trzy grupy [23]: • modele opisujace ˛ lepko´sc´ pozorna˛ w zakresie s´rednich szybko´sci sćinania, • modele opisujace ˛ lepko´sc´ pozorna˛ w zakresie niskich i s´rednich szybko´sci sćinania, • modele opisujace ˛ lepko´sc´ pozorna˛ w całym zakresie szybko´sci sćinania w zakresie przepływu laminarnego. Modelem lepko´sci do´sc´ dokładnie opisujacym ˛ lepko´sc´ pozorna˛ w zakresie s´rednich szybko´sci sćinania jest model pot˛egowy Ostwalda - de Waele (równanie 12). Zakres niskich i s´rednich szybko´sci sćinania moz˙ na opisać za pomoca˛ modelu opracowanego przez S. B. Ellisa, H. Eyringa lub J. L. Sutterby’ego [23]. Z wymienionych modeli jednym z najcz˛esćiej cytowanych w literaturze przedmiotu jest model Ellisa: η0. 0. η = 1+. (16). α−1. τ τ1. 2. gdzie: 0. η - lepko´sc´ pozorna [Pa·s], η0 - lepko´sc´ graniczna przy bardzo małej szybko´sci sćinania [Pa·s], τ - napr˛ez˙ enie styczne [Pa], τ 1 - napr˛ez˙ enie styczne odpowiadajace ˛ lepko´sci pozornej równej 1/2 η0 [Pa], 2. α - wykładnik, dla wielu stopów przyjmuje warto´sc´ w przedziale 1-3 [-]. Wykładnik (α-1) jest nachyleniem linii uzyskanej z wykre´slenia zalez˙ no´sci: " η0 log = f log 0 −1 η . τ τ1. !#. 2. gdzie: η0 - lepko´sc´ graniczna przy bardzo małej szybko´sci sćinania [Pa·s], 0. η - lepko´sc´ pozorna [Pa·s], 19. (17).

(20) Rozprawa doktorska τ - napr˛ez˙ enie styczne [Pa], τ 1 - napr˛ez˙ enie styczne odpowiadajace ˛ lepko´sci pozornej równej 2. 1 2. η0 [Pa].. Drugim modelem umoz˙ liwiajacym ˛ obliczenie lepko´sci przy niskich i s´rednich warto´sciach szybko´sci sćinania jest dwuparametrowy model Eyringa: 0. η = η0. ˙ arcsin h (β γ) β γ˙. (18). gdzie: η0 - lepko´sc´ graniczna przy bardzo małej szybko´sci sćinania [Pa·s], 0. η - lepko´sc´ pozorna [Pa·s], γ˙ - szybko´sc´ sćinania [s-1 ], β - czas charakterystyczny [s]. Sutterby przedstawił uogólnione równianie Eyringa, majace ˛ na celu lepsze opisanie danych do´swiadczalnych: . 0. η = η0. ˙ arcsin h (β γ) β γ˙. α−1. (19). gdzie: η0 - lepko´sc´ graniczna przy bardzo małej szybko´sci sćinania [Pa·s], 0. η - lepko´sc´ pozorna [Pa·s], γ˙ - szybko´sc´ sćinania [s-1 ], β - czas charakterystyczny [s], α - stała, α>1 [-]. W 1961 roku powstał model nazywany od nazwiska twórców (K. Steiger-Trippi, A. Ory) modelem Steigera-Ory (20): γ˙ = c1 · τ + c2 · τ 3. (20). gdzie: 1 c1 - współczynnik równania [ Pa·s ],. c2 - współczynnik równania [ Pa13 ·s ], τ - napr˛ez˙ enie styczne [Pa]. Do obliczenia lepko´sci w całym zakresie szybko´sci sćinania stosuje si˛e m.in. uogólnienia wzoru (18). Pierwszym tego typu modelem jest model Powella: 0. η = η∞ + (η0 − η∞ ) 20. ˙ arcsin h (β γ) β γ˙. (21).

