rozwiązania

11. Caªkowanie ci¡gów i szeregów funkcyjnych  rozwi¡zania

zada«

IA(x, y). Funkcje podcaªkowe s¡ nieujemne,

wspólnie ograniczone przez funkcj¦ caªkowaln¡ 9IA,ponadto fn(x, y) −→ x2IA.

Dlat-ego na mocy twierdze« Lebesgue'a o zbie»no±ci majoryzowanej i TonellDlat-ego mamy: lim n→∞ Z A  x + 1 ny 2 l2(dxdy) = Z A x2 l2(dxdy) = Z 2 1 Z 3−x 1 x2dydx = Z 2 1 (2x2− x3)dx = 11 12. ‚w. 11.2 Przyjmujemy fn(x, y) = 1 + x+y₅
n

xIA. Funkcje podcaªkowe s¡ nieujemne,

wspólnie ograniczone przez funkcj¦ caªkowaln¡ 2xIAoraz ci¡g funkcyjny jest zbie»ny

do funkcji xIA. Z twierdzenia Lebesgue'a o zbie»no±ci majoryzowanej i twierdzenia

Tonellego mamy: lim n→∞ Z A  1 + x + y 5 n x l2(dxdy) = Z A x l2(dxdy) = Z 2 1 Z x+1 x−1 xdydx = Z 2 1 2xdx = 3. ‚w. 11.3 Deniujemy fn(x, y) =  x2_+y2 2 n

IAn(x, y). Funkcje podcaªkowych fn s¡

nieu-jemne i wspólnie ograniczone przez funkcj¦ charakterystyczna zbioru A = (−1, 1)× (−1, 1) oraz ci¡g {fn} zbiega do funkcji to»samo±ciowo równej zero. Dlatego z twierdzenia

Lebesgue'a o zbie»no±ci majoryzowanej lim n→∞ Z An  x2 _{+ y}2 2 n l2(dxdy) = 0.

‚w. 11.4 a) Ci¡g funkcji podcaªkowych fn(x, y, z) = (1 + x+y_n )ne−x−y−zIA(x, y, z) zbiega

do funkcji niecaªkowalnej e−z

IA.

b) Ci¡g fnmo»emy ograniczy¢ przez funkcj¦ caªkowaln¡ e−zIAi na mocy twierdzenia

Lebesgue'a o zbie»no±ci majoryzowanej oraz twierdzenia Tonellego (funkcja graniczna jest nieujemna) lim n→∞ Z A  1 + x + y n n e−x−y−z l3(dxdydz) = Z ∞ 0 Z 1 0 Z 1−x 0 e−z dydxdz = Z ∞ 0 Z 1 0 e−z(1 − x) dxdz = 1 2 Z ∞ 0 e−z dz = 1 2.

‚w. 11.5 Ci¡g funkcji podcaªkowych fn(x, y) = (1 − sinn(x + y))xy2IA jest

ogranic-zony przez funkcj¦ nieujemn¡ g(x, y) = 2xy2

IA. Sprawdzamy jej caªkowalno±¢ z

twierdzenia Tonellego: Z A 2xy2 l2(dxdy) = Z 1 0 Z √ x −√x 2xy2 dydx = Z 1 0 2 3x (( √ x)3− (−√x)3)dx = 4 3 Z 1 0 x5/2 dx = 8 21 < ∞. Ci¡g funkcji podcaªkowych jest zbie»ny l2_{−prawie wsz¦dzie do funkcji g(x, y) (zbie»no±ci}

nie ma tylko w punktach, dla których x + y = π

2 + kπ, k ∈ Z). Na mocy twierdzenia

Lebesgue'a o zbie»no±ci majoryzowanej lim

n→∞

Z

A

(1 − sinn(x + y))xy2 l2(dxdy) = Z

A

g(x, y) l2(dxdy) = 8 21.

‚w. 11.6 Ci¡g funkcji gn(x, y) = pxn 2+ y2 I(0,∞)(xy)IU(x, y) jest rosn¡cy: x2+ y2 ≤ 1

wi¦c x2+ y2
n+1 ≤ x2+ y2
n n p x2_{+ y}2 _≤ n+1p x2_{+ y}2

oraz limn→∞gn(x, y) = I(0,∞)(xy)IU(x, y).

Ci¡g funkcji hn(x, y) = (1 − x2 − y2)nI(−∞,0](xy)IU(x, y) jest wspólnie ograniczony

przez funkcj¦ h(x, y) = _I(−∞,0](xy)IU(x, y), która jest caªkowalna oraz

limn→∞hn(x, y) = I{(0,0)}.

Tak wi¦c na mocy twierdze« Lebesgue'a o zbie»no±ci monotonicznej i majoryzowanej oraz z twierdzenia Tonellego

lim n→∞ Z U fn(x, y)l2(dxdy) = Z Z U

I(0,∞)(xy) + I(−∞,0](xy) l(dx)l(dy)

= Z Z

U

I(0,∞)(xy) l(dx)l(dy).

Rozwa»my przeksztaªcenie T : (r, α) 7→ (r cos α, r sin α). T przeksztaªca dyfeomor-cznie zbiór otawrty (0, 1)×((0,π

2)∪(π, 3

2π))na zbiór otwarty K(0, 1)∩{(x, y); xy > 0},

przy czym |DT(r, α)| = r. Na mocy twierdzenia o zamianie zmiennych Z Z U I(0,∞)(xy) l(dx)l(dy) = Z 1 0 Z π/2 0 r dαdr + Z 1 0 Z 3π/2 π r dαdr = π Z 1 0 r dr = π 2.

‚w. 11.7 Ci¡g funkcji podcaªkowych jest ograniczony przez funkcj¦ g(x, y, z) = xyz exp{−x

2 − y2

4 − z}IS(x, y, z). Na mocy twierdzenia Tonellego

Z S g(x, y, z)l3(dxdydz) = Z ∞ 0 Z ∞ 0 Z ∞ 0 xyz exp{−x 2 − y2 4 − z} dydxdz = Z ∞ 0 Z ∞ 0 2xz exp{−x 2 − z} dxdz = Z ∞ 0 8ze−z dz = 8.

Granic¡ ci¡gu funkcji podcaªkowych jest funkcja to»samo±ciowo równa zero i na mocy twierdzenia Lebesgue'a o zbie»no±ci majoryzowanej

lim n→∞ Z S n sin xyz n2  exp  −x 2 − y2 4 − z  l3(dxdydz) = 0.