W9. Dynamika ruchu układu brył Plik

1

Dynamika bryły i układu brył

Ruch postępowy i obrotowy

Zadanie 9 Dane: G1, G2, G3 [N] M, MO [Nm] R1, r1, r2, iA [m] α [rad]

Układ brył pokazany na rysunku pozostaje w ruchu. Wyznacz parametry kątowe ruchu bryły 1.

Rozwiązanie:

a) Przyjmujemy układ współrzędnych na rysunku w nieruchomym punkcie, np. punkcie A.

b) Określamy, w jakich ruchach znajdują się poszczególne bryły. Zaznaczamy na rysunku realizowane przemieszczenia poszczególnych brył (ϕ1, ϕ2, yD) oraz wszystkie siły i momenty, czynne oraz bierne.

c) Zapisujemy różniczkowe równania ruchu poszczególnych brył w postaci ogólnej: Różniczkowe równania ruchu bryły 1 (R. r. r. b. 1):

R. r. r. b. 2:

2 d) Rozpisujemy prawe strony różniczkowych równań ruchu zgodnie z rysunkiem:

R. r. r. b. 1:

R. r. r. b. 2:

R. r. r. b. 3:

e) Zapisujemy równania więzów siłowych (R. w. s.):

f) Zapisujemy równania więzów kinematycznych (R. w. k.) w funkcji wartości wektora prędkości z poszukiwanych parametrów ruchu (w naszym przypadku będzie to ω1):

- pozostałe elementy wektorów pokazujemy na rysunku.

g) Wyznaczamy równania więzów kinematycznych narzuconych na przyspieszenia:

- pozostałe elementy wektorów pokazujemy na rysunku. h) Rozwiązujemy otrzymany układ równań:

- z równania (14) otrzymujemy:

- z równania (15) otrzymujemy:

3 - uwzględniamy masowe momenty bezwładności:

- otrzymujemy:

- na tym etapie warto sprawdzić jednostkę:

- wyznaczamy pozostałe parametry ruchu:

- wyznaczamy stałe całkowania:

4 Wyznaczone wartości wraz z wektorami prędkości kątowej i przyspieszenia kątowego bryły 1 pokazanymi na rysunku stanowią rozwiązanie zadania.

5

Dynamika bryły i układu brył

Ruch płaski

Pokazany na rysunku krążek toczy się w prawo bez poślizgu pod wpływem siły P. Wyznacz kątowe parametry ruchu krążka.

Rozwiązanie:

a) Przyjmujemy układ współrzędnych na rysunku w nieruchomym punkcie.

b) Określamy, w jakim ruchu znajduje się bryła. Zaznaczamy na rysunku realizowane przemieszczenie p. A i kąt obrotu bryły ϕ1, oraz wszystkie siły i momenty czynne oraz bierne.

c) Zapisujemy różniczkowe równania ruchu bryły w postaci ogólnej: Różniczkowe równania ruchu bryły 1 (R. r. r. b. 1):

d) Rozpisujemy prawe strony różniczkowych równań ruchu zgodnie z rysunkiem: R. r. r. b. 1:

e) Zapisujemy równania więzów siłowych (R. w. s.):

f) Zapisujemy równania więzów kinematycznych (R. w. k.) w funkcji wartości wektora prędkości z poszukiwanych parametrów ruchu (w naszym przypadku będzie to ω1):

6 - pozostałe elementy wektorów pokazujemy na rysunku.

g) Wyznaczamy równania więzów kinematycznych narzuconych na przyspieszenia:

- pozostałe elementy wektorów pokazujemy na rysunku. h) Rozwiązujemy otrzymany układ równań:

- uwzględniamy masowy momenty bezwładności:

- otrzymujemy:

- na tym etapie warto sprawdzić jednostkę:

- wyznaczamy pozostałe parametry ruchu analogicznie jak w zadaniu 9.

Drugi sposób rozwiązania zadania:

Ruch płaski potraktujemy jako chwilowy ruch obrotowy wokół chwilowego środka obrotu. c) Zapisujemy różniczkowe równania ruchu obrotowego bryły w postaci ogólnej:

Różniczkowe równanie ruchu bryły 1 (R. r. r. b. 1):

d) Rozpisujemy prawą stronę równania (1) zgodnie z rysunkiem: R. r. r. b. 1:

7 f) Wyznaczamy masowy moment bezwładności bryły względem chwilowego środka obrotu korzystając z twierdzenia Steiner’a:

h) Rozwiązujemy otrzymany układ równań:

8 Zadanie 11

Krążek 1 o znanym ciężarze i promieniu r1 toczy się w prawo po płaskiej

powierzchni pod wpływem momentu (pary sił) M1. Występuje zjawisko tarcia

suchego oraz tarcia toczenia. Wyznacz kątowe parametry ruchu krążka 1 przyjmując zerowe warunki początkowe. Dane: G1 [N] M1 [Nm] r1, f [m] µ [-] Szukane: ϕ1 = ?

