dr in. Arkadiusz Mystkowski, prof. dr hab. in. Zdzisaw Gosiewski
Katedra Automatyki i Robotyki, Wydzia Mechaniczny, Politechnika Biaostocka
STEROWANIE OPTYMALNE OYSKAMI MAGNETYCZNYMI DLA
WYSOKOOBROTOWEGO ZASOBNIKA ENERGII KINETYCZNEJ
W pracy przedstawiono wyniki bada ukadu sterowania oyskami magnetycznymi dla zasobnika energii kinetycznej z wykorzystaniem regulatora MU. Zalety oyskowania magnetycznego zostay wykorzystane w wysokoobrotowej maszynie wirnikowej. Zaprezentowano proces projektowania regulatora odpornego obejmujcy modelowanie niepewnoci obiektu sterowania, uwzgldnienie nieliniowoci, dobór optymalnych funkcji wagowych oraz redukcj rzdu modelu regulatora. Zaprojektowano regulator odporny, dla którego
kryterium optymalizacji opisuje norma P d1. Wyznaczono model wirnika
metod elementów skoczonych. Przeprowadzono analiz modaln modelu wirnika oraz analiz jego prdkoci krytycznych. Wykonano badania symulacyjne zaprojektowanych praw sterowania dla szerokiego zakresu prdkoci obrotowych wirnika. Gównym celem artykuu byy badania eksperymentalne ukadu oysk magnetycznych dla zasobnika energii kinetycznej. W tym celu zbudowano stanowisko laboratoryjne umoliwiajce badania dynamiki zawieszenia magnetycznego wirnika w zakresie prdkoci obrotowej do 24 000 obr/min. Zaprojektowane prawa regulacji zostay zaimplementowane i zweryfikowane eksperymentalnie. Badania eksperymentalne wykazay, e zamknity ukad sterowania jest stabilny i zapewnia odpowiedni sztywno oyskowanego wirnika oraz cechuje si niewraliwoci na zmiany obiektu oraz wymuszenia wewntrzne i zewntrzne.
OPTIMAL CONTROL OF MAGNETIC BEARINGS FOR FLYWHEEL
In the paper the optimal robust controller based on P-synthesis is applied to
control of active control bearings (AMB) for a high speed Flywheel. A design methodology of robust controllers is presented with considering of uncertainties, nonlinearities, selection of optimal weighting functions and control law reduction. The controllers synthesized for the augmented plant model which meet analysis objectives (µ 1.0) will stabilize the actual plant and meet specified performance objectives. The MES-model of the rotor is investigated and modal analysis is performed due to critical speeds. The simulation results are performed and all P -synthesized controllers developed in this study were stable over the operating range. The main goal of the paper is the experimental evaluation of the controlled magnetic bearings performances for Flywheel application. For this purpose the laboratory stand with the high speed rotor (24 000 rpm) supported magnetically was built. The dynamical behavior of the closed-loops systems in wide range of rotation speeds was performed. The stable operation, good stiffness of the rotor and robust performances of the closed-loop systems were reached.
1. WPROWADZENIE
Wspóczesne maszyny wirnikowe s coraz bardziej wydajne ze wzgldu na rozwijane due prdkoci obrotowe przy jednoczesnej minimalizacji masy. Oprócz wielu zalet takich rozwiza, np. w precyzyjnej obróbce materiaów – szybkoobrotowe elektrowrzeciona
oyskowane magnetycznie (ang. High Speed Magnetic Spindles) czy w magazynach energii kinetycznych (ang. Flywheels) [9], urzdzenia te wymagaj odpowiedniego systemu oyskowania i sterowania sztywnymi i gitkimi postaciami drga powstajcymi wraz ze wzrostem prdkoci wirowania. Badania nad metodami eliminacji drga bdcych skutkiem rónego rodzaju wymusze w tym niewywaenia maszyn wirnikowych jak: turbiny, sprarki, pompy, wentylatory, przekadnie, itd. s istotnym zagadnieniem wspóczesnej dynamiki maszyn.
oyska magnetyczne wraz z ukadem pomiarowym, zasilajcym i ukadem sterowania w ptli sprzenia zwrotnego stanowi bezkontaktowy system oyskowania wirnika pozwalajcy na prac z ultra wysokimi prdkociami obrotowymi [3, 7]. Co wicej ukady zawieszenia magnetycznego pozwalaj na cig diagnostyk maszyny wirnikowej poprzez pomiar si, przemieszcze, prdkoci i przyspiesze w czasie rzeczywistym. Jednake systemy lewitacji magnetycznej s ukadami strukturalnie niestabilnymi wymagajcymi sterowania w torze zamknitym od pomiaru przemieszczenia.
