10 Funkcja wykªadnicza i logarytmiczna

Analiza matematyczna 1

Notatki do wykªadu Mateusz Kwa±nicki

9 Szeregi pot¦gowe

W tym rozdziale sumujemy szeregi od n = 0.

Denicja. Niech (an) b¦dzie dowolnym ci¡giem liczbowym. Szeregiem pot¦gowym nazy- wamy funkcj¦

f (x) =

∞

X

n=0

a_nxⁿ,

której dziedzin¡ jest zbiór tych x, dla których szereg deniuj¡cy f(x) jest zbie»ny.

Twierdzenie. Dziedzin¡ szeregu pot¦gowego jest R, zbiór jednoelementowy {0} lub przedziaª postaci (−R, R), (−R, R], [−R, R) lub [−R, R] dla pewnego R > 0. We wn¦trzu swojej dzie- dziny szereg pot¦gowy jest bezwzgl¦dnie zbie»ny.

Dowód. Zaªó»my, »e K = lim supn→∞

p|an n| jest sko«czona. Wówczas lim supn→∞

p|an nxⁿ| = K |x|, a wi¦c wobec kryterium Cauchy'ego szereg pot¦gowy jest bezwzgl¦dnie zbie»ny gdy K |x| < 1, a rozbie»ny gdy K |x| > 1. Zatem je±li K = 0, to dziedzin¡ szeregu pot¦gowego jest R; je±li za± K > 0, to dziedzin¡ jest jeden z wymienionych w twierdzeniu przedziaªów dla R = _K¹.

Gdy lim supn→∞

p|an _n| = ∞, to równie» lim supn→∞

p|an _nxⁿ| = ∞ dla x 6= 0.

Liczb¦ R nazywa si¦ promieniem zbie»no±ci szeregu pot¦gowego.

Przykªad 1. Funkcja wykªadnicza:

exp(x) =

∞

X

n=0

xⁿ n!

jest okre±lona dla ka»dego x ∈ R, bowiem limn→∞ ⁿ

q1

n! = 0. Liczb¦ e = exp(1) nazywa si¦

liczb¡ Eulera.

Przykªad 2. Niech

f (x) =

∞

X

n=0

xⁿ.

Wówczas f jest okre±lona dla x ∈ (−1, 1) i f(x) = _1−x¹ (suma szeregu geometrycznego).

Przykªad 3. Niech

f (x) =

∞

X

n=0

xⁿ n .

Wówczas f jest okre±lona dla x ∈ [−1, 1); dla x = −1 mamy szereg anharmoniczny. Pó¹niej zobaczymy, »e f(x) = loge(1 − x).

Przykªad 4. Niech

f (x) =

∞

X

n=0

xⁿ n². Wówczas f jest okre±lona dla x ∈ [−1, 1].

Twierdzenie. Szereg pot¦gowy f(x) = P_na_nxⁿ jest ci¡gªy wewn¡trz swojej dziedziny. In- nymi sªowy, je±li f(x) jest zbie»ny w przedziale (−a, a) oraz limn→∞x_n = g, g ∈ (−a, a), to lim_n→∞f (x_n) = f (g).

Dowód. Teza wynika z twierdzenia Lebesgue'a o zbie»no±ci zmajoryzowanej: je±li c ∈ (|x|, a), to dla prawie wszystkich k zachodzi |xk| ≤ c, a wi¦c |anxⁿ_k| ≤ |an|cⁿ, a szereg P_n|an|cⁿ jest zbie»ny.

Denicja. Niech P_na_n, P_nb_nb¦d¡ dowolnymi szeregami. Ich iloczyn Cauchy'ego to szereg P

nc_n, gdzie

c_n =

n

X

j=0

a_jb_n−j.

Twierdzenie. Iloczynem Cauchy'ego szeregów P_nanxⁿ i P_nbnxⁿ jest szereg P_ncnxⁿ, gdzie P

nc_n jest iloczynem Cauchy'ego szeregów P_na_n i P_nb_n. Dowód. Zachodzi:

n

X

j=0

(a_jx^j) · (b_n−jx^n−j) =

n

X

j=0

a_jb_n−j

!

xⁿ= c_nxⁿ, gdzie P_nc_n jest iloczynem Cauchy'ego P_na_n i P_nb_n.

