8
Przestrzenie liniowe
Definicja przestrzeni liniowej, przykłady
Definicja 8.1. Przestrzenią liniową nad ciałem F nazywamy zbiór V z działaniami
+ : V × V → V , (v, w) 7→ v + w, i · : F × V → V , (a, v) 7→ a · v, spełniającymi warunki: (a) ∀u,v,w∈V(u + v) + w = u + (v + w), (b) ∀v,w∈Vv + w = w + v, (c) ∃~0∈V∀v∈Vv + ~0 = v, (d) ∀v∈V∃w∈Vv + w = ~0, (e) ∀a,b∈F,v∈V(a + b) · v = (a · v) + (b · v), (f) ∀a∈F,v,w∈Va · (v + w) = (a · v) + (a · w), (g) ∀a,b∈F,v∈V(a · b) · v = a · (b · v), (h) ∀v∈V1 · v = v.
Elementy zbioru V nazywamy wektorami, elementy ciała F – skalarami. Dzia-łanie + : V × V → V nazywamy dodawaniem wektorów, dziaDzia-łanie · : F × V → V nazywamy mnożeniem wektorów przez skalary. Powyższe warunki oznaczają, że zbiór
V z działaniem + jest grupą przemienną. Przykład 8.2. Przykłady przestrzeni liniowych:
(a) zbiór wektorów swobodnych na płaszczyźnie/w przestrzeni jest przestrzenią liniową nad ciałem R,
(b) V = Rn jest przestrzenią liniową nad ciałem R, ogólniej: dla dowolnego ciała
F zbiór V = Fn jest przestrzenią liniową nad F ,
(c) zbiór wielomianów V = F [x] jest przestrzenią liniową nad ciałem F , (d) zbiór macierzy V = Matm×n(F ) jest przestrzenią liniową nad ciałem F ,
(e) zbiór liczb zespolonych V = C jest przestrzenią liniową nad ciałem F = R.
Liniowa niezależność wektorów
Niech V będzie przestrzenią liniową nad ciałem F , niech v1, . . . , vn ∈ V , c1, . . . , cn ∈
F . Wyrażenie
c1v1+ . . . + cnvn
nazywamy kombinacją liniową wektorów v1, . . . , vn o współczynnikach c1, . . . , cn.
8 PRZESTRZENIE LINIOWE 2
Przykład 8.3. Dowolny wektor v =
x1 x2 .. . xn
∈ Rn posiada naturalne przedstawienie
w postaci x1 x2 .. . xn = x1 0 .. . 0 + 0 x2 .. . 0 + . . . + 0 0 .. . xn = x1· 1 0 .. . 0 + x2· 0 1 .. . 0 + . . . + xn· 0 0 .. . 1 , tzn. v = x1e1+ x2e2+ . . . + xnen, gdzie e1 = 1 0 .. . 0 , e2 = 0 1 .. . 0 , . . . , en= 0 0 .. . 1 .
Definicja 8.4. Wektory v1, . . . , vn∈ V nazywamy:
– liniowo zależnymi, jeśli istnieje ich kombinacja liniowa równa wektorowi zero-wemu, w której nie wszystkie współczynniki są zerami:
∃c1,...,cn∈F(c1v1+ . . . + cnvn= ~0 ∧ ∃ici 6= 0),
– liniowo niezależnymi, jeśli jedyną ich kombinacją liniową równą wektorowi ze-rowemu jest kombinacja o zerowych współczynnikach:
∀c1,...,cn∈F(c1v1+ . . . + cnvn= ~0 ⇒ c1 = · · · = cn = 0).
Przykład 8.5. Przykłady wektorów liniowo niezależnych:
(a) wektory e1, . . . , en w przestrzeni Rn,
(b) wektory v1 = (1, 0, 0), v2 = (1, 2, 0), v3 = (1, 2, 3) w przestrzeni R3, (c) macierze " 1 0 0 0 0 0 # , " 0 1 0 0 0 0 # , " 0 0 1 0 0 0 # , " 0 0 0 1 0 0 # , " 0 0 0 0 1 0 # , " 0 0 0 0 0 1 # w przestrzeni Mat2×3(R).
Podprzestrzenie liniowe
Definicja 8.6. Niech V będzie przestrzenią liniową nad ciałem F . Niepusty podzbiór
W ⊂ V nazywamy podprzestrzenią liniową przestrzeni V , jeśli spełnione są warunki: – ∀v,w∈Wv + w ∈ W ,
8 PRZESTRZENIE LINIOWE 3
– ∀c∈F,v∈Wc · v ∈ W .
Powyższe dwa warunki można połączyć w jeden równoważny:
∀a,b∈F∀v,w∈Wa · v + b · w ∈ W.
Z powyższego łatwo wynika, że kombinacja liniowa dowolnej liczby wektorów z pod-przestrzeni należy do podpod-przestrzeni:
∀c1,...,cn∈F∀v1,...,vn∈Wc1· v1+ . . . + cn· vn ∈ W.
Przykład 8.7. Przykłady podprzestrzeni liniowych:
(a) W = {(x, y, z) ∈ R3 : x + y + z = 0}, V = R3, (b) W = {A ∈ Matn×n : AT = A}, V = Matn×n,
(c) W = {ax2+ bx + c; a, b, c ∈ R}, V = R[x].
Definicja 8.8. Niech V będzie przestrzenią liniową nad ciałem F .
(a) Podprzestrzenią generowaną przez wektory v1, . . . , vn ∈ V nazywamy zbiór
wszystkich kombinacji liniowych tych wektorów:
hv1, . . . , vni = {c1v1+ . . . + cnvn; c1, . . . , cn ∈ F }.
(b) Podprzestrzenią generowaną przez podzbiór X ⊂ V nazywamy zbiór wszystkich
kombinacji liniowych elementów zbioru X:
hXi = {c1v1+ . . . + cnvn; v1, . . . , vn ∈ X, c1, . . . , cn ∈ F }.
Baza i wymiar przestrzeni liniowej
Definicja 8.9. Niech V będzie przestrzenią liniową nad ciałem F . Wektory v1, . . . , vn ∈
V nazywamy bazą przestrzeni V , jeśli są liniowo niezależne i generują całą przestrzeń V , tzn.:
– ∀c1,...,cn∈F(c1v1+ . . . + cnvn = ~0 ⇒ c1 = · · · = cn= 0),
– ∀v∈V∃c1,...,cn∈Fv = c1v1+ . . . + cnvn.
Ogólniej, podzbiór X ⊂ V nazywamy bazą przestrzeni V , jeśli jest liniowo nie-zależny i generuje całą przestrzeń V .
Twierdzenie 8.10. Każda niezerowa przestrzeń liniowa posiada bazę. Twierdzenie 8.11. Wszystkie bazy przestrzeni liniowej są równoliczne.
Definicja 8.12. Liczbę elementów (moc) bazy przestrzeni liniowej V nad ciałem F
