[slajdy 1,3MB, PDF]

(1)

Wst¦p Posta¢ Jordana Spektrum Obliczenia Zastosowania Inna relacja

Aspekty obliczeniowe i zastosowania

postaci Jordana macierzy

dr Andrzej Mróz (UMK)

Kierunki matematyczne mog¡ by¢ atrakcyjne zamawianie ksztaªcenia na Uniwersytecie Szczeci«skim Poddziaªanie 4.1.2. Zwi¦kszenie liczby absolwentów kierunków o kluczowym znaczeniu dla gospodarki

(2)

Oznaczenia

N liczby naturalne (z zerem); Z liczby caªkowite;

Q liczby wymierne; R liczby rzeczywiste; C liczby zespolone.

Mn×m(k) zbiór macierzy o n wierszach i m kolumnach o wspóªczynnikach w zbiorze k.

Najcz¦±ciej k = R lub k = C.

Mn(k) := M_n×n(k) macierze kwadratowe. Mn(k)∗ zbiór macierzy odwracalnych

(3)

Oznaczenia

Mn(k) := M_n×n(k) macierze kwadratowe.

Mn(k)∗ zbiór macierzy odwracalnych

(4)

Oznaczenia

Mn(k) := M_n×n(k) macierze kwadratowe. Mn(k)∗ zbiór macierzy odwracalnych

(5)

Podobie«stwo macierzy kwadratowych

Denicja

Macierze A, B ∈ Mn(k) s¡ podobne, gdy istnieje macierz X ∈ Mn(k)∗ taka, »e

A = X−1_{BX .}

Oznaczenie: A ∼ B.

Inne nazewnictwo: A i B s¡podobne w sensie Jordanalub s¡

sprz¦»one. Proste wªasno±ci:

A ∼ A,

A ∼ B ⇒ B ∼ A,

A ∼ B ∧ B ∼ C ⇒ A ∼ C.

(6)

Podobie«stwo macierzy kwadratowych

Denicja

A = X−1_{BX .} Oznaczenie: A ∼ B.

A ∼ A,

A ∼ B ⇒ B ∼ A,

A ∼ B ∧ B ∼ C ⇒ A ∼ C.

(7)

Podobie«stwo macierzy kwadratowych

Denicja

sprz¦»one.

Proste wªasno±ci:

A ∼ A,

A ∼ B ⇒ B ∼ A,

A ∼ B ∧ B ∼ C ⇒ A ∼ C.

(8)

Podobie«stwo macierzy kwadratowych

Denicja

A ∼ A,

A ∼ B ⇒ B ∼ A,

A ∼ B ∧ B ∼ C ⇒ A ∼ C.

(9)

Podobie«stwo macierzy kwadratowych

Denicja

A ∼ A,

A ∼ B ⇒ B ∼ A,

A ∼ B ∧ B ∼ C ⇒ A ∼ C.

(10)

Podobie«stwo macierzy kwadratowych

Denicja

A ∼ A,

A ∼ B ⇒ B ∼ A,

A ∼ B ∧ B ∼ C ⇒ A ∼ C.

(11)

Podobie«stwo macierzy kwadratowych

Denicja

A ∼ A,

A ∼ B ⇒ B ∼ A,

A ∼ B ∧ B ∼ C ⇒ A ∼ C.

(12)

Podobie«stwo macierzy kwadratowych

Przykªad. 1 10 1 3 ∼ 13 −10 11 −9 , gdy» 1 10 1 3 =X−1 13 −10 11 −9 X , dla X = 1 2 1 1 . Rz¡d: rk 1 10 1 3 =2, rk 13 −10 11 −9 =2. lad: tr 1 10 1 3 =4, tr 13 −10 11 −9 =4. Wyznacznik: det 1 10 1 3 = −7, det 13 −10 11 −9 = −7.

