IX
Ca÷ ka Riemanna funkcji wielu zmiennych
(w÷asno´sci)
Twierdzenie 9.1 (monotoniczno´s´c ca÷ki Riemanna) Je·zeli funkcje f; g s ¾a ca÷kowalne na zbiorze A oraz f (x) g (x) dla x 2 A, to
Z
A
f Z
A
g.
Twierdzenie 9.2(liniowo´s´c ca÷ki Riemanna) Je·zeli funkcje f; g s ¾a ca÷kowalne na zbiorze A oraz ; 2 R, to funkcja f + g jest ca÷kowalna na A i
Z
A
( f + g) = Z
A
f + Z
A
g.
Twierdzenie 9.3(o ca÷kowalno´sci modu÷u) Je·zeli funkcja f jest ca÷kowalna na zbiorze A, to funkcja jfj te·z jest ca÷kowalna na A oraz
Z
A
f Z
A
jfj .
Twierdzenie 9.4(addytywno´s´c ca÷ki Riemanna) Je·zeli funkcja f jest ca÷kowalna na zbiorach A; B, to jest te·z ca÷kowalna na zbiorach A [ B; A \ B; A B; B A
oraz Z
A[B
f = Z
A\B
f + Z
A B
f + Z
B A
f .
W szczególno´sci, je´sli A \ B = ;, to Z
A[B
f = Z
A
f + Z
B
f .
Zbiór A Rk nazywamy mierzalnym w sensie Jordana je·zeli funkcja sta÷a f (x) = 1 jest ca÷kowalna (w sensie Riemanna) na A. Liczb ¾e m (A) =R
A
1 nazywamy k-wymiarow ¾a miar ¾a Jordana zbioru A.
Twierdzenie 9.5. (o ca÷kowalno´sci funkcji ci ¾ag÷ej) Je·zeli zbiór A Rk jest mierzalny, to dowolna funkcja ci ¾ag÷a i ograniczona jest ca÷kowalna na A.
1
Twierdzenie 9.6. (o ca÷kowalno´sci na zbiorze miary zero) Je·zeli zbiór A Rk jest mierzalny i m (A) = 0, to dowolna funkcja ograniczona f jest ca÷kowalna na A orazR
A
f = 0.
Zbiór A Rk (k = 1; 2; 3) nazywamy normalnym je·zeli k = 1 oraz A jest przedzia÷em domkni ¾etym, tzn. A = [a; b].
k = 2 oraz istnieje przedzia÷domkni ¾ety [a; b] i funkcje ci ¾ag÷e '; : [a; b] ! R spe÷niaj ¾ace ' , dla których
A = f(x; y) ; x 2 [a; b] ^ ' (x) y (x)g (zbiór x-normalny) lub A = f(x; y) ; y 2 [a; b] ^ ' (y) x (y)g (zbiór y-normalny).
k = 3 oraz istnieje zbiór normalny A R2 i funkcje ci ¾ag÷e '; : A ! R spe÷niaj ¾ace ' , dla których
A = f(x; y; z) ; (x; y) 2 A ^ ' (x; y) z (x; y)g (zbiór (x; y) -normalny) lub A = f(x; y; z) ; (x; z) 2 A ^ ' (x; z) y (x; z)g (zbiór (x; z) -normalny) lub A = f(x; y; z) ; (y; z) 2 A ^ ' (y; z) x (y; z)g (zbiór (y; z) -normalny).
Zbiór A nazywamy regularnym je·zeli jest sko´nczon ¾a sum ¾a zbiorów normal- nych o roz÷¾acznych wn ¾etrzach.
Twierdzenie 9.7(o mierzalno´sci zbiorów regularnych) Je·zeli zbiór A Rk jest normalny lub regularny, to
(a) zbiór A jest mierzalny,
(b) zbiór A ma mierzalny brzeg oraz m (Fr A) = 0.
Twierdzenie 9.8(twierdzenie Fubiniego dla ca÷ki podwójnej) Niech [a; b]
R, '; : [a; b] ! R b ¾ed ¾a funkcjami ci ¾ag÷ymi takimi, ·ze ' oraz D = f(x; y) ; x 2 [a; b] ^ ' (x) y (x)g. Je·zeli f : D ! R jest funkcj ¾a ci ¾ag÷¾a, to istnieje ca÷ka iterowana ze wzgl ¾edu na y oraz jest równa ca÷ce Riemanna, to znaczy
ZZ
D
f (x; y)dxdy = Zb
a
0 B@
(x)Z
'(x)
f (x; y)dy 1 CA dx.
Twierdzenie 9.9(twierdzenie Fubiniego dla ca÷ki potrójnej) Niech A R2 b ¾edzie zbiorem
normalnym, '; : A ! R funkcjami ci ¾ag÷ymi takimi, ·ze ' oraz
D = f(x; y; z) ; (x; y) 2 A ^ ' (x; y) z (x; y)g. Je·zeli f : D ! R jest funkcj ¾a ci ¾ag÷¾a, to istnieje ca÷ka iterowana ze wzgl ¾edu na z oraz jest równa ca÷ce Riemanna, to znaczy
ZZZ
D
f (x; y; z)dxdydz = ZZ
A
0 B@
(x;y)Z
'(x;y)
f (x; y; z)dz 1 CA dxdy.
2