Twierdzenie. Je±li P_na_n, P_nb_n s¡ bezwzgl¦dnie zbie»ne, to ich iloczyn Cauchy'ego P_nc_n równie» jest bezwzgl¦dnie zbie»ny i

∞

X

n=0

c_n =

∞

X

n=0

a_n

!

·

∞

X

n=0

b_n

! .

Dowód. Niech (A^∗_n), (B_n^∗), (C_n^∗) b¦d¡ ci¡gami sum cz¦±ciowych szeregów P_n|a_n|, P_n|b_n|, P

n|c_n|, i niech g^∗ = lim_n→∞A^∗_n, h^∗ = lim_n→∞B_n^∗. Wówczas C_n^∗ =

n

X

i=0

i

X

j=0

a_jb_i−j     

≤

n

X

i=0 i

X

j=0

|a_j| |b_i−j| =

n

X

j=0 n

X

i=j

|a_j| |b_i−j| =

n

X

j=0 n−j

X

i=0

|a_j| |b_i|

≤

n

X

j=0 n

X

i=0

|a_j| |b_i| = A^∗_nB_n^∗ ≤ g^∗h^∗.

To dowodzi, »e P_ncnjest bezwzgl¦dnie zbie»ny. Ponadto je±li (An), (Bn)i (Cn)s¡ ci¡gami sum cz¦±ciowych P_na_n, P_nb_n i P_nc_n oraz g = limn→∞A_n, h = limn→∞B_n, to (przeksztaªcaj¡c tak, jak poprzednio):

|C_n− A_nB_n| =     

n

X

j=0 n−j

X

i=0

a_jb_i−

n

X

j=0 n

X

i=0

a_jb_i     

=     

n

X

j=0 n

X

i=n−j+1

a_jb_i     

≤

n

X

j=0 n

X

i=n−j+1

|a_j| |b_i|.

Niech k ≈ ⁿ₂. Wówczas:

|Cn− AnBn| ≤

k

X

j=0 n

X

i=n−j+1

|aj| |bi| +

n

X

j=k+1 n

X

i=n−j+1

|aj| |bi|

≤

k

X

j=0 n

X

i=n−k+1

|a_j| |b_i| +

n

X

j=k+1 n

X

i=0

|a_j| |b_i| = A^∗_k(B_n^∗ − B_n−k^∗ ) + (A^∗_n− A^∗_k) B_n^∗.

Istnieje N(ε) takie, »e dla i, j ≥ N(ε) zachodzi |Bi^∗− B_j^∗| < εi |A^∗i − A^∗_j| < ε. Zatem

|C_n− A_nB_n| ≤ A^∗_k(B_n^∗ − B_n−k^∗ ) + (A^∗_n− A^∗_k) B_n^∗ < (A^∗_k+ B_n^∗) ε

g^∗+ h^∗ ≤ ε

pod warunkiem, »e k, n − k ≥ N(_g∗+h^{ε ∗}). Oznacza to, »e limn→∞C_n = lim_n→∞(A_nB_n), co ko«czy dowód twierdzenia.

Twierdzenie (N.H. Abel). Niech P_nan b¦dzie zbie»nym szeregiem liczbowym i niech f(x) = P^∞_n=1anxⁿ. Wówczas dla dowolnego zbie»nego do 1 ci¡gu (xn) liczb mniejszych od 1 zachodzi limn→∞f (xn) = f (1), tj.

funkcja f jest ci¡gªa (lewostronnie) w 1.

Dowód. Zachodzi:

|f (xn) − f (1)| =      

∞

X

j=0

aj(1 − x^j_n)      

Niech (An)b¦dzie ci¡giem sum cz¦±ciowych szeregu Pnan, a g granic¡ tego ci¡gu. Wówczas an= (An− g) − (An−1− g). Korzystaj¡c ze wzoru na sumowanie przez cz¦±ci,

k

X

j=0

aj(1 − x^j_n) = (Ak− g)(1 − x^k+1_n ) −

k

X

j=0

(Aj− g) (x^j_n− x^j+1_n )

= (Ak− g)(1 − x^k+1_n ) − (1 − xn)

k

X

j=0

(Aj− g) x^j_n.

Przechodz¡c do granicy,

|f (x_n) − f (1)| = (1 − x_n)      

∞

X

j=0

(g − A_j) x^j_n       .

Istnieje N(ε) takie, »e |g − Aj| < εdla j ≥ N(ε). Zatem:

∞

X

j=0

(g − Aj) x^j_n      

≤

N (ε)−1

X

j=0

|g − Aj| x^j_n+

∞

X

j=N (ε)

|g − Aj| x^j_n

≤

N (ε)−1

X

j=0

|g − Aj| + ε

∞

X

j=N (ε)

x^j_n=

N (ε)−1

X

j=0

|g − Aj| + ε ε 1 − xn

.

St¡d

|f (x_n) − f (1)| ≤ (1 − x_n)

N (ε)−1

X

j=0

|g − A_j| + ε

i ostatecznie

lim sup

n→∞

|f (xn) − f (1)| ≤

n→∞lim(1 − xn)

N (ε)−1

X

j=0

|g − Aj| + ε = ε.

Powy»sza nierówno±¢ zachodzi dla dowolnego ε > 0, przez co lim supn→∞|f (xn) − f (1)| = 0.

Twierdzenie. Je±li P_nan, P_nbn s¡ zbie»ne i ponadto ich iloczyn Cauchy'ego P_ncn równie»

jest zbie»ny, to:

∞

X

n=0

c_n =

∞

X

n=0

a_n

!

·

∞

X

n=0

b_n

! .

Dowód. Dla ka»dego x ∈ (−1, 1) szeregi f(x) = P_na_nxⁿ oraz g(x) = P_nb_nxⁿ s¡ bezwzgl¦dnie zbie»ne, wi¦c szereg h(x) = P_ncnxⁿ te» jest bezwzgl¦dnie zbie»ny i h(x) = f(x) g(x). Wystarczy teraz zastosowa¢

twierdzenie Abela.

Twierdzenie (A. Tauber). Niech f(x) = P_nanxⁿ. Je±li limn→∞f (xn) = g dla wszystkich zbie»nych do 1 ci¡gów (xn)liczb mniejszych od 1 i ponadto limn→∞n an= 0, to g jest sum¡ szeregu P_nan.

Dowód. Niech xn= 1 −_n¹. Zachodzi:

n

X

j=0

aj− g      

≤      

n

X

j=0

(1 − x^j_n) aj

+      

∞

X

j=n+1

ajx^j_n      

+ |f (xn) − g| .

Trzeci skªadnik d¡»y do zera, gdy n → ∞. Ponadto dla n ≥ N(ε), 

∞

X

j=n+1

a_jx^j_n      

≤ ε n

∞

X

j=n+1

x^j_n≤ ε n

1 1 − xn

= ε,

wi¦c równie» drugi skªadnik d¡»y do zera. Pozostaje oszacowa¢ pierwszy skªadnik:

n

X

j=0

(1 − x^j_n) a_j      

≤

n

X

j=0

(1 − x^j_n)|a_j| ≤ 1 n

n

X

j=0

j |a_j|;

skorzystali±my z nierówno±ci Bernoulliego. Poniewa» (n |an|)d¡»y do zera, równie» powy»sze wyra»enie (ci¡g

±rednich) d¡»y do zera.

Uwaga. J.E. Littlewood udowodniª, »e wystarczy zaªo»y¢, »e ci¡g (n an)jest ograniczony.

10 Funkcja wykªadnicza i logarytmiczna

Zbadamy teraz wªasno±ci funkcji wykªadniczej exp(x) zdeniowanej w przykªadzie 1.