(13)

Podobie«stwo macierzy kwadratowych

(14)

Podobie«stwo macierzy kwadratowych

(15)

Podobie«stwo macierzy kwadratowych

(16)

Podobie«stwo macierzy kwadratowych

(17)

Podobie«stwo macierzy kwadratowych

(18)

Podobie«stwo macierzy kwadratowych

Twierdzenie

Relacja podobie«stwa macierzy zachowuje

rz¡d, ±lad, wyznacznik, warto±ci wªasne, wielomian charakterystyczny, wielomian minimalny,

posta¢ Smitha macierzy charakterystycznej.

Problem. Jak stwierdza¢ podobie«stwo macierzy A i B? Rozwi¡zanie naiwne: znale¹¢ rozwi¡zania równania:

XA = BX ,

dla macierzy niewiadomych X i sprawdzi¢, czy w±ród rozwi¡za« istnieje macierz odwracalna.

(19)

Podobie«stwo macierzy kwadratowych

Twierdzenie

Problem. Jak stwierdza¢ podobie«stwo macierzy A i B?

Rozwi¡zanie naiwne: znale¹¢ rozwi¡zania równania: XA = BX ,

dla macierzy niewiadomych X i sprawdzi¢, czy w±ród rozwi¡za« istnieje macierz odwracalna.

(20)

Podobie«stwo macierzy kwadratowych

Twierdzenie

Problem. Jak stwierdza¢ podobie«stwo macierzy A i B? Rozwi¡zanie naiwne: znale¹¢ rozwi¡zania równania:

XA = BX ,

(21)

Posta¢ Jordana

Pomysª: znajdowanie prostej postaci normalnej J (A) macierzy A takiej, »e: A ∼ J (A), A ∼ B ⇔ J (A) = J (B). Dla λ ∈ k, n ∈ N, deniujemy: Jn(λ) =    λ 1 λ 1 . ._. . ._. λ 1 λ   ∈ Mn(k).

(22)

Posta¢ Jordana

(23)

Posta¢ Jordana

(24)

Posta¢ Jordana

(25)

Posta¢ Jordana

Twierdzenie (C. Jordan)

Dowolna macierz A ∈ Mn(C) jest podobna do jednoznacznie wyznaczonej∗ _{macierzy postaci:}

J =     Jn1(λ1) Jn2(λ2) Jn3(λ3) ... Jnr(λr)     ,

dla pewnych n1, . . . ,nr ∈ N oraz λ1, . . . , λr ∈ C.

∗ _{jednoznacznie z dokªadno±ci¡ do kolejno±ci klatek Jordana.} Innymi sªowy: istnieje X ∈ Mn(C) taka, »e J = X−1AX .

Macierz J dla A oznaczamy J (A) i nazywamypostaci¡ normaln¡ Jordana macierzy A.

(26)

Posta¢ Jordana

∗ _{jednoznacznie z dokªadno±ci¡ do kolejno±ci klatek Jordana.}

Innymi sªowy: istnieje X ∈ Mn(C) taka, »e J = X−1AX .

(27)

Posta¢ Jordana

(28)

Posta¢ Jordana

(29)

Posta¢ Jordana

Uwagi.

Dla dowolnych macierzy A, B ∈ Mn(C) :

A ∼ J (A),

A ∼ B ⇔ J (A) = J (B) (z dokªadno±ci¡ do kolejno±ci klatek).

Dla k = R lub k = Q sytuacja jest bardziej skomplikowana. Rozwa»a si¦ ogólniejsze wersje postaci normalnej macierzy (por.

rzeczywista posta¢ Jordana,posta¢ Frobeniusa,wymierna posta¢ normalna...).

Aby stwierdza¢, »e A ∼ B, tak naprawd¦ nie potrzeba wyznacza¢ postaci J (A) i J (B), ale wystarczy bada¢ tzw. macierze charakterystyczne(pó¹niej).

Problemy.

Jak szuka¢ postaci Jordana J (A) ? Jak szuka¢ macierzy X ∈ Mn(C) takiej, »e

(30)

Posta¢ Jordana

Uwagi.

A ∼ J (A),

Problemy.

(31)

Posta¢ Jordana

Uwagi.

A ∼ J (A),

Problemy.

(32)

Posta¢ Jordana

Uwagi.

A ∼ J (A),

Problemy.

(33)

Posta¢ Jordana

Uwagi.

A ∼ J (A),

Problemy.

Jak szuka¢ postaci Jordana J (A) ?

Jak szuka¢ macierzy X ∈ Mn(C) takiej, »e J (A) = X−1AX ?

(34)

Posta¢ Jordana

Uwagi.

A ∼ J (A),

Problemy.

(35)

Warto±ci wªasne

Konwencja: Elementy przestrzeni kn _{traktujemy jako wektory} kolumnowe.

Ustalmy macierz A ∈ Mn(k).

Denicja

Skalar λ ∈ k nazywamy warto±ci¡ wªasn¡ macierzy A, o ile istnieje 0 6= v ∈ kn _{taki, »e:}

(∗) Av = λv.

Natomiast ka»dy wektor v ∈ kn _{speªniaj¡cy (∗) nazywamy}

wektorem wªasnym(o warto±ci wªasnej λ) macierzy A.

Zbiór wszystkich warto±ci wªasnych z k macierzy A ∈ Mn(k) oznaczamy σ(A) = σk(A) i nazywamy spektrum (in. widmem) macierzy A.

(36)

Warto±ci wªasne

Denicja

(∗) Av = λv.

Natomiast ka»dy wektor v ∈ kn_{speªniaj¡cy (∗) nazywamy}

(37)

Warto±ci wªasne

Denicja

(∗) Av = λv.

(38)

Warto±ci wªasne

Denicja

(∗) Av = λv.

(39)

Warto±ci wªasne

Ozn. Vλ := {v ∈ kn : Av = λv}

(gdy λ jest wart. wªasn¡, Vλ jest podprzestrzeni¡ liniow¡ w kn).

Przykªady. (k = R) _{0 0} 0 0 _x y = ₀ 0 =0 _x y ⇒ka»dy v = _x y

∈ R2 jest wektorem wªasnym

(o warto±ci wªasnej 0) macierzy A =0 0_{0 0}, tj. V0= R2.

A x y = 2x 3y ,dla A = 2 0 0 3 ⇒V₂= a 0 : a ∈ R , V3= ₀ b : b ∈ R .

(40)

Warto±ci wªasne

(gdy λ jest wart. wªasn¡, Vλ jest podprzestrzeni¡ liniow¡ w kn). Przykªady. (k = R) _{0 0} 0 0 _x y = ₀ 0 =0 _x y ⇒ka»dy v = _x y

∈ R2 jest wektorem wªasnym (o warto±ci wªasnej 0) macierzy A =

_{0 0} 0 0 , tj. V0= R2. A x y = 2x 3y ,dla A = 2 0 0 3 ⇒V₂= a 0 : a ∈ R , V3= ₀ b : b ∈ R .

(41)

Warto±ci wªasne

(42)

Warto±ci wªasne

(43)

Warto±ci wªasne

(44)

Warto±ci wªasne

Obserwacja: Je»eli v ∈ kn _{jest wektorem wªasnym macierzy} A ∈ Mn(k), to macierz A przeksztaªca prost¡ P = {tv : t ∈ k} w siebie. A = cos α sin α −sin α cos α , α ∈ R. A x y = cos α · x + sin α · y −sin α · x + cos α · y A 1 0 = cos α −sin α α =0 : 1 0 . α = π 2 : 0 −1 , α = π : −1₀ , α = 3π 2 : 0 1 ,

Gdy α 6= nπ, n ∈ Z, macierz A nie ma warto±ci wªasnych w R. Gdy α = 2nπ, n ∈ Z, A = I2 ⇒ wart. wª. 1.