W pracy wykorzystano metod sterowania odpornego P-synthesis [10]. Jest to metoda
sterowania odpornego (ang. Robust Control), w której przy braku ogranicze wiksze waciwoci odporne regulatora s uzyskiwane kosztem wikszej energii sygnau sterujcego. Metoda sterowania P jest wygodna dla ukadów liniowych typu MIMO z niepewnoci strukturaln modelu. Algorytm regulatora Pjest naturalnym uogólnieniem metody sterowania Hf dla ukadów z niepewnoci. Wskanik optymalizacji w sterowaniu P odpowiada realnym waciwociom projektowanego ukadu w praktyce. W sterowaniu odpornym efekty niewywaenia wirnika mona traktowa jako wymuszenia zewntrzne dziaajce na obiekt. Wpyw tych wymusze mona uwzgldni za pomoc funkcji wagowych i dodatkowych modeli niepewnoci obiektu. Dlatego zaprojektowany regulator bdzie bardziej odporny na zmiany dynamiki ukadu wirnik-oyska magnetyczne ni standardowe regulatory typu PID. W metodzie sterowania P projektuje si optymalny regulator odporny, czyli taki regulator, który zapewnia stabilno obiektu, pomimo, e jego parametry zmieniaj si w czasie jego eksploatacji (LPV - Linear Parameter Varying). Dodatkowo regulator P pozwala uwzgldni ograniczenia sygnaów oraz nieliniow zaleno siy generowanej przez oysko magnetyczne w funkcji prdu sterujcego.
W referacie przedstawiono model wirnika gitkiego obliczony metod elementów skoczonych (MES), zaprezentowano wyniki analizy modalnej modelu. Nastpnie pokazano syntez projektowania regulatora P dla modelu MES wirnika oyskowanego magnetycznie oraz wyniki bada eksperymentalnych ukadu sterowania odpornego zawieszeniem magnetycznym wirnika, którego gównym celem bya stabilizacja i tumienie drga wirnika dla rónych prdkoci obrotowych.
2. MODEL WIRNIKA GITKIEGO OYSKOWANEGO MAGNETYCZNIE
Obiektem sterowania jest symetryczny wirnik poprzecznie zawieszony w dwóch aktywnych oyskach magnetycznych promieniowych. Dla potrzeb sterowania i analizy modalnej sztywnych i gitych postaci drga wirnika, zosta wyznaczony model wirnika metod elementów skoczonych (MES) [2]. W tym celu wirnik podzielony zosta na 20 elementów o prostej geometrii. Pomidzy ssiadujcymi elementami modelu wirnika wprowadzono wzy. Kady wze charakteryzuje 6 stopni swobody, dlatego uzyskany model wirnika posiada 120 stopni swobody.
Równania ruchu wirnika we wspórzdnych uogólnionych bez uwzgldniania wymusze zewntrznych mog by przedstawione w nastpujcej formie macierzowej [8]:
( ) 0
Mq D :G qKq , (1) gdzie: M – symetryczna, dodatnio zdefiniowana macierz mas, D – symetryczna macierzy tumienia, G – skonie symetryczna macierz giroskopowa, K – symetryczna pó dodatnio zdefiniowana macierz sztywnoci,: – prdko obrotowa wirnika, q – wektor przemieszcze wirnika (wspórzdna uogólniona).