Twierdzenie. Zachodzi exp(x + y) = exp(x) + exp(y).

Dowód. Wyrazy iloczynu Cauchy'ego szeregów pot¦gowych exp(x) i exp(y) s¡ postaci

n

X

j=0

x^j

j! · y^n−j

(n − j)! = 1 n!

n

X

j=0

n j



x^jy^n−j = (x + y)ⁿ n! , czyli iloczynem tych szeregów jest szereg pot¦gowy exp(x + y).

Twierdzenie. Funkcja exp jest ±ci±le dodatnia i ±ci±le rosn¡ca. Ponadto exp(x) ≥ 1 + x dla wszystkich x oraz exp(x) ≤ _1−x¹ dla x < 1.

Dowód. Je±li 0 < x, to exp(0) = 1 < exp(x) wprost z denicji. Na mocy poprzedniego twierdzenia, exp(−x) = (exp(x))⁻¹ > 0, zatem exp jest ±ci±le dodatnia. Ponadto je±li x < y, to exp(y) − exp(x) = exp(x)(exp(y − x) − 1) > 0. To dowodzi, »e exp jest ±ci±le rosn¡ca.

Dla x ≥ 0 zachodzi exp(x) ≥ 1 + x wprost z denicji. Ponadto dla x ∈ (−1, 0) wyrazy szeregu exp(x) na przemian zmieniaj¡ znak, a ich warto±ci bezwzgl¦dne d¡»¡ malej¡co do zera.

Nierówno±¢ exp(x) ≥ 1 + x otrzymamy, ª¡cz¡c je kolejno w pary  suma ka»dej pary jest dodatnia. Dla x ≤ −1 nierówno±¢ wynika z exp(x) > 0.

Druga nierówno±¢ mo»e by¢ otrzymana z pierwszej: exp(x) = (exp(−x))⁻¹ ≤ (1 − x)⁻¹, o ile x < 1.

Twierdzenie. Funkcja exp jest ci¡gªa, tj. je±li limn→∞xn = g, to limn→∞exp(xn) = exp(g). Ponadto je±li limn→∞x_n = ∞, to limn→∞exp(x_n) = ∞, i podobnie je±li limn→∞x_n = −∞, to lim_n→∞exp(x_n) = 0.

Dowód. Ci¡gªo±¢ szeregów pot¦gowych jest ogólnym twierdzeniem udowodnionym wcze±niej.

Gdy (xn) jest rozbie»ny do ∞, to wobec exp(xn) ≥ 1 + x_n zachodzi limn→∞exp(x_n) = ∞. Analogicznie dowodzi si¦ ostatniego stwierdzenia.

Twierdzenie. Zachodzi

exp(x) = lim

n→∞

 1 + x

n

n

. Dowód. Ze wzoru dwumianowego Newtona,

 1 + x

n

n

=

n

X

j=0

n!

j!(n − j)!n^jx^j. Zachodzi:

0 ≤ 1

j! − n!

j!(n − j)!n^j = 1 j!



1 − n(n − 1)(n − 2)...(n − j + 1) n^j



≤= 1 j! 1 −

 1 − j

n

j! . Z nierówno±ci Bernoulliego:

1

j! − n!

j!(n − j)!n^j    

≤ 1 j! · j²

n.

Ponadto oczywi±cie _j!¹ − _j!(n−j)!n^n! j ≤ _j!¹. Wobec tego je±li 0 < N < n, to:

exp(x) −

 1 + x

n

n  =

n

X

j=0

 1

j! − n!

j!(n − j)!n^j

 x^j +

∞

X

j=n+1

x^j j!

≤

N

X

j=0

j² n · |x|^j

j! +

n

X

j=N +1

|x|^j j! +

∞

X

j=n+1

|x|^j j!

≤ N² n

∞

X

j=0

|x|^j j! +

∞

X

j=N +1

|x|^j j! . Bior¡c granic¦ n → ∞, otrzymujemy

lim sup

n→∞

exp(x) − 1 + x

n

n  ≤

∞

X

j=N +1

|x|^j j! .

