A. Mróz Zad. 1 Które z poni»szych ukªadów (zbiór, dziaªanie) s¡ grupami?
(a) (N, +), (Z, +), (Z, ·), (Q, ·), (Q, +), (Q∗:= Q \ {0}, ·), ({2n + 1 : n ∈ Z}, +),
({2n : n ∈ Z}, +)
(b) (Mn(k), +), (Mn(k), ·), (Gln(k) := {M ∈ Mn(k) : detM 6= 0}, ·), (Gln(k), +), gdzie k
-ciaªo; Mn(k) - zbiór macierzy wymiaru n × n nad k; +, · - dodawanie, mno»enie macierzy.
(c) ({e}, ◦), def. ◦: e ◦ e = e, ({a, b}, t), def. t: a t a = a, a t b = b, b t a = b, b t b = b. Zad. 2 Niech G = (G, ·) b¦dzie grup¡.
(a) Wyka», »e ∅ 6= H ⊂ G jest podgrup¡ grupy G (ozn. H < G) wtedy i tylko wtedy, gdy a · b−1 ∈ H dla wszystkich a, b ∈ H.
(b) Niech H1, H2 < G. Wyka», »e H1∩ H2 < G. Czy zawsze H1∪ H2 < G?
(c) Wyka», »e je±li H1, H2 < Gi G jest abelowa, to H1·H2:= {h1·h2 : h1∈ H1, h2 ∈ H2} < G.
Zad. 3 (a) Ile jest sko«czonych podgrup grupy Z = (Z, +) ? (b) Wyka», »e je±li H < Z oraz 1 ∈ H to H = Z.
(c) Wyka», »e H < Z wtedy i tylko wtedy, gdy H = aZ := {an : n ∈ Z}, dla pewnego a ∈ N. (d) Wyka», »e dla dowolnych n, m ∈ N mamy: nZ < mZ ⇔ m|n.
(e) Niech a, b ∈ N. Jak znale¹¢ m ∈ N takie, »e aZ ∩ bZ = mZ? Jak znale¹¢ n ∈ N takie, »e aZ + bZ = nZ?
Zad. 4 (a) Udowodnij, »e dla ka»dego n ∈ N, ukªad (Zn, ⊕n)jest grup¡, gdzie Zn= {0, 1, . . . , n−
1} oraz a ⊕nb := rn(a + b), dla a, b ∈ Zn.
(b) Udowodnij, »e dla ka»dego n ∈ N, ukªad (Z∗
n, n) jest grup¡, gdzie Z∗n = {a ∈ Zn :
∃b∈Zna nb = 1} oraz a nb := rn(ab), dla a, b ∈ Zn.
(c) Wypisz elementy grup Z∗
4, Z∗5, Z∗6.
(d) Niech n ∈ N, a ∈ Zn. Poka», »e a ∈ Z∗n wtedy i tylko wtedy, gdy nwd(a, n) = 1.
Zad. 5 (a) Znajd¹ rz¦dy elementów 2, 5, 8 ∈ Z12 oraz podgrupy przez nie generowane.
(b) Wyka», »e grupy Z, oraz Zn, nZ, dla n ∈ N, s¡ cykliczne.
(c) Niech G b¦dzie grup¡. Wyka», »e je±li |G| = n oraz G jest cykliczna, to G ∼= Zn.
(d) Wyka», »e Z6 ∼= Z∗7.
Zad. 6 (a) Wyka», »e (Sn, ◦)jest grup¡, gdzie Sn:= {f : {1, . . . , n} → {1, . . . , n} : f −bijekcja},
◦ - skªadanie funkcji, n ∈ N. (Sn nazywamy grup¡ permutacji lub grup¡ symetryczn¡.). Wyka»
ponadto, »e Sn jest przemienna ⇔ n ≤ 2.
(b) Dane s¡ permutacje p = 1 2 3 4 5 6 2 6 4 1 3 5 oraz s = 1 2 3 4 5 6 3 2 6 5 1 4 w S6. Oblicz p−1s, |p|, |s|. (c) Rozªó» permutacj¦ 1 2 3 4 5 6 7 8 2 8 3 6 7 4 5 1
na iloczyn cykli rozª¡cznych.
(d) Wyka», »e zbiór wszystkich transpozycji (tzn. cykli dªugo±ci 2) generuje grup¦ Sn.
(e) Wyka», »e zbiór wszystkich transpozycji wyrazów kolejnych (tzn. transpozycji typu (i, i+ 1), 1 ≤ i ≤ n − 1) generuje grup¦ Sn.
(f) Czy podzbiór {p ∈ Sn: p(1) = 1} ⊂ Sn jest podgrup¡ grupy Sn? Czy jest jej dzielnikiem
normalnym?
