prof. dr hab. in. Krzysztof M. Cielicki Instytut Automatyki i Robotyki PW
MODELLING OF FLOW IN CEREBRAL SUPPLYING ARTERIES
The paper summarizes the results of experiments with liquid flows in the model of brain supplying arteries and the Circle of Willis, prepared on the basis of anatomical specimens. The most typical artery shapes and dimensions were modeled. Pressure distribution in 10 characteristic points is provided, and so are the flow rates in the anterior, middle and posterior section of the brain. Tests were run in the conditions reproducing the physiological states (i.e. when the supplying arteries were fully patent) and in pathological conditions, when the internal carotid artery and basilar arteries were obstructed on one or both sides. Thus obtained results were compared with the results of simulations using the linear and non-linear electric models.
MODELOWANIE PRZEPYWU KRWI W TTNICACH
ZASILAJCYCH MÓZGOWIA
W artykule przedstawiono wyniki bada przepywów przez model ttnic zasilajcych mózg otrzymany na bazie preparatów anatomicznych Model odwzorowywa najbardziej typowe wymiary i ksztat ttnic. Przedstawiono rozkady cinie w 10 charakterystycznych punktach modelu oraz wartoci natenia przepywu w przedniej, rodkowej i tylnej cz mózgu. Badania prowadzono zarówno w warunkach odwzorowujcych stan fizjologiczny, tj. przy penej dronoci ttnic zasilajcych jak i w stanach patologicznych tj. przy jednostronnej lub obustronnej niedronoci ukadu ttnic szyjnych wewntrznych i ukadu krgowo-podstawnego. Wyniki porównano z rezultatami symulacji przepywu opartymi na liniowym i nieliniowym modelu elektrycznym.
WPROWADZENIE
Niedokrwienie jest istotnym elementem patologii ukadu nerwowego. Deficyt przepywu krwi wywoany miejscow blokad naczy, czy te ostrymi formami hipotensji jest czsto przyczyn nieodwracalnego uszkodzenia mózgu. O perfuzji mózgowej decyduje warto cinienia na poziomie naczy podstawy mózgowia, jednake cinienie w tym rejonie ukadu naczyniowego jest praktycznie niemierzalne metodami technicznymi – std potrzeba tworzenia modeli. Idea modelowania przepywów krwi przez mózg powstaa na pocztku XX wieku [1]. Próby jego modelowania byy póniej podejmowane bardzo czsto [2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14].
Naczynia zasilajce mózg czowieka wystpuj w postaci zespolenia dwóch niezalenych ukadów naczyniowych – ukadu ttnic szyjnych wewntrznych (ICA) i ukadu krgowo-podstawnego (VBA) (rys. 1). Na podstawie mózgu obydwa ukady ttnic s bilateralnie poczone za pomoc ttnic czcych tylnych (PCoA) oraz prawo-lewostronnie za pomoc ttnicy czcej przedniej (ACoA) tworzc tzw. koo ttnicze mózgu (KTM). Gównymi jego gaziami s segmenty (A2) ttnic mózgowych przednich, (M2) ttnic rodkowych i (P2) ttnic tylnych. Wymienione ttnice mózgowe zasilaj przedni, rodkow i tyln cz mózgu. Rol KTM interpretuje si jako system umoliwiajcy krenie oboczne w obrbie mózgowia zarówno przy fizjologicznych ruchach szyi i gowy zamykajcych czciowo
naczynia doprowadzajce krew do wntrza czaszki, jak te w sytuacjach patologicznych, jak np. zarostowa miadyca ttnic szyjnych lub ukadu krgowo-podstawnego[15, 16, 17, 18].
Rys. 1. Topografia ttnic zasilajcych mózgowie oraz obraz naczy uzyskany z angiografii
CT
Anatomiczna specyfika ttnic mózgowych przejawia si w postaci:
x obecnoci wielu wzów, w których nastpuj rozwidlenia i zespolenia ttnic (poczenie ttnic krgowych w ttnic podstawn, anastomozy koa ttniczego mózgu KTM)
x przestrzennej „krtoci” (syfonowatych wygi) ttnic szyjnych wewntrznych oraz ttnic krgowych.
Z hydrodynamicznego punktu widzenia jest to zatem skomplikowany ukad przepywowy. Wzy fizyczne wywouj istotne zaburzenia przepywu w swym otoczeniu skutkujce formowaniem si profili prdkoci w przylegych naczyniach. Krto osi segmentów prowadzi z kolei do wystpienia w przepywie si odrodkowych, które manifestuj si powstaniem tzw. przepywów wtórnych w paszczyznach prostopadych do gównego nurtu. Rezultatem obydwu efektów s nieliniowe zalenoci pomidzy przepywem i spadkiem cinienia w segmentach naczyniowych.
