Ćwiczenia nr 1
Kognitywistyka: Wstęp do matematyki Indukcja matematyczna, 7.10.2019
Informacje ogólne Zaliczenie przedmiotu (na ocenę) odbywa się na podstawie pisemnego kolokwium (30%, prawdopodobna data 2.12.2019), wyniku z ćwiczeń (20%) oraz egzaminu (50%). Warunkiem dopuszczenia do egzaminu jest pozytywna ocena z ćwiczeń. Uwaga: tej oceny z ćwiczeń nie wpisujemy do USOSa. W przypadku pozytywnego wyniku z egzaminu student otrzymuje wpis do USOSa z dwiema jednakowymi ocenami. Zaliczenie ćwiczeń odbywa się na zasadach przedstawionych przez prowadzącego ćwiczenia i może się różnić w grupach.
Dotyczy grup I i III:
1. Obecność na ćwiczeniach. Można opuścić maksymalnie 2 ćwiczenia bez formalnego uspra- wiedliwienia. W pozostałych przypadkach dostarczamy zwolnienie lekarskie lub (w bardzo wyjątkowych przypadkach) inne usprawiedliwienie. Sześć nieobecności (usprawiedliwio- nych lub nie) uniemożliwia zaliczenie przedmiotu.
2. Kartkówki. Na każdych zajęciach (poza pierwszymi) będzie przeprowadzona 10-15 minu- towa kartkówka.
3. Punkty. Za ćwiczenia można otrzymać 20 punktów procentowych na podstawie wyniku z kartkówek, pracy na lekcjach i zadań domowych.
4. Konsultacje. Serdecznie zapraszam na konsultacje. Termin ustalimy wspólnie.
5. Moje dane. Mikołaj Rotkiewicz, pokój 5190, www.mimuw.edu.pl/~mrotkiew Tutaj będę zamieszczał zadania, które przerabiamy na ćwiczeniach.
6. (Polecane publikacje.)
• J. Jakubowski, R. Sztencel, Rachunek prawdopodobieństwa dla prawie każdego,
• Zadania archiwalne (P. Wilkin) https://www.mimuw.edu.pl/~pwl/kognitywistyka/
• Zbiór zadań opracowany przez M. Łełyka: (umieszczę na swojej stronie)
Ćwiczenia nr 1
Kognitywistyka: Wstęp do matematyki Dowody indukcyjne, 7.10.2019 Zadanie 1. Proszę uzasadnić, że
(a) 1 · 2 + 2 · 3 + . . . + n(n + 1) = 13n(n + 1)(n + 2), (b) 1·51 + 5·91 +9·131 + . . . +(4n−3)(4n+1)1 = 4n+1n .
(c) Pni=1i3 = (Pni=1i)2,
(d) Pni=0ai = an+1a−1−1, dla a 6= 1, (e) 1 − 212
·1 − 312
· . . . ·1 − n12
= n+12n .
Zadanie 2. Wyznacz wszystkie liczby naturalne, dla których (a) 2n > n2,
(b) 3n ¬ n3.
Zadanie 3. Ciąg liczb F1, F2, . . . tworzymy według następującego przepisu:
F1 := 1, F2 := 1, Fn = Fn−1+ Fn−2,
dla n = 3, 4, . . .. (Ciąg (Fn) naz ywa się ciągiem Fibonacciego.) Proszę uzasadnić, że:
(a) Liczba Fn jest parzysta, jeśli n jest podzielne przez 3, (b) Wyznacz wzór na sumę F1+ F2+ . . . + Fn.
(c) Fn+2Fn− Fn+12 = (−1)n+1. Zadanie 4. Proszę uzasadnić, że
(a) Dowolna liczba postaci 10n− 4 dzieli się przez 6.
(b) Liczba 14 dzieli dowolną liczbę postaci 8n+ 6.
(c) Liczba 169 dzieli liczbę 33n+3− 26n − 27 dla n ∈ N.
(d) Czy prawdą jest, że dla dowolnych liczb naturalnych a, b, n liczba an+ b dzieli się przez a + b ?
(e) Liczba 19 dzieli liczbę 226k+2 + 3 dla k = 0, 1, 2, . . ..
(f) Liczba 1000n+ (−1)n+1 dzieli się przez 13
Twierdzenie. (średnia arytmetyczna średnia geometryczna) Dla dowolnych nieujem- nych liczb a1, a2, . . . , an zachodzi nierówność
a1+ . . . + an
n √n
a1· a2· . . . · an.
Zadanie 5. Proszę udowodnić to twierdzenie w następujących krokach. Niech Tn (n 2) oznacza powyższą nierówność.
(a) Sprawdzić, że zdanie T2 jest prawdziwe.
(b) Wykazać, że jeśli zdanie Tn jest prawdziwe, to zdanie T2n też.
(c) Wykazać, że jeśli zdanie Tn jest prawdziwe, to zdanie Tn−1 też.
(d) Uzasadnić, że zdania T7 i T77 są prawdziwe.
(e) Dokończyć dowód powyższego twierdzenia.
Zadanie 6. Definiujemy ciąg liczb a0 = 1, a1 = 3, a2 = 5 oraz an= 3an−2+ 2an−3 dla n 3.
(a) Oblicz an dla n = 3, 4, 5, 6, 7.
(b) Udowodnij, że an > 2n dla n 1.
(c) Udowodnij, że an < 2n+1 dla n 1.
(d) Udowodnij, że an = 2an−1+ (−1)n−1 dla n 1.
Zadanie 7. Z szachownicy o wymiarach 2n na 2n usunięto jedno pole, ale nie wiadomo które.
Udowodnić, że tak powstałą część szachownicy można pokryć figurami
Zadania domowe na 14.10.2019
Zadanie 1. Proszę przeprowadzić dowód wynikania zdania Tn−1 ze zdania Tn. (Zadanie 5(c)) Zadanie 2. Proszę uzasadnić nierówności (n 2)
1 > 1
n + 1 + 1
n + 2 + . . . + 1 2n > 13
24
Proszę wypisać kilka pierwszych wyrazów powyższej sumy, np. dla n = 1, 2, 3.
Zadanie 3. Udowodnij, że szachownicę o wymiarach 4k + 1 × 4k + 1 można obejść ruchem konika szachowego, przechodząc przez każde pole dokładnie jeden raz.
Zadanie 4. Niech pn oznacza n-tą liczbę pierwszą (p1 = 2, p2 = 3, p3 = 5, p4 = 7, p5 = 11, . . .) Doweiść, że pn > 3n dla n 12.