(21) Rozprawa doktorska gdzie: η∞ - lepko´sc´ graniczna przy bardzo duz˙ ej szybko´sci sćinania [Pa·s], η0 - lepko´sc´ graniczna przy bardzo małej szybko´sci sćinania [Pa·s], 0. η - lepko´sc´ pozorna [Pa·s], γ˙ - szybko´sc´ sćinania [s-1 ], β - czas charakterystyczny [s]. Model zaproponowany przez Sutterby’ego (19) został uogólniony na cały zakres szybko´sci sćinania przez Eyringa: ˙ arcsin h (β γ) η = η∞ + (η0 − η∞ ) β γ˙ . 0. α−1. (22). gdzie: η∞ - lepko´sc´ graniczna przy bardzo duz˙ ej szybko´sci sćinania [Pa·s], η0 - lepko´sc´ graniczna przy bardzo małej szybko´sci sćinania [Pa·s], 0. η - lepko´sc´ pozorna [Pa·s], γ˙ - szybko´sc´ sćinania [s-1 ], β - czas charakterystyczny [s], α - stała, α>1 [-]. Cały zakres szybko´sci sćinania opisuje równiez˙ model G. R. Seely’ego, który jest modelem trójparametrowym zakładajacym, ˛ z˙ e lepko´sc´ zmienia si˛e wykładniczo z napr˛ez˙ eniem: 0. η = η∞ + (η0 − η∞ ) exp − σ τ. (23). gdzie: η∞ - lepko´sc´ graniczna przy bardzo duz˙ ej szybko´sci sćinania [Pa·s], η0 - lepko´sc´ graniczna przy bardzo małej szybko´sci sćinania [Pa·s], 0. η - lepko´sc´ pozorna [Pa·s], σ - napr˛ez˙ enie [Pa], τ - napr˛ez˙ enie styczne [Pa]. R. L. Peek, Jr. i D. A. McLean zaproponowali model postaci: 0. η = η∞ +. η0 − η∞ 1 + ττm. gdzie: η∞ - lepko´sc´ graniczna przy bardzo duz˙ ej szybko´sci sćinania [Pa·s], η0 - lepko´sc´ graniczna przy bardzo małej szybko´sci sćinania [Pa·s], 0. η - lepko´sc´ pozorna [Pa·s], τ - napr˛ez˙ enie styczne [Pa], 21. (24).

(22) Rozprawa doktorska τm - napr˛ez˙ enie styczne [Pa]. Podobna˛ postać do modelu Peeka i McLeana ma model Rienera-Philippoffa, z ta˛ róz˙ nica,˛ z˙ e w tym przypadku stosunek napr˛ez˙ eń wyst˛epuje w drugiej pot˛edze: 0. η = η∞ +. η0 − η∞ 2 1 + ττm. (25). gdzie: η∞ - lepko´sc´ graniczna przy bardzo duz˙ ej szybko´sci sćinania [Pa·s], η0 - lepko´sc´ graniczna przy bardzo małej szybko´sci sćinania [Pa·s], 0. η - lepko´sc´ pozorna [Pa·s], τ - napr˛ez˙ enie styczne [Pa], τm - napr˛ez˙ enie styczne [Pa]. Uogólnieniem zalez˙ no´sci (24) oraz (25) jest model D. M. Metera [23]: 0. η = η∞ +. η0 − η∞ α−1 1 + ττm. (26). gdzie: η∞ - lepko´sc´ graniczna przy bardzo duz˙ ej szybko´sci sćinania [Pa·s], η0 - lepko´sc´ graniczna przy bardzo małej szybko´sci sćinania [Pa·s], 0. η - lepko´sc´ pozorna [Pa·s], τ - napr˛ez˙ enie styczne [Pa], τm - napr˛ez˙ enie styczne [Pa], α - wykładnik [-]. Zaprezentowane poniz˙ ej modele stanowia˛ grup˛e równań, które pierwotnie były opracowane dla polimerów, jednakz˙ e obecnie stosowane sa˛ równiez˙ do obliczania warto´sci współczynnika lepko´sci metali. Pierwszym tego typu modelem jest równanie M. M. Crossa [36, 58]: ˙ − η∞ η (γ) 1 = ˙ p η0 − η∞ 1 + (c · γ) gdzie: ˙ - lepko´sc´ [Pa·s], η(γ) η∞ - lepko´sc´ graniczna przy bardzo duz˙ ej szybko´sci sćinania [Pa·s], η0 - lepko´sc´ graniczna przy bardzo małej szybko´sci sćinania [Pa·s], c - stała Crossa [-], p - eksponenta Crossa [-]. Niewielka˛ modyfikacj˛e do modelu Crossa wprowadził P. J. Carreau [36, 58]: 22. (27).

