13 marzec 2006

(1)

13 mar a 2006

1. Pokaza¢, »e zbiory jednopunktowe s¡miaryLebesgue'a zero.

2. Pokaza¢, »e zbiory przeli zalnes¡ miaryLebesgue'a zero.

3. Pokaza¢, »e

λ([a, b]) = λ([a, b)) = λ((a, b]) = b − a

oraz

λ([a, b] × [c, d]) = (b − a) · (d − c).

4. Wyzna zy¢ miar Lebesgue'a zbioru

A = {x ∈ [0, 1] : x

jest li zb¡niewymiern¡

}

.

5. Wyzna zy¢ miar Lebesgue'a od inka

I = {(x, y) ∈ R

2 : x ∈ [2, 7] ∧ y = 3}.

6. Wyzna zy¢ miar Lebesgue'a prostej

l = {(x, y) ∈ R

2 : x = 5 ∧ y ∈ R}.

7. Wyzna zy¢ miar Lebesgue'a od inka

A = {(x, x) : x ∈ [0, 1]}.

8. Wyzna zy¢ miar Lebesgue'a przek¡tnej

∆ = {(x, x) : x ∈ R}.

9. Wyzna zy¢ miar Lebesgue'a zbiorów:

• A = {(x, y) ∈ R

2 : |x| + |y| = 1},

• B = {(x, y) ∈ R

2 : max{|x|, |y|} ∈ Q}

,

• C = {(x, y) ∈ R × R : x ∈ [0, 1], y ∈ Q}

10. Obli zy¢miar Lebesgue'a nastpuj¡ y h zbiorów.

(a)

Q

oraz dowolnego zbioru przeli zalnego;

(b)

R

\ Q

oraz dowolnego dopeªnieniazbioru przeli zalnego; ( )

{(x, y) ∈ R

2 : y = 0}

; (d)

{(x, y) ∈ R

2 : Ax + By + C = 0}

gdzie

A, B, C ∈ R

nieprzeli zalny); (e)

{−1, 1} × [−1, 1] ∪ [−1, 1] × {−1, 1}

.

11. Nie h

w : R → R

bdzie wielomianem stopnia

≥ 1.

Pokaza¢, »e zbiór

{x ∈ R : w(x) = 0}

jestmiary Lebesgue'azero.

12. Wyzna zy¢ miar Lebesgue'a zbiór wszystki h li zb algebrai zny h.

13. Pokaza¢, »e zbiór Cantora jest zbioremmiary Lebesgue'azero mo y ontinuum.

14. JakajestmiaraLebesgue'azbioruty hli zbzprzedziaªu

[0, 1]

który hrozwini iedziesitne zawiera niesko« zenie wiele yfr 7?

15. Nie h

A

ozna za zbiór wszystki h li zbzprzedziaªu

[0, 1]

maj¡ y hrozwini ie dwójkowew którym yfra

0

niewystpuje dwarazypodrz¡d. Pokaza¢,»e zbiór

A

jestmiaryLebesgue'a zero.

(2)

16. Pokaza¢, »e dla ka»dego zbioru

A ⊂ R

miary Lebesgue'a zero istnieje zbiór typu

G

δ

miary zero

G

taki,»e

A ⊂ G.

17. (*) Nie h

T

bdziedowolnym zbioremzªo»onymzparamirozª¡ zny hliterTna pªasz zy¹-nie (mog¡ by¢ ró»ny h rozmiarów i rozmai ie poªo»one). Pokaza¢, »e zbiór

T

jest miary Lebesgue'azero. Czy tosamo mo»na powiedzie¢ ozbiorze

L, O?

A oz innymiliterami? 18. Nie hfunk ja

f : R → R

bdziedanawzorem

f (x) = ax,

gdzie

a ∈ R.

Pokaza¢,»e je±lizbiór

A

mamiar Lebesgue'azero, to zbiór

f (A)

te» jest miaryzero.

19. Nie h

A ⊂ R

bdzie zbiorem mierzalnym w sensie Lebesgue'a i

x ∈ R

. Pokaza¢, »e zbiór

A + x

te» jestmierzalnyoraz

λ(A + x) = λ(A).

20. Wykaza¢,»eje»elizbiórwszystki hli zbwymierny hzprzedziaªu

[0, 1]

pokryjemysko« zon¡ rodzin¡ przedziaªów, tosuma dªugo± ity h przedziaªów jest niemniejsza od jedno± i.

21. Wykaza¢, »e je»eli zbiór

A ⊂ R

nie jest miary zero, to dla ka»dej li zby dodatniej

c < 1

istnieje przedziaª (sko« zonej dªugo± i)

P ⊂ R

taki,»e

λ(A ∩ P ) > c · λ(P )

.

A ⊂ R

k

nie jest miary zero, to dla ka»dej li zby dodatniej

c < 1

istnieje przedziaª (sko« zonej miary)

P ⊂ R

k

taki, »e

λ(A ∩ P ) > c · λ(P )

. 23. Nie h

f : [0, 1] → R

+

bdziefunk j¡,która naka»dym przedzialedªugo± i

1/3

n

usunitym

ze zbioru Cantora przyjmuje staª¡ warto±¢

n

,a nazbiorze Cantora okre±lona jest dowolnie. Wykaza¢, »e zbiór

A = {(x, y) : x ∈ [0, 1] , 0 ≤ y ≤ f (x)} ⊂ R

2

jestmierzalnyoraz znale¹¢ jegomiar.

A ⊂ R

k

jest mierzalny oraz

a ∈ R

k

, to zbiór

A + a

jest równie» mierzalny.

25. Nie h

f : R → R

bdzie funk j¡ i¡gª¡. Pokaza¢, »e wykres

f

jest zbiorem mierzalnym w sensie Lebesgue'ai mamiar zero.

Wskazówka. Wyzna zy¢ miarwykresu funk ji

f : [0, 1] → R.

26. Nie h

f : R → R

bdzie funk j¡ monotoni zn¡. Pokaza¢, »e wykres

f

jest zbiorem mierzal-nym wsensie Lebesgue'a i mamiarzero.

Wskazówka. Wyzna zy¢ miarwykresu funk ji

f : [0, 1] → R.

27. Czy jest prawd¡, »e je»eli wykres funk ji

f : R → R

jest mierzalny w sensie Lebesgue'a to funk ja

f

jestmierzalnaw sensie Lebesgue'a?

28. Pokaza¢, »e istnieje zbiór mierzalny w sensie Lebesgue'a

A ⊂ R × R

taki, »e zbiór

A

x

jest niemierzalny dlapewnego

x ∈ R.

Uwaga. Je»eli

A ⊂ R × R

, todeniujemy

A

x

= {y : (x, y) ∈ A} .

Uwaga. Mo»na pokaza¢ (twierdzenieFubiniego), »e je»elizbiór

A ⊂ R × R

jestmierzalnyw sensie Lebesgue'a, to zbiórty h

x

-ów dlaktóry h

A

x

jestniemierzalny jest miaryzero. 29. Nie h

A ⊂ R

m

bdzie zbiorem mierzalnym w sensie Lebesgue'a. Pokaza¢, »e dla ka»dego

wektora

y ∈ R

m

zbiór

A

y

= {x + y

:

x ∈ A}

jest mierzalny w sensie Lebesgue'a i

(3)

30. Okre±lmy rela j

R

wprzedziale

[−1, 1]

przyjmuj¡

xRy ⇐⇒ x − y ∈ Q.

(a) Sprawdzi¢, »e

R

jest rela j¡ równowa»no± i.

(b) Nie h

A

bdziezbiorem,któryzka»d¡zklasabstrak ji

R

majedenpunktwspólny (ina- zejpisz¡ : wybierzmy zka»dej zklasabstrak jijeden elementizbiór wybrany h li zb

ozna zmy przez

A

). Pokaza¢, »e

A

niejest zbioremmierzalnym wsensie Lebesgue'a. Wskazówka: zauwa»y¢, »e je»eli

(q

n

)

n

jestró»nowarto± iowym i¡giem wszystki h li zb wy-mierny hz przedziaªu

[−2, 2]

, tozbiory

A

n

= {x + q

n

: x ∈ A}

s¡parami rozª¡ zne oraz

[−1, 1] ⊂

∞

[

n=1

A

n

⊂ [−3, 3].

31. Zbiór

A ⊂ R

nazywamy silnie miary zero wtedy i tylko wtedy, gdy

∀ (ε

n

)

n∈N

, ε

n

> 0 ∃ (I

n

)

n∈N

, I

n

-od inki

|I

n

| < ε

n

∧ A ⊂

[

n∈N

I

n

!

(a) Pokaza¢, »e ka»dy zbiór przeli zalny jest silnie miaryzero.

Uwaga.

i. (Laver, 1976) Jest niesprze zne, »e ka»dy zbiór silnie miary zero jest przeli zalny

(Hipoteza Borela).

ii. (CH) Istnieje nieprzeli zalny zbiór silnie miaryzero (np. zbiór uzina).