Projekt pn. "IKS - Inwestycja w Kierunki Strategiczne na Wydziale Matematyki i Informatyki UMK"
realizowany w ramach Poddziaªania 4.1.2 Programu Operacyjnego Kapitaª Ludzki
Kurs wyrównawczy - statystyka i prawdopodobie«stwo do przedmiotu: Metody i modele probabilistyczne I rok II st. informatyka
Prowadz¡cy: dr Agnieszka Goroncy
Mocne Prawo Wielkich Liczb, Centralne Twierdzenie Graniczne
De nicja 1. Ci¡g {Xn}n∈N zmiennych losowych jest zbie»ny do zmiennej losowej X:
a) prawie na pewno (prawie wsz¦dzie, P -prawie wsz¦dzie), je»eli P ( lim
n−→∞Xn = X) = 1, ozn. Xn
−→ Xp.n. , Xn
−→ Xp.w. , Xn P −p.w.
−→ X. b) wedªug prawdopodobie«stwa, je»eli
∀ε>0 lim
n−→∞P (|Xn− X| > ε) = 0,
n−→∞lim P (|Xn− X| < ε) = 1 ozn. Xn
−→ XP .
c) wedªug rozkªadu (sªabo zbie»ny), je»eli ci¡g dystrybuant {FXn}n∈N jest zbie»ny do dys- trybuanty FX rozkªadu zmiennej losowej X, przy n −→ ∞, w ka»dym punkcie ci¡gªo±ci dystrybuanty granicznej FX. Ozn. Xn
−→ XD , Xn
−→ Xd .
Fakt 1. Zale»no±ci mi¦dzy rodzajami zbie»no±ci zmiennych losowych s¡ nast¦puj¡ce:
Xn
−→ Xp.n. =⇒ Xn
−→ XP =⇒ Xn
−→ X.D
Fakt 2. Je»eli ci¡g {Xn}n∈N zbiega wg rozkªadu do staªej, to zbiega równie» wg praw- dopodobie«stwa do tej samej staªej.
Fakt 3. Je»eli Xn
−→ XD i Yn
−→ cD , to Xn+ Yn−→ X + cD oraz XnYn −→ cXD .
Mocne Prawo Wielkich Liczb (MPWL) Niech X1, X2, . . . b¦dzie ci¡giem parami niezale»nych zmiennych losowych o jednakowym rozkªadzie. Je»eli E|X1| < ∞, to
X1+ . . . + Xn n
n→∞−→ EX1, P-prawie wsz¦dzie.
Centralne Twierdzenie Graniczne (CTG) Niech X1, X2, . . . b¦dzie ci¡giem nieza- le»nych zmiennych losowych o jednakowym rozkªadzie ze sko«czon¡ warto±ci¡ oczekiwan¡
i sko«czon¡, dodatni¡ wariancj¡. Wówczas X1+ . . . + Xn− nEX1
√nV arX1
−→ X ∼ N (0, 1).D
Projekt wspóª nansowany przez Uni¦ Europejsk¡ w ramach Europejskiego Funduszu Spoªecznego
Wniosek (Twierdzenie de Moivre'a-Laplace'a) Niech Sn oznacza liczb¦ sukcesów w schemacie n prób Bernoullego z prawdopodobie«stwem sukcesu w pojedynczym do±wiad- czeniu równym p (zatem Sn ∼ B(n, p)). Je»eli V arSn = npq > 9 gdzie q = 1 − p,
to Sn− np
√npq
−→ X ∼ N (0, 1),D
zatem
P
a ≤ Sn− np
√npq ≤ b
n→∞−→ Φ(b) − Φ(a), gdzie Φ(t) jest dystrybuant¡ standardowego rozkªadu normalnego.
Projekt wspóª nansowany przez Uni¦ Europejsk¡ w ramach Europejskiego Funduszu Spoªecznego
