3. Funkcja liniowa

–

Materiały dydaktyczne na zajęcia wyrównawcze z matematyki dla studentów pierwszego roku kierunku zamawianego

Biotechnologia

w ramach projektu „Era inżyniera – pewna lokata na przyszłość”

3. Funkcja liniowa

Funkcję postaci

f (x) = ax + b, gdzie a, b ∈ R nazywamy funkcją liniową.

Jeśli a > 0, to funkcja liniowa jest rosnąca.

Jeśli a < 0, to funkcja liniowa jest malejąca.

Jeśli a = 0, to funkcja liniowa jest stała.

Wykresem funkcji liniowej jest prosta.

a = tg α, gdzie α jest kątem nachylenia prostej do osi OX a – współczynnik kierunkowy

0 x

y

f(x)=ax+b a>0

b

a

?b

a

0 x

y

f(x)=ax+b a<0 b

a

?b

a

3.1. Równanie linowe

ax + b = 0

Gdy a ̸= 0, to równanie ma jedno rozwiązanie x = −

(równanie oznaczone)

Gdy a = 0, b = 0, to rozwiązaniem jest każda liczba rzeczywista (równanie tożsamościowe) Gdy a = 0, b ̸= 0, to brak rozwiązania (równanie sprzeczne)

3.2. Nierówności liniowe

ax + b < 0, ax + b > 0, ax + b 6 0, ax + b > 0

3.3. Układ równań liniowych

Układ równań

a

x + b

y = c

a

x + b

y = c

gdzie a

+b

̸= 0 oraz a

+b

̸= 0 nazywamy układem dwóch równań liniowych z dwiema niewiadomymi.

I sposób – Metoda podstawiania

Z jednego równania wyliczamy jedną niewiadomą w zależności od drugiej i otrzymaną zależność wsta-

II sposób – Metoda przeciwnych współczynników

Mnożymy równania układu przez tak dobrane liczby, aby następnie po dodaniu pomnożonych równań stronami otrzymać równanie z jedną niewiadomą.

III sposób – Metoda wyznaczników W = det

[

a

b

a

b

]

= a

b

− a

b

– wyznacznik główny układu

• Jeśli W ̸= 0, to x =

, y =

, gdzie

W

= det

c

b

c

b

, W

= det

a

c

a

c

• Jeśli W = 0 i W

̸= 0, W

̸= 0, to układ nie ma rozwiązania (układ sprzeczny).

• Jeśli W = 0 i W

= W

= 0, to układ ma nieskończenie wiele rozwiązań.

3.4. Wartość bezwzględna

Wartością bezwzględną (modułem) liczby x ∈ R nazywamy wielkość |x| =

{

x dla x > 0,

−x dla x < 0.

Własności:

Jeśli a, b ∈ R, to

• |a| > 0

• |a| = | − a|,

• −|a| 6 a 6 |a|

• |a · b| = |a| · |b|,

• |

| =

dla b ̸= 0,

• |a + b| 6 |a| + |b|,

•

|a| − |b|

6 |a − b| 6 |a| + |b|.

Jeśli a > 0, to |x| 6 a ⇐⇒ −a 6 x 6 a.

Jeśli a > 0, to |x| > a ⇐⇒ x > a ∨ x 6 −a.

|x − a| =

{

x − a dla x > a,

−(x − a) dla x < a.

3.5. Przykładowe zadania

1. Rozwiązać równanie 7x + 6 = 5x − 2.

Rozwiązanie:

Na lewą stronę przenosimy zmienne, a na prawą stałe.

7x − 5x = −2 − 6, zatem x = −4 Odpowiedź: x = −4.

2. Rozwiązać nierówność 3x − 1 ­ 6x + 5.

Rozwiązanie:

Na lewą stronę przenosimy zmienne, a na prawą stałe.

3x − 6x ­ 5 + 1, czyli −3x ­ 6, zatem x ¬ −2 (przy mnożeniu nierówności przez liczbę ujemną, zmieniamy znak nierówności na przeciwny).

Odpowiedź: x ¬ −2.

