Ca÷ ka Riemanna funkcji wielu zmiennych

VIII

Ca÷ ka Riemanna funkcji wielu zmiennych

(de…nicja)

Przedzia÷em k-wymiarowym nazywamy dowolny zbiór P = [a₁; b₁] : : : [a_k; b_k] R^k;

gdzie a₁ b₁; : : : ; a_k b_k. Je·zeli a_i < b_i dla wszystkich i, to przedzia÷P nazywamy niezdegenerowanym. Obj ¾eto´sci ¾aprzedzia÷u P nazywamy liczb ¾e

vol P = (b1 a1) : : : (bk ak) ; za´s jego ´srednic ¾aliczb ¾e

(P ) = q

(b1 a1)²+ : : : + (bk ak)²:

Podzia÷em przedzia÷u P nazywamy dowolna rodzin ¾e = fP1; : : : ; P_rg przedzia÷ów niezdegenerowanych o roz÷¾acznych wn ¾etrzach tak ¾a, ·ze P = P₁[: : :[

P_r. ´Srednic ¾a podzia÷u nazywamy najwi ¾eksz ¾a ze ´srednic przedzia÷ów tego podzia÷u, tzn. ( ) = maxi=1;:::;r (Pi). Dowolny zbiór T = ft¹; : : : ; trg taki, ze t· i 2 Pⁱ dla i = 1; : : : ; r nazywamy warto´sciowaniem podzia÷u . Ci ¾ag ( n) podzia÷ów przedzia÷u P nazywamy normalnym je·zeli limn!1 ( n) = 0.

Niech P b ¾edzie k-wymiarowym przedzia÷em niezdegenerowanym, f : P ! R funkcj ¾a ograniczon ¾a oraz = fP¹; : : : ; Prg podzia÷em przedzia÷u P . Liczby

S (f; ) = Xr i=1

mivol Pi ; S (f; ) = Xr i=1

Mivol Pi,

gdzie m_i= inf_x2Pif (x), M_i = sup_x2Pif (x), nazywamy doln ¾a i górn ¾a sum ¾a Darbouxfunkcji f dla podzia÷u . Je´sli T = ft1; : : : ; t_rg jest warto´sciowaniem podzia÷u , to liczb ¾e

S (f; ; T ) = Xr i=1

f (t_i) vol P_i

nazywamy sum ¾a ca÷kow ¾afunkcji f . Liczby Z

P

f = sup

-p o dzia÷P

S (f; ) ; Z

P

f = inf

-p o dzia÷PS (f; )

nazywamy doln ¾a i górn ¾a ca÷k ¾a Riemanna funkcji f . Je´sli R

P

f = R

P

f to mówimy, ·ze funkcja f jest ca÷kowalna w sensie Riemanna. Wspóln ¾a warto´s´c

1

ca÷ki dolnej i górnej nazywamy ca÷k ¾a Riemanna funkcji f (okre´slonej na przedzia÷e P ) i oznaczamy

Z

P

f lub

Z Z

P

f (x1; : : : ; xk) dx1: : : dxk.

Twierdzenie 8.1. (Charakteryzacja ca÷kowalno´sci przy pomocy sum Dar- boux) Niech f b ¾edzie funkcj ¾a ograniczon ¾a okre´slon ¾a na przedziale niezdegen- erowanym P . Wtedy

(a)R

P

f R

P

f .

(b) Funkcja f jest ca÷kowalna w sensie Riemanna wtedy i tylko wtedy, gdy dla dowolnej liczby " > 0 istnieje podzia÷ przedzia÷u P taki, ·ze S (f; ) S (f; ) <

".

Twierdzenie 8.2. (Warunki równowa·zne ca÷kowalno´sci w sensie Riemnna) Niech

f : P ! R b ¾edzie funkcj ¾a ograniczon ¾a okre´slon ¾a na przedziale niezdegen- erowanym P . Nast ¾epuj ¾ace warunki s ¾a równowa·zne

(a) f jest ca÷kowalna w sensie Riemanna orazR

P

f = .

(b) Dla dowolnej liczby " > 0 istnieje liczba > 0 taka, ·ze dowolny podzia÷ o

´srednicy ( ) < i dowolne warto´sciowanie T tego podzia÷u spe÷niaj ¾a warunek jS (f; ; T ) j < ".

(c) Dla dowolnego ci ¾agu normalnego ( _n) podzia÷ów P i dowolnych warto´s- ciowa´n T_n tych podzia÷ów zachodzi lim_n!1S (f; _n; T_n) = .

(d) Dla dowolnego ci ¾agu normalnego ( _n) podzia÷ów P mamy lim_n!1S (f; _n) =

= lim_n!1S (f; _n).

Mówimy, ·ze funkcja ograniczona f : A ! R okre´slona na zbiorze ogranic- zonym A R^k jest ca÷kowalna w sensie Riemanna na zbiorze A, je·zeli istnieje k-wymiarowy przedzia÷niezdegenerowany P zawieraj ¾acy A i taki ·ze funkcja

f (x) =e f (x) ; x 2 A;

0 ; x 2 P n A jest ca÷kowalna w sensie Riemanna (na P ). Liczb ¾e R

P

f nazywamy ca÷e k ¾a Rie- manna funkcji f na zbiorze A i oznaczamyR

A

f .

Uwaga: De…nicja ca÷ki Riemanna na zbiorze A nie zale·zy od wyboru przedzi- a÷u P A.

2