Pomimo geometrycznej zoonoci ksztatu ttnic mózgowych, bardzo odlegych od ksztatu dugich cylindrów, wikszo modeli krenia mózgowego zaniedbuje efekty nieliniowe. Do obliczenia rezystancji hydraulicznej duych naczy wykorzystuje si zatem najczciej wzór Hagena-Poiseuille’a, a opory naczy peryferyjnych przedniej, rodkowej i tylnej czci mózgu zastpuje si staymi rezystancjami [7, 11].
Jednoczenie, w dostpnej literaturze brak jest prostych a zarazem wiarygodnych formu umoliwiajcych okrelenie nieliniowych rezystancji duych segmentów naczyniowych. Dlatego, w poprzednich pracach skoncentrowano si na badaniach charakterystyk przepywowych dzielcych si bd czcych si prostych kapilar jak równie krtych rurek wygitych w róny sposób . Ich rezultatem byy dwie fenomenologiczne formuy pozwalajce okreli opór segmentów w funkcji ich wymiarów i liczby Re [19].
I tak opór krótkich i prostych segmentów ttniczych o promieniu a i dugoci l unormowany wartoci oporu, RHP, obliczon z prawa Hagena-Poiseuille’a, wyliczano z zalenoci:
Re l a R Rl 088 . 0 1 HP . (1)
Ze wzoru (1) wynika, e opór hydrauliczny segmentu o skoczonej dugoci wzrasta liniowo ze wzrostem redniej prdkoci przepywu tym szybciej im wikszy jest stosunek promienia segmentu do jego dugoci.
Opór krtych ttnic, o promieniu wygicia aK, wyznaczono w oparciu o kolejn zaleno:
. 0.022 0.225 0.526 H t Re a a R R K P (2)
Wystpujcy we wzorze (2) iloczyn
aaK Re
jest nazywany liczb Dean’a (Di) [20] i odgrywa rol porównywaln do liczby Re w rurach prostych. Dla Reo 0, warto stosunku Rt/RHP zmierza do 1. Dla Re > 100 równanie (2) dy do zalenoci (2a):
. Re 0.1455 0.626 4 H t K P a a R R (2a)
Formua (2a) (ale z nieco innymi wartociami wspóczynników) zostaa po raz pierwszy wprowadzona w 1955 przez Hassona do opisu rezystancji przepywu zwojnicy [21].
Graficzne postacie zalenoci (1) i (2) obliczone dla przykadowych, typowych wartoci a/aK = 0,36 i a/l = 0,05, przedstawiono na rys. 2.
Rys. 2. Wzgldny opór przepywu w funkcji liczby Re dla rónych modeli oporu
Jak z nich wynika, dla fizjologicznego zakresu wartoci liczby Re (rzdu kilkuset), nieliniowa rezystancja moe by od 1,5 to 3 razy wiksza od rezystancji obliczanej z zalenoci Hagena-Poiseuille’a.
FIZYCZNY MODEL TTNIC I WARUNKI EKSPERYMENTU
Eksperymenty prowadzono w staej temperaturze (w klimatyzowanym pomieszczeniu) na stanowisku pomiarowym przedstawionym na rys. 3 [14]. Realizowano w nich przepyw wodnego roztworu gliceryny o lepkoci 3,5 mPas (zblionej do lepkoci krwi) w fizycznym modelu naczy zasilajcych mózg o rzeczywistej geometrii i w fizjologicznym zakresie nate przepywu. Przepyw cieczy wymuszano zarówno hydrostatycznie, jak i za pomoc pompy zmiennego wydatku sterowanej z komputera. Natenie przepywu pompy byo tak dobierane, aby zapewni
fizjologiczny zakres zmian wejciowego cinienia, czyli od okoo 80 mmHg do 120 mmHg. Masowe natenie przepywu we wszystkich gaziach KTM mierzono wagowo z dokadnoci okoo 2%. Czas pomiaru by zawsze wielokrotnoci okresu gównej harmonicznej sygnau sterujcego prac pompy.