(23) Rozprawa doktorska ˙ − η∞ η (γ) 1 p = η0 − η∞ ˙2 1 + (c1 · γ). (28). gdzie: ˙ - lepko´sc´ [Pa·s], η(γ) η∞ - lepko´sc´ graniczna przy bardzo duz˙ ej szybko´sci sćinania [Pa·s], η0 - lepko´sc´ graniczna przy bardzo małej szybko´sci sćinania [Pa·s], c1 - stała Carreau [s], p - eksponenta Carreau [-]. Modyfikacj˛e do równania (28) wprowadził M. Gahleitner [36]: ˙ − η∞ 1 η (γ) = ˙ p1 ) p η0 − η∞ 1 + ((c1 · γ). (29). gdzie: ˙ - lepko´sc´ [Pa·s], η(γ) η∞ - lepko´sc´ graniczna przy bardzo duz˙ ej szybko´sci sćinania [Pa·s], η0 - lepko´sc´ graniczna przy bardzo małej szybko´sci sćinania [Pa·s], c1 - stała Carreau [s], p1 - eksponenta Gahleitnera [-], gdy p1 =2 model jest toz˙ samy z modelem (28) , p - eksponenta Carreau [-]. Kolejna˛ modyfikacj˛e do modelu (28) wprowadził K. Yasuda tworzac ˛ tym samym cz˛esto cytowane w literaturze [36, 58] równanie umoz˙ liwiajace ˛ obliczenie warto´sci lepko´sci płynów pseudoplastycznych: ˙ − η∞ η (γ) = η0 − η∞. 1 ˙ p1 ) 1 + ((λ · γ). 1−p p1. (30). gdzie: ˙ - lepko´sc´ [Pa·s], η(γ) η∞ - lepko´sc´ graniczna przy bardzo duz˙ ej szybko´sci sćinania [Pa·s], η0 - lepko´sc´ graniczna przy bardzo małej szybko´sci sćinania [Pa·s], λ - czas relaksacji [s], p1 - eksponenta Yasudy [-] , p - indeks: p<1 - dla płynów rozrzedzanych sćinaniem, p>1 - dla płynów zag˛eszczanych sćinaniem, p=1 - dla płynów idealnie lepkich [-]. Model uwzgl˛edniajacy ˛ krzywa˛ lepko´sci przy załoz˙ eniu, z˙ e τ = τc , gdy lepko´sc´ jest równa η=. η0 2. przy załoz˙ eniu, z˙ e warto´sc´ lepko´sci η∞ jest mniejsza od lepko´sci η0 został sformuło-. wany przez I. M. Krieghera i T. J. Doughertyeg’o [36, 58]: 23.

(24) Rozprawa doktorska. ˙ − η∞ η (γ) τc = η0 − η∞ τc + τ. (31). gdzie: ˙ - lepko´sc´ [Pa·s], η(γ) η∞ - lepko´sc´ graniczna przy bardzo duz˙ ej szybko´sci sćinania [Pa·s], η0 - lepko´sc´ graniczna przy bardzo małej szybko´sci sćinania [Pa·s], τc - napr˛ez˙ enie krytyczne [Pa], τ - napr˛ez˙ enie styczne [Pa]. Kolejne równanie uwzgl˛edniajace ˛ wielko´sci zwiazane ˛ z przepływem tj. lepko´sc´ płynu przy pr˛edko´sci sćinania da˛z˙ acej ˛ do 0 oraz do ∞ zostało opracowane przez G. V. Vinogradova i E. S. Malkina [36]: ˙ − η∞ η (γ) 1 = η0 − η∞ 1 + c1 · γ˙ p + c2 · γ˙2p. (32). gdzie: ˙ - lepko´sc´ [Pa·s], η(γ) η∞ - lepko´sc´ graniczna przy bardzo duz˙ ej szybko´sci sćinania [Pa·s], η0 - lepko´sc´ graniczna przy bardzo małej szybko´sci sćinania [Pa·s], c1 ,c2 - napr˛ez˙ enie krytyczne [s], p - wykładnik [-]. S. B. Ellis i A. W. Sisko [36, 58] w latach 1927 oraz 1958 opracowali model słuz˙ acy ˛ do obliczenia lepko´sci dla niskich i duz˙ ych szybko´sci sćinania. Obydwa modele zawieraja˛ stała˛ c równania oraz parametr p: τ = η0 · γ˙ + c · γ˙ p. (33). τ = c · γ˙ p + η∞ · γ˙. (34). gdzie: ˙ - lepko´sc´ [Pa·s], η(γ) η∞ - lepko´sc´ graniczna przy bardzo duz˙ ej szybko´sci sćinania [Pa·s], η0 - lepko´sc´ graniczna przy bardzo małej szybko´sci sćinania [Pa·s], c,p - stałe [-]. W. M. Phillips i S. Deutsch [36] opracowali model zawierajacy ˛ w sobie współczynniki lepko´sci. W zalez˙ no´sci od warto´sci pr˛edko´sci sćinania lepko´sci η0 oraz η∞ reprezentowane sa˛ 24.