3. Rozwiązać układ równań

{

3x + 2y = 6 7x − 4y = 1 Rozwiązanie:

I sposób

Z pierwszego równania wyliczamy x i podstawiamy do drugiego 3x = 6 − 2y, stąd x = 2 −

y

7(2 −

y) − 4y = 1 14 −

y − 4y = 1

−

y = −13, czyli y =

Zatem x = 2 −

·

= 1 II sposób

Pierwsze równanie mnożymy przez 2

6x + 4y = 12

7x − 4y = 1

i dodajemy równania stronami. Zatem x = 1 Teraz drugie równanie mnożymy przez −

3x + 2y = 6

−3x +

y = −

i dodajemy równania stronami. Zatem 2y +

y = 6 −

, stąd y =

. III sposób

W = det

[

3 2 7 −4

= 3 · (−4) − 2 · 7 = −12 − 14 = −26 W

= det

[

6 2

1 −4

= 6 · (−4) − 2 · 1 = −24 − 2 = −26 W

= det

[

3 6 7 1

= 3 · 1 − 6 · 7 = 3 − 42 = −39 x =

=

= 1, y =

=

=

Odpowiedź: x = 1, y =

.

4. Rozwiązać układ nierówności

{

3x − 1 < 5

−1 < x + y ¬ 3 Rozwiązanie:

Pierwsza nierówność jest równoważna nierówności x < 2

Druga nierówność jest równoważna nierówności −x − 1 < y ¬ −x + 3

5. Narysować funkcję y = |x|.

Rozwiązanie:

Rysujemy wykres funkcji y = x i symetrycznie odbijamy względem osi OX tę część, która jest

pod osią.

y

6. Narysować funkcję y = |x + 2|.

Rozwiązanie:

Rysujemy wykres funkcji y = x+2 i symetrycznie odbijamy względem osi OX tę część, która jest pod osią.

7. Narysować funkcję y = |x| − 1.

Rozwiązanie:

Rysujemy wykres funkcji y = |x| i dokonujemy translacji o wektor [0, −1].

8. Narysować zbiór będący rozwiązaniem nierówności |x| + |y| < 1.

Rozwiązanie:

Dla x > 0, y > 0 mamy x + y < 1, czyli y < −x + 1 Dla x > 0, y < 0 mamy x − y < 1, czyli y > x − 1 Dla x < 0, y > 0 mamy −x + y < 1, czyli y < x + 1 Dla x < 0, y < 0 mamy −x − y < 1, czyli y > −x − 1

0 x

y

1 1

-1

-1

9. Rozwiązać równanie |x − 3| = 2x.

Rozwiązanie:

Rozpatrujemy dwa przypadki:

a) x − 3 < 0, czyli x < 3

Wówczas −(x − 3) = 2x, stąd x = 1.

Sprawdzamy, czy obliczony x należy do przedziału ( −∞, 3).

b) x − 3 > 0, czyli x > 3

Wtedy równanie przyjmuje postać x − 3 = 2x, czyli x = −3 ̸= [3, +∞).

Odpowiedź: x = 1.

10. Rozwiązać równanie |x| + |x + 1| = 8.

Rozwiązanie:

|x| =

{

−x dla x < 0,

x dla x > 0. |x + 1| =

{

−(x + 1) dla x < −1, x + 1 dla x > −1.

Dzielimy zbiór liczb rzeczywistych na przedziały, których końcami są liczby −1 i 0.

Rozpatrujemy trzy przypadki:

a) x < −1

Wtedy |x| = −x, |x + 1| = −(x + 1)

Zatem −x − x − 1 = 8, czyli x = −

, należy do przedziału ( −∞, −1).

b) −1 6 x < 0

Wtedy |x| = −x, |x + 1| = x + 1

Zatem −x + (x + 1) = 8, czyli 1 = 8, zatem otrzymaliśmy sprzeczność.

c) x > 0

Wtedy |x| = x, |x + 1| = x + 1

Zatem x + x + 1 = 8, czyli x =

, należy do przedziału [0, + ∞).

Odpowiedź: x = −

∨ x =

. 11. Rozwiązać nierówność |3x − 1| < 5.

Rozwiązanie:

−5 < 3x − 1 < 5

−4 < 3x < 6

−

< x < 2

Odpowiedź: x ∈ (−

, 2).