W celu projektowania prawa sterowania model wirnika zosta przeksztacony do modelu w przestrzeni stanów nastpujco:
x Ax Bu y Cx Du , (2) gdzie: 2 2 2 2 1 1 1 0 0 , , 0 , 0 ( ) q q q q q n l q l n I A B C S D M K M D G M F u u u u u ª º ª º ª º ª º « : » « » ¬ ¼ ¬ ¼ ¬ ¼ ¬ ¼ .
Model wymusze zewntrznych, czyli w naszym przypadku si elektromagnetycznych pochodzcych od oysk magnetycznych dziaajcych na wirnik oraz model czujników przemieszczenia zosta uwzgldniony w postaci macierzy:
0 0 , 0 0 x x y y F S F S F S ª º ª º « » « » ¬ ¼ ¬ ¼. (3) Pole−Zero Map Real Axis Imaginary Axis −1 −0.8 −0.6 −0.4 −0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 x 107 −1 −0.8 −0.6 −0.4 −0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1x 10 6 0.86 0.965 0.986 0.993 0.996 0.998 0.999 1 1 0.86 0.965 0.986 0.993 0.996 0.998 0.999 1
18e+006 6e+006 4e+006 2e+006
Rys. 1. Mapa biegunów i zer wirnika gitkiego dla prdkoci obrotowej : = 0 obr/min Bazujc na modelu wirnika gitkiego w przestrzeni stanów, przeprowadzono analiz wartoci biegunów i zer, których mapa zostaa przedstawiona na rys. 1. W zalenoci od symetrii wirnika kady biegun pojawia si dwa razy, raz dla kadej z paszczyzn zespolonych. Wszystkie bieguny zwizane z postaciami gitkimi charakteryzuj si bardzo sabym tumieniem i s pooone w okolicy osi urojonej.
W przypadku wirujcego wirnika (: > 0), ruch wirnika w dwóch paszczyznach oysk jest sprzgnity poprzez efekt giroskopowy, który ronie wraz ze wzrostem prdkoci obrotowej
wirnika i jest zaleny od geometrii i dugoci wau. Wraz ze zmian prdkoci wirowania zmienia si model wirnika. Wartoci wasne modelu odpowiadajce za gitkie postacie drga przesuwaj si wraz ze wzrostem prdkoci obrotowej wzdu osi urojonej w kierunku rosncych lub malejcych czstotliwoci. Postacie drga, których wartoci rosn wraz z prdkoci obrotow i maj zgodny kierunek nazwane s forward modes (np. nutacja). Natomiast postacie drga, których wartoci malej wraz z prdkoci obrotow i maj przeciwny kierunek nazwane s backward modes (np. precesja). Rozkad postaci modalnych modelu wirnika gitkiego w funkcji prdkoci obrotowej : w zakresie od 0 obr/min do 100 000 obr/min przedstawiono na rys. 2 w postaci diagramu Campbella.
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 x 104 0 500 1000 1500 2000 2500 3000
Campbell diagram of a flexible rotor
Rotational speed [rpm]
Natural frequencies [Hz] Rotationalfrequency
Critical speeds (backward and forward flexible modes)
Rys. 2. Diagram Campbella dla modelu wirnika gitkiego
Model wirnika gitkiego oyskowanego magnetycznie jest kombinacj modelu MES wirnika oraz modelu oysk magnetycznych i jest zapisany nastpujcym równaniem macierzowym:
( ) s i
Mq D :G qKq K qK i, (4) gdzie: Ks – macierz sztywnoci przemieszczeniowej oysk magnetycznych, Ki – macierz
sztywnoci prdowej (macierz wejciowych wspóczynników wzmocnienia) oyska magnetycznego.
Po przeprowadzeniu transformacji modelu wirnika oyskowanego magnetycznie do wspórzdnych modalnych otrzymujemy:
( ) ( )
r r r r r r sr r ir
M q D :G q K K q K i. (5) W ten sposób uzyskujemy zmodyfikowan macierz sztywnoci wirnika Kr-Ksr, która niestety
nie jest dokadnie diagonalna, jednak wartoci elementów diagonalnych s znacznie wiksze ni pozostae.
Wyznaczenie wspóczynników macierzy sztywnoci przemieszczeniowej i prdowej oysk magnetycznych odbywa si na drodze linearyzacji modelu masy zawieszonej w polu elektromagnetycznym.
