wiczenia nr 1, GAL I.2, 25.2.2020 Endomor zmy II
Zadanie 1. Dla ka»dego z poni»szych endomor zmów znajd¹ warto±ci wªasne i bazy odpowia- daj¡cych im przestrzeni wªasnych. Które z podanych endomor zmów s¡ diagonalizowalne?
(a) ϕ : R2 → R2, ϕ(x1, x2) = (7x1+ 10x2, −3x1− 4x2), (b) ϕ : R2 → R2, ϕ(x1, x2) = (−17x1− 29x2, 10x1+ 17x2),
(c) ϕ : R3 → R3, ϕ(x1, x2, x3) = (x1+ 3x2+ 3x3, −3x1− 5x2− 3x3, 3x1+ 3x2+ x3), (d) ϕ : R3 → R3, ϕ(x1, x2, x3) = (2x1+ x2+ x3, 2x1+ x2− 2x3, −x1 − 2x3)
Zadanie 2. Niech V = CR (C rozwa»ane jest tutaj jako dwuwymiarowa przestrze« liniowa nad R), ϕ : V → V zadane b¦dzie wzorem ϕ(z) = i · z. Napisz macierz endomor zmu ϕ w bazach A = (1, i), B = (1 + i, 1 − i).
Zadanie 3. Niech ϕ : C2 → C2 zadane b¦dzie wzorem ϕ(x1, x2) = (−x2, x1). Znajd¹ warto±ci i wektory wªasne endomor zmu ϕ.
Zadanie 4. Znajd¹ warto±ci wªasne macierzy obrotu
"
cos t − sin t sin t cos t
#
Zadanie 5. Które z podanych macierzy
1 2 3 2 3 1 1 0 1
,
1 0 0 0 2 0 0 0 −1
,
1 0 0 0 1 0 0 0 −1
−1 0 0 0 −1 0
0 0 1
,
1 2 3
0 1 0
−1 −2 −2
,
2 −3 3
0 −1 0
−1 1 −2
s¡ macierzami tego samego endomor zmu ϕ : R3 → R3, ale w ró»nych bazach? Które z powy»szych macierzy s¡ macierzami symetrii?
Zadanie 6. Niech z ∈ C. Udowodnij, »e macierz A = diag(z, z) ∈ M2×2(C) jest podobna (nad ciaªem C) do pewnej macierzy rzeczywistej.
Zadanie 7. Niech n 2, a, b ∈ R. Wyznacz warto±ci i wektory wªasne macierzy A ∈ Mn×n(R),
A =
a b b . . . b b b a b . . . b b b b a . . . b b ... ... ... ...
b b b . . . a b b b b . . . b a
Zadanie 8. Udowodnij, »e macierze
1 2 −1 0
2 0 1 1
1 1 0 −1
4 3 0 0
,
1 −1 3 0
−1 0 1 1
0 −1 4 1
5 −1 −1 −4
nie s¡ podobne.
Zadanie 9. Udowodnij, »e je±li jedyn¡ maicerz¡ podobn¡ do macierzy A ∈ Mn×n(K) jest ona sama, to A = c · I dla pewnej staªej c ∈ K.
Zadanie 10. Niech n 2, a ∈ K. Udowodnij, »e macierze postaci
a ∗
...
0 a
,
(macierze górnotrójk¡tne, z a na przek¡tnej) nie s¡ diagonalizowalne. (Zakªadamy, »e nasza macierz ma co najmniej jedno pole ró»ne od 0 i a.)
Zadanie 11. Niech V b¦dzie przestrzeni¡ liniow¡ nad ciaªem K i niech f(x) = a0 + a1x + a2x2+ . . . + amxm, f ∈ K[x]. Dla endomor zmu ϕ : V → V de niujemy endomorphizm
f (ϕ) = a0· idV +a1· ϕ + a2· ϕ2+ . . . + am· ϕm.
Udowodnij, »e je±li c jest warto±ci¡ wªasn¡ endomor zmu ϕ, to f(c) jest warto±ci¡ wªasn¡
endomor zmu f(ϕ), a podprzetrze« wªasna V(c) endomorp mu ϕ jest zawarta w poprze- strzeni wªasnej W(f (c)) endomor zmu f(ϕ) odpowiadaj¡cej warto±ci wªasnej f(c).
Zadanie 12. Niech
A1 =
1 2 0
2 −2 0
0 0 −3
, A2 =
−3 1 1
0 1 2
0 2 −2
, A3 =
0 2 0
−2 0 0 0 0 2
, A4 =
0 1 0
−4 4 0
−2 1 2
.
Dla ka»dej z podanych macierzy sprawd¹, czy Ai jest diagonalizowalna nad R oraz czy Ai jest diagonalizowalna nad C. Je±li Ai jest diagonalizowalna nad K (K = R lub C), to znajd¹ tak¡ macierz Ci ∈ M3×3(K), »e macierz Ci−1AiCi jest diagonalna.
Zadanie 13. Wyznacz warto±ci i odpowiadaj¡ce im wektory wªasne macierzy
1
2 0 i
2√ 2
0 1 0
−2√i2 0 12
,
0 0 i 0 2 0
−i 0 0
Zadanie 14. Niech A ∈ Mn×n(R). Udowodnij, »e nast¦puj¡ce warunki s¡ równowa»ne:
(a) tr A = 0,
(b) istniej¡ macierze B, C ∈ Mn×n(R) takie, »e A = BC − CB,
(c) istnieje macierz odwracalna P ∈ Mn×n(R) taka, »e P AP−1 ma same zera na prze- k¡tnej.
2