Poniewa» N jest dowolne, a szereg P_n^|x|_n!ⁿ jest zbie»ny, powy»sza granica górna jest równa 0, co ko«czy dowód twierdzenia.

Poni»sze twierdzenie udowodnimy pó¹niej.

Twierdzenie (wªasno±¢ Darboux). Je±li funkcja f jest ci¡gªa na przedziale [a, b], to przyjmuje wszystkie warto±ci po±rednie mi¦dzy f(a) i f(b).

Wniosek. Funkcja exp ma funkcj¦ odwrotn¡ exp⁻¹ : (0, ∞) → R. T¦ funkcj¦ nazywamy logarytmem naturalnym i oznaczamy ln.

Wniosek. Z wªasno±ci funkcji exp wynika, »e ln jest ±ci±le rosn¡ca, ln(x y) = ln(x) + ln(y), ln(_x¹) = − ln(x), ln(x) ≤ 1 − x oraz ln(x) ≥ _x¹ − 1.

Twierdzenie. Logarytm naturalny jest funkcj¡ ci¡gª¡.

Dowód. Niech limn→∞x_n= g, g > 0, i niech yn= ln(x_n). Zachodzi exp



lim sup

n→∞

y_n



= lim

n→∞exp (sup {y_k : k ≥ n}) = lim

n→∞sup {exp(y_k) : k ≥ n}

= lim sup

n→∞

exp(yk) = lim sup

n→∞

xk= g.

Wobec tego lim supn→∞yn = ln(g). Analogicznie post¦pujemy dla granicy dolnej.

Funkcje exp i ln pozwalaj¡ zdeniowa¢ pot¦gowanie dla wykªadników rzeczywistych. Okre-

±lamy mianowicie:

a^b = exp(b ln(a)), a > 0, b ∈ R. (1)

Sprawdzamy indukcyjnie, »e zgodnie z t¡ denicj¡:

a⁰ = exp(0) = 1, aⁿ⁺¹= exp(n ln(a) + ln(a)) = exp(n ln(a)) · exp(ln(a)) = aⁿ· a, a wi¦c denicja (1) jest zgodna z indukcyjn¡ denicj¡ podnoszenia do pot¦gi o wykªadniku caªkowitym dodatnim. Ponadto

a^−b = exp(−b ln(a)) = 1

exp(b ln(a)) = 1 a^b ,

a^b+c = exp(b ln(a) + c ln(a)) = exp(b ln(a)) · exp(c ln(a)) = a^b· a^c.

Mo»emy teraz udowodni¢ podane wcze±niej twierdzenie o ci¡gªo±ci pot¦gowania. Zaªó»my, »e lim_n→∞a_n = g, limn→∞b_n= h, h > 0. Wówczas

n→∞lim(a_n)^bn = lim

n→∞exp(b_nln(a_n)) = exp

n→∞lim b_nln(a_n)

= exp(h ln(g)) = g^h. Podobnie mo»emy zdeniowa¢ logarytm o dowolnej podstawie. Skoro

a

ln(b)

ln(a) = exp ln(b)

ln(a)· ln(a)



= exp(ln(b)) = b, wi¦c

log_ab = ln(b) ln(a). Poniewa» ln(e) = 1, zatem ln(x) = loge(x).

Twierdzenie. Liczba e jest niewymierna.

Dowód. Niech N > 1. Zauwa»my, »e 0 <

∞

X

n=N +1

1 n! < 1

N !

∞

X

n=N +1

1

N^n−N = 1 N ! · 1

N · 1

1 − _N¹ = 1 N ! · 1

N − 1, czyli

0 < N !

∞

X

n=N +1

1

n! < 1 N − 1, Zaªó»my, »e e = _{N !}^k. Wówczas liczba

N ! e −

N

X

n=0

1 n!

!

= N !

∞

X

n=N +1

1 n!

byªaby caªkowita, co jest niemo»liwe wobec poprzedniej nierówno±ci.