12. Rozwiązać nierówność |5x + 2| ­ 3.

Rozwiązanie:

5x + 2 ­ 3 ∨ 5x + 2 ¬ −3 5x ­ 1 ∨ 5x ¬ −5

x ­

∨ x ¬ −1

Odpowiedź: x ∈ (−∞, −1] ∪ [

, + ∞).

13. Rozwiązać nierówność |x − 1| ¬ |5 − 2x|.

Rozwiązanie:

|x − 1| =

{

−(x − 1) dla x < 1,

x − 1 dla x > 1. |5 − 2x| =

{

−(5 − 2x) dla x >

, 5 − 2x dla x 6

.

Dzielimy zbiór liczb rzeczywistych na przedziały, których końcami są liczby 1 i

. Rozpatrujemy trzy przypadki:

a) x < 1

Wówczas |5 − 2x| = 5 − 2x, |x − 1| = −(x − 1).

Nierówność przyjmuje wtedy postać −x+1 ¬ 5−2x. Zatem x ¬ 4. Po uwzględnieniu założenia otrzymujemy, że x ∈ (−∞, 1).

6 x <

Wówczas |5 − 2x| = 5 − 2x, |x − 1| = x − 1.

Nierówność przyjmuje wtedy postać x − 1 ¬ 5 − 2x, zatem x ¬ 2. Po uwzględnieniu założenia otrzymujemy, że x ∈ [1, 2].

c) x >

Wówczas |5 − 2x| = −(5 − 2x), |x − 1| = x − 1.

Nierówność przyjmuje wtedy postać x − 1 ¬ −5 + 2x, zatem x ­ 4. Po uwzględnieniu założenia otrzymujemy, że x ∈ [4, +∞).

Rozwiązaniem jest suma przedziałów x ∈ (−∞, 1) lub x ∈ [1, 2] lub x ∈ [4, +∞).

Odpowiedź: x ∈ (−∞, 2] ∪ [4, +∞).

3.6. Zadania

1. Napisać równanie prostej przechodzącej przez punkty: A = (1, 2), B = (4, −6).

2. Dla jakich wartości parametru m funkcja f (x) = (3 − |2m − 1|)x + 4 jest rosnąca?

3. Dla jakich wartości parametru m wykres funkcji liniowej f (x) = (2m + 1)x − 1 jest nachylony do osi OX pod kątem 45

?

4. Dla jakich wartości parametru m funkcja liniowa określona wzorem f (x) = (2 − m)x − 3m jest malejąca?

5. Wyznaczyć wzór funkcji liniowej, której wykres:

a) przechodzi przez punkty: A = (1, −1), B = (5, 4),

b) przechodzi przez punkt P (1, 1) i jest równoległy do wykresu funkcji f (x) = 3x − 10, c) przechodzi przez punkt P (2, 1) i jest prostopadły do wykresu funkcji f (x) = 2x − 4.

6. Dana jest funkcja f (x) = 2x + 10. Rozwiązać równanie f (f (x)) = 2x + 100.

Sporządzić wykres funkcji:

7. f (x) = |x + 1| + |x − 1|.

8. f (x) = ||x − 4| − 2|.

9. f (x) = |x − 3| + |x + 1|.

10. f (x) =

( |x + 1| + |x − 1|).

11. f (x) = 2|1 − x| − |1 + x|.

12. f (x) = |x − 1| + 3.

13. f (x) = |x| + |x + 1|.

14. f (x) = | − x|.

15. f (x) = 2 |x|.

16. f (x) = 2 |x| − |x + 1|.

17. f (x) = x − |x|.

Rozwiązać równanie:

18. 5 − (7 − 10x) = 9x.

19. 9 − [8 − (7 − x)] = 2.

20. 8(3x − 5) = 5(2x − 8) = 20 + 4x.

21. 26x − [22x − (30 − 3x)] = 38.

22. ( √

2 − x)

− (x − 2 √

2)

= −6.

23. (x + 3)(x − 3) = x(x + 9) − 9(x + 1).

24. |x + 3| = |2x + 1|.

25. |3x + 1| = x + 1.

26. ||x − 1| + 3| = 6.

27. |x + 1| + |x − 1| = 3.