Sia elektromagnetyczna generowana przez jedn par cewek oyska magnetycznego (tzw. siownik elektromagnetyczny) i dziaajca na wirnik w jednej osi jest opisana nastpujcym równaniem [3, 4]: 2 2 4 i F K x , (6)
gdzie: K P0N A2 cos( )D – staa oyska magnetycznego, i – prd elektromagnesu [A],
x – szeroko szczeliny powietrznej [m], P0 – staa przenikalnoci magnetycznej próni
[Vs/Am], N – ilo zwojów pary cewek elektromagnetycznych, A – pole przekroju nabiegunnika cewki [m2], D – kt pomidzy siami elektromagnetycznymi generowanymi przez kolejne cewki dziaajcymi na wirnik (w naszym przypadku, D= 22.5q) [rad].
Z równania (6) wynika, e sia elektromagnetyczna jest nieliniowo zalena od prdu elektromagnesu i przemieszczenia wirnika. Po linearyzacji równania (6) w otoczeniu nominalnego punktu pracy (x0 – nominalna szeroko szczeliny powietrznej, i0 – skadowa
staa prdu, tzw. prd punktu pracy), sia elektromagnetyczna jest opisana nastpujco:
2 0 2 0 ( ) 4( ) s i i i F K k x k i x x , (7) gdzie: 2 0 3 0 2 s Ki k
x – wspóczynnik sztywnoci przemieszczeniowej [N/m], 0 2 0 2 i Ki k
x – wspóczynnik sztywnoci prdowej [A/m].
Model wirnika gitkiego oyskowanego magnetycznie dla danych wartoci parametrów zapisano w przestrzeni stanów. Na rys. 3 przedstawiono map pooenia biegunów modelu. Na mapie zaznaczono postacie modalne sztywne i gitkie wirnika. Jak wida ukad jest niestabilny. −800 −600 −400 −200 0 200 400 600 800 −3 −2 −1 0 1 2 3x 10 6 Real Axis Imaginary Axis rigid modes flexible modes
Regulator stabilizujcy wirnik oyskowany magnetycznie w punkcie równowagi to taki, który powoduje przesunicie wszystkich niestabilnych biegunów modelu do lewej pópaszczyzny zespolonej. Zwikszanie wzmocnienia regulatora powoduje w pierwszej kolejnoci nieznaczne przesunicie biegunów w stron lewej pópaszczyzny zespolonej, natomiast dalsze zwikszanie wzmocnienia skutkuje tym, e bieguny zawracaj i przesuwaj si wzdu osi urojonej w kierunku dodatnim i ujemnym. Dlatego projektowany regulator, który ma na celu stabilizacj ukadu otwartego musi dostarcza dodatkowe tumienie. W praktyce wyznaczenie regulatora optymalnego, który stabilizuje niestabilne bieguny odpowiadajce za sztywne postacie modalne wirnika przy jednoczesnym nie destabilizowaniu sabo tumionych postaci gitkich jest zadaniem skomplikowanym i trudnym [1].
3. PROEJKTOWANIE REGULATORA P
W metodzie sterowania optymalnego, tzw. P-synthesis, wspóczynnik optymalizacji okrelony jest jako minimalna warto normy ukadu zamknitego Tzw
f. W naszym
przypadku regulator P jest zaprojektowany dla rozbudowanego modelu obiektu, który zawiera: model MES wirnika, model oysk magnetycznych, model wzmacniaczy prdowych, model wiroprdowych czujników przemieszczenia, opónienie procesora sygnaowego oraz modele niepewnoci parametrów obiektu i modele funkcji wagowych. Struktura ukadu zamknitego z regulatorem odpornym P zostaa przedstawiona na rys. 4. Regulator P podobnie jak Hf wymaga dokadnego modelu obiektu, dlatego rzdy tych regulatorów s wysokie, przy czym rzd regulatora P jest zawsze wyszy ni regulatora Hf z uwagi na inny algorytm oblicze.
