Indukcja matematyczna

‚WICZENIA Z ANALIZY MATEMATYCZNEJ  ZADANIA INDUKCJA MATEMATYCZNA

1. Udowodni¢ za pomoc¡ metody indukcji matematycznej, »e dla n natu-ralnych: a) 1 + 2 + 3 + . . . + n = n(n+1) 2 b) 12_{+ 2}2_{+ 3}2_{+ . . . + n}2 ₌ n(n+1)(2n+1) 6 c) (1 + 2 + 3 + . . . + n)2 ₌ n2_(n+1)2 4 d) 12_{− 2}2_{+ 3}2_{− 4}2_{+ . . . + (−1)}n−1_n2 _{= (−1)}n−1 n(n+1) 2 e) 1 · 2 + 2 · 3 + 3 · 4 + . . . + n · (n + 1) = n(n+1)(n+2) 3 f) 2 · 12_{+ 3 · 2}2_{+ 4 · 3}2_{+ . . . + n(n − 1)}2_{+ (n + 1)n}2 ₌ n(n+1)(n+2)(3n+1) 12 g) Pn k=1 1 k(k+1) = n n+1 h) Pn k=1 1 (2k−1)(2k+1) = n 2n+1 i) Pn k=1 1 (3k−2)(3k+1) = n 3n+1 j) Pn k=1 1 k(k+1)(k+2) = 1 2  1 2 − 1 (n+1)(n+2)  k) Pn k=12k − 1 = n2 l) Pn k=1(2k − 1) 3 _{= n}2_(2n2_{− 1)} m) Pn k=1(4k − 3) = n(2n − 1) n) (1 + 2 + . . . + n)2 _{= 1}3 _{+ 2}3_{+ . . . + n}3

2. Udowodni¢ za pomoc¡ metody indukcji matematycznej, »e dla n natu-ralnych: a) 5|n5_{− n} b) 2|n2_{+ n} c) 19|(5 · 23n−2_{+ 3}3n−1₎ d) 30|n5_{− n} e) 6|n3_{− n} f) 43|6n+2_{+ 7}2n+2 g) 6|n3_{+ 5n}

3. Udowodni¢ za pomoc¡ metody indukcji matematycznej, »e dla n natu-ralnych: a) _√1 1 + 1 √ 2 + . . . + 1 √ n ≥ √ n b) 2n_{> n} c) Pn k=2 1 k2 < 1 1

d) (a + b)n _{= a}n₊n 1  an−1_{b +}n 2  an−2_b2_{+ . . . +}  n n − 1  abn−1_{+ b}n e) (1 + x1)(1 + x2) . . . (1 + xn) ≥ 1 + x1+ x2+ . . . + xn przy zaªo»eniu: x1, x2, . . . , xn ≥ 0

Wniosek: nierówno±¢ Bernoulliego (1 + x)n _{≥ 1 + nx.}

f) x1+ x2 + . . . + xn ≥ n przy zaªo»eniu x1x2. . . xn = 1 Wniosek: x1, x2, . . . , xn > 0 ⇒ x1+x2+...+x_n n ≥ n √ x1x2. . . xn x1, x2, . . . , xn > 0 ⇒ 1 n x1+ 1 x2+...+ 1 xn ≤ √n_x 1x2. . . xn g) an_{+ b}n_{≤ (a + b)}n, a, b ≥ 0 h) (a + b)n_{≤ 2}n−1_an_bn_{, a, b ≥ 0} i) P2n k=1(−1) k+1_{k = −n} j) (n + 1)n _{< n}n+1 2