Funkcje

Funkcje A. Mróz

1. Naszkicuj wykresy poni»szych funkcji i opisz ich zbiory warto±ci. (a) f : R → R, f(x) = |x| + 3, (b) f : R → R, f(z) = |z + 1| + |z − 2|, (c) f : N → N, f(a) = 2, (d) f : [−3, 3] → R, f(x) = x2_{− 1,} (e) f : R → R, f(z) = [z], (f) f : R → R, f(q) = [sin q], (g) P : {−1, 1} → R, P (x) = x3_{+ 3,} (h) f : R → R, f(x) = {x} = x − [x], (i) K : R → R, K(x) = sgn(x),

(j) R : Z → Z, R(n) = reszta z dzielenia liczby n przez 3.

2. Niech S = {1, 2, 3, 4, 5}. Rozwa»my nast¦puj¡ce funkcje ze zbioru S do S:

f (n) = 6 − n, g(n) = max{3, n}, h(n) = max{1, n − 1}, i(n) = n. (a) Zapisz ka»d¡ z nich jako zbiór par uporz¡dkowanych.

(b) Sprawd¹, które s¡ ró»nowarto±ciowe, a które na. 3. Rozwa»my funkcje f, g : Z → Z zadane wzorami:

f (n) = n − 1, g(n) = 

1, gdy n jest liczb¡ parzyst¡, 0, gdy n jest liczb¡ nieparzyst¡. (a) Oblicz (g ◦ f)(4), (g ◦ f)(5), (f ◦ g)(6), (f ◦ g)(7).

(b) Oblicz (f ◦ f)(11), (f ◦ f)(12), (g ◦ g)(11), (g ◦ g)(12). (c) Wyznacz g ◦ f oraz f ◦ f.

(d) Poka», »e g ◦ g = g ◦ f.

(e) Poka», »e funkcja f ◦ g przyjmuje warto±ci przeciwne do g ◦ f. 4. Rozwa»my trzy funkcje f, g, h : R → R zadane wzorami:

f (x) = x3− 4x, g(x) = 2x, h(x) = x4. Znajd¹ wzory na funkcje: f ◦ g, g ◦ f, f ◦ h, h ◦ f, f ◦ g ◦ f, g ◦ h ◦ f. 5. Rozwa»my funkcje f, g : N → N zadane wzorami:

f (n) = 2n, g(n) =  n

2, gdy n jest liczb¡ parzyst¡, n−1

2 , gdy n jest liczb¡ nieparzyst¡.

(a) Zbadaj, czy funkcje f, g s¡ ró»nowarto±ciowe i czy s¡ na. (b) Poka», »e g ◦ f = IdN, ale f ◦ g 6= IdN.

6. Rozwa»my nast¦puj¡ce funkcje F : R2_{→ R}2_{, G : R}3_{→ R}2_{oraz H : R}2_{→ R zadane wzorami:}

F (x, y) = (x + y, x − y), G(x, y, z) = (x + y, xz), H(x, y) = xy + 5. Wyznacz wzory na funkcje: H ◦ F , F ◦ F , F ◦ G, H ◦ F ◦ G.

7. Które z poni»szych funkcji s¡ ró»nowarto±ciowe, na, a które s¡ bijekcjami? W przypadku funkcji odwracalnych, znajd¹ funkcj¦ odwrotn¡.

(a) f : R → R, f(x) = 2x + 1, (b) f : [−2, 3] → R, f(x) = −2x + 1, (c) f : R → R, f(x) = x2_, (d) f : (−∞, 0] → [0, ∞), f(x) = x2_, (e) f : (−∞, 0] → (−∞, 0], f(x) = −x2_, (f) f : {1, 2, 3, 4, 5} → {1, 2, 3, 4, 5}, _{f (x)}x 1₃ 2₅ 3₁ 4₂ 5₄ , (g) f : N → N, f(n) = n2_{+ 1,} (h) f : R → R, f(x) = x+1x−1, x 6= 1, 0, x = 1,

(i) f : N → Z, f(n) = n2, gdy n jest liczb¡ parzyst¡,

−n+1

2 , gdy n jest liczb¡ nieparzyst¡,

(j) f : R2 → R, f (x, y) = xy, (k) f : R2 → R2_{, f (x, y) = (x + y, x − y),} (l) f : R2 → R2_{, f (x, y) = (x + y, 2x + 2y),} (m) f : R2 → R2_{, f (x, y) = (x + 2y,}x−y 3 ), (n) f : R2 \ {(0, 0)} → R2_{\ {(0, 0)}, f (x, y) = (} x x2_+y2, y x2_+y2),

8. Niech f : R → R b¦dzie funkcj¡ okre±lon¡ wzorem f(x) = 2x − 2. Znajd¹ nast¦puj¡ce obrazy i przeciwo-brazy funkcji f:

f ([−1, 1]), f ([0, 10)), f ((−∞, 1)), f−1([−1, 1]), f−1([0, 10)), f−1((−∞, 1)).

9. Niech f : R → R b¦dzie funkcj¡ okre±lon¡ wzorem f(x) = sgn(x). Znajd¹ nast¦puj¡ce obrazy i przeciwo-brazy funkcji f:

f ([−5, 6]), f ({8}), f ({−1, 1}), f−1((0, 1)), f−1({−1,1

2, 0}), f

−1_{((−∞, 1)).}

10. Niech f : R → R b¦dzie funkcj¡ okre±lon¡ wzorem f(x) = x2 _{− 3x + 2. Znajd¹ nast¦puj¡ce obrazy}

i przeciwobrazy funkcji f:

f ([0, 1]), f ([0, 4]), f ({−2, 2}), f−1((−∞, −6]), f−1({−3, −4}), f−1((0, 1)).

11. Niech f : R → R b¦dzie funkcj¡ okre±lon¡ wzorem f(x) = sin(x) + 1. Znajd¹ nast¦puj¡ce obrazy i przeciwobrazy funkcji f: f ([0, π]), f ({0, π}), f ((0,1 2)), f −1₍₍1 2, ∞)), f −1_{((−∞, 1)), f}−1_({0}).

12. Niech A = [−2, 2) oraz B = [0, 4). Porównaj zbiory

• f (A ∪ B)i f(A) ∪ f(B), • f (A ∩ B)i f(A) ∩ f(B), • f (A \ B)i f(A) \ f(B), • f−1(A ∪ B)i f−1(A) ∪ f−1(B), • f−1(A ∩ B)i f−1(A) ∩ f−1(B), • f−1(A \ B)i f−1(A) \ f−1(B), • A, f−1(f (A))i f(f−1(A)),

pod wzgl¦dem zawierania, dla funkcji (a) f : R → R, f(x) = 2x oraz (b) f : R → R, f(x) = x2_.

13. Niech f : X → Y oraz A ⊂ X, C ⊂ Y . Uzasadnij, »e f(f−1_{(C)) ⊂ C oraz A ⊂ f}−1_{(f (A)). Ponadto}

sprawd¹, czy prawd¡ jest, »e f(f−1_{(C)) = C ⇔ C ⊂ f (X). Co si¦ dzieje, gdy f jest injekcj¡ (surjekcj¡,}