Rachunek calkowy funkcji wielu zmiennych

‚WICZENIA Z ANALIZY MATEMATYCZNEJ  ZADANIA RACHUNEK CAŠKOWY FUNKCJI WIELU ZMIENNYCH 1. Obliczy¢ dane caªki podwójne po wskazanych prostok¡tach:

a) R R_Ry3_ex2 dxdy, R = [0; 2] × [−1; 1]; b) R R_R x y2dxdy, R = [1; 2] × [4; 6]; c) R R_R 1 (x+y+1)3dxdy, R = [0; 2] × [0; 1]; d) R R_Rx sin xydxdy, R = [0; 1] × [π; 2π].

2. Zamieni¢ caªk¦ podwójn¡ RR_Df (x, y)dxdy na caªki iterowane, gdzie D jest obszarem ograniczonym krzywymi:

a) x2_{+ y}2 _{= 2, y}3 _{= x}2_;

b) x2_{+ y}2 _{= 4, y = 2x − x}2_{, x = 0;}

c) xy = 6, x + y = 7; d) x = y2_{, x =} y2

2 + 1.

3. W podanych caªkach iterowanych zmieni¢ (je±li jest to wykonalne) kolej-no±¢ caªkowania: a) R2 −6 dy R2−y y2 4 −1 f (x, y) dx, b) Rπ 0 dx R2 sin xf (x, y) dy, c) R1 −1 dx R|x| −√4−x2f (x, y) dy.

4. Obliczy¢ caªki podwójne po wskazanych obszarach: a) RR_D| cos(x + y)| dxdy, D = [0; π] × [0; π];

b) RR_Dmax(2x, y) dxdy, D = [0; 2] × [0; 1]; c) RR_D(x2 + y2) dxdy, D : x2+ y2− 2y ≤ 0; d) RRD

1

(1−x2_−y2₎2 dxdy, D : x2+ y2 ≤ x, x2+ y2 ≤ y;

5. Obliczy¢ pola obszarów ograniczonych krzywymi: a) y = x2 _{− x, y = x;}

b) y = ex_{, y = ln x, x + y = 1, x = 2;}

c) x2_{+ y}2_{− 2y = 0}, x2_{+ y}2_{− 4y = 0}.

6. Obliczy¢ obj¦to±¢ bryª ograniczonych powierzchniami: a) x2_{+ y}2 _{= 1, x + y + z = 3, z = 0;} b) y = 0, y = 1 − |x|, z = 0, z = 10 − 5x − 2y; c) x2_{+ y}2_{+ z}2_{− 2z = 0;} d) z = 0, z = _√ 1 a2_−(x2_+y2₎, x 2 _{= y}2_{− ax ≤ 0}; e) x2_{+ y}2 _{= 1, x}2_{+ y}2 _{= 4, z = 0, z = 2;} f) x2 _{+ y}2_{+ z}2 _{= R}2, y = x, y =√_3x; g) z = x2_{+ y}2_{, z = 4 − x}2_{− y}2_. 1