Algorytm obliczania regulatora P bazuje na algorytmie tzw. D-K iteracji [10], która
sprowadza si w najgorszym przypadku do znalezienia regulatora K, który spenia
nastpujcy warunek:
( ) 1
T jZ d . (8)
Po zastosowaniu analizy wartoci osobliwych, powyszy warunek moe by zapisany nastpujco:
sup T j( ) 1
Z\V Z d
, (9)
warunek (9) moe ostatecznie zosta wyraony jako:
( ) 1
T jZ
f d . (10)
Rys. 4. Struktura ukadu zamknitego z regulatorem odpornym, G – model rozbudowany
obiektu, K – regulator P,T – ukad zamknity, Ww – waga naoona na sygnay wejciowe, Wz – waga naoona na sygnay wyjciowe,z – sygnay mierzone, w – zakócenia i obcienia
Podczas projektowania regulatora odpornego uwzgldniono niepewnoci w dynamice modelu wirnika oyskowanego magnetycznie. Niepewnoci zostay uwzgldnione jako parametryczne i wczone addytywnie do wartoci nominalnych. Niepewno strukturalna opisana jest przez nieznan zmian ograniczon norm i reprezentowan przez blok '. Blok niepewnoci dziaa na model nominalny obiektu (wyznaczony dla danego punktu pracy) w postaci wzmocnienia w sprzeniu zwrotnym. Model niepewnoci addytywnej modelu jest nastpujcy [10]:
R N a a
G G ' , W (11)
gdzie: GN – model nominalny, Wa – funkcja wagowa ograniczajca niepewno , ' – zmiana ograniczona do r1.
W naszym przypadku gówne róda niepewnoci to zjawiska zachodzce w wzmacniaczach prdowych i cewkach elektromagnetycznych oysk. Dlatego uwzgldniono niepewnoci parametrów ki i ks oysk magnetycznych jako zmiana r10 %. Niepewno wzmocnienia
wzmacniacza wynosi r5%. Regulator odporny wyznaczony dla prdkoci obrotowej równej 0 obr/min nie gwarantuje zachowania stabilnoci ukadu dla :>>0. Dlatego uwzgldniona niepewno dla parametru : wynosi r100%. Jako nominaln prdko obrotow przyjto :=10 000 obr/min co oznacza, e regulator odporny zapewni stabilno pracy wirnika w zakresie prdkoci obrotowych : od 0 obr/min do 20 000 obr/min. Model niepewnoci parametrycznej dla : jest nastpujcy:
10000 10000 1
: u r . (12)
Najbardziej trudnym etapem projektowania regulatora odpornego jest odpowiedni dobór funkcji wagowych. Funkcje wagowe pozwalaj na uwzgldnienie: ogranicze sygnaów w ukadzie rzeczywistym, uwzgldnieniu modelu wymusze zewntrznych, dopasowaniu sygnaów itd. Ponadto pozwalaj one ksztatowa waciwoci ukadu sterowania poprzez dziaanie na funkcje wraliwoci, komplementarnej wraliwoci i sterowania systemu.
W niniejszej pracy funkcje wagowe zostay naoone na sygna uchybu, sygna sterujcy, sygna przemieszczenia wirnika i zakócenie. W teorii sterowania odpornego funkcje wagowe musz spenia nastpujce warunki [10]:
1 2 3 ( ) ( ) ( ) ( ) 1 ( ) ( ) W s S s W s R s W s T s f d , (13)
gdzie:S, R, T – funkcja wraliwoci, sterowania i komplementarnej wraliwoci.
