Kryterium całkowe zbieżności i rozbieżności szeregów

Kryterium całkowe

zbieżności i rozbieżności

szeregów

Autorzy:

Katarzyna Czyżewska

2019

Kryterium całkowe zbieżności i rozbieżności szeregów

Kryterium całkowe zbieżności i rozbieżności szeregów

Autor: Katarzyna Czyżewska

TWIERDZENIE

Twierdzenie 1:

Twierdzenie 1: Kryterium całkowe

Kryterium całkowe

Jeżeli funkcja jest ciągła, dodatnia i malejąca w przedziale , gdzie , to całka niewłaściwa i szereg są jednocześnie zbieżne albo jednocześnie rozbieżne.

PRZYKŁAD

Przykład 1:

Przykład 1:

Zbadaj zbieżność szeregu . Rozwiązanie:

Rozważymy funkcję , która jest ciągła, malejąca i dodatnia w przedziale . Badamy zbieżność całki niewłaściwej .

Zatem całka jest rozbieżna i na podstawie kryterium całkowego szereg jest też rozbieżny.

PRZYKŁAD

Przykład 2:

Przykład 2:

Zbadaj zbieżność szeregu . Rozwiązanie:

Rozważymy funkcję , która jest ciągła, malejąca i dodatnia w przedziale . Badamy zbieżność całki .

Zatem całka jest rozbieżna, tak więc szereg też jest rozbieżny.

f

[ , +∞)

n

0

n

0

∈

N

+

∫

n∞0

f(x)dx

f(n)

∑

∞ n=n0

∑

∞ n=2 n ln n1

f(x) =

1 x ln x

[2, ∞)

dx

∫

∞ 2 x ln x1

dx =

=

dt =

(ln t ) =

(ln (ln b) − ln (ln 2)) = ∞

lim

b→∞

∫

2b x ln x1

∣

∣

∣

∣

∣

∣

t = ln x

dt = dx

_x1

x = 2 → t = ln 2

x = b → t = ln b

∣

∣

∣

∣

∣

∣

lim

b→∞

∫

ln b ln 2 1t

lim

b→∞

|

ln bln 2

lim

b→∞

dx

∫

∞ 2 x ln x1

∑

∞n=2 n ln n1

∑

∞ n=1 _n2n₊₁

f(x) =

x +1 x2

[1, ∞)

dx

∫

₁∞ x +1 x2

dx =

( ln ( + 1) ) =

( ln ( + 1) − ln 2) = ∞

lim

b→∞

∫

₁b _x2x₊₁

lim

b→∞ 1₂

x

2

|

b1

lim

b→∞ 1₂

b

2 1₂

dx

∫

∞

PRZYKŁAD

Przykład 3:

Przykład 3:

Wykaż, że szereg harmoniczny rzędu , jest rozbieżny dla i zbieżny dla . Rozwiązanie:

Rozważamy szereg harmoniczny rzędu , czyli szereg postaci ,dla .

Badamy zbieżność szeregu z kryterium całkowego, rozważając funkcję , która jest ciągła, dodatnia i malejąca dla i .

Badamy zbieżność całki .

Całka jest zatem zbieżna dla , a rozbieżna dla , czyli dla szereg jest zbieżny, a dla szereg jest rozbieżny.

Publikacja udostępniona jest na licencji Creative Commons Uznanie autorstwa - Na tych samych warunkach 3.0 Polska. Pewne prawa zastrzeżone na rzecz autorów i Akademii Górniczo-Hutniczej. Zezwala się na dowolne wykorzystanie treści publikacji pod warunkiem wskazania autorów i Akademii Górniczo-Hutniczej jako autorów oraz podania informacji o licencji tak długo, jak tylko na utwory zależne będzie udzielana taka sama licencja. Pełny tekst licencji dostępny na stronie

http://creativecommons.org/licenses/by-sa/3.0/pl/.

Data generacji dokumentu: 2019-04-15 06:06:27

Oryginalny dokument dostępny pod adresem: https://epodreczniki.open.agh.edu.pl/openagh-permalink.php? link=26f70de013e5c7918a28ff91c78107af

Autor: Katarzyna Czyżewska

α

α ∈ (0, 1]

α > 1

α

∑

∞ n=1 n1α

α > 0

f(x) =

1 xα

α > 0 x ⩾ 1

dx

∫

∞ 1 x1α

dx =

{

=

{

=

lim

b→∞

∫

₁b _x1α

lim

b→∞ x−α+1 −α+1

|

b1

ln x|

b 1

dla α = 1

/

dla α = 1

lim

b→∞

−

1 (1−α)bα−1 _1−α1

ln b

dla α = 1

/

dla α = 1

⎧

⎩

⎨

−1 1−α

∞

∞

dla α > 1

dla α ∈ (0,

dla α = 1

dx

∫

∞ 1 x1α

α > 1

α ∈ (0, 1]

α > 1

∑

∞_{n=1 n}1α

α ∈ (0, 1]

∑

∞ n=1 n1α