Szukamy kątowych parametrów ruchu bryły 1.

Rozwiązanie:

a) Krążek toczy się bez poślizgu, jest więc w ruchu płaskim. Przyjmujemy interpretację ruchu płaskiego jako ruchu, w którym występuje przemieszczenie środka masy bryły w prawo (xA) oraz

obrót bryły wokół środka masy (ϕ1). Przyjmujemy układ współrzędnych na rysunku w nieruchomym

punkcie. Zaznaczamy podstawowe realizowane parametry ruchu, jak przemieszczenie środka masy xA

oraz kąt obrotu krążka ϕ1. Wprowadzamy wektory prędkości punktów charakterystycznych oraz

wektory prędkości kątowych brył niezbędne do rozwiązania zadania, jak również wektory przyspieszeń. Możemy wprowadzić na rysunku wszystkie wektory sił: czynnych (G1) oraz biernych (TD,

ND), jak również wektor momentu M1.

b) Zapisujemy różniczkowe równania ruchu bryły w postaci ogólnej: Różniczkowe równania ruchu bryły 1 (R. r. r. b. 1):

c) Rozpisujemy prawe strony różniczkowych równań ruchu zgodnie z rysunkiem: R. r. r. b. 1:

9 e) Zapisujemy równania więzów kinematycznych (R. w. k.) w funkcji wartości wektora prędkości z poszukiwanych parametrów ruchu (w naszym przypadku będzie to ω1):

- pozostałe elementy wektorów pokazujemy na rysunku.

f) Wyznaczamy równania więzów kinematycznych narzuconych na przyspieszenia:

- pozostałe elementy wektorów pokazujemy na rysunku. g) Rozwiązujemy otrzymany układ równań:

- uwzględniamy masowy momenty bezwładności:

- otrzymujemy:

- na tym etapie warto sprawdzić jednostkę:

10 Zadanie 12

Pokazany na rysunku układ brył o znanych ciężarach i znanej geometrii pozostaje w ruchu. Krążek 1 o zróżnicownej średnicy toczy się bez poślizgu po chropowatym podłożu. Występuje zjawisko tarcia suchego i tarcia toczenia. Na krążek 1 działa siła P o znanej wartości, zaczepiona w punkcie A, o kierunku jak pokazano na rysunku. Krążek 2 obraca się w lewo. Bryła 3 przemieszcza się po równi o kącie nachylenia α. Powierzchnie równi i bryły są chropowate. Wyznacz kątowe parametry ruchu bryły 2. Dane: G1, G2, G3, P [N] R1, r1, r2, f, iA[m] µ [-] α,β [rad]

zerowe warunki początkowe Szukane:

ϕ2 = ?

11 Rozwiązanie:

a) Przyjmujemy układ współrzędnych xy na rysunku w nieruchomym punkcie, np. punkcie B. Przyjmujemy pomocniczy układ współrzędnych uw związany z równią. Krążek 2 obraca się w lewo. Krążek 1 toczy się bez poślizgu, jest więc w ruchu płaskim. Przyjmujemy interpretację ruchu płaskiego jako ruchu, w którym występuje przemieszczenie środka masy bryły w prawo (xA) oraz obrót bryły

wokół środka masy (ϕ1). Bryła 3 zsuwa się z równi. Zaznaczamy podstawowe realizowane parametry

ruchu, jak przemieszczenie środka masy xA, kąt obrotu krążka 1 ϕ1, oraz realizowane przemieszczenie

punktu D, wD. Wprowadzamy wektory prędkości punktów charakterystycznych oraz wektory

prędkości kątowych brył niezbędne do rozwiązania zadania, jak również wektory przyspieszeń. Możemy wprowadzić na rysunku wszystkie wektory sił: czynnych (G1, G2, G3, P) oraz biernych (TE, NE,

TK, NK, XA, YA), oraz siły działające w linach.

b) Zapisujemy różniczkowe równania ruchu brył w postaci ogólnej: Różniczkowe równania ruchu bryły 1 (R. r. r. b. 1):

12 R. r. r. b. 2:

R. r. r. b. 3:

c) Rozpisujemy prawe strony różniczkowych równań ruchu zgodnie z rysunkiem: R. r. r. b. 1:

R. r. r. b. 2:

R. r. r. b. 3:

d) Zapisujemy równania więzów siłowych (R. w. s.):

- oraz masowe momenty bezwładności brył:

e) Zapisujemy równania więzów kinematycznych (R. w. k.) w funkcji wartości wektora prędkości z poszukiwanych parametrów ruchu (w naszym przypadku będzie to ω2):

13 - pozostałe elementy wektorów pokazujemy na rysunku.

f) Wyznaczamy równania więzów kinematycznych narzuconych na przyspieszenia:

- pozostałe elementy wektorów pokazujemy na rysunku. g) Rozwiązujemy otrzymany układ równań:

14 - otrzymujemy: