Modelowanie zmian cyklicznych przykładowych wielkości ekonomicznych za pomocą liniowych równań różnicowych w przestrzeni rozmytych liczb rzeczywistych

Pełen tekst

(1)Zeszyty Naukowe nr 814. 2010. Uniwersytetu Ekonomicznego w Krakowie. Wit Urban Katedra Informatyki. Modelowanie zmian cyklicznych przykładowych wielkości ekonomicznych za pomocą liniowych równań różnicowych w przestrzeni rozmytych liczb rzeczywistych Streszczenie. Problematyka artykułu jest związana z wielowymiarową analizą dynamiki procesów ekonomicznych. Zaprezentowana w nim metoda takiej analizy oparta na modelowaniu cykli z wykorzystaniem liniowych równań różnicowych w przestrzeni rozmytych liczb rzeczywistych została następnie zastosowana w opisie i prognozowaniu wahań notowań akcji i zmian kursów walutowych. Otrzymane rezultaty wskazują na duże możliwości wykorzystania przedstawionego podejścia do analizy dynamiki systemów ekonomicznych przy równoczesnej konieczności uwzględnienia istotnych uwarunkowań wynikających z własności równań różnicowych zdefiniowanych w przestrzeniach rozmytych. Słowa kluczowe: arytmetyka rozmyta, rzeczywiste liczby rozmyte, statystyczne szeregi czasowe, metody analizy wielowymiarowej.. 1. Wprowadzenie Jednym z istotnych elementów współczesnych procedur badawczych zajmujących się procesami ekonomicznymi jest zastosowanie zasad analizy wielowymiarowej. Temu celowi służy też wykorzystanie metod teorii zbiorów rozmytych, w tym także modelowania dynamiki systemów ekonomicznych za pomocą liniowych równań różnicowych zdefiniowanych w przestrzeni rzeczywistych liczb rozmytych. Prezentacji praktycznego wykorzystania tej metody opisu rzeczywi-.

(2) 150. Wit Urban. stości został podporządkowany układ artykułu. W drugim punkcie przedstawiono aparat pojęciowy oraz podstawowe definicje arytmetyki rozmytej. Następnie został zaprezentowany opis procedury badawczej związanej z wykorzystaniem wspomnianych równań wraz z propozycjami jej uproszczeń. Przedstawiony algorytm został zastosowany do modelowania wahań notowań giełdowych akcji spółki Agora oraz zmian kursów walutowych dolara amerykańskiego. 2. Wybrane pojęcia i definicje arytmetyki rozmytej Arytmetyka rozmyta powstała przez rozwinięcie teorii zbiorów rozmytych polegające na wprowadzeniu pojęcia funkcji przynależności do przestrzeni numerycznych oraz zdefiniowaniu operacji arytmetycznych dla pochodzących z nich argumentów. W ten też sposób zostały zdefiniowane podstawowe rodzaje liczb rozmytych bazujące na skalarnych przestrzeniach liczbowych. Ze względu jednak na ograniczenie zakresu tematycznego opracowania do problemów związanych z praktycznym wykorzystaniem rzeczywistych charakterystyk rozmytych przytoczono tylko definicję sformułowaną dla tej klasy liczb rozmytych. Definicja 1 [Zadeh 1965]. Rozmyta liczba rzeczywista jest zbiorem rozmytym w przestrzeni R mającym ciągłą funkcję przynależności μα oraz spełniającym warunek wypukłości: (y) ≥ (x) (z). x, y, z R, y [x; z]. (1). Klasę rozmytych liczb rzeczywistych oznacza się z kolei często jako N(R). W literaturze występuje także określenie rozmytej liczby rzeczywistej niewymagające spełnienia warunku wypukłości funkcji przynależności [Chang 1984]. Ponadto w większości publikacji definicja ta jest uzupełniana o warunek normalności zdefiniowany w następujący sposób. Definicja 2 [Kaufmann i Gupta 1985]. Zbiór rozmyty A ∈ P(X) (gdzie P(X) oznacza klasę wszystkich zbiorów rozmytych w przestrzeni X) nazywamy normalnym, jeżeli ∃x ∈ X μA (x) = 1. (2) Jeżeli natomiast ∀x ∈ X μA(x) < 1. (3). zbiór A nazywamy podnormalnym, subnormalnym. Przedstawiona definicja rzeczywistej liczby rozmytej stanowi wprowadzenie do zagadnień arytmetyki rozmytej. Ta część teorii zbiorów rozmytych związana.

(3) 151. Modelowanie zmian cyklicznych.... z działaniami arytmetycznymi na liczbach rozmytych została oparta na zdefiniowanej przez L.A. Zadeha [1965] zasadzie rozszerzenia. Definicja 3. Niech f będzie odwzorowaniem X1 × ... × X n → Y takim, że y = f(x1, ..., xn); y ∈ Y, xi ∈ Xi ∀ i ∈ Nn oraz niech Ai ∈ P(X) ∀ i ∈ Nn. Iloczyn kartezjański A1 × ... × An przekształcany jest zgodnie z odwzorowaniem f w zbiór rozmyty B ∈ P(Y) określony funkcją przynależności: sup min( A (x1 ), ..., A (xn )) dla f 1 (y) x X , ...,x X yY B (y) y f ( x , ...., x ) 1. 0 dla f (y) . 1. 1. 1. n. 1. n. n. n. (4). Zasada ta pozwala znajdować rozmyte odpowiedniki nierozmytych odwzorowań poprzez zastąpienie koncepcji skalarnie określonej zmiennej podejściem, w którym występuje zbiór stopni przynależności, odpowiadających poszczególnym potencjalnym jej wartościom. Na bazie definicji (3) można określić podstawowe operacje arytmetyczne na liczbach rozmytych [Klir i Pan 1998]. Podane one zostały również wyłącznie dla klasy rozmytych liczb rzeczywistych z wymienionego wcześniej powodu. Definicja 4. Jeśli założyć, że A i B ∈ N(R), oraz przyjąć: a) f(x1, x2) = x1 + x2, dla operacji dodawania A + B ∈ N(R) A B (y) sup min( A (x1 ), B (x2 )) x1 ,x 2 R y x 1 x 2. y R;. (5). b) f(x1, x2) = x1 – x2, dla operacji odejmowania A – B ∈ N(R) A B (y) sup min( A (x1 ), B (x2 )) x1 , x 2 R y = x 1 − x2. y R;. (6). c) f(x1, x2) = x1 * x2, dla operacji mnożenia A * B ∈ N(R) A*B (y) sup min( A (x1 ), B (x2 )) x1, x 2 R y x 1 *x 2. y R;. (7). d) f(x1, x2) = x1 / x2, x2 ≠ 0, dla operacji dzielenia A / B ∈ N(R) A/B (y) . sup. min( A (x1 ), B (x2 )). x1 R, x2 R – {0} y = x 1 /x 2. y R.. (8). Jak wynika z definicji (4), jednym z podstawowych problemów dotyczących działań arytmetyki rozmytej jest ich implementacja w formie algorytmów numerycznych. Próbą rozwiązania tych problemów jest podejście do działań arytmetyki rozmytej zaproponowane przez A. Kaufmanna [Kaufmann i Gupta 1985]. Podsta-.

(4) 152. Wit Urban. wowym elementem tego podejścia jest założenie o spełnianiu przez argumenty działań warunków wypukłości oraz normalności. W takim bowiem przypadku można dla liczby rozmytej x wyznaczyć przedziały związane z wybranymi poziomami α jej funkcji przynależności. Definicja 5 [Kaufmann i Gupta 1985]. Jeżeli x ∈ N(R), wielkość α ∈ [0; 1] pozwala wyznaczyć przedział wartości funkcji przynależności xα spełniający następujące warunki: x [a1( ) ; a2( ) ] = {x x R | x (x x ) ≥ . (9). Uwzględniając własność wypukłości liczby rozmytej x, można stwierdzić, że wyznaczony dla zadanego α przedział jest malejącą funkcją przyjętego poziomu przynależności nie mniejszego od wskazanego. Wynika z tego następująca definicja. Definicja 6 [Kaufmann i Gupta 1985]. Jeżeli x ∈ N(R) oraz x spełnia warunek wypukłości, to dla każdych α, α' ∈ [0; 1] takich, że α' > α, jeżeli x = [a1( ) ; a2( ) ] = {x x R | x (x x ) ≥ }. (10). ' x' = [a1(') ; a2(') ] = {x x R | x (x x ) ≥ },. (11). x' x. (12). [a1( ' ) ; a2( ' ) ] [a1( ) ; a2( ) ].. (13). wówczas. lub inaczej. Na podstawie dwu przedstawionych definicji można podać określenia podstawowych działań na liczbach rozmytych. Definicja 7 [Kaufmann i Gupta 1985]. Jeżeli liczby rozmyte x i y ∈ N(R) oraz xα i yα oznaczają przedziały przy zadanym poziomie α dla tych liczb wyznaczone wzorami x = [a1( ) ; a2( ) ] = {x x R | x (x x ) ≥ }. (14). y = [b1( ) ; b2( ) ] = {x y R | y (x y ) ≥ },. (15). wówczas ∀ α ∈ [0; 1] x + y = [a1( ) ; a2( ) ] + [b1( ) ; b2( ) ] = [a1( ) b1( ) ; a2( ) + b2( ) ]. (16).

(5) Modelowanie zmian cyklicznych.... 153. oraz x − y = [a1( ) ; a2( ) ] − [b1( ) ; b2( ) ] = [a1( ) − b1( ) ; a2( ) − b2( ) ].. (17). Ze względu na problemy z jednoznacznym zdefiniowaniem dwóch pozostałych działań, tj. mnożenia i dzielenia zgodnie z zasadami prezentowanego podejścia, przestrzeń, w której są określane argumenty tych operacji, została zawężona do rzeczywistych liczb dodatnich R+. Definicja 8 [Kaufmann i Gupta 1985]. Jeżeli liczby rozmyte x i y ∈ N(R+) oraz xα i yα oznaczają przedziały przy zadanym poziomie α dla tych liczb wyznaczone wzorami x = [a1( ) ; a2( ) ] = {x x R | x (x x ) ≥ }. (18). y = [b1( ) ; b2( ) ] = {x y R | y (x y ) ≥ },. (19). wówczas ∀ α ∈ [0; 1] x * y = [a1( ) ; a2( ) ] * [b1( ) ; b2( ) ] = [a1( ) * b1( ) ; a2( ) * b2( ) ]. (20). x / y = [a1( ) ; a2( ) ] / [b1( ) ;b2( ) ] = [a1( ) / b1( ) ; a2( ) / b2( ) ].. (21). oraz. Zaletą przedstawionych przez A. Kaufmanna definicji operacji arytmetycznych na liczbach rozmytych jest względna łatwość numerycznego wyznaczenia wyników tych działań. Wadą takiego podejścia jest natomiast ograniczenie arytmetyki rozmytej do klasy liczb rozmytych o wypukłej funkcji przynależności, a w przypadku iloczynu i ilorazu charakteryzujących się także zawężeniem przestrzeni zdefiniowania argumentów. Oba zaprezentowane sposoby definiowania działań arytmetyki rozmytej w przestrzeni rozmytych liczb rzeczywistych mają jednak istotne ograniczenie. Wiąże się ono z brakiem rozwiązań dla przypadków problemu odwrotnego opisanych w artykule [Urban 2006]. Jego rozwiązanie wiąże się z koniecznością uwzględnienia definicji działań arytmetyki rozmytej sprzecznych z dotychczas przedstawionymi. By przezwyciężyć tę trudność, należy przyjąć założenie, że działania te są złożonymi odwzorowaniami rozmytymi. Tego typu podejście traktujące podstawowe operacje arytmetyki rozmytej jako złożenie różnych przekształceń zostało bardziej szczegółowo przedstawione dla sumy rozmytej. W przypadku pozostałych działań postępowanie wygląda podobnie. Dla sumy rozmytej można, jak to zostało zauważone, podać definicję inną niż wcześniej zaprezentowane..

(6) 154. Wit Urban. Definicja 9. Jeśli założyć, że A i B ∈ N(R), oraz przyjąć: f(x1, x2) = x1 + x2, dla operacji dodawania A + B ∈ N(R) A B (y) = inf min( A (x1 ), B (x2 )) x1, x 2 R y x 1 x 2. y R.. (22). Oczywiście takie określenie sumy pociąga za sobą zmianę w zakresie numerycznego przetwarzania tego działania zgodnie z przedstawionymi wcześniej zasadami. W odniesieniu do rozważanego przypadku definicja (7) przyjmuje następującą postać. Definicja 10. Jeżeli liczby rozmyte x i y ∈ N(R) oraz xα i yα oznaczają przedziały przy zadanym poziomie α dla tych liczb wyznaczone wzorami (23) x = [a1( ) ; a2( ) ] = {x x R | x (x x ) ≥ } y = [b1( ) ; b2( ) ] = {x y R | y (x y ) ≥ },. (24). wówczas ∀ α ∈ [0; 1] x + y = [a1( ) ; a2( ) ] + [b1( ) ; b2( ) ] = [a1( ) + b2( ) ; a2( ) + b1( ) ].. (25). Definicje (4) i (9) wykluczają się. Przy przyjęciu jednak przedstawionego wcześniej założenia o potraktowaniu tego działania jako złożonej funkcji rozmytej opartej na definicji zbioru rozmytego wzajemnie się one uzupełniają. W takim też przypadku sumę rozmytą można przedstawić zgodnie z zasadami notacji dla zbioru rozmytego, traktując każdy ze sposobów określenia tej operacji jako osobny jego element. Dla rozróżnienia każde z działań dodawania zostało w tym celu oznaczone innym symbolem odwołującym się do jego własności, co jednak nie zostało w tym miejscu szerzej omówione, są one jednak stosunkowo łatwe do zrozumienia. Suma rozmyta w rozumieniu definicji (4) została oznaczona symbo+ , ta zgodna z określeniem zawartym w definicji (9) natomiast + . W ten lem max min sposób działanie sumy rozmytej można ogólnie przedstawić jako zbiór rozmyty stanowiący złożenie funkcji rozmytych. [(+) = (( ) ( + ) / + ) + (( ) ( + ) / + ) max. max. min. min. ( + ) : N (R) N(R) ( + ) : N (R) N(R)] max. (26). min. (+) : N (R) N(R) (a,b N (R) a + b = (+)(a,b)) Problemem, który w tym kontekście wymaga rozwiązania, jest kwestia wyniku sumy rozmytej traktowanej jako rezultat złożenia zgodnego z przedstawionym schematem różnych przekształceń rozmytych. Należy przy tym pamiętać, że każde z tych odwzorowań ma przyporządkowaną wartość funkcji przynależno-.

(7) 155. Modelowanie zmian cyklicznych.... ści wynikającą z bycia elementem zbioru rozmytego. Wartość ta powinna być uwzględniona w konstrukcji wyniku takiego odwzorowania przed jego dalszym wykorzystaniem w procedurze wyznaczania ostatecznego rezultatu sumy. Propozycja, jaką można wysunąć w odniesieniu do tak postawionego problemu, sprowadza się do przyjęcia założenia, że przynależność przekształcenia rozmytego do zbioru rozmytego będącego w ten sposób złożeniem funkcji rozmytych definiuje dodatkowe odwzorowanie. W odniesieniu do prezentowanego przypadku sumy rozmytej traktowanej jako złożenie działań rozmytych zgodnie ze schematem (26) zachodzą następujące zależności: [(+) = (( ) ( + ) / + ) + (( ) ( + ) / + ) max. max. min. min. ( + ) : N (R) N(R) ( + ) : N (R) N (R) max. min. (27). (+) : N (R) N (R)] F( ) ( ) (a + b) : N(R) N (R) F( ) ( ) (a + b) : N (R) N (R) m ax. max. min. m in. a, b N (R) By poprawnie zdefiniować postać funkcji F( ) ( ) (a + b) oraz F( ) ( ) (a + b), max min należy skorzystać z definicji T-normy. max. min. Definicja 11 [Biocybernetyka... 2000]. Funkcję T dwóch zmiennych T : [0, 1] × [0, 1] → [0, 1]. (28). nazywamy T-normą, jeżeli dla a, b, c, d ∈ [0, 1]: 1) jest to funkcja niemalejąca względem obu parametrów, to znaczy: T(a, c) ≤ T(b, d) dla a ≤ b, c ≤ d,. (29). 2) spełnia warunek przemienności: T(a, b) = T(b, a),. (30). 3) spełnia warunek łączności: T(T(a, b), c) = T(a, T(b, c)),. (31). 4) spełnia warunki brzegowe: T(a, 0) = 0, T(a, 1) = a.. (32). W rozważanym przypadku odwzorowanie T w definicji (11) należy zastąpić przez funkcję min. Tak określone przekształcenie dla podkreślenia związku z T-normą można oznaczyć za pomocą symbolu T . min Zdefiniowane w ten sposób odwzorowanie można wykorzystać do określenia funkcji przynależności rozmytych wartości obu poszukiwanych przekształceń..

(8) 156. Wit Urban. F. ( ) ( ) () m ax. F. ( ) ( ) () m in. (a b) = ( (a + b), ( ) ( + )) min( (a + b), ( ) ( + )) max. min. max. m ax. max. max. m ax. max. (a + b) = ( (a + b), ( ) ( + )) = min( (a + b), ( ) ( + )) (33) min min min min min min m in. m in. a, b N (R) W przedstawiony sposób można uzyskać wyniki składowe rozmytego rezultatu złożenia funkcji rozmytych traktowanego jako specyficzny przypadek zbioru rozmytego. Pozwalają one na wyznaczenie jego wartości. Problem sprowadza się podobnie jak poprzednio do podania wzoru na funkcję przynależności wartości takiego złożonego odwzorowania. Tym razem jednak należy wykorzystać pojęcie S-normy. Definicja 12 [Biocybernetyka... 2000]. Funkcję S dwóch zmiennych: S : [0, 1] × [0, 1] → [0, 1]. (34). nazywamy S-normą, jeżeli podobnie jak w przypadku T-normy jest niemalejąca względem obu argumentów, spełnia warunek przemienności i łączności oraz następujące warunki brzegowe: S(a, 0) = a, S(a, 1) = 1.. (35). Jak łatwo zauważyć, przekształcenie dane wzorem (34) powinno definiować poziom przynależności przestrzeni liczb rzeczywistych do poszukiwanej sumy rozmytej, który gwarantują funkcje przynależności obu wyników składowych. W omawianym przypadku należy go odnosić do największego możliwego, wynikającego z następującego przekształcenia zgodnego z definicją S-normy. a, b N (R ) S ( F max. ( ) ( ) () m ax. (a + b), F max. ( ) ( ) () m in. (a + b)) min. max (min( (a + b), ( ) ( + )), min( (a + b), ( ) ( + ))) m ax. max. max. m in. min. (36). min. Przedstawiony wzór można zastosować do obliczenia rezultatu sumy rozmytej dowolnych argumentów. W tym jednak celu należy dodatkowo znać wartości + ) oraz μ ( + ). Jeśli są one równe 1 i 0, wówczas działanie dodawania μ(+) (max (+) min rozmytego sprowadza się do postaci operacji zgodnej z definicjami (4) oraz (7). Ze względu na zakres treści zawartych w artykule niezbędne jest podanie także rozszerzonego rozumienia iloczynu rozmytego uwzględniającego przypadek zawarty w poniższej definicji. Definicja 13. Jeśli założyć, że A i B ∈ N(R), oraz przyjąć: f(x1, x2) = x1 * x2, dla operacji dodawania A + B ∈ N(R).

(9) 157. Modelowanie zmian cyklicznych.... A * B (y) = inf min( A (x1 ), B (x2 )) x1 ,x 2 R y x 1 *x 2. y R.. (37). Zapis numerycznego przetwarzania tak określonego działania mnożenia rzeczywistych liczb rozmytych zawiera zmodyfikowana definicja (8). Definicja 14. Jeżeli liczby rozmyte x i y ∈ N(R+) oraz xα i yα oznaczają przedziały przy zadanym poziomie α dla tych liczb wyznaczone wzorami x = [a1( ) ; a2( ) ] = {x x R | x (x x ) ≥ }. (38). y = [b1( ) ; b2( ) ] = {x y R | y (x y ) ≥ },. (39). wówczas ∀ α ∈ [0; 1] x * y = [a1( ) ; a2( ) ] * [b1( ) ; b2( ) ] = [a1( ) * b2( ) ; a2( ) * b1( ) ].. (40). Działanie iloczynu rozmytego można wtedy ogólnie przedstawić jako zbiór rozmyty stanowiący złożenie funkcji rozmytych, podobnie jak w przypadku sumy. [(*) = (( ) ( * ) / * ) + (( ) ( * ) / * ) max. max. min. min. (41). ( * ) : N (R) N(R) ( * ) : N (R) N(R)] max. min. (*) : N (R) N(R) (a, b N (R) a * b = (*)(a, b)) Do wyznaczenia rezultatu tak zdefiniowanego złożenia można wykorzystać określone w taki sam sposób jak w dodawaniu rozmytym pojęcia S-normy i T-normy. W ten sposób uzyskujemy wzór na iloczyn rozmyty zgodny z zapisem (41), uwzględniając tak jak uprzednio fakt, że podczas definiowania przekształcenia rozmytego w przestrzeni rzeczywistych liczb rozmytych należy się skoncentrować na sposobie wyznaczenia funkcji przynależności jego wyniku. a, b N(R) (a * b ) (a * b) = S ( F max. ( * ) (*) () m ax. (a * b), F. ( * )(*) () m in. max. (a * b)) = min. (42). = max(min( * (a * b), (*) ( * )), min( * (a * b), (*) ( * ))), m ax. max. max. m in. min. min. gdzie: F(. * ) (*). (a * b) : N ( R ) N ( R ) F( * ) (*) (a * b) : N ( R ) N ( R ). m ax. F. ( * ) (*) () m ax. F. ( * ) (*) m in. max. (a * b) ( max. min. m in. min. * m ax. (a * b), (*) ( * )) min( max. max. * m ax. (a * b), (*) ( * )) max. max. () (a * b) ( * (a * b), (*) ( * )) min( * (a * b), (*) ( * )) min. a, b N ( R ).. min. m in. min. min. m in. min. min. (43).

(10) 158. Wit Urban. 3. Zasady analizy cyklicznej zmienności szeregów czasowych z wykorzystaniem arytmetyki rozmytej Istotną własność zjawisk ekonomicznych stanowi cykliczny w przybliżeniu charakter zmienności wielkości wykorzystywanych do analizy związanych z nimi procesów. Ogólna definicja cyklu podaje, że stanowi on ciąg uporządkowanych zmian, w wyniku których po upływie danego okresu substancja, mechanizm lub system wraca do swojego stanu początkowego. Dobrym przykładem jest jednostajnie obracające się koło. Biorąc pod uwagę tę definicję oraz historyczne zachowania systemów ekonomicznych, można zauważyć, że z reguły występuje zjawisko polegające na osiągnięciu przez system ekonomiczny stanu różnego od początkowego przynajmniej w odniesieniu do pewnego zbioru zmiennych. W ten sposób przebieg kolejnych cykli ma charakter nieregularny, co utrudnia jego modelowanie. Próbę przezwyciężenia związanych z tym trudności mogą stanowić badania związane z wykorzystaniem równań różnicowych, zdefiniowanych w przestrzeni rozmytych liczb rzeczywistych [Kaleva 1987, Pearson 1997]. xt 1 = f (xt ). xt 1 , xt N (R); f : N (R ) N (R ). (44). Podstawę takiego podejścia może stanowić założenie o przedstawieniu przebiegu cyklu określonej zmiennej za pomocą rzeczywistej liczby rozmytej. W takim przypadku należy przyjąć, że poziom wartości badanej zmiennej dla danego momentu czasu jest miarą jego przynależności do cyklu. Należy przy tym uwzględnić wymogi formalne wynikające z definicji rzeczywistej liczby rozmytej nakładające na funkcję przynależności ograniczenie do przedziału obustronnie domkniętego [0; 1]. Z tego ograniczenia wynika konieczność przeskalowania wartości badanej zmiennej dla przebiegu danego cyklu tak, aby ten warunek był spełniony. W tym celu można wykorzystać zależność (45). XC = {XC , t ∈ R} zbiór wartości zmiennej X dla pojedynczego przebiegu cyklu i. i. XC XC t = i. i. XC t. t ∈ kC ∈ Z

(11) kC

(12) n. i. XC. i. i. (45). i. i = 1, 2, .... Można zauważyć, że wielkości ze zbioru X'C tworzą w ograniczonym zakresie i funkcję przynależności rzeczywistej liczby rozmytej mogącej służyć do opisu wybranego cyklu zmiennej X. xC N (R) fx (x x ) = XC' , t i. Ci. Ci. i. xx = t Ci. (46).

(13) 159. Modelowanie zmian cyklicznych.... Przy dalszej konwersji zbioru wartości X'C do postaci takiej funkcji należy i uwzględnić problem wielkości nienależących do tego zbioru. Problem ten można względnie łatwo rozwiązać w sytuacji, gdy jest spełniony następujący warunek: xx R j ≤ xx ≤ k Ci. j, k {t}, j < k.. Ci. (47). Wówczas wartości funkcji przynależności można wyznaczyć za pomocą aproksymacji liniowej. fx (x x ) = aC , j x x + bC , j Ci. Ci. aC , j =. i. Ci. i. XC' , j XC' , k i. i. jk. i. (48). bC , j = XC' , k aC , j k i. i. i. j, k {t} Istotną trudność stanowią wielkości niemieszczące się w przedziale wyznaczonym przez granice zbioru {t}. x x R (x x ≤ 1 n ≤ x x ) Ci. Ci. Ci. (49). Najlepszym rozwiązaniem wydaje się przyjęcie poniższego założenia. fx (x x ) = 0: x x ≤ 1 n ≤ x x Ci. Ci. Ci. Ci. (50). Należy jednak pamiętać, że nie musi być spełniony następujący warunek: XC' , 1 = 0 XC' , n = 0 i. i. (51). Wynika to z przedstawionej wcześniej kwestii niedoskonałości przebiegu cykli w funkcjonowaniu systemów ekonomicznych. Rozwiązanie, które można w takim przypadku zaproponować, również opiera się na aproksymacji liniowej służącej do wyznaczenia wartości granicznej, poniżej lub powyżej której (w zależności od rozważanej granicy) wartości funkcji przynależności budowanej charakterystyki rozmytej będą równe 0. X {XC' , 1 , XC' , n } X > 0 i. i. XC' , t = at + b X = aj + b, j {1, n} i. t 1t n. a=. X XC' , t i. jt. b = XC' , t at i. (52).

(14) 160. Wit Urban. Wyznaczoną na podstawie wzoru (52) aproksymację należy następnie wykorzystać do obliczenia miejsca zerowego będącego poszukiwaną nową granicą dla niezerowych wartości funkcji przynależności. b a G {granica dolna (GD), granica górna (GG)} xx. Ci , G. =. (53). Dzięki przedstawionej procedurze zbiór X'C może zostać poszerzony o dwie i dodatkowe wielkości spełniające wcześniej zdefiniowany warunek. (x x ≤ x x. x xC R. Ci. Ci. , GD. xx ≥ xx Ci. Ci. , GG. ) fx (x x ) = 0 Ci. Ci. (54). i. Z przedstawionych rozważań wynika, że pojedynczy przebieg cyklu badanej wielkości daje się opisać rzeczywistą liczbą rozmytą. Wykorzystując takie podejście w analizie cyklicznej zmienności wybranej zmiennej charakteryzującej dynamikę badanego systemu, można dokonać rozkładu zmian tej wielkości na pojedyncze cykle i odpowiadające im charakterystyki rozmyte. W ten sposób zbiór kolejnych cykli daje się przedstawić za pomocą rozmytego szeregu czasowego, do którego modelowania można próbować wykorzystać liniowe równanie różnicowe zdefiniowane w przestrzeni rozmytych liczb rzeczywistych postaci: zt 1 zt . zt , , N (R).. (55). W celu wyznaczenia wielkości α, β należy skorzystać z przedstawionych definicji działań arytmetyki rozmytej odwołujących się do wybranych poziomów funkcji przynależności. Na ich podstawie można stwierdzić, że by obliczyć wynik dowolnego działania tej arytmetyki, należy wykonać właściwe dla niego działania skalarne dla odpowiadających sobie granic przedziałów związanych z kolejnymi, wybranymi poziomami funkcji przynależności. W ten sposób dowolne działanie arytmetyki rozmytej daje się sprowadzić do zbioru operacji w przestrzeni skalarnej. Właściwość tę można wykorzystać do poszukiwania rozmytych niewiadomych w takich działaniach, gdy znany jest rezultat oraz jeden z argumentów. Jest ona tym bardziej istotna, że rozmyte operacje odwrotne nie pozwalają na rozwiązywanie takich problemów. Jak łatwo zauważyć, ma ona także bezpośrednie zastosowanie w równaniach różnicowych, zaprezentowaną zależność można bowiem przedstawić jako zbiór działań skalarnych w przestrzeni liczb rzeczywistych dla granic przedziałów odpowiadających wybranym poziomom funkcji przynależności. Oczywiście oznacza to konieczność dokonania wyboru skończonej liczby takich wartości i co za tym idzie, wspomagania się np. liniową aproksymacją poszukiwanej postaci funk-.

(15) 161. Modelowanie zmian cyklicznych.... cji przynależności dla wyznaczanej w ten sposób wielkości rozmytej. W rezultacie otrzymujemy następujący zestaw skalarnych równań różnicowych. xzg. t 1 , . = xg , xzg , + x,g t. = fz (xzg t 1. t 1 , . xzg. t 1 , . , xg , , xzg , , xg , R, t. ) = f (xg , ) = fz (xzg , ) = f (xg , ), t. t. g {granica dolna, granica górna}. (56). {1 , 2 , ..., n } g }, {xβ,g μ} oraz wartości funkcji przyW ten sposób, znając zbiory wartości {xα, μ należności {μ1, μ2, ..., μn}, którym one odpowiadają, można zbudować charakterystyki rozmyte parametrów α, β takiego równania. W takim wypadku poniższe pary wielkości tworzą współrzędne wybranych punktów wykresu funkcji przynależności wskazanych parametrów.. {(x,g 1, 1 ), (x,g 2, 2 ), ..., (x,g n, n )} {(x g , 1, 1 ), (x g , 2, 2 ), ..., (x g , n, n )}. (57). g {granica dolna, granica górna} Można je uznać za wierzchołki wykresu aproksymacji tych funkcji za pomocą złożenia odwzorowań liniowych. Procedura dopasowania modelu dynamiki w postaci liniowego równania różnicowego zdefiniowanego w przestrzeni rzeczywistych liczb rozmytych do rozmytego szeregu czasowego polega na wyznaczeniu na podstawie jego elementów skalarnych szeregów czasowych, stanowiących, jak wspomniano, granice przedziałów odpowiadających wybranym poziomom funkcji przynależności. Otrzymane szeregi należy następnie modelować również z wykorzystaniem liniowych równań różnicowych, określonych jednak w przestrzeni skalarnej. W tym celu można skorzystać z zależności związanej z wyznaczaniem parametrów liniowego równania różnicowego dla szeregu czasowego, wygenerowanego za jego pomocą. . { xt R: xt 1 axt b}. a=. xt 1 xt b = xt 1 − axt xt xt 1. (58). Przedstawiony wzór zastosowany dla kolejnych sąsiadujących ze sobą par elementów szeregu czasowego można wykorzystać do aproksymacji poszukiwanych współrzędnych wierzchołków. Oczywiście przedstawione zależności dają dokładne rezultaty tylko w przypadku szeregów czasowych wygenerowanych z wykorzystaniem liniowych równań różnicowych. W sytuacji modelowania dynamiki szeregu, dla którego brak informacji o takim jego pochodzeniu, powyższe wzory pozwalają na wyznaczenie szeregów wartości..

(16) 162. Wit Urban. {a1 , a2 , ..., an−1 }, {b1 , b2 , ..., bn }. (59). W celu otrzymania wielkości szacunkowych parametrów a i b można skorzystać np. z mediany lub średniej arytmetycznej dla wskazanych zbiorów. Dla uproszczenia przedstawionej procedury modelowanie każdego z cykli może zostać ograniczone do punktów początkowego, końcowego oraz tego, w którym cykl osiąga apogeum. W ten sposób dzięki przyjętemu założeniu do opisu pojedynczych cykli można wykorzystać trójkątne rzeczywiste liczby rozmyte zgodnie z ich definicją przyjętą w pracy [Kaufmann i Gupta 1985]. 4. Modelowanie cyklicznych wahań notowań giełdowych oraz kursów walut Przedstawioną w poprzednim punkcie opracowania procedurę zastosowano do modelowania wahań cyklicznych akcji spółki Agora na giełdzie papierów wartościowych oraz do opisu zmian kursów dolara amerykańskiego. W obu przypadkach zastosowano uproszczony algorytm polegający na zastąpieniu poszczególnych cykli przez trójkątne rzeczywiste liczby rozmyte. Zbudowane w ten sposób modele zostały wykorzystane do wyznaczenia prognoz następnego cyklu i porównania ich z istniejącymi danymi rzeczywistymi. W przypadku badania dynamiki pierwszej z wymienionych wielkości uzyskano następującą postać równania różnicowego: xt 1 = xt + . xt 1 , xt , N (R). = ~ 0 / –16,825 + ~ 1/2 + ~ 0 / 5,6075. (60). (+) = 1 / ( + ) + 0 / ( + ). max. min. W zapisie wartości rozmytego parametru β wykorzystano notację dla zbioru rozmytego zmodyfikowaną na potrzeby zapisu rzeczywistych liczb rozmytych zgodnie z propozycją zamieszczoną w pracy [Urban 1999]. We wzorze uwzględniono również postać definicji sumy rozmytej mającą zastosowanie w omawianym przypadku. W wyniku przeprowadzonych obliczeń uzyskano dane dla wykresu teoretycznego przebiegu wahań cyklicznych notowań giełdowych spółki Agora, co przedstawia rys. 1. Można na nim zauważyć poszczególne cykle – trójkątne liczby rozmyte nie są reprezentowane w pełnym zakresie zmienności funkcji przynależności. Wynika to z konieczności uwzględnienia w opisie badanego zjawiska wskazywanej wcześniej niedoskonałości zmian cyklicznych w procesach ekonomicznych. W tym celu.

(17) 163. Modelowanie zmian cyklicznych.... 1,005 1,000 0,995 0,990 0,985 0,980 0,975 0,970 0. 5. 10. 15. 20. 25 Czas. Rys. 1. Wykres wahań cyklicznych notowań giełdowych spółki Agora otrzymany dzięki modelowi (60) Źródło: opracowanie własne.. 1,005 1,000 0,995 0,990 0,985 0,980 0,975 0,970 0,965 0. 5. 10. 15. 20. 25 Czas. Rys. 2. Wykres wahań cyklicznych notowań giełdowych spółki Agora otrzymany na podstawie danych rzeczywistych Źródło: serwis giełdowy http://www.bossa.pl..

(18) 164. Wit Urban. 1,005 1,000 0,995 0,990 0,985 0,980 0,975 0,970 0,965 0. 5. 10. 15. 20. 25 Czas. Rys. 3. Wykres wahań cyklicznych notowań giełdowych spółki Agora otrzymany na podstawie danych rzeczywistych oraz teoretycznych obliczonych dzięki modelowi (60) Źródło: serwis giełdowy http://www.bossa.pl i opracowanie własne.. 1,005 1,000 0,995 0,990 0,985 0,980 0,975 0,970 0,965 0. 5. 10. 15. 20. 25 Czas. Rys. 4. Wykres wahań cyklicznych notowań giełdowych spółki Agora uwzględniający cykl prognozowany, otrzymany na podstawie danych rzeczywistych oraz teoretycznych obliczonych dzięki modelowi (60) Źródło: serwis giełdowy http://www.bossa.pl i opracowanie własne..

(19) 165. Modelowanie zmian cyklicznych.... zostały wyznaczone współrzędne punktów przecięcia wykresów funkcji przynależności dla kolejnych liczb rozmytych reprezentujących następujące po sobie cykle wahań notowań giełdowych. Wyznaczają one końce wcześniejszych cykli i początki późniejszych. Ten wykres jest podobny do otrzymanego dla danych rzeczywistych. Potwierdza to rys. 2. Zestawienie obu wykresów na rys. 3 pokazuje jednak zróżnicowaną synchronizację pomiędzy cyklami empirycznymi a teoretycznymi wyznaczonymi na podstawie równania różnicowego. Umieszczenie jednak na obu wykresach cyklu prognozowanego pozwala zauważyć, że wraz z uwzględnieniem dłuższego odcinka czasu zostaje uzyskana stopniowa zbieżność danych empirycznych z teoretycznymi. Ilustruje to rys. 4. Fakt ten daje się również zauważyć na wykresach średnich odchyleń obliczonych dla punktów czasowych oraz osobno dla odpowiadających im wartości funkcji przynależności pomiędzy cyklami teoretycznymi a empirycznymi. Potwierdzeniem tych prawidłowości są rys. 5 i 6.. 1,8 1,6 1,4 1,2 1,0 0,8 0,6 0,4 0,2 0,0 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. Rys. 5. Wykres średnich wartości odchyleń obliczonych dla punktów czasowych kolejnych cykli empirycznych oraz teoretycznych wyznaczonych dzięki modelowi (60) Źródło: opracowanie własne..

(20) 166. Wit Urban. 0,016 0,014 0,012 0,010 0,008 0,006 0,004 0,002 0 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. Rys. 6. Wykres średnich wielkości odchyleń obliczonych dla wartości funkcji przynależności odpowiadających punktom czasowym kolejnych cykli empirycznych oraz teoretycznych wyznaczonych za pomocą modelu (60) Źródło: opracowanie własne.. Jak można zauważyć, na obu wykresach występuje minimum lokalne dla cyklu dziewiątego będącego przedmiotem prognozowania na podstawie równania (60). Należy stwierdzić, że tego typu wykresy oraz związane z nimi obliczenia są kryterium pozwalającym weryfikować w pewnym zakresie prawidłowość wyznaczanych prognoz. Znajduje wówczas zastosowanie zasada stwierdzająca, że oba tego typu wykresy powinny wykazywać silną tendencję malejącą wraz zbliżaniem się do prognozowanego cyklu. Ten warunek jest w oczywisty sposób spełniony w odniesieniu do omawianego przykładu. Rezultatem jest wysoki poziom zbieżności przewidywanej postaci dziewiątego cyklu z jego rzeczywistym przebiegiem. Pokazuje to rys. 7. Należy przy tym stwierdzić, że dla uzyskania ostatecznej przewidywanej postaci cyklu wykorzystano prognozy maksymalnych notowań spółki obliczone dzięki klasycznemu modelowi regresji liniowej. Aproksymowano w ten sposób najwyższe notowania nie tylko w cyklu prognozowanym, ale także w cyklach sąsiadujących. Po przeskalowaniu wartości funkcji przynależności otrzymano uproszczony opis cykli obejmujący wahania notowań w przedziale od zera do maksymalnej wielkości odpowiedniej dla każdego z nich. Zabieg ten miał na celu określenie przewidywanego początku i końca badanego okresu notowań.

(21) 167. Modelowanie zmian cyklicznych.... jako współrzędnych czasu punktów przecięcia zmodyfikowanych wykresów funkcji przynależności trójkątnych liczb rozmytych opisujących wskazane cykle.. 38,4 38,3 38,2 38,1 38,0 37,9 37,8 37,7 37,6 37,5 20,5. 21,0. 21,5. 22,0. 22,5. 23,0. 23,5 Czas. Rys. 7. Wykresy przebiegu rzeczywistego oraz prognozowanego za pomocą modelu (60) cyklu dziewiątego notowań giełdowych spółki Agora Źródło: opracowanie własne.. Zastosowanie przetwarzania wielowymiarowego umożliwiło w opisywanym przykładzie uzyskanie dokładniejszego wyniku niż przy wykorzystaniu na przykład klasycznej regresji liniowej. Można to zaobserwować na rys. 8, obejmującym obok wykresów prognozowanego na podstawie model (60) i rzeczywistego przebiegu cyklu dziewiątego także jego przewidywaną postać przygotowaną dzięki wielokrotnemu użyciu wspomnianej regresji. Potwierdzają to wartości średnich odchyleń prognoz cyklu w stosunku do jego rzeczywistego przebiegu, zarówno obliczone dla momentów czasu, jak i dla odpowiadających im notowań. W odniesieniu do równania opisanego wzorem (60) wielkości tych średnich odchyleń wyniosły odpowiednio 0,1905 oraz 0,2953. W przypadku wykorzystania modelu regresji liniowej skala błędu osiągnęła natomiast 1,191 i 0,3. Przedstawioną procedurę zastosowano również do modelowania wahań kursu dolara amerykańskiego w wybranym okresie. Przedstawia je wykres na rys. 9..

(22) 168. Wit Urban. 1,005 1,000 0,995 0,990 0,985 0,980 0,975 0,970 21,0. 21,5. 22,0. 22,5. 23,0. 23,5. 24,0. 24,5 Czas. Rys. 8. Porównanie przebiegów dziewiątego cyklu notowań giełdowych spółki Agora: prognozowanego za pomocą modelu (60), rzeczywistego oraz w postaci wyznaczonej przez wielokrotne zastosowanie modelu regresji liniowej Źródło: opracowanie własne.. 1,005 1,000 0,995 0,990 0,985 0,980 0,975 0. 10. 20. 30. Rys. 9. Wahania kursu dolara amerykańskiego w wybranym okresie Źródło: http://www.bankier.pl.. 40 Czas.

(23) 169. Modelowanie zmian cyklicznych.... Do ich opisu wykorzystano równanie różnicowe dane wzorem: xt 1 = xt + . xt 1 , xt , N (R). = ~ 0 / –52,8029 + ~ 1 / 3,857143 + ~ 0 /17,3434. (61). (+) = 0 / ( + ) + 1 / ( + ). max. min. W modelu (61) zwraca uwagę nie tylko wykorzystanie rozszerzonej definicji sumy rozmytej, ale także odwołanie do innego sposobu rozumienia tego działania. Rozważane równanie zostało wzbogacone o modelowanie błędu, co wynika ze spełnienia następującego warunku: xt 1 = xt + + t. xt 1 , xt , N (R) . t N (R).. (62). Przedstawiona zależność niestety nie zawsze jest spełniona, o czym może świadczyć przykład notowań akcji spółki Agora. W takiej sytuacji polepszenie jakości dopasowania modelu do danych rzeczywistych może nastąpić wyłącznie poprzez zmianę postaci równania różnicowego. Problem estymacji parametrów modelu staje się jednak wówczas dużo bardziej skomplikowany. W modelowaniu zmian błędu rozmytego w przypadku wahań kursów dolara amerykańskiego również zostało wykorzystane liniowe równanie różnicowe, zbudowane na podstawie procedury zamieszczonej w poprzednim punkcie artykułu. t 1 = * t. t 1 , t , N (R). = ~ 0 / 0,077434 + ~ 1 / 0,089394 + ~ 0 / 0,587909. (63). (*) = 0 / ( * ) + 1 / ( * ) max. min. W ten sposób ostateczna postać modelu cyklicznych wahań kursu dolara amerykańskiego w wybranym okresie przyjęła postać zgodną ze wzorem (64). xt 1 = xt + + * t. xt 1 , xt , , t , N (R). = ~ 0 / –52,8029 + ~ 1 / 3,857143 + ~ 0 /17,34343 = ~ 0 / 0,077434 + ~ 1 / 0,089394 + ~ 0 / 0,587909 (+) = 0 / ( + ) + 1 / ( + ) max. min. (*) = 0 / ( * ) + 1 / ( * ) max. min. Posłużyła ona do wygenerowania cykli prezentowanych na rys. 10.. (64).

(24) 170. Wit Urban. 1,002 1,000 0,998 0,996 0,994 0,992 0,990 0,988 0. 10. 20. 30. 40 Czas. Rys. 10. Wahania kursu dolara amerykańskiego w wybranym okresie uzyskane za pomocą modelu (64) Źródło: opracowanie własne.. Zestawienie wykresów dla wahań rzeczywistych oraz pochodzących z obliczeń za pomocą równania różnicowego zawiera rys. 11.. 1,005 1,000 0,995 0,990 0,985 0,980 0,975 0. 10. 20. 30. 40 Czas. Rys. 11. Zestawienie rzeczywistych wahań kursu dolara amerykańskiego w wybranym okresie z wygenerowanymi za pomocą modelu (64) Źródło: opracowanie własne.. Jak we wcześniejszym przykładzie zwraca tu uwagę tendencja danych obliczonych za pomocą modelu. Po wstępnej synchronizacji z wielkościami rzeczywi-.

(25) 171. Modelowanie zmian cyklicznych.... stymi wynikającej z wykorzystania takich samych wartości startowych występuje wyraźne rozejście się obu wykresów. Następnie pojawia się zwiększająca się zgodność cykli faktycznych z modelowanymi wraz ze zbliżaniem się do przedmiotu prognozy. Tak jak uprzednio stanowił go ostatni, dziewiąty cykl. Również w przypadku prognozy cyklu dla wahań kursu dolara amerykańskiego wykorzystano do weryfikacji poprawności wnioskowania wykresy średnich odchyleń zamieszczone na rys. 12 i 13.. 3,5 3,0 2,5 2,0 1,5 1,0 0,5 0 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. Rys. 12. Wykres średnich wartości odchyleń obliczonych dla punktów czasowych kolejnych cykli empirycznych oraz teoretycznych wyznaczonych za pomocą modelu (64) Źródło: opracowanie własne.. 0,007 0,006 0,005 0,004 0,003 0,002 0,001 0 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. Rys. 13. Wykres średnich wielkości odchyleń obliczonych dla wartości funkcji przynależności odpowiadających punktom czasowym kolejnych cykli empirycznych oraz teoretycznych wyznaczonych za pomocą modelu (64) Źródło: opracowanie własne..

(26) 172. Wit Urban. 3,02 3,01 3,00 2,99 2,98 2,97 2,96 30,5. 31,0. 31,5. 32,0. 32,5. 33,0. 33,5. 34,0. 34,5. 35,0. 35,5. Rys. 14. Wykresy przebiegu rzeczywistego oraz prognozowanego za pomocą modelu (64) dziewiątego cyklu wahań kursu dolara amerykańskiego Źródło: opracowanie własne.. 3,04 3,03 3,02 3,01 3,00 2,99 2,98 2,97 2,96 2,95 30. 31. 32. 33. 34. 35. 36. 37. Rys. 15. Porównanie przebiegów dziewiątego cyklu wahań kursu dolara amerykańskiego: prognozowanego za pomocą modelu (64), rzeczywistego oraz w postaci wyznaczonej z wielokrotnym zastosowaniem modelu regresji liniowej Źródło: opracowanie własne.. W przeciwieństwie jednak do poprzedniego przykładu wykres średnich odchyleń obliczonych dla wartości funkcji przynależności odpowiadających momentom.

(27) Modelowanie zmian cyklicznych.... 173. czasowym kolejnych cykli wskazuje na istniejące odchylenia, a więc także na zmniejszenie dokładności prognozy. Wykresy dla rzeczywistego oraz przewidywanego przebiegu dziewiątego cyklu zawiera rys. 14. Mimo całej niedoskonałości otrzymanej prognozy jest ona i tak lepsza niż podobna wygenerowana z wielokrotnym zastosowaniem klasycznej regresji liniowej. Świadczą o tym wartości średnich odchyleń obliczone dla momentów czasu oraz odrębnie dla odpowiadających im wartości kursów. Wynoszą one dla prognozy otrzymanej za pomocą modelu (64) odpowiednio 0,5430072 oraz 0,02188, w przypadku regresji liniowej natomiast 2,41955 i 0,029319. 5. Wnioski Przedstawione w opracowaniu wykorzystanie metody modelowania wahań cyklicznych za pomocą rozmytych liniowych równań różnicowych w odniesieniu do rzeczywistych wielkości ekonomicznych pokazuje możliwości w zakresie praktycznego zastosowania teorii zbiorów rozmytych. Jest to zresztą zasadniczy problem tej teorii polegający na konieczności zbudowania zbioru sformalizowanych zasad takich zastosowań. Musi się to wiązać z odwołaniem do specyfiki charakterystyk rozmytych, wymagającej spojrzenia na klasyczne problemy modelowania z wielowymiarowej perspektywy. Taką też próbę podjęto w niniejszym opracowaniu, prezentując implementację modelowania dynamiki systemów rzeczywistych za pomocą równań różnicowych w przestrzeni rozmytych liczb rzeczywistych. Problemem, który się z tym wiązał, było wskazanie zakresu badawczego dla dynamiki systemów ekonomicznych i jego ujęcie w kategoriach wielkości rozmytych. W tym też sensie prezentowane rozważania stanowią nową propozycję podejścia do analizy procesów ekonomicznych. Niewątpliwie otrzymane wyniki są interesujące. Należy pamiętać, że zaprezentowana procedura modelowania ma istotne uwarunkowania, do których należy między innymi liczba obserwacji stanowiąca podstawę estymacji parametrów równania różnicowego oraz prognoz za jego pomocą. W przeciwieństwie do szeregów statystycznych większa ich liczba nie oznacza lepszego dopasowania modelu oraz tworzenia dokładniejszego obrazu przewidywanych cykli. Wynika to z własności równań różnicowych definiowanych w przestrzeni rozmytych liczb rzeczywistych opisanych w pracy [Urban 2002]. Wniosek z zawartych tam rozważań sprowadza się do stwierdzenia, że każdy przypadek należy rozpatrywać indywidualnie w zależności od postaci otrzymanego modelu oraz wskazanych w niniejszym opracowaniu wartości średnich odchyleń..

(28) 174. Wit Urban. Literatura Anile A.M., Deodato S., Privitera G. [1994], Implementing Fuzzy Arithmetic, Dipartimento di Matematica, Università degli Studi di Catania, Italy. Biocybernetyka i inżynieria biomedyczna [2000], red. T. Nałęcz, W. Duch, Exit, Warszawa. Inteligentne systemy w zarządzaniu. Teoria i praktyka [2000], red. J.S. Zieliński, PWN, Warszawa. Kaleva O. [1987], Fuzzy Differential Equations, „Fuzzy Sets and Systems”, vol. 24, nr 3. Kaleva O. [1990], The Cauchy Problem for Fuzzy Differential Equations, „Fuzzy Sets and Systems”, vol. 35. Kaufmann A., Gupta M.M. [1985], Introduction to Fuzzy Arithmetic: Theory and Applications, Van Nostrand, New York. Klir G.J., Pan Y. [1998], Constrained Fuzzy Arithmetic: Basic Questions and Some Answers, „Soft Computing” vol. 2, nr 2. Navara M., Zabokrtsk’y Z. [2000] Computational Problems of Constrained Fuzzy Arithmetic [w:] The State of the Art in Computational Intelligence, ed. P. Sincak i in., Physica-Verlag, Heidelberg–New York. Pearson D.W. [1997], A Property of Linear Fuzzy Differential Equations, „Applied Mathematics Letters’, vol. 10, nr 3. Song Q., Leland R.P., Chissom B.S. [1995], A New Fuzzy Time-series Model of Fuzzy Number Observations, „Fuzzy Sets and Systems”, vol. 73, August. Turksen L.B. [1988], Stochastic Fuzzy Sets. A Survey, Lecture Notes in Economics and Mathematical Systems series, vol. 310, Springer. Urban W. [1999], Podstawy rozmytej dynamiki systemowej, Akademia Ekonomiczna w Krakowie, Kraków. Urban W. [2002], Wprowadzenie do skalarnej analizy chaosu deterministycznego w przestrzeni rozmytych liczb rzeczywistych, Zeszyty Naukowe Akademii Ekonomicznej w Krakowie, Kraków, nr 604. Zadeh L.A. [1965], Fuzzy Sets, „Information and Control”, nr 8. Zadeh L.A. [1977], Fuzzy Sets and Their Application to Pattern Classification and Clustering Analysis [w:] Classification and Clustering, ed. I. VanRysin, Academic Press, New York..

(29)