Cinienia mierzono przetwornikami typu NIP 19 Lucas Nova Sensor (USA) z dokadnoci okoo 1,5 % w 10 punktach modelu. Sze przetworników byo umieszczonych w gaziach KTM, w odlegoci 10 mm od wzów, natomiast pozostae cztery umieszczono na wejciach poszczególnych ttnic zasilajcych w odlegoci 10 mm od ich wlotów. Stae cinienie wyjciowe zapewniao 6 maych zbiorniczków przelewowych umieszczonych na tej samej wysokoci. Do rejestracji i archiwizacji danych pomiarowych wykonano wasne oprogramowanie. Oprogramowanie zarzdzajce kart pomiarow, typu AT-MIO-16XE-50 firmy National Instruments, zostao napisane przy wykorzystaniu rodowiska Builder 3C++Borland.
Rys. 3. Schemat stanowiska pomiarowego do badania rozkadu cinie i nate przepywu
w modelu naczy zasilajcych mózgowie.
Procedur uzyskiwania przestrzennej (3D) woskowej repliki ttnic mózgowych z preparatów anatomicznych opisano w [14]. Dugoci poszczególnych naczy (l), a take ich rednic (d) oraz promieni krzywizny osi (aK) zestawiono w tablicy 1.
Tablica 1. Wymiary modelu
Strona lewa Strona prawa
Naczynie l (mm) (mm)d (mm)aK (mm)l (mm)d (mm)aK ICA 142 3,6 5 144 3,6 5 VA 125 2,5 8 130 2,5 8 BA 28 3,3 - - A1 20 2 10 20 2 10 P1 13 2 8 11 2 8 A2 45 2 10 45 2 10 M1 51 3 15 42 3 15 P2 60 2 10 65 2 10 PCoA 15 1 - 15 1 - ACoA 6 1 15
Na podstawie woskowej repliki wykonano z poliuretanu przezroczysty model badanych naczy umoliwiajcy pomiar cinienia w wybranych jego punktach. Model skada si z dwóch czci odpowiadajcych ukadowi krgowo-podstawnemu oraz ukadowi ttnic szyjnych wewntrznych. Fotografi modelu fizycznego wraz z zamontowanymi czujnikami cinienia ilustruje rys. 4a.
Liniowy/nieliniowy model elektryczny mózgowych przepywów krwi
Wykorzystujc analogi mechano-elektryczn, fizyczny model ttnic zosta przedstawiony w postaci obwodu elektrycznego zoonego z liniowych lub nieliniowych elementów. Jego nieliniowa wersja jest przedstawiona na rys. 4b. Model skada si z 18 gazi i 10 wzów. Poniewa eksperymenty byy prowadzone w sztywnym modelu, wszystkie impedancje elektrycznego modelu ttnic s czysto rezystancyjne. Symbole poszczególnych rezystancji s opatrzone indeksami bdcymi skrótem ich nazwy anatomicznej. Rezystancje peryferyjne zostay oznaczone symbolem P za którym nastpuje skrót czci mózgowia, które zaopatruj. W modelu liniowym wartoci rezystancji poszczególnych segmentów zostay obliczone z prawa Hagena-Poiseuille’a a wic byy one niezalene od prdkoci przepywu. Do oblicze wykorzystano wymiary segmentów podane w tablicy 1. W modelu nieliniowym, opory segmentów naczyniowych liczono korzystajc z formu (1) i (2). W krótkich i prostych naczyniach jakimi s: ttnica podstawna, ttnica czca przednia, ttnice czce tylne, opór wyliczano w oparciu o wzór (1). Opór przestrzennie powyginanych ttnic zasilajcych wyliczano w oparciu o wzór (2).
Rys. 4. a) Model ttnic zasilajcych mózgowie z zamocowanymi przetwornikami cinienia.
W lewym górnym rogu fotografia fragmentu modelu z ukadem krgowo-podstawnym b) Liniowy/nieliniowy model elektryczny naczy podstawy mózgowia. Ttnice zasilajce, segmentowe KTM i spywowe zostay zaznaczone na schemacie rónymi symbolami.
Opory drzew naczyniowych przedniej, rodkowej i tylnej czci mózgu (stanowice obcienie badanego modelu) dobrano jako odwrotnie proporcjonalne do masy fragmentu mózgu, który zaopatruj [22]. Ich wartoci reprezentuj tzw. rezystancje peryferyjne doczone do odpowiednich odcinków ttnic przednich (A2), rodkowych (M1) i tylnych (P2) mózgu wychodzcych z KTM. W modelu fizycznym jako rezystancji obciajcych uywano prostych kapilar o jednakowej rednicy (równej 1,256 mm) i dugociach tak dobranych, aby uzyska fizjologiczn redystrybucj przepywu na poszczególne gazie wyjciowe. Wartoci peryferyjnych rezystancji wynosiy odpowiednio 1,2, 0,8 i 1,0 mmHg*ml-1*min-1.