(25) Rozprawa doktorska przez inne współczynniki. W równaniu załoz˙ ono, z˙ e przy bardzo małych pr˛edko´sciach sćinania współczynnik c reprezentuje lepko´sc´ η0 , natomiast wyraz˙ enie (c1 ·c2 /c3 ) reprezentuje lepko´sc´ η∞ : τ = c1 ·. (1 + c2 · γ˙2 ) · γ˙ (1 + c3 · γ˙2 ). (35). gdzie: c1 - współczynnik lepko´sci [Pa·s], c2 - lepko´sc´ graniczna przy bardzo duz˙ ej szybko´sci sćinania [s2 ], c3 - lepko´sc´ graniczna przy bardzo małej szybko´sci sćinania [s2 ], τ - napr˛ez˙ enie styczne [Pa], γ˙ - pr˛edko´sc´ sćinania [s-1 ]. Model E. C. Binghama jest równaniem uwzgl˛edniajacym ˛ granic˛e plastyczno´sci oraz tzw. lepko´sc´ plastyczna,˛ zwana˛ równiez˙ lepko´scia˛ Binghama ηB [36]: τ = τB + ηB · γ˙. (36). gdzie: τ - napr˛ez˙ enie styczne [Pa], τB - napr˛ez˙ enie Binghama [Pa], ηB - lepko´sc´ Binghama [Pa·s], γ˙ - pr˛edko´sc´ sćinania [s-1 ]. Model Binghama nie zawiera trudnych do bezpo´sredniej interpretacji w jednostkach fizycznych parametrów (np. n w modelu W. H. Herschela i R. Bulkleya), stad ˛ tez˙ powszechnie wyniki przedstawia si˛e w układzie dwóch zmiennych z tego modelu. Zaleta˛ matematycznego opisu cieczy nienewtonowskich w postaci równań (16-36) jest wyznaczenie jej lepko´sci pozornej, co znacznie upraszcza procedury algorytmiczne przy programowaniu numerycznym. Do wad powyz˙ szego zapisu matematycznego zaliczyć nalez˙ y konieczno´sc´ wyznaczania granicznych lepko´sci pozornych, co nie zawsze jest technicznie i technologicznie moz˙ liwe [11]. 2.5.2. Modele niereologiczne W literaturze istnieje liczna grupa modeli umoz˙ liwiajacych ˛ obliczenie lepko´sci dynamicznej płynów przy uz˙ yciu wielko´sci fizycznych, termodynamicznych, etc. W modelach tego typu pomija si˛e wpływ parametrów reologicznych na warto´sc´ lepko´sci dynamicznej. W takim podej´sciu warto´sc´ lepko´sci dynamicznej jest podawana jako warto´sc´ stała - wyliczona z równania. Spo´sród tej grupy modeli moz˙ emy wyróz˙ nić niewielka˛ grup˛e, w których równania uwzgl˛edniaja˛ wielko´sc´ i kształt czastek ˛ badanych mediów. Ze wzgl˛edu na konieczno´sc´ okre´slenia 25.

(26) Rozprawa doktorska wielko´sci czastek ˛ modele nalez˙ ace ˛ do tej grupy słuz˙ a˛ do obliczania lepko´sci zawiesin oraz polimerów. Jednym z najbardziej znanych tego typu modeli jest model A. Einsteina [25]: ηR =. ηS = 1 + 2, 5ΦS ηL. (37). gdzie: ηR - lepko´sc´ [Pa·s], ηS - lepko´sc´ zawiesiny [Pa·s], ηL - lepko´sc´ pozostałej cieczy [Pa·s], Φs - ułamek obj˛eto´sciowy czastek ˛ stałych [-]. Równanie Einsteina sprawdza si˛e jedynie przy niewielkich warto´sciach ułamka obj˛eto´sciowego czastek ˛ stałych Φs ≤ 0, 05. R. Roscoe opracował inne równanie [25]: ηR = (1 − RΦS )−n. (38). gdzie: ηR - lepko´sc´ [Pa·s], Φs - ułamek obj˛eto´sciowy czastek ˛ stałych [-], R - parametr okre´slony do´swiadczalnie (dla czastek ˛ porównywalnych przyjmuje warto´sc´ 1,35; dla czastek ˛ o róz˙ nym kształcie warto´sc´ 2,5), n - parametr okre´slony do´swiadczalnie (dla czastek ˛ porównywalnych przyjmuje warto´sc´ 1,0; dla czastek ˛ o róz˙ nym kształcie warto´sc´ 2,5). Równanie Roscoe wykazuje bardzo dobra˛ przewidywalno´sc´ w stosunku do lepko´sci heterogenicznych stopów krzemianowych (z˙ uz˙ li). Zachowanie si˛e stopów krzemowych o charakterze heterogenicznym przypomina zachowanie płynu newtonowskiego jedynie przy niewielkim udziale czastek ˛ stałych. Model Einsteina-Roscoe został zaproponowany jako modyfikacja dwóch powyz˙ szych równań, do obliczenia lepko´sci cieczy z udziałem czastek ˛ stałych [45]: η = η0 (1 − a f )−n gdzie: η - lepko´sc´ cieczy z czastkami ˛ stałymi (zawiesiny) [Pa·s], η0 - lepko´sc´ cieczy [Pa·s], f - udział fazy stałej w cieczy [%], a - odwrotno´sc´ maksymalnego współczynnika udziału fazy stałej [-], n - stała zalez˙ na od geometrii czastek ˛ (dla czastek ˛ sferycznych = 2,5) [-]. 26. (39).

(27) Rozprawa doktorska Parametry wyst˛epujace ˛ w modelach lepko´sci moz˙ na wyznaczyć z danych do´swiadczalnych (η0 , η∞ ) lub okre´slić np. za pomoca˛ metody zaproponowanej przez R. H. Stewarta. Metoda ta polega na znalezieniu krzywej do´swiadczalnej, wykre´slonej w odpowiednim układzie współrz˛ednych, krzywej o zbliz˙ onym przebiegu na przygotowanym wcze´sniej wykresie roboczym [23]. Lepko´sc´ jest istotnym parametrem kinetycznym zwiazanym ˛ z przenoszeniem p˛edu w gazach lub cieczach. Mechanizm przenoszenia p˛edu w cieczach róz˙ ni si˛e od sposobu przenoszenia p˛edu w gazach. W gazach p˛ed przenoszony jest na skutek zderzeń mi˛edzy czasteczkami, ˛ w cieczach w wyniku działania sił mi˛edzyczasteczkowych ˛ hamujacych ˛ ich ruch. Róz˙ nice w mechanice powoduja˛ odmienny charakter temperaturowej zalez˙ no´sci, w przypadku gazów lepko´sc´ ro´snie wraz ze wzrostem temperatury, w przypadku cieczy lepko´sc´ maleje wraz ze wzrostem temperatury. Metody obliczeniowe lepko´sci opieraja˛ si˛e głównie na wykazanych do´swiadczalnie pewnych zalez˙ no´sciach wskazujacych ˛ zwiazki ˛ pomi˛edzy lepko´scia˛ cieczy a ich strukturami. Pierwsza zalez˙ no´sc´ spełniona w przybliz˙ eniu przez ciecze niezasocjowane jest nast˛epujaca ˛ [3]: ηV = K. (40). gdzie: η - lepko´sc´ [P], V - obj˛eto´sc´ molowa [m3 /mol], K - stała wynoszaca ˛ około (5,6±1,3)·10-5 [kg·m2 /10·s·mol]. Zalez˙ no´sc´ temperaturowa˛ lepko´sci cieczy podał J. Guzman, cz˛esto jest ona nazywana równaniem Guzmana - Arrheniusa (S. Arrhenius) [3]: η = A·e. 4Eη RT. (41). gdzie: η - lepko´sc´ [P], A - stała reakcji [-], R - stała gazowa [J/(mol·K)], T - temperatura [K], ∆Eη - energia aktywacji lepko´sci [kcal/mol]. Okre´slenie stałych z równania Guzmana-Arrheniusa było przedmiotem teoretycznych opracowań, z których autorami jednego z najbardziej znanych byli E. N. C. Andrade i H. Eyring. Andrade załoz˙ ył istnienie układu oscylatorów. Istota˛ tej teorii jest wyst˛epowanie drgań (pod katem ˛ prostym do kierunku przepływu), które powoduja˛ przekazanie momentu p˛edu na powierzchnie sasiednich ˛ płaszczyzn [3]: 27.

(28) Rozprawa doktorska √ Tm · M η =C √ 3 V2. (42). gdzie: η - lepko´sc´ [P], C - stała równania 6,12·10-4 , V - stała charakteryzujaca ˛ obj˛eto´sc´ atomowa˛ danego pierwiastka, Tm - temperatura topnienia [K], M - masa atomowa [u]. Powyz˙ sze równanie daje zadowalajac ˛ a˛ zgodno´sc´ danych do´swiadczalnych z obliczeniowymi w pobliz˙ u temperatury topnienia. Jednakz˙ e przewidzenie warto´sci lepko´sci - przy wykorzystaniu równania E. N. C. Andradego - w wyz˙ szych temperaturach jest niemoz˙ liwe. H. Eyring załoz˙ ył, z˙ e ciecz moz˙ na traktować jako faz˛e pseudokrystaliczna,˛ w której ruchy czasteczki ˛ sa˛ ograniczone do drgań wewnatrz ˛ przestrzeni utworzonej przez czasteczki ˛ sasiednie. ˛ Podług powyz˙ szej teorii przeskok czasteczki ˛ do sasiaduj ˛ acego ˛ z jej klatka˛ wolnego miejsca w sieci pseudokrystalicznej wymaga pokonania bariery energetycznej. Teoria Eyringa prowadzi do nast˛epujacego ˛ wyraz˙ enia na warto´sc´ stałej w równaniu Guzmana-Arrheniusa [3]: A≈. N0 h V. (43). gdzie: N0 - liczba Avogadry [mol-1 ], h - stała Plancka [J·s], V - obj˛eto´sc´ atomowa [m3 /mol]. Dla cieczy molekularnych, w których wiazania ˛ chemiczne sa˛ realizowane siłami van der Waalsa, energia˛ aktywacji lepko´sci moz˙ e zostać wyznaczona przy pomocy wyraz˙ enia [3]: 4Eη ≈ 0, 414Evap. (44). gdzie: ∆Eη - energia aktywacji lepko´sci [kJ/mol], ∆Evap - molowa energia wewn˛etrzna parowania [kJ/mol]. Powyz˙ sze równanie jest konsekwencja˛ stwierdzonego do´swiadczalnie faktu, z˙ e warto´sc´ potencjału energetycznego przeskoku moz˙ na wiaza´ ˛ c z warto´scia˛ molowej energii wewn˛etrznej parowania cieczy. Jez˙ eli dodatkowo załoz˙ ymy, z˙ e para cieczy zachowuje si˛e jak gaz doskonały oraz pomijajac ˛ obj˛eto´sc´ cieczy w porównaniu z obj˛eto´scia˛ gazu uzyskujemy równanie w nast˛epujacej ˛ postaci [3]: 28.

(29) Rozprawa doktorska. η=. N0 h 3,8 Ts e T V. (45). gdzie: η - lepko´sc´ [P], N0 - liczba Avogadry [mol-1 ], h - stała Plancka [J·s], V - obj˛eto´sc´ atomowa [m3 /mol], Ts - bezwzgl˛edna temperatura wrzenia cieczy pod normalnym ci´snieniem [K], T - temperatura [K]. Dokładno´sc´ powyz˙ szego wzoru jest niewielka - w szczególno´sci dla cieczy niemolekularnych, dlatego tez˙ stosuje si˛e go tylko do obliczeń szacunkowych. E. T. Turkdogan podał prosta˛ korelacj˛e mi˛edzy warto´scia˛ energii aktywacji lepko´sci a temperatura˛ topnienia metali i uzyskał nast˛epujac ˛ a˛ zalez˙ no´sc´ [3, 56]: log4Eη = 1, 36logTm − 3, 418. (46). gdzie: ∆Eη - energia aktywacji [kJ/mol], Tm - bezwgl˛edna temperatura topienia [K]. Przepływ lepki moz˙ e zostać opisany w uj˛eciu pr˛edko´sci procesu, podobnie jak ma to miejsce w przypadku zaj´scia reakcji chemicznej, czy dyfuzji. Zalez˙ no´sc´ lepko´sci od temperatury moz˙ na wyznaczyć za pomoca˛ równania H. Weymanna i J. Frenkela [45]: η = AW · T · exp(EηW RT ). (47). gdzie: η - lepko´sc´ [Pa·s], A - stała [-], W - stała [-], T - temperatura [K], Eη - energia aktywacji [kcal/mol], R - stała gazowa [J/(mol·K)]. Chapman analizujac ˛ temperaturowa˛ zalez˙ no´sc´ lepko´sci metali na podstawie modelu strukturalnego cieczy J. G. Kirkwooda podał nast˛epujac ˛ a˛ zalez˙ no´sc´ [3]: η ∗ (V ∗ )2 = f (T ∗ ) gdzie: 29. (48).