(45)

Warto±ci wªasne

(46)

Warto±ci wªasne

(47)

Warto±ci wªasne

(48)

Warto±ci wªasne

(49)

Warto±ci wªasne

Gdy α 6= nπ, n ∈ Z, macierz A nie ma warto±ci wªasnych w R.

Gdy α = 2nπ, n ∈ Z, A = I2 ⇒ wart. wª. 1.

(50)

Warto±ci wªasne

(51)

Warto±ci wªasne

(52)

Warto±ci wªasne

Problemy. A ∈ Mn(k):

1 Jak znale¹¢ wszystkie warto±ci wªasne A, tj. spektrum A? 2 Jak znale¹¢ wszystkie wektory wªasne o danej warto±ci wªasnej

λ, tj. jak wyznaczy¢ przestrze« Vλ?

3 Jaki jest zwi¡zek tych poj¦¢ z postaci¡ Jordana macierzy?

Denicja

Wielomian χA(x) := det(A−xI_n) ∈k[x] nazywamywielomianem

charakterystycznym macierzy A. Lemat

Skalar λ ∈ k jest warto±ci¡ wªasn¡ macierzy A ⇔ λjest pierwiastkiem wielomianu χ_A (tj. χ_A(λ) =0). Wniosek. σk(A) = Zk(χA), gdzie Zk(χA) oznacza zbiór wszystkich pierwiastków wielomianu χA nale»¡cych do k.

(53)

Warto±ci wªasne

1 Jak znale¹¢ wszystkie warto±ci wªasne A, tj. spektrum A?

2 Jak znale¹¢ wszystkie wektory wªasne o danej warto±ci wªasnej

Denicja

(54)

Warto±ci wªasne

Denicja

(55)

Warto±ci wªasne

Denicja

(56)

Warto±ci wªasne

Denicja

Wielomian χA(x) := det(A−xIn) ∈k[x] nazywamywielomianem

charakterystycznym macierzy A.

Lemat

(57)

Warto±ci wªasne

Denicja

Skalar λ ∈ k jest warto±ci¡ wªasn¡ macierzy A ⇔ λjest pierwiastkiem wielomianu χ_A (tj. χ_A(λ) =0).

Wniosek. σk(A) = Zk(χA), gdzie Zk(χA) oznacza zbiór wszystkich pierwiastków wielomianu χA nale»¡cych do k.

(58)

Warto±ci wªasne

Denicja

Skalar λ ∈ k jest warto±ci¡ wªasn¡ macierzy A ⇔ λjest pierwiastkiem wielomianu χ_A (tj. χ_A(λ) =0). Wniosek. σk(A) = Zk(χA), gdzie Zk(χA) oznacza zbiór

(59)

Warto±ci wªasne

Przykªady. A =0 0_{0 0}, A − xI2= _{0 0} 0 0 −x _{1 0} 0 1 = −x 0 0 −x , ⇒ χ_A(x) = det(A − xI₂) =x2 ⇒ Z(χ_A) = {0}. A = 2 0 0 3 , A − xI2= 2 0 0 3 −x 1 0 0 1 = 2 − x 0 0 3 − x , ⇒ χ_A(x) = det(A − xI₂) = (2 − x)(3 − x) ⇒ Z(χ_A) = {2, 3}. A = cos α sin α −sin α cos α , χ_A(x) = x2−2 cos α x + 1, ⇒ A ma rzeczywiste warto±ci wªasne, gdy cos2α =1,

czyli gdy χ_A(x) = x2−2x + 1 = (x − 1)2 ⇒ Z(χ_A) = {1} lub χ_A(x) = x2+2x + 1 = (x + 1)2 ⇒ Z(χ_A) = {−1}.

