1
Wielokrotna WarstWa boczna
Walec o objętości
a
tworzymy w ten sposób, że kartkę tę zwijamy w rulon, wzdłuż dłuższego bokub
tak, by kartka ta tworzyła podwójną warstwę powierzchni bocznej walca. Walec o objętościb
tworzymy w ten sposób, że kartkę tę zwijamy w rulon, wzdłuż tego samego boku tak, by kartka ta tworzyła potrójną warstwę powierzchni bocznej walca. Udowodnij, że:a
+
a
+
a
+
a
=
b
+
b
+
b
+
b
+
b
+
b
+
b
+
b
+
b
.+ ... +
=
+
+ ... +
cztery walce dwuwarstwowe
dziewięć walców trzywarstwowych
Rozwiązanie
Na początek wprowadźmy oznaczenia potrzebne do rozwiązania zadania. W obydwu przypadkach wysokość walców wynosi
b
(karta jest zwijana wzdłóż dłuższego boku). Oznaczmy jeszcze promienie podstawy walców jako:R
2 – pro-mień podstawy walca o podwójnej warstwie powierzchni bocznej,R
3 – promień podstawy walca o potrójnej warstwie powierzchni bocznej.W 18 numerze Świata Matematyki wyznaczyliśmy wzór na obwód koła o promieniu
r
jako2
r
$
r
. W naszym przypad-ku suma długości dwóch lub trzech długości okręgów podstawy walców zawsze będzie równa długościa
kartki papieru. Możemy w takim razie zapisać:R
a
2 2
$
r
$
2=
, dla walca dwuwarstwowegooraz
R
a
3 2
$
r
$
3=
, dla walca trzywarstwowego.Zatem średnice walców będą wynosiły
R
2=
4
a
r
iR
a
6
3
=
r
.Obliczmy teraz objętości
a
ib
dla walca dwu- i trzywarstwowego. Wzory na objętość walca były w 18. numerzeŚwiata Matematyki:
R
b
4
a
b
a
b
a
b
16
16
2 2 2 2 2 2$
$
$
$
a
r
r
r
r
r
r
=
Q
V
=
S
X
=
=
,R
b
6
a
b
a
b
a
b
36
36
3 2 2 2 2 2$
$
$
$
b
=
r
Q
V
=
r
S
r
X
=
r
r
=
r
. Obliczamy iloraza
b
a
b
36
16
16
36
4
9
2 2$
$
b
a
r
r
=
=
=
:a
b
a
b
36
16
16
36
4
9
2 2$
$
b
a
r
r
=
=
=
.Zatem
