2. Korzystaj¡c z denicji zbadaj monotoniczno±¢ podanych funkcji na podanym zbiorze:

dr Krzysztof ›yjewski Repetytorium mat. elementarnej; S-I ⁰ .in». 5 grudnia 2019

Zadania przygotowuj¡ce do kolokwium nr 1

1. Zbadaj ograniczono±¢ z góry, z doªu, ograniczono±¢ zbioru A = (−∞, 7) \ Q. Ponadto znajd¹ kres górny i dolny oraz sprawd¹ czy wyst¦puje element najmniejszy, najwi¦kszy.

2. Korzystaj¡c z denicji zbadaj monotoniczno±¢ podanych funkcji na podanym zbiorze:

(a) f (x) = _1+x ¹

dla x ∈ [0, +∞), (b) f(x) = x ² − 2x dla x ∈ (−∞, 1].

3. Korzystaj¡c z denicji zbadaj ró»nowarto±ciowo±¢ podanych funkcji na podanym zbiorze:

(a) f (x) = 2x ³ − 1 dla x ∈ R, (b) f(x) = _x−1 ^2x dla x ∈ (1, +∞).

4. Które z podanych funkcji f : X → Y s¡ na (suriekcja), a które s¡ typu w? Czy jest w±ród nich bijekcja?

(a) f (x) = x + ¹ _x gdzie X = (0, +∞), Y = (2, +∞), (b) f (x) = sin x gdzie X = [−π, π), Y = [−1, 1].

5. Zbadaj parzysto±¢ podanych funkcji:

(a) f (x) = ^{cos x} _x

− x|x| (b) f (x) = cos ³ x + tg x.

6. Okre±li¢ zªo»enie funkcji (o ile to mo»liwe) f ◦ g, g ◦ f, f ◦ f, g ◦ g gdy:

f (x) = √

x − 1, g(x) = x ² + 1.

7. Zbadaj, czy podane funkcj¦ s¡ ograniczone z doªu, z góry, ograniczone:

a) f(x) = x ² − 3, b) f(x) = 3 − 4 ^x+1 ,

c) f(x) = 5 sin _x

³ +5 ,

8. Wyznacz wzór funkcji odwrotnej do funkcji:

a) f(x) = ^3x+2 _5x−4 , b) f(x) = √

4x − 8, dla x ≥ 2, c) f(x) = 2x ² − 6, dla x ≤ 0, d) f(x) = 4e ^3x−1 + 5.

9. Rozwi¡» równania z warto±ci¡ bezwzgl¦dn¡:

(a) |x − 1| + |x| = 2 (b) p(2x + 2) ² + 3x = |x| + 2 (c) ||x + 1| − 3| = 2.

10. Rozwi¡» nierówno±ci z warto±ci¡ bezwzgl¦dn¡:

(a) |x − 2| − |x| < 4 (b) 2 √

x ² + 2x + 1 ≥ x + 4.

11. Wykonaj dzielenie wielomianów:

(a) (2x ³ − 3x ² − 5x + 6) : (x − 2) (b) (2x ⁴ + 3x ³ − 6x ² + 8x − 8) : (x ² + 2x − 3).

12. Wska» liczby wymierne mog¡ce by¢ pierwiastkami równania: 8x ³ − 12x ² − 20x + 30 = 0.

13. Rozwi¡» równania wielomianowe:

(a) 3x ³ − 2x ² − 6x + 4 = 0 (b) 4x ⁴ − 8x ³ + x ² + 6x − 3 = 0 (c) 2x ⁶ − x ³ = 1 (d) 10x ³ − x ² − 7x − 2 = 0.

14. Rozwi¡» nierówno±ci wielomianowe

(a) 2x ³ (x + 3) ² (x − 1)(4 − x) ⁵ ≤ 0 (b) 2x ⁴ − 3x ² + 1 > 0 (c) 2x ³ + x ² − 8x − 4 ≥ 0.

15. Sprowad¹ do wspólnego mianownika (bez upraszczania licznika):

(a) _x

(x−2)

^4x−1 (x+1)

(x−5) + _x

(x+1)(x−4) ^5x−3

− _x(x−2)

^7x+1 (x−4)

(x+6)

16. Wykonaj podane dziaªania i sprowad¹ do prostszej postaci:

(a) _x

(x−1)(x+2) ^3x−1

− x(x+2)(x+1) ^4x−3

(b) _x ^2x−10

+x−6 : ^10x _x

+2x−3

^−2x

17. Rozwi¡» równania i nierówno±ci z wyra»e« wymiernych:

(a) ^8x−2 _1−x

+ ^2x+1 _x−1 = 0 (b) _2x+1 ^5x − 2 ≤ ^x−2 _x+5 (c) _x

+4x ^3x

+2x+8 − _x

+6x+8 ² = 0 (d) _x

−x−2 ⁵ + _4−x ³

> 0

1