(30) Rozprawa doktorska η · δ 2 N0 η∗ = √ MRT kT ε. (50). 1 η ·δ2. (51). T∗ =. V∗ =. (49). gdzie: η - lepko´sc´ [Pa·s], δ - odległo´sc´ mi˛edzyatomowa w krysztale [Å], N0 - liczba Avogadry [mol-1 ], M - masa atomowa [u], R - stała gazowa [J/(mol·K)], ε k. - stałe Lennarda-Jonesa [K],. T - temperatura [K], n - liczba atomów w jednostce [-]. Warto´sci parametrów k/ε w funkcji bezwzgl˛ednej temperatury topnienia metali daja˛ prosta˛ zalez˙ no´sc´ : k 1 = (52) ε 5, 20Tm Powyz˙ sza˛ zalez˙ no´sc´ moz˙ na wykorzystać do oszacowania lepko´sci metali (z wyjatkiem ˛ niskotopliwych) w przypadku gdy inne dane sa˛ niedost˛epne. T. Iida i R. I. L. Guthrie takz˙ e w oparciu o równania teoretyczne zaproponowali wyraz˙ enie na obliczenie parametru A (43) [3]: √ 5, 7 · 10−5 M Tm A= q 4E Vm3 exp( RTmη ). (53). gdzie: M - masa atomowa [u], Tm - bezwzgl˛edna temperatura topienia [K], Vm - obj˛eto´sc´ atomowa w bezwzgl˛ednej temperaturze topnienia [m3 /mol], ∆Eη - energia aktywacji [kcal/mol], R - stała gazowa [J/(mol·K)]. Dla metali wysokotopliwych energi˛e aktywacji lepko´sci moz˙ na oszacować z zalez˙ no´sci: √ 4Eη = 5, 06 Tm 30. (54).

(31) Rozprawa doktorska gdzie: Tm - bezwzgl˛edna temperatura topienia [K]. Dla metali niskotopliwych (Hg, Ga, K, In, Sn, Bi, Pb) powyz˙ sze równanie przyjmuje postać: √ 4Eη = 3, 14 Tm. (55). gdzie: Tm - bezwzgl˛edna temperatura topienia [K]. Istnieje wiele empirycznych zalez˙ no´sci opisujacych ˛ zmian˛e lepko´sci ciekłych roztworów binarnych. Arrhenius podał nast˛epujace ˛ równanie [3]: logη1−2 − X1 logη1 + X2 logη2. (56). gdzie: X - ułamek molowy składnika [ppm]. J. Kendall i K. P. Monroe podali zalez˙ no´sc´ w nast˛epujacej ˛ postaci [3]: √ √ logη1−2 − X1 log 3 η1 + X2 log 3 η2. (57). gdzie: X - ułamek molowy składnika [ppm]. 2.5.3. Modele niereologiczne do obliczania lepko´sci metali W podgrupie modeli niereologicznych wyróz˙ nia si˛e równania umoz˙ liwiajace ˛ obliczenie warto´sci współczynnika lepko´sci dynamicznej metali i ich roztworów. Do jednego z najprostszych i najwcze´sniejszych zalez˙ no´sci tego typu nalez˙ y równanie opracowane przez E. A. Moelwena - Hughesa [15, 51, 55]: η = (η1 X1 + η2 X2 )(1 − 2. 4Hm ) RT. (58). gdzie: η - lepko´sc´ roztworu [Pa], η1 , η2 - lepko´sc´ metali [Pa], X - ułamek molowy składnika [ppm], ∆Hm - molowa entalpia mieszania [kJ/mol], R - stała gazowa [J/(mol·K)], T - temperatura [K]. W 1987 roku D. Sichen, J. Boygen, S. Seetharaman zaproponowali do obliczania lepko´sci roztworów wieloskładnikowych nast˛epujace ˛ równania [15]: 31.