Do rozwizania obwodu elektrycznego zostaa zastosowana metoda zmodyfikowanych potencjaów wzowych [23] zaimplementowana w uytym do symulacji pakiecie Cadence PSD 14.2, w skad którego wchodzi, midzy innymi, program PSpice A/D [24].
Badania i symulacje przeprowadzono dla kilku typowych geometrii KTM i dla najczciej wystpujcych zaburze przepywu w ttnicach zasilajcych. W sumie rozwaono 12 przypadków pokrywajcych szerokie spektrum zaburze. W tej pracy zostan przedstawione wyniki 3 skrajnych przypadków:
a) dronoci wszystkich ttnic zasilajcych (stan fizjologiczny) b) jednostronnej niedronoci ttnic szyjnych
c) cakowitej niedronoci ukadu krgowo-podstawnego oraz jednej ttnicy szyjnej Na rys. 5 przedstawiono przestrzenne rozkady cinie oraz nate przepywu w gównych ttnicach mózgowych otrzymane z modelu fizycznego oraz z liniowego i nieliniowego modelu symulacyjnego.
a) b) c)
Rys. 5. Przestrzenne wykresy cinie i przepywów uzyskane z modelu fizycznego oraz liniowego i nieliniowego modelu elektrycznego a) w stanie fizjologicznym, b) przy niedronoci lewej ttnicy szyjnej oraz c) niedronoci zespou krgowo-podstawnego i lewej ttnicy szyjnej
Kolorem jasnoszarym oznaczono cinienia i przepywy w stanie fizjologicznym (dla modelu fizycznego), kolor ciemnoszary oznacza natomiast obszar poniej dolnej granicy autoregulacji.
OMÓWIENIE WYNIKÓW BADA
Jak widzimy, przy cakowicie dronych naczyniach zasilajcych (rys. 5a) natenia przepywu we wszystkich ttnicach mózgowych (z dokadnoci 0.1 ml/s) s w obydwu modelach identyczne (tablica 2). Potwierdza to decydujc rol oporu peryferyjnego w redystrybucji przepywu mózgowego do czci przedniej, rodkowej i tylnej. Wartoci cinie w punktach wzowych koa ttniczego mózgu w modelu nieliniowym s od 2 mmHg do 4 mmHg mniejsze ni w liniowym. Jest to konsekwencja wzrostu oporu poszczególnych ttnic spowodowana ich krtoci i dodatkowymi stratami energii na formowanie si pól prdkoci.
Tablica 2. rednie rónice przepywów i cinie pomidzy modelem fizycznym a modelem symulacyjnym nieliniowym i liniowym
Przepyw [ml/s] Cinienie [mmHg] Przypadek
Nieliniowy Liniowy Nieliniowy Liniowy
I 0,03 0,11 2,4 7,0
II 0,07 0,28 3,0 18,2
III 0,05 0,29 1,2 18,8
W sytuacjach patologicznych wywoanych okluzj jednej ttnicy szyjnej wewntrznej (rys. 5b), cakowit niedronoci ukadu krgowo-podstawnego i jednej ttnicy szyjnej (rys. 5c) obserwowane rónice s znacznie wiksze. Dotycz one przede wszystkim wartoci cinie wzowych, które w modelu nieliniowym (zalenie od przypadku i wza) s od 3 a do 20 mmHg mniejsze od wartoci wyliczonych z modelu liniowego. Wynik ten jest jakociowo oczywisty, bo niedrono naczynia zasilajcego powoduje kompensacyjny wzrost przepywu w pozostaych naczyniach. W modelu fizycznym (nieliniowym) wywouje to jednoczenie wzrost oporu hydraulicznego segmentów, skutkujcy wikszym spadkiem cinienia. Przy zachowanym cinieniu zasilania, powyszy efekt manifestuje si take wyra niejszym, ni w modelu liniowym, obnieniem przepywów w ttnicach mózgowych. W obydwu modelach nie uwzgldnialimy autoregulacji [25, 26]. Mona wnioskowa, e jej dziaanie czciowo skompensuje skutki okluzji i cakowity przepyw mózgowy bdzie wikszy ni przedstawiony na rysunku 5b,c. Naley jednak pamita, e ze wzgldu na silnie nieliniowy charakter oporu ttnic zasilajcych wystpi w nich wówczas wikszy ni wyznaczony w modelu fizycznym spadek cinienia. Zatem cinienia na poziomie koa ttniczego mózgu bd jeszcze mniejsze, zbliajc si ku dolnej granicy autoregulacji.
Mona te przypuszcza, e nieliniowo oporu ttnic zasilajcych staje si korzystnym czynnikiem w warunkach obnienia si redniego cinienia arterialnego. W modelu liniowym zmniejszeniu si cinienia napdowego odpowiada proporcjonalne obnienie przepywu. W modelu nieliniowym ze wzgldu na zmniejszajcy si opór ttnic zasilajcych efekt ten bdzie czciowo zagodzony.
Uzyskana bardzo dobra prawo- i lewostronna symetria cinie oraz nate przepywów w gaziach modelu fizycznego wiadczy o jego prawidowym zaprojektowaniu i wykonaniu. Wobec duych wartoci oporu spywów w stanie penej dronoci naczy zasilajcych wyniki uzyskane z prostego modelu liniowego, modelu nieliniowego i fizycznego s porównywalne Wartoci cinienia w charakterystycznych punktach modelu fizycznego oraz wartoci
11. Cassot, F., Zagzoule, M., Marc-Vergnes, J.P., 2000. Hemodynamic role of the circle of Willis in stenoses of internal carotid arteries. An analytical solution of a linear model. Journal of Biomechanics 33, 395-405.
12. Piechnik S, (2000): A Mathematical and Biophysical Modelling of Cerebral Blood Flow and Cerebrospinal Fluid Dynamics, PhD Thesis, University of Cambridge.
13. Cielicki K., Gielecki J. Wilczak T.: Redundancja koa ttniczego mózgu w podstawowych typach morfologicznych, Neurologia i Neurochirurgia Polska, 31 (1997), 461-472
14. K. Cieslicki, B. Ciszek, A. Lasowska, A. Z. Smolarski, Modeling of flow in a network structure of the main cerebral arteries, Bulletin of the Polish Academy of Science, Biological Science, 50(4), 2002, 25-35.
15. Hillen, B., Hoogstraten, H.W., Van Overbeeke, J.J., Van der Zwan, A., 1991. Functional anatomy of the circulus arteriosus cerebri (Willis). Bulletin de l'Association des Anatomistes 75, 123-126.
16. Kluytmans M., van der Grond J., van Everdingen K.J., Klijn C.J.M., Kappelle L.J., Viergever M.A., 1999. Cerebral Hemodynamics in Relation to Patterns of Collateral Flow. Stroke 30, 1432-1439.
17. Hoksbergen A.W.J.; Fulesdi B., Legemate D.A., Csiba L., 2000. Collateral Configuration of the Circle of Willis. Transcranial Color-Coded Duplex Ultrasonography and
Comparison With Postmortem Anatomy. Stroke 31, 1346-1351. 18. Liebeskind D.S., 2003, Collateral Circulation, Stroke, 34, 2279-2284.
19. Cielicki K.: Hydrodynamiczne uwarunkowania krenia mózgowego, Akademicka Oficyna Wydawnicza „Exit”, Warszawa 2001.
20. Dean WR, (1927): Note on the motion of fluid in a curved pipe, Phil. Mag.7 (4), 208-223
21. Van Dyke M, 1978. Extended Stokes Series: Laminar Flow through a Loosely Coiled Pipe, Journal of Fluid Mechanics 86, 129-145.
22. Cieslicki K., Ciela D., Investigations of flow and pressure distributions in physical model of the Circle of Willis, Journal of Biomechanics, Vol. 38, No 11, (2005), 2302-2310.. 23. Izydorczyk J: PSpice. Komputerowa symulacja ukadów elektronicznych. Wydawnictwo
Helion, Warszawa, 1993
24. Ciela D. Nieliniowy model mózgowych przepywów krwi, Praca doktorska, Wydzia Mechatroniki PW, Warszawa 2004
25. Cielicki K., Ciela D., Ciszek B.: Modelowanie mózgowego przepywu krwi
z uwzgldnieniem mechanizmów autoregulacji, Neurologia i Neurochirurgia Polska, Vol. 34, (2000), 959-971
26. Piechnik S. Cielicki K., Ciela D., Czosnyka M. : Problems in application of purely linear models in cerebral circulation, Journal of Biomechanics, Vol.35, (2002), 553-554