Dla przykadu warto wzmocnienia funkcji wagowej W3 naoonej na sygna
przemieszczenia wirnika przyjto 0.1 dlatego, e przemieszczenie wau nie powinno przekroczy 10 % szczeliny nominalnej. Model funkcji wagowej W2 naoonej na sygna
sterujcy regulatora przyjto w oparciu o model wzmacniacza PWM opisany krzyw R-L
(pasmo przenoszenia wzmacniacza ograniczone jest stosunkiem rezystancji R do
indukcyjnoci L ukadu). Amplituda sygnau sterujcego nie moe przekracza maksymalnej
wartoci prdu równej 10 A, natomiast pasmo przenoszenia nie moe by wiksze ni pasmo ukadu: procesor DSP -> wzmacniacze PWM-> cewki elektromagnetyczne. Bardzo istotne jest waciwe dobranie funkcji wagowej W1 naoonej na uchyb regulacji, co wpywa na
sygnau. Warto wzmocnienia funkcji wagowej W1 wynosi 10. W celu uwzgldnienia
modelu drga wirnika jako wymusze sinusoidalnie zmiennych uwzgldniono funkcj wagow Wdi naoon na sygna zakócenia. Amplituda funkcji Wdi wynosi 0.02, co
odpowiada typowej wartoci wymuszenia równej 2 % prdu maksymalnego. Dokadny opis doboru funkcji wagowej znajduje si w pracach [4, 5, 6].
Dla tak wyznaczonego ukadu obliczono regulator P za pomoc programu Matlab/Simulink. Na rys. 5 przedstawiono charakterystyk Bodego zaprojektowanego regulatora P.
−40 −20 0 20 40 60 Magnitude (dB) 10−2 100 102 104 106 −90 −45 0 45 Phase (deg) Bode Diagram Frequency (rad/sec) µ controller
Rys. 5. Wykres Bodego modelu regulatora P
4. BADANIA EKSPERYMENTALNE
W celu przeprowadzenia bada eksperymentalnych algorytm sterowania regulatora P zosta zaimplementowany w procesorze sygnaowym DSP firmy dSPACE jako model dyskretny zapisany w przestrzeni stanu. Regulator posiada 4 wejcia i 4 wyjcia oraz realizuje 4 ptle sprzenia zwrotnego dla sterowania ruchem wirnika w osiach x-y oysk promieniowych
z czstotliwoci próbkowania równ 10 kHz. Poniewa wyznaczony regulator P posiada 180 stanów, w celu realizacji praktycznej zosta zredukowany metod ang. balanced model truncation.
W badaniach eksperymentalnych gówn uwag skupiono na sterowaniu pooeniem wirnika i kompensacji drga promieniowych, dlatego tylko promieniowe oyska magnetyczne s rozpatrywane. Podczas testów eksperymentalnych uwzgldniono nastpujce zakócenia: niewywaenie wirnika jako sia sinusoidalnie zmienna, obcienie grawitacyjne wirnika oraz szumy w torach pomiarowych. Natomiast w celu uproszczenia modelu pominito obcienia aerodynamiczne oraz efekty nieliniowe, takie jak prdy wirowe, czy histereza obwodów magnetycznych oysk.
Testy eksperymentalne zostay przeprowadzone dla rónych prdkoci obrotowych wirnika w zakresie od 0 do ponad 21 000 obr/min. Masa wirnika wynosi 18,5 kg, natomiast dugo ponad 0,9 m. Jako oyska magnetyczne zastosowano aktywne oyska heteropolarne, z których kade skada si z 8 cewek elektromagnetycznych poczonych szeregowo w 4 pary. Dlatego kade oysko magnetyczne wymaga 4 sterownych kanaów wzmacniaczy prdowych. Jako wzmacniacze prdowe zbudowano impulsowe wzmacniacze PWM o maksymalnym prdzie do 10 A i pamie przenoszenia do 1 kHz. Jako ukad napdowy zastosowano silnik elektryczny sterowany falownikiem o czstotliwoci znamionowej
wynoszcej 400 Hz. Widok zaprojektowanego i zbudowanego stanowiska badawczego przedstawiono na rys. 6.
Rys. 6. Stanowisko badawcze do bada dynamiki wirnika oyskowanego magnetycznie Na rys. 7 przedstawiono poziom drga i orbit wirnika w osi x i y w paszczynie jednego
oyska magnetycznego dla maksymalnej prdkoci obrotowej 21 000 obr/min. Prdko ta bya maksymaln, jak udao si uzyska silnikiem o mocy 0,73 kW. Faktem jest, e uzyskany poziom sterowanych drga wirnika dla obu oysk nie przekracza 0,025 mm, przy szerokoci szczeliny powietrznej oysk równej 0,25 mm, co stanowi odchylenie 10 %. Oznacza to dobre waciwoci tumienia drga przez zastosowany regulator.
