Estymacja przedziaowa

Prawdopodobieństwo i Statystyka Matematyczna

dr Jan Malinowski

Rachunek Prawdopodobieństwa i Statystyka Matematyczna

Estymacja przedziałowa

W prezentacji:

• przedział ufności dla średniej

• przedział ufności dla dyspersji

• przedział ufności dla frakcji

Estymacja przedziałowa

- przedział ufności

dla średniej

(1)

Dla n-elementowej próby (małej, n<30) z populacji normalnej i dla poziomu ufności

α

α

α

α

połowa szerokości przedziału ufności (niepewność oceny wartości średniej) wyraża się wzorem:

n

s

t

n

s

t

x

ˆ

1

α α

₌

−

=

∆

gdzie s i

sˆ

są estymatorami dyspersji,

zaś t_αααα jest kwantylem rzędu q = (1 +

α

α

α

α

) / 2 zmiennej t Studenta, dla r = n – 1 stopni swobody

Prawdopodobieństwo i Statystyka Matematyczna dr Jan Malinowski

α

α α

=

−













−

⋅

+

<

<

−

⋅

−

1

1

1

_n

s

t

x

m

n

s

t

x

P

α

α α

=

−













⋅

+

<

<

⋅

−

ˆ

ˆ

1

n

s

t

x

m

n

s

t

x

P

Estymacja przedziałowa - przedział ufności dla średniej (1)

to samo co na slajdzie poprzednim – inaczej przedstawione

Przy dużej próbie (dla niezbyt asymetrycznych, jednomaksimowych rozkładów zwykle wystarcza n>30)

dla dowolnego rozkładu x przedział ufności określony jest przez

n

s

u

n

s

u

x

ˆ

1

α α

₌

−

=

∆

gdzie u_αααα jest kwantylem rzędu q = (1 +

α

α

α

α

) / 2 rozkładu N(0, 1)

Estymacja przedziałowa

- przedział ufności

dla średniej

(2)

α

σ

σ

α α

=

−













⋅

+

<

<

⋅

−

1

n

u

x

m

n

u

x

P

Prawdopodobieństwo i Statystyka Matematyczna

dr Jan Malinowski

Estymacja przedziałowa - przedział ufności dla średniej

Zadanie:

Dla oszacowania nieznanej średniej m wytrzymałości pewnego materiału budowlanego dokonano 5-ciu pomiarów. Wyniki pomiarów (w kG/cm2_):

20.4, 19.6, 22.1, 20.8, 21.1

Przyjmując współczynnik ufności 1-

α

α

α

α

= 0.99 zbudować przedział ufności dla średniej wytrzymałości tego materiału.

Rozwiązanie:

Obliczamy: <x>=20.8 kG/cm2 _{s=0.82 kG/cm}2

z rozkładu t-Studenta dla 1-

α

α

α

α

= 0.99 (tj. dla

α

α

α

α

= 0.01), dla n = 5-1 stopni swobody mamy t

α

α

α

α

= 4.604

Ze wzoru na przedział ufności mamy

∆

∆

∆

∆

x = 1.9

( 20.8 – 1.9 ) < m < ( 20.8 + 1.9 )

Estymacja przedziałowa - przedział ufności dla średniej

Zadanie do rozwiązania:

Chcemy oszacować średni staż pracy pracowników w Firmie. Z "populacji pracowników" wylosowano n=100 osób. Oto wyniki:

staż (w latach) liczba pracowników

0 – 2 4

2 – 4 10

4 – 6 55

6 – 8 25

8 – 10 6

Przyjmując współczynnik ufności 1 –

α

α

α

α

= 0.90 zbudować przedział ufności dla średniego stażu pracy badanej populacji.

∑

=

=

r j j j

n

x

n

x

1

1

&

∑

(

)

=

−

=

r j j j

n

x

x

n

s

1 2

1

r

&

Dla przypomnienia: gdzie n_J– liczebność klasy,

a jej środek oznaczono jako xz kropką;

r – liczba klas

Prawdopodobieństwo i Statystyka Matematyczna

dr Jan Malinowski

Prawdopodobieństwo i Statystyka Matematyczna

dr Jan Malinowski

Estymacja przedziałowa

- przedział ufności

dla dyspersji

(*1)

₍₁₎

(*1)– tutaj pojęcie 'dyspersja'

użyte jest dla określenia 'odchylenia standardowego'

Dla n-elementowej próby z populacji normalnej, niesymetryczny przedział ufności budujemy wokół (obciążonej) dyspersji z próby, s :

α

σ

=













<

<

1 2

z

n

s

z

n

s

P

gdzie z₁₁₁₁ jest kwantylem rzędu (1 –

α

α

α

α

) / 2, zaś z2 – rzędu (1 +

α

α

α

α

) / 2

rozkładu

χ

χ

χ

χ

2 _{o n – 1 stopniach swobody.}

Dla wariancji granice przedziału podnosimy do kwadratu.

Prawdopodobieństwo i Statystyka Matematyczna dr Jan Malinowski

(

χ

)

α

2

1

1 2

=

< z

P

(

χ

)

α

2

1

2 2

=

≥ z

P

gdzie z1 i z2 są wartościami χ2 wyznaczonymi z tablic dla n-1 stopni swobody i współczynnika ufności 1-α tak, aby

Estymacja przedziałowa

- przedział ufności

dla dyspersji

(2)

Przy dużej próbie, n>30, z rozkładu bliskiego normalnemu, stosuje się przybliżony wzór:

α

σ

α α

=

























−

<

<

+

n

u

s

n

u

s

P

2

1

2

1

gdzie u_αααα jest kwantylem rzędu (1 +

α

α

α

α

) / 2 rozkładu N(0, 1)

W obu przypadkach prawdopodobieństwa tego, że przedział znajdzie się w całości na prawo i w całości na lewo od prawdziwej wartości

σ

σ

σ

σ

, są sobie równe.

Prawdopodobieństwo i Statystyka Matematyczna

dr Jan Malinowski

Estymacja przedziałowa - przedział ufności dla dyspersji

Zadanie:

Mierząc wytrzymałość elementu konstrukcyjnego, dla n = 4 niezależnych pomiarów, otrzymano wyniki:

120, 102, 135, 115

Zbudować przedział ufności dla wariancji wytrzymałości tego elementu przyjmując 1 –

α

α

α

α

= 0.96

Rozwiązanie:

Mamy małą próbę.

Najpierw liczymy wartość ns2 _{= 558 ( <x> = 118 )}

Z tablicy rozkładu

χ

χ

χ

χ

2 _{dla n – 1 = 3 stopni swobody,}

dla 1 –

α

α

α

α

/ 2 = 0.98 wartość z₁ = 0.185 oraz dla

α

α

α

α

/ 2 = 0.02 wartość z₂ = 9.837 stąd 56.7 < s2 _{< 3016}

Zadanie do rozwiązania:

W budżetach wylosowanych 632 gospodarstw domowych średnie miesięczne wydatki na żywność wyniosły 1570 zł, a ich odchylenie standardowe 224 zł. Przyjmując współczynnik ufności 1 –

α

α

α

α

= 0.90 zbudować przedział ufności dla odchylenia standardowego wydatków na żywność.

Prawdopodobieństwo i Statystyka Matematyczna

dr Jan Malinowski

Prawdopodobieństwo i Statystyka Matematyczna

dr Jan Malinowski

Estymacja przedziałowa- przedział ufności

dla frakcji

(czasem mówi się, dla wskaźnika struktury lub procentu)

Mamy n₁ elementów wyróżnionych w próbie n-elementowej (*2)_.

Estymatorem frakcji,

ω

ω

ω

ω

z próby jest p = n1 / n,

zaś przedział ufności przy poziomie ufności

α

α

α

α

będzie miał

– w granicy, przy dużych n₁ i n₂ = n – n₁ – połowę szerokości













−

=

∆

n

n

n

n

u

p

1

1

1 α

gdzie u_αααα jest kwantylem rzędu (1 +

α

α

α

α

) / 2, (podobnie jak dla testu średniej). (*2) Zależność tę, wynikającą ze zbieżności rozkładu dwumianowego do normalnego stosuje w praktyce już od n₁

≥

≥

≥

≥

10 i n₂

≥

≥

≥

≥

10

Jeśli warunki te nie są spełnione,

Estymacja przedziałowa- przedział ufności dla frakcji

ten sam wzór przedstawiony inaczej

Mamy n₁ elementów wyróżnionych w próbie n – elementowej Estymatorem frakcji,

ω

ω

ω

ω

z próby jest p = n1 / n,

zaś przedział ufności przy poziomie ufności

α

α

α

α

będzie miał

– w granicy, przy dużych n₁ i n₂ = n – n₁ – połowę szerokości













−

=

∆

n

n

n

n

u

p

1

1

1 α

α

α α

=

−





































−

⋅

+

<

<













−

⋅

−

1

1

1

1 1 1 1 1 1

n

n

n

n

n

u

n

n

p

n

n

n

n

n

u

n

n

P

Prawdopodobieństwo i Statystyka Matematyczna

dr Jan Malinowski

Estymacja przedziałowa

- przedział ufności

dla frakcji

(*2) – n1 w n-elementowej próbie;

pozostałe n₂ = n – n₁ elementów zostało w ten sposób również wyróżnione.

Wyróżnienie jest wyłącznie sprawą umowy

Zadanie:

Chcemy oszacować, jaki procent studentów jada obiady w stołówkach.

Z pośród wylosowanych n = 900 osób – m = 300 osób je obiady w stołówce. Dla współczynnika ufności 1 –

α

α

α

α

= 0.95 zbudować przedział ufności dla procentu badanej kategorii.

Rozwiązanie:

Szacowana frakcja pracowników p = m / n = 300 / 900 = 0.333

Dla rozkładu N(0, 1) – duża próba – dla

α

α

α

α

= 0.05 mamy u

α

α

α

α

= 1.96

Z wzoru otrzymujemy przybliżony przedział ufności

∆

∆

∆

∆

p = 0.016

0.333 – 1.96 ⋅ 0.016 < p < 0.333 + 1.96 ⋅ 0.016 czyli 0.302 < p < 0.364

Prawdopodobieństwo i Statystyka Matematyczna

dr Jan Malinowski

Prawdopodobieństwo i Statystyka Matematyczna

dr Jan Malinowski

Wyznaczanie niezbędnej liczby pomiarów do próby

Model I:

Populacja generalna ma rozkład N( m, σ );

wariancja – znana;

m – nieznane, do oszacowania.

Dla ustalonego poziomu ufności (1 – α)

oraz ustalonego błędu d , (połowa przedziału ufności) wzmaganą liczebność próby wyznaczamy ze wzoru:

2 2 2

d

u

n

=

α

σ

Wyznaczanie niezbędnej liczby pomiarów do próby

Model II:

Populacja generalna ma rozkład N( m, σ );

wariancja – znamy estymator s2_,

na podstawie próby wstępnej o liczebności n₀ ;

m – nieznane, do oszacowania.

Dla ustalonego poziomu ufności (1 – α

oraz ustalonego błędu d , (połowa przedziału ufności) wzmaganą liczebność próby wyznaczamy ze wzoru:

2 2 2

d

s

t

n

)

α

=

∑

(

)

=

−

−

=

0 1 2 0 2

1

1

n i i

x

x

n

s

)

v

gdzie

Prawdopodobieństwo i Statystyka Matematyczna

dr Jan Malinowski

Wyznaczanie niezbędnej liczby pomiarów do próby

Model III:

Populacja generalna ma rozkład dwupunktowy z parametrem p (p – frakcja elementów wyróżnionych)

Aby dla ustalonego poziomu ufności (1 – α)

błąd szacunku wskaźnika struktury nie przekroczył danej z góry wartości d liczebność próby wyznaczamy ze wzoru:

2 2

d

pq

u

n

=

α znamy rząd wielkości p: (q = 1 – p)

nieznamy rzędu wielkości p:

przyjmujemy pq jako maksymalny, (pq = 1/4)

2 2

4

_d

u

Wyznaczanie niezbędnej liczby pomiarów do próby

zadanie (53-JM):

Ile osób należy wylosować do próby,

aby oszacować, p – procent wyborców partii X

z maksymalnym błędem 3%, przy współczynniku ufności 95%

a) oczekuje się wartości p około 50% (błąd maksymalnie 3%); b) oczekuje się wartości p około 5% (błąd maksymalnie 3%); c) oczekuje się wartości p około 5% (błąd maksymalnie 1%);

Prawdopodobieństwo i Statystyka Matematyczna

dr Jan Malinowski

Wyznaczanie niezbędnej liczby pomiarów do próby

zadanie (53-JM):

Ile osób należy wylosować do próby,

aby oszacować, p – procent wyborców partii X

z maksymalnym błędem 3%, przy współczynniku ufności 95%

a) oczekuje się wartości p około 50% (błąd maksymalnie 3%); n = 1,962 _{/ (4 0,03}2_{) = 1067}

b) oczekuje się wartości p około 5% (błąd maksymalnie 3%); n = ( 1,962 _{0,05 0,95 ) / 0.03}2 _{= 203}

c) oczekuje się wartości p około 5% (błąd maksymalnie 1%);

n = ( 1,962 _{0,05 0,95 ) / 0.01}2 _{= 1825} rozwiązanie

Prawdopodobieństwo i Statystyka Matematyczna

dr Jan Malinowski

Prawdopodobieństwo i Statystyka Matematyczna

dr Jan Malinowski