(60)

Warto±ci wªasne

(61)

Warto±ci wªasne

(62)

Warto±ci wªasne

(63)

Warto±ci wªasne

(64)

Warto±ci wªasne

(65)

Warto±ci wªasne

(66)

Warto±ci wªasne

(67)

Warto±ci wªasne

Przykªady. A =0 0_{0 0}, A − xI2= _{0 0} 0 0 −x _{1 0} 0 1 = −x 0 0 −x , ⇒ χ_A(x) = det(A − xI₂) =x2 ⇒ Z(χ_A) = {0}. A = 2 0 0 3 , A − xI2= 2 0 0 3 −x 1 0 0 1 = 2 − x 0 0 3 − x , ⇒ χ_A(x) = det(A − xI₂) = (2 − x)(3 − x) ⇒ Z(χ_A) = {2, 3}. A = cos α sin α −sin α cos α , χA(x) = x2−2 cos α x + 1,

⇒ A ma rzeczywiste warto±ci wªasne, gdy cos2α =1,

(68)

Warto±ci wªasne

Przykªady. A =0 0_{0 0}, A − xI2= _{0 0} 0 0 −x _{1 0} 0 1 = −x 0 0 −x , ⇒ χ_A(x) = det(A − xI₂) =x2 ⇒ Z(χ_A) = {0}. A = 2 0 0 3 , A − xI2= 2 0 0 3 −x 1 0 0 1 = 2 − x 0 0 3 − x , ⇒ χ_A(x) = det(A − xI₂) = (2 − x)(3 − x) ⇒ Z(χ_A) = {2, 3}. A = cos α sin α −sin α cos α , χA(x) = x2−2 cos α x + 1, ⇒ A ma rzeczywiste warto±ci wªasne, gdy cos2α =1,

(69)

Warto±ci wªasne

Przykªady. A =0 0_{0 0}, A − xI2= _{0 0} 0 0 −x _{1 0} 0 1 = −x 0 0 −x , ⇒ χ_A(x) = det(A − xI₂) =x2 ⇒ Z(χ_A) = {0}. A = 2 0 0 3 , A − xI2= 2 0 0 3 −x 1 0 0 1 = 2 − x 0 0 3 − x , ⇒ χ_A(x) = det(A − xI₂) = (2 − x)(3 − x) ⇒ Z(χ_A) = {2, 3}. A = cos α sin α −sin α cos α , χA(x) = x2−2 cos α x + 1,

⇒ A ma rzeczywiste warto±ci wªasne, gdy cos2α =1, czyli gdy χ_A(x) = x2−2x + 1 = (x − 1)2 ⇒ Z(χ_A) = {1} lub χ_A(x) = x2+2x + 1 = (x + 1)2 ⇒ Z(χ_A) = {−1}.

(70)

Wektory wªasne

Przykªad. Niech A = 0 −1 1 0 . χ_A(x) = x2+1 ⇒ σ_R(A) = ∅;

ale w C: χA(x) = x2+1 = (x − i)(x + i) ⇒ σC(A) = {i, −i};

aby wyznaczy¢ Vi i V−i wystarczy rozwi¡za¢ ukªady równa«:

dla Vi: _{0 −1} 1 0 _x y =i _x y ⇔ −y = ix x = iy ⇒ V_i = s −is : s ∈ C = h 1 −i i. podobnie wyznaczamy V−i = h ₁ i i.

Uwaga. Przestrzenie wektorów wªasnych nie zawsze s¡ jednowymiarowe!

(71)

Wektory wªasne

(72)

Wektory wªasne

(73)

Wektory wªasne

(74)

Wektory wªasne

dla Vi: 0 −1 1 0 x y =i x y ⇔ −y = ix x = iy ⇒ V_i = s −is : s ∈ C = h 1 −i i. podobnie wyznaczamy V−i = h ₁ i i.

(75)

Wektory wªasne

dla Vi: 0 −1 1 0 x y =i x y ⇔ −_{y = ix} x = iy ⇒ V_i = s −is : s ∈ C = h 1 −i i. podobnie wyznaczamy V−i = h ₁ i i.

(76)

Wektory wªasne

dla Vi: 0 −1 1 0 x y =i x y ⇔ −_{y = ix} x = iy ⇒ V_i = _s −is : s ∈ C = h ₁ −i i. podobnie wyznaczamy V−i = h ₁ i i.

(77)

Wektory wªasne

(78)

Wektory wªasne

(79)

Zwi¡zek z postaci¡ Jordana

Przypomnienie (tw. J.): dla dowolnej macierzy A ∈ Mn(C) istnieje X ∈ Mn(C) taka, »e J (A) = X−1AX .

J (A) =     Jn1(λ1) Jn2(λ2) Jn3(λ3) ... Jnr(λr)     . Lemat σ_C(A) = {λ₁, . . . , λ_r}.

Kolumny macierzy X skªadaj¡ si¦ m.in. z wektorów wªasnych macierzy A.

Uwaga. Dokªadny przepis na wyznaczanie macierzy X oraz stopni n1, . . . ,n_r pomijamy.

(80)

Zwi¡zek z postaci¡ Jordana

(81)

Zwi¡zek z postaci¡ Jordana

(82)

Zwi¡zek z postaci¡ Jordana

Uwaga. Dokªadny przepis na wyznaczanie macierzy X oraz stopni

(83)

Zwi¡zek z postaci¡ Jordana

Przykªad. A = 0 −1 1 0

, σ_C(A) = {i, −i};

Vi = h 1 −i i, V−i = h 1 i i. J (A) = X−1AX , gdzie J (A) = i 0 0 −i oraz X = 1 1 −i i .

Uwaga. W przypadku ogólnym rozmiary klatek Jordana w J (A) zale»¡ od wymiarów przestrzeni Vλ i rz¦dów macierzy postaci (A − λI_n)m, dla λ ∈ σ(A).

(84)

Zwi¡zek z postaci¡ Jordana

Przykªad. A = 0 −1 1 0 , σ_C(A) = {i,−i}; Vi = h 1 −i i, V−i = h 1 i i. J (A) = X−1AX , gdzie J (A) = i 0 0 −i oraz X = 1 1 −i i .

(85)

Zwi¡zek z postaci¡ Jordana

Przykªad. A = 0 −1 1 0 , σ_C(A) = {i,−i}; Vi = h 1 −i i, V−i = h 1 i i. J (A) = X−1AX , gdzie J (A) = i 0 0 −i oraz X = 1 1 −i i .

(86)

Pot¦gowanie macierzy

Problem. Dla danej macierzy A ∈ Mn(k) chcemy wyznaczy¢ wzór na jej dowoln¡ pot¦g¦ As ₌_{A · A · . . . · A, dla s ∈ N.}

A = 1 1 −2 3 . A2 ₌ −1 4 −8 7 , A3 = −9 11 −22 13 , ...? Zauwa»my, »e dla J = J (A):

J = X−1_AX _⇒ _{A = XJX}−1_. Zatem As ₌_XJX−₁_XJX−₁_XJX−₁_{. . .}_XJX−₁

=XJsX−1. Js _{liczy si¦ ªatwo!}

(87)

Pot¦gowanie macierzy

(88)

Pot¦gowanie macierzy

A = 1 1 −2 3 . A2 ₌ −1 4 −8 7 , A3 = −9 11 −22 13 , ...?

Zauwa»my, »e dla J = J (A):

(89)

Pot¦gowanie macierzy

J = X−1_AX _⇒ _{A = XJX}−1_.

Zatem As ₌_XJX−₁_XJX−₁_XJX−₁_{. . .}_XJX−₁

(90)

Pot¦gowanie macierzy

J = X−1_AX _⇒ _{A = XJX}−1_.

Zatem As ₌_XJX−₁_XJX−₁_XJX−₁_{. . .}_XJX−₁₌_XJ_s_X−₁_.

(91)

Pot¦gowanie macierzy

J = X−1_AX _⇒ _{A = XJX}−1_.

Zatem As ₌_XJX−₁_XJX−₁_XJX−₁_{. . .}_XJX−₁₌_XJ_s_X−₁_. Js _{liczy si¦ ªatwo!}

(92)

Pot¦gowanie macierzy

A = 1 1 −2 3 . χ_A(x) = x2−4x + 5 ⇒ σ_R(A) = ∅. Ale σC(A) = {2 − i, 2 + i}. J = J (A) = 2 − i 0 0 2 + i X = 1 + i 1 − i 2 2 . A = XJX−₁_. As ₌_XJs_X−1₌ 1 + i 1 − i 2 2 · (2 − i)s 0 0 (2 + i)s ·1₄ −2i 1 + i 2i 1 − i = 1₂· (1 − i) (2 − i)s+ (1 + i) (2 + i)s i (2 − i)s−_{i (2 + i)}s −_{2 i (2 − i)}s+2 i (2 + i)s (1 + i) (2 − i)s+ (1 − i) (2 + i)s .

(93)

Pot¦gowanie macierzy

(94)

Pot¦gowanie macierzy

(95)

Pot¦gowanie macierzy

(96)

Pot¦gowanie macierzy

(97)

Pot¦gowanie macierzy

(98)

Pot¦gowanie macierzy

(99)

Pot¦gowanie macierzy

(100)

Ukªady dynamiczne

Problem. W danym pa«stwie (o zerowym przyro±cie naturalnym) co roku

10% ludno±ci przenosi si¦ z miasta na wie±, 20% ludno±ci przenosi si¦ ze wsi do miasta.

Zbadaj zachowanie tego ukªadu w dªugim okresie czasu. W jakim stopniu zachowanie ukªadu zale»y od pocz¡tkowego rozmieszczenia ludno±ci?

mn liczba ludno±ci w miastach w roku n ≥ 0;

wn liczba ludno±ci na wsi w roku n ≥ 0.

mn+wn=const, mn,wn≥0, m0,w0 stan pocz¡tkowy. 0, 9 m0+0, 2 w0 = m1 0, 1 m0+0, 8 w0 = w1 ⇒ 0, 9 0, 2 0, 1 0, 8 m0 w0 = m1 w1 .

(101)

Ukªady dynamiczne

Zbadaj zachowanie tego ukªadu w dªugim okresie czasu.

W jakim stopniu zachowanie ukªadu zale»y od pocz¡tkowego rozmieszczenia ludno±ci?

(102)

Ukªady dynamiczne

(103)

Ukªady dynamiczne

mn+wn=const, mn,wn≥0, m0,w0 stan pocz¡tkowy.

0, 9 m0+0, 2 w0 = m1 0, 1 m0+0, 8 w0 = w1 ⇒ 0, 9 0, 2 0, 1 0, 8 m0 w0 = m1 w1 .

(104)

Ukªady dynamiczne

(105)

Ukªady dynamiczne

(106)

Ukªady dynamiczne

Anm0 w0 = mn wn . Symulacja dla m0 w0 = 100 200 :

(107)

Ukªady dynamiczne

(108)

Ukªady dynamiczne

(109)

Ukªady dynamiczne

Anm0 w0 = mn wn , dla A = 0, 9 0, 2 0, 1 0, 8 . σ(A) = {1; 0, 7}, J = J (A) = 1 0 0 0, 7 , X = 2 1 1 −1 . An₌_XJn_X−₁₌ 2 1 1 −1 · 1n ₀ 0 (0, 7)n ·1₃ 1 1 1 −2 = = 1₃ 2 + (0, 7)n _{2 − 2(0, 7)}n 1 − (0, 7)n _{1 + 2(0, 7)}n →_n→∞ 1₃ 2 2 1 1 . Anm0 w0 → 1₃ 2 2 1 1 m0 w0 = "₂ 3(m0+w0) 1 3(m0+w0) # .

Wniosek. Po wielu latach w miastach b¦dzie »yªo 2₃ ludno±ci, na wsi 1

(110)

Ukªady dynamiczne

(111)