Rys. 7. Przebieg drga wirnika w osi x i y oyska oraz jego orbita dla :=21 000 obr/min 5. WNIOSKI
W pracy zaprezentowano badania dynamiki szybkoobrotowego wirnika oyskowanego magnetycznie. Zaprojektowane, zbudowane i przebadane oyska magnetyczne w powikszonej wersji bd docelowo zastosowane w elektromechanicznym magazynie
0 0.02 0.04 0.06 0.08 0.1 −1 0 1x 10 −4 X p [m] Ω=21000 [rpm] 0 0.02 0.04 0.06 0.08 0.1 −1 0 1x 10 −4 Yp [m] Time [s] −2 −1.5 −1 −0.5 0 0.5 1 1.5 2 x 10−5 −2 −1.5 −1 −0.5 0 0.5 1 1.5 2x 10 −5 Ω=21000 [rpm] Yp [m] X p [m]
energii kinetycznej, w którym masa wirnika bdzie wynosi 150 kg, a gromadzona energia okoo 7÷10 MJ. Jak si okazao metoda sterowania odpornego z regulatorem P, dziki uwzgldnieniu wszystkich istotnych waciwoci obiektu, ich zmian w funkcji czasu oraz moliwoci ksztatowania sygnaów za pomoc funkcji wagowych, pozwala na skuteczne tumienie drga wirnika oraz zapewnia stabilno ukadu w procesach szybko zmiennych. Sterowanie odporne szczególnie sprawdza si przy duych prdkociach obrotowych, gdzie naley uwzgldnia nieliniowe efekty i sterowa poszczególnymi prdkociami krytycznymi. Regulator odporny jest regulatorem optymalnym, gdzie kryterium optymalizacji wyraone jest norm funkcji ukadu zamknitego w dziedzinie czstotliwoci. Oznacza to, e ukad regulacji odpornej zawieszenia magnetycznego zuywa mniej energii ni standardowe ukady sterowania PID. Dodatkowo ukad zamknity z regulatorem odpornym utrzymuje sta jako procesów przejciowych, czego nie mona potwierdzi dla innych typów regulatorów.
BIBLIOGRAFIA
[1] Burrows C., Sainkaya M., Clements S., Active Vibration Control of Flexible Rotors: an Experimental and Theoretical Study, Proceedings of the Royal Society of London,
Vol. 422, pp.123-146, 1989.
[2] Gawroski W, Kruszewski J., inni, Metoda Elementów Skoczonych w Dynamice Konstrukcji, Arkady, Warszawa, 1984.
[3] Gosiewski Z., Falkowski K., Wielofunkcyjne oyska magnetyczne, Biblioteka Naukowa
Instytutu Lotnictwa, Warszawa, 2003.
[4] Gosiewski Z., Mystkowski A., Robust control of active magnetic suspension: analytical and experimental results, Mechanical Systems & Signal Processing, Vol. 22, No. 6, pp.
1297-1303, 2008.
[5] Gosiewski Z., Mystkowski A., Dobór funkcji wagowych w ukadzie sterowania odpornego aktywnym zawieszeniem magnetycznym, Automation’2006: X Konferencja
Naukowo-Techniczna, str. 402-411, 2006.
[6] Gosiewski Z., Mystkowski A., The robust control of magnetic bearings for rotating machinery, Solid State Phenomena, Vol. 113, pp.125-130, 2006.
[7] Knopse C.R., Hope R.W., Fedigan S.J., Williams R.D., Experimental in the Control of Unbalance Response Using Magnetic Bearings, Mechatronics, Vol. 55, pp. 385-400, 1995.
[8] Losch F., Identification and Automated Controller Design for Active Magnetic Bearing Systems, Dissertation, Zurich, 2002.
[9] Sawicki J. T., Rationale for Mu-synthesis Control of Flexible Rotor-Magnetic Bearings System, Acta Mechanica et Automatica, Vol. 2, No. 2, pp. 67-74, Bialystok, 2008.
