rozwiązania

1. Przestrzenie mierzalne - rozwi¡zania

‚w. 1.1 a) Pokazujemy, »e speªnione s¡ warunki z denicji algebry Boole'a: • Ø oraz N nale»¡ do A.

]Ø= 0, wi¦c Ø∈ A. ]Nc _{= 0, wi¦c N ∈ A.}

• Je±li A ∈ A, to Ac _{∈ A.}

A ∈ A, tzn, »e ]A < +∞ lub ]Ac _{< +∞. Wtedy ](A}c₎c _{< +∞ lub ]A}c _{< +∞,}

a to oznacza, »e Ac _{∈ A.}

• Je±li A, B ∈ A, to A ∪ B ∈ A.

Dla A i B nale»¡cych do A istniej¡ cztery mo»liwo±ci:

-]A < +∞ i ]B < +∞. Wtedy ](A ∪ B) < +∞, czyli A ∪ B ∈ A.

-]A < +∞ i ]Bc _{< +∞. Wtedy ](A ∪ B)}c _{≤ ]B}c _{< +∞, czyli A ∪ B ∈ A.}

-]Ac _{< +∞ i ]B}c _{< +∞. Wtedy ](A ∪ B)}c _{≤ ]B}c _{< +∞, czyli A ∪ B ∈ A.}

-]Ac _{< +∞ i ]B < +∞. Wtedy ](A ∪ B)}c _{≤ ]A}c _{< +∞, czyli A ∪ B ