10. Twierdzenia Tonellego, Fubiniego i o zamianie
zmiennych-rozwi¡zanie zada«
w. 10.1 Liczymy caªki iterowane: Z R Z R f (x, y)l(dx) l(dy) = Z R Z (y,y+1) (−1)l(dx) + Z (y−1,y) 1 l(dx) l(dy) = 0, Z R Z R f (x, y)l(dy) l(dx) = Z R Z (x−1,x) (−1)l(dy) + Z (x,x+1) 1 l(dy) l(dx) = 0. Sprawdzamy warunek caªkowalno±ci funkcji f:
Z
R2
|f (x, y)|l2(dxdy) = 1 l2({(x, y); x − 1 < y < x + 1}) = +∞.
w. 10.2 Funkcja podcaªkowa jest nieujemna, wi¦c na mocy twierdzenia Tonellego Z A 1 (1 + y)3 l 3(dxdydz) = Z ∞ 1 Z 1 0 Z 1−x 0 1 (1 + y)3 l(dz) l(dx) l(dy) = 1 16. w. 10.3 Funkcja podcaªkowa na zbiorze A zmienia znak. Musimy wi¦c skorzysta¢
z twierdzenia Fubiniego. Sprawdzamy caªkowalno±¢ funkcji podcaªkowej: Z A x − y |x − y|xI(x6=y)(x, y) l2(dxdy) = Z A xI(x6=y)(x, y) l2(dxdy) = Z A x l2(dxdy) < +∞,
bowiem funkcja x jest ograniczona na A i A jest zbiorem ograniczonym. Na mocy twierdzenia Fubiniego mamy zatem:
Z A x − y |x − y|xI(x6=y)(x, y) l 2 (dxdy) = Z 1 0 Z x 0 x dy dx + Z 1 0 Z 1 x (−x) dy dx = 1 6. w. 10.4 Funkcja podcaªkowa jest nieujemna. Punktami przeci¦cia krzywych s¡ (1, 1),
(2−1/3, 21/3), (1, 2), (21/3, 22/3). Korzystaj¡c z twierdzenia Tonellego, mamy: Z A 3x2y2 l2(dydx) = Z 1 2−1/3 Z 2x2 1/x 3x2y2 dydx + Z 21/3 1 Z 2/x x2 3x2y2 dydx = 7 3ln 2. w. 10.5 Rozwa»my odwzorowanie T : (r, α) 7→ (x, y) = (r cos α, r sin α). T przeksztaªca
dyfeomor cznie zbiór otwarty (2, 3) × (0, 2π) na zbiór otwarty V = {(x, y); 4 < x2+ y2 < 9, (x, y) /∈ [0, 1) × {0}}.
Poniewa» zbiór V ró»ni si¦ od D o zbiór miary l2 zero, wi¦c na mocy twierdzenia
o zamianie zmiennych (detDT (r, α) = r 6= 0) i nast¦pnie twierdzenia Tonellego (bowiem otrzymana funkcja podcaªkowa jest nieujemna):
Z D p x2+ y2 l2(dxdy) = Z 3 2 Z 2π 0 √ r2 r dα dr = 2π Z 3 2 r2dr = 38 3 .
w. 10.6 Rozwa»my odwzorowanie T : (r, α) 7→ (x, y) = (2 + r cos α, −1 + r sin α). T przeksztaªca dyfeomor cznie zbiór otwarty (0, 1) × (0, 2π) na zbiór otwarty
V = {(x, y); (x − 2)2+ (y + 1)2 < 1, (x, y) /∈ [2, 3) × {−1}}.
Poniewa» zbiór ten ró»ni si¦ od U o zbiór miary zero, wi¦c na mocy twierdzenia o zamianie zmiennych, a nast¦pnie (otrzymana funkcja podcaªkowa jest nieujemna po wyci¡gni¦ciu (-1) przed caªk¦) twierdzenia Tonellego, mamy:
Z U f (x, y) l2(dxdy) = Z (0,1) Z (0,2π) r ln√r2 l(dα)l(dr) = 2π Z (0,1) r ln rl(dr) = −π 2.
w. 10.7 Rozwa»my przeksztaªcenie T : (r, α) 7→ (x, y) = (r cos α, 2r sin α). T jest dyfeo-mor zmem zbiorów otwartych (0, 1)×(0,π
2)∪(π, 3
2π)i {(x, y); 4x
2+y2 < 4, xy > 0}
(|detDT(r, α)| = 2r) i na mocy twierdzenia o zamianie zmiennych oraz twierdzenia Tonellego podana caªka jest równa
Z (0,1) Z (0π2)∪(π,32π) 2r cos r2 l(dα)l(dr) = π Z (0,1) r cos r2 l(dr) = π sin 1.
w. 10.8 Rozwa»my przeksztalcenie T : (r, α, z) 7→ (x, y, z) = (r cos α, r sin α, z). Przek-sztaªca ono dyfeomor cznie zbiór otwarty (0, 1) × (0,π
2) × (0, 1) na zbiór otwarty
U \ [0, 1) × 0 × (0, 1) (ró»ni¡cy si¦ od wyj±ciowego o zbiór miary l2 zero). Na mocy twierdzenia o zamianie zmiennych (|detDT(r, α, z)| = r) i z twierdzenia Tonellego, mamy: Z U z sin(x2 + y2) l3(dxdydz) = Z 1 0 Z π2 0 Z 1 0 zr sin r2 dzdαdr = π 2 Z 1 0 r sin r2(1 2z 2)|1 0dr = π 4(− 1 2cos r 2)|1 0 = π 8(1 − cos 1).
w. 10.9 Rozwa»my odwzorowanie T : (r, α, z) 7→ (x, y, z) = (r cos α, 2r sin α, z). Przek-sztaªca ono dyfeomor cznie zbiór otwarty (0, 1) × (0, 2π) × (0, 1) na zbiór otwarty b¦d¡cy wn¦trzem zbioru A bez brzegu i zbioru [0, 1) × 0 × (0, 1) o mierze Lebesgue'a równej mierze zbioru A. |detDT(r, α, z)| = 2r, funkcja podcaªkowa na zbiorze A jest nieujemna, wi¦c na mocy twierdze« o zamianie zmiennych i Tonellego, mamy:
Z A z exp −4x 2+ y2 4 l3(dxdydz) = Z 1 0 Z 2π 0 Z 1 0 z2re−r2 drdαdz = 2π Z 1 0 z(−e−r2|1 0)dz = π(1 − e)
w. 10.10 Miar¦ Lebesgue'a zbioru A wyznaczamy obliczaj¡c caªk¦ I =
Z
A
l3(dxdydz).
Dlatego rozwa»my odwzorowanie T : (r, α, β) 7→ (x, y, z) = (r cos α cos β, r sin α cos β, r sin β), |detDT(r, α, β)| = r2cos β. T przeksztaªca dyfeomor cznie zbiór otwarty (0, 1) ×
(0, 2π)×(π/6, π/2)na zbiór A\[0, 2)×{0}×(1, 2). Dlatego, korzystaj¡c z twierdzenia o zamianie zmiennych i twierdzenia Tonellego, mamy:
I = Z 2 0 Z 2π 0 Z π/2 π/6 r2cos β dβdαdr = 2π Z 2 0 r2(− sinπ 6 + sin π 2)dr = 8 3π.
w. 10.11 Rozwa»amy przeksztalcenie T : (r, α, β) 7→ (x, y, z) = (r cos α sin β, r sin α sin β, r cos β), |detDT(r, α, β)| = r2sin β.Jest to dyfeomor zm zbioru (b, a)×(0, 2π)×(0, π) na zbiór
S bez brzegu i bez zbioru [0, a) × {0} × (−a, a) (o mierze Lebegue'a równej mierze S). Z twierdzenia o zamianie zmiennych i twierdzenia Tonellego, otrzymujemy:
Z S (x2+ y2+ z2)−3/2 l3(dxdydz) = Z a b Z 2π 0 Z π 0 r2sin β(r2)−3/2 dβdαdr = 2π Z a b 1 r(− cos π + cos 0)dr = 4π(ln a − ln b) = 4π lna b.