[Def. Permutacja s ∈ Sn jest parzysta (odp. nieparzysta) gdy liczba par (i, j), 1 ≤ i < j ≤ n
takich, »e s(i) > s(j) jest parzysta (odp. nieparzysta). Zbiór perm. parzystych ozn. An]
(g) Wyka», »e Anjest dzielnikiem normalnym Snindeksu 2. [Wskazówka: wykorzystaj fakt,
2 Zad. 7 (a) Wyka», »e (√n
1, ·) jest grup¡, gdzie √n
1 = {z ∈ C : zn= 1}. (b) Wyka», »e grupy Zn, Z/nZ oraz n
√
1 s¡ izomor czne.
(c) Wyka», »e grupy R+ = (R, +) oraz R>0= (R>0, ·) s¡ izomor czne.
Zad. 8 Oznaczmy przez Tn(k) (odp. Un(k)) zbiór wszystkich odwracalnych macierzy
górno-trójk¡tnych (odp. górnogórno-trójk¡tnych z jedynkami na przek¡tnej) nad ciaªem k. (a) Wyka», »e Tn(k), Un(k) < Gln(k). Czy Tn(k), Un(k) C Gln(k)?
(b) Poka», »e Un(k) C Tn(k). Oblicz Tn(k)/Un(k).
Zad. 9 Oznaczmy przez A = A(k) (k - ciaªo) zbiór wszystkich funkcji postaci ϕa,b: k → k, a ∈
k∗, b ∈ k, zadanych przyporz¡dkowaniem x 7→ ax + b. Ponadto niech T = T (k) = {ϕ1,b: b ∈ k},
H = H(k) = {ϕa,0: a ∈ k∗}.
(a) Udowodnij, »e zbiór A wraz ze skªadaniem funkcji tworzy grup¦ oraz »e T, H < A. (b) Wyka», »e T ∼= (k, +) oraz H ∼= (k∗, ·), gdzie + oraz · s¡ odpowiednio dziaªaniami dodawania i mno»enia w ciele k.
(c) Sprawd¹, czy T, H C A. Oblicz A/T .
Zad. 10 f ∈ Gl(R2) nazywamy izometri¡ o ile ||v|| = ||f(v)|| dla ka»dego v ∈ R2. Zbiór
wszystkich izometrii oznaczamy O(R2).
(a) Czy zbiór O(R2) wraz ze skªadaniem funkcji tworzy grup¦? Sprawd¹, czy odwzorowania
liniowe zadane macierzamiT = 1 0 0 −1 orazRα= cos α − sin α sin α cos α , α ∈ R, s¡ izometriami? Jak mo»na opisa¢ te odwzorowania?
(b) Wyka», »e dla dowolnych α, β ∈ R mamy równo±ci RαRβ = Rα+β, R0 = idR2, RαR−α =
idR2, Rα= R2π+α oraz RαT = T R−α.
[Def. Podgrup¦ Dn < O(R2) tych izometrii, które przeksztaªcaj¡ n-k¡t foremny o ±rodku w
punkcie (0, 0) w siebie nazywamy n-t¡ grup¡ dihedraln¡.]
(c) Uzasadnij, »e Dn= {id, R, R2, . . . Rn−1, T, T R, T R2, . . . , T Rn−1}, gdzie R = R2π/n. Zrób
tabelk¦ dziaªania w grupie D3.
(d) Jakie s¡ podgrupy generowane przez elementy R oraz T w grupie Dn? Jakie s¡ ich rz¦dy?
Opisz wszystkie elementy Dnrz¦du 2.
(e) Niech Cn:= {id, R, R2, . . . Rn−1}. Wyka», »e CnC Dn. Czym jest Dn/Cn?
Zad. 11 Niech (G, ◦G), (H, ◦H) b¦d¡ dowolnymi grupami. Oznaczmy przez Hom(G, H) zbiór
wszystkich homomor zmów z G do H, za± dla dowolnych ϕ, ψ ∈ Hom(G, H) oznaczmy przez ϕ t ψ odwzorowanie z G do H okre±lone: ϕtψ(g) = ϕ(g)◦Hψ(g), dla dowolnych g ∈ G. Wyka»,
»e:
(a) je±li H jest abelowa, to Hom(G, H) z dzialaniem t tworzy grup¦.
(b) zachodzi izomor zm Hom(Z, H) ∼= H gdy H jest abelowa (ogólnie tylko bijekcja). (c) Zbiór Aut(G) wszystkich izomor zmów ϕ ∈ Hom(G, G) jest grup¡ (z dziaªaniem polega-j¡cym na skªadaniu funkcji, nie t !). Opisz grup¦ Aut(Z).
