3.1. Wasnoci funkcji liniowej.pdf

(1)

3.1. WŁASNOŚCI FUNKCJI LINIOWEJ

Wzór funkcji liniowej y=ax+b, gdzie a,b∈R.

a - współczynnik kierunkowy b- współczynnik stały

Przykład 3.1.1. Napisz wzór funkcji liniowej o współczynniku kierunkowym równym 5, której wykres przechodzi przez punkt

( )

3,−1 .

Rozwiązanie Komentarz

5 = a

Współczynnik kierunkowy jest równym 5.

b x y=5 +

( )

3,−1

( )

16 1 : / 16 1 15 15 1 3 5 1 − = − = − + = − + = − + ⋅ = − b b b b b Odp. y=5x−16

Obliczamy współczynnik b , podstawiając współrzędne punktu

( )

3,−1 do wzoru funkcji

b x y=5 +

(2)

Wykres i własności funkcji liniowej Wykresem funkcji liniowej jest prosta Warunki

Wzór funkcji Wykres Dziedzina

Zbiór wartości Miejsca zerowe Monotoniczność 0 > a b ax y= + R x D: ∈ y∈R jedno miejsce zerowe a b x= − funkcja rosnąca 0 < a b ax y= + R x D: ∈ y∈R jedno miejsce zerowe a b x= − funkcja malejąca 0 0∧ ≠ = b a b y= R x D: ∈ y∈

{ }

b nie ma miejsca zerowego funkcja stała 0 0∧ = = b a 0 = y R x D: ∈ y∈

{ }

0 nieskończenie wiele miejsc zerowych R x∈ funkcja stała

(3)

Przykład 3.1.2. Wyznacz wartość parametru m wiedząc , Ŝe funkcja liniowa

(

2 +4

)

−3 = m x y jest rosnąca. Rozwiązanie Komentarz

(

2 +4

)

−3 = m x y 4 2 + = m a 2 2 : / 4 2 0 4 2 − > − > > + m m m Odp. m∈

(

−2,+∞

)

Funkcja jest rosnąca, gdy a>0 Współczynnik kierunkowy ajest to współczynnik przy x

Przykład 3.1.3. Wyznacz wartości współczynnika b , dla których miejsce zerowe funkcji liniowej y= x+b 4 1 jest większe od –2. Rozwiązanie Komentarz b x y= + 4 1 b x b x b x 4 4 / 4 1 0 4 1 − = ⋅ − = = + b x₀ =−4 - miejsce zerowe

Wyznaczamy miejsce zerowe funkcji b x y= + 4 1 2 1 4 2 4 : / 2 4 2 4 < < − − > − − > − b b b b Odp.       ∞ − ∈ 2 1 , b

Obliczamy b wiedząc, Ŝe miejsce zerowe funkcji y= x+b

4 1

(4)

Przykład 3.1.4. Wyznacz współrzędne punktów przecięcia wykresu funkcji 5 4 3 ₋ = x

y

z osiami układu współrzędnych.

Rozwiązanie Komentarz 5 4 3 − = x y 3 20 3 4 5 4 3 : / 5 4 3 5 4 3 0 =       − ⋅ − =       − − = − − = x x x x       0 , 3 20

- punkt przecięcia wykresu funkcji z osią OX

Wyznaczamy współrzędne punktu przecięcia wykresu funkcji 5 4 3 − = x y

z osią OX, podstawiając za y zero.

5 4 3 − = x y 5 5 0 5 0 4 3_⋅ ₋ ₌ ₋ ₌₋ = y

(

0,−5

)

- punkt przecięcia wykresu funkcji z osią OY

Wyznaczamy współrzędne punktu przecięcia wykresu funkcji 5

4 3 ₋ = x

y

z osią OY, podstawiając za x zero

Przykład 3.1.5. Dla jakich argumentów funkcja f(x)=4x−5 przyjmuje wartości niemniejsze od wartości funkcji g(x)=−2x+7?

Rozwiązanie Komentarz ) ( ) (x g x f ≥ 2 6 : / 12 6 5 7 2 4 7 2 5 4 ≥ ≥ + ≥ + + − ≥ − x x x x x x Odp. x∈ 2,+∞

)

Wykorzystując warunek , Ŝe wartości funkcji f są niemniejsze od wartości funkcji g ,

zapisujemy nierówność, której rozwiązanie pozwoli nam znaleźć szukane argumenty.

(5)

Przykład 3.1.6. Jakie znaki mają współczynniki a, funkcji liniowej b y=ax+b, której wykres przechodzi przez:

a) II i IV ćwiartkę układu współrzędnych,

Rysujemy wykres funkcji liniowej

przechodzący przez II i IV ćwiartkę układu współrzędnych

funkcja malejąca ⇒ a<0

wykres przecina oś OY w punkcie

( )

0,0 ⇒ b=0

Na podstawie rysunku widzimy , Ŝe

funkcja jest malejąca oraz jej wykres przecina oś OY w punkcie

( )

0,0

b) I, II, i III ćwiartkę układu współrzędnych ?

Rysujemy wykres funkcji liniowej

przechodzący przez I, II i III ćwiartkę układu współrzędnych

funkcja rosnąca ⇒ a>0

wykres przecina dodatnią półoś OY ⇒ b>0

Na podstawie rysunku widzimy , Ŝe

funkcja jest rosnąca oraz jej wykres przecina dodatnią półoś OY I II III IV I II III IV

(6)

ĆWICZENIA

Ćwiczenie 3.1.1. (1pkt.) Napisz wzór funkcji liniowej , która przechodzi przez punkt

(

3,−4

)

i jest funkcją stałą.

schemat oceniania Numer

odpowiedzi

Odpowiedź

Liczba punktów 1 Podanie wzoru funkcji liniowej. 1

Ćwiczenie 3.1.2. (2pkt.) Wyznacz współrzędne punktów przecięcia wykresu funkcji 4

2

2 − +

= x

y z osiami układu współrzędnych. schemat oceniania

Numer odpowiedzi

Odpowiedź

Liczba punktów 1 Podanie współrzędnych punktu przecięcia wykresu funkcji

z osią OX. 1

2 Podanie współrzędnych punktu przecięcia wykresu funkcji

z osią OY. 1

Ćwiczenie 3.1.3. (1pkt.) Dla jakiej wartości n punkt P=

(

2n,n+1

)

naleŜy do wykresu funkcji y =2x+3? schemat oceniania Numer odpowiedzi Odpowiedź Liczba punktów 1 Podanie wartości n. 1

Ćwiczenie 3.1.4. (1pkt.) Napisz wzór funkcji liniowej, wiedząc, Ŝe jej miejscem zerowym jest liczba –2 i jej wykres przecina oś OY w punkcie

( )

0,5 .

schemat oceniania Numer

odpowiedzi

Odpowiedź

Liczba punktów 1 Podanie wzoru funkcji liniowej. 1