(32) Rozprawa doktorska G∗ η = Aexp RT . A=. . (59). hNρ M. (60). n G∗ = ∑ni=1 Xi G∗i + RT ∑n−1 i=1 ∑k=i+1 Xi Xk + 4G. 0. (61). gdzie: G* - energia aktywacji Gibbsa [kJ/mol], ∆G’ - zmiana energii swobodnej Gibbsa [kJ/mol], G* 1 , G* 2 - energia aktywacji składników [kJ/mol], R - stała gazowa [J/(mol·K)], ρ - g˛esto´sc´ stopów [g/m3 ], N - liczba Avogadro [mol-1 ], h - stała Plancka [J·s], M - masa atomowa składników stopu [u]. Powyz˙ sza zalez˙ no´sc´ została zmodyfikowana przez S. Seetharamana i D. Sichena do postaci [15]: n G∗ = ∑ni=1 Xi G∗i + 3RT ∑n−1 i=1 ∑k=i+1 Xi Xk + 4G. 0. (62). Model L. Ya. Kozlova, L. M. Romanova, N. N. Petrowa podobnie jak model Moelwyna-Hughesa wykorzystuje równiez˙ do prognozowania warto´sci lepko´sci przy wykorzystaniu funkcji termodynamicznych [15]: n. ln (η) = ∑ Xi ln(ηi ) − i=1. 4Hm 3RT. (63). zatem: ". n. 4Hm η = exp ∑ Xi ln(ηi ) − 3RT i=1 gdzie: η - lepko´sc´ roztworu [Pa·s], ηi - lepko´sc´ składników [Pa·s], Xi - ułamek molowy składnika [ppm], ∆Hm - molowa entalpia mieszania [kJ/mol], R - stała gazowa [J/(mol·K)], T - temperatura [K]. 32. # (64).

(33) Rozprawa doktorska Model T. Iidy, M. Uedy i Z. Mority uwzgl˛ednia poza wymienionymi wyz˙ ej wielko´sciami fizycznymi równiez˙ : warto´sci promieni jonowych Paulinga, molowa˛ nadmiarowa˛ energi˛e swobodna˛ Gibbsa [15]:  "  #1 √ √ 2   2 2 X1 X2 ( m1 − m2 ) 5X1 X2 (d1 − d2 ) η = (η1 X1 + η2 X2 ) 2 1 + − 4 − 1 − √ √ 2   X1 d12 + X2 d22 X1 m1 + X2 m2. (65). 4 = 0, 12. 4Hm RT. (66). 4 = 0, 12. 4Gm RT. (67). gdzie: η - lepko´sc´ roztworu [Pa·s], η1, η2 - lepko´sc´ stopu [Pa·s], X1 , X2 - st˛ez˙ enie składników w ułamkach molowych [mol·m-3 ], d1 , d2 - promienie jonowe Paulinga [Å], m1 , m2 - masy atomowe [u], R - stała gazowa [J/(mol·K)], T - temperatura [K], ∆Hm - entalpia tworzenia [kJ/mol], ∆GE - molowa nadmiarowa energia swobodna Gibbsa [kJ/mol]. W roku 2004 G. Kaptay opublikował równanie, które stanowiło modyfikacj˛e równania Seetharamana i Du Sichena (z roku 1987). W modelu Kaptaya w równaniu na energi˛e aktywacji Gibbsa nastapiła ˛ zamiana nadmiarowej energii swobodnej Gibbsa na entalpi˛e mieszania mnoz˙ ona˛ przez współczynnik α [15]: n hN ∑i=1 Xi 4Gi − α4Hm η= n · exp RT ∑i=1 XiVi + 4V E gdzie: h - stała Plancka [J·s], N - liczba Avogadro [mol-1 ], Xi - ułamek molowy składnika [mol·m-3 ], Vi - obj˛eto´sc´ molowa składników stopu [m3 /mol], ∆VE - nadmiarowa obj˛eto´sc´ molowa stopu n-składnikowego [], ∆Gi - zmiana energii swobodnej Gibbsa składników stopu [kJ/mol], α - współczynnik równy 0.155-0.015 [-], ∆Hm - entalpia tworzenia [kJ/mol], 33. (68).