28. ||x| − 3| = 1.

29. |2x − 3| = 11.

30. |2x − 7| + x = 1.

31. |x − 2| + |x − 3| = 10.

32. |x − 1| + |x − 2| + |x + 1| + |x + 2| = 6.

33. |x + 2| − |2x − 3| = 3x − 1.

34. ||3 − 2x| − 1| = 2x.

35. |2 − |x|| = 2 − |x|.

36. |3 − |3 − |x||| = 3.

37. |x| + |x − 2| = |x + 1|.

38. |2 − x| + 9 = |2x − 3| − |x + 4|.

Rozwiązać nierówność:

39. 6(4 − 3x) − 5(x + 7) ¬ 7x − 1.

40. ||2x − 3| − 4| ¬ 1.

41. |x − 3| − |x − 2| + 2x > 3.

42. |2x − 1| + |x + 3| > 2.

43. |2x − 4| ¬ 8.

44. |3x + 5| > 14.

45. |2x + 1| − |x + 3| < 2.

46. |2x − 1| + x < 4.

47. 2 |x + 1| − 4 ­ 6.

48. ||x − 3| − 3| < 2.

49. |3x − 2| + |x| < 10.

50. |1 − 3x| − |2x + 3| ­ 3.

Podać liczbę rozwiązań równania (nierówności) w zależności od parametru m:

51. (2 − m)x = 3 + x.

52. (4x + 1)m = 3m + mx.

53. 3x + 2m = 3 − 6mx.

54. 4x + 3 = mx − m.

55. 3x − m = mx − 3.

56. |x + 1| + |x + 3| < 2m.

Rozwiązać układ równań (algebraiczne i graficzne):

57.

{

4x − y = 3 2x − 2y = 5 58.

{

3x + y = 10 x − y = 2 59.

{

2 |x| − x + |y| = 4 3 |x| − |y| = 4 60.

{

x + |y + 1| = 4 3x − y = 5

61.

{

3x + y = 5 x − 2y = −3 62.

{₁

2

x − 2y = 5 x − 2 = 4 + 2y 63.

{₁

3

(x − 2y + 4) = y y + 3 = 4x 64.

{

3x + 2y = 3

y + 2 =

(1 − 3x)

65.

{ _x−y

2

−

= 1

2x+y

3

−

= 0 66.

{_x−1

2

+

= 3

x+1

3

−

= 2

Podać liczbę rozwiązań układu równań w zależności od parametru m:

67.

{

2x + y − m = 0 x + 2y − 1 = 0 68.

{

x + my = 3 mx + 4y = 2m 69.

{

x − my = m mx − |y| = 2m

70.

{

2x − 3y = 6 x − my = 1 71.

{

3x + my = −2 3x + 2y = 3 72.

{

x + 3my = 1 + m 3mx + y = 2(1 − m)

73.

{

x(m + 1) − y = 2 3x − y = m + 1 74.

{

(m − 2)x − 3y = m 3x + y = −2 75.

{

2mx − (m + 2)y = 3m

2(m − 1)x − my = 3(m − 1)

Rozwiązać graficznie układ nierówności:

76.









y − 2x < 2 2x + 3y − 6 < 0 x < 1

77.









2x + y ­ 4 x − y + 4 > 0 x − 2 ¬ 0

78.









x + y ¬ 2 2x − y + 2 > 0 y + 2 ­ 0

79.









x + 2y ¬ 2 2y − x + 2 > 0 x + 2 ­ 0

80.









2y + x ¬ 8 x − y + 5 > 0 y − 2 ­ 0 81.

{

|x − y| < x + y

|x| + |y| ¬ 4

82.









|x| + |y| ¬ 1 1 + x ¬ y 1 − x ¬ y

83.

{

|x| + |y| <¬ 1

|x| + y ­ 1 84.

{

y − |2x + 1| <> 0

|x − y| ¬ 2

85.









2x − 3y − 6 < 0 2x − y < 2 1 − x = y

86.









x + y − 2 ¬ 0 2y + 5x ­ 0 5x − 2y − 10 ¬ 0

87. Dla jakich wartości parametru m pierwiastek równania 6x − 5m = 3(m + 1) − 2x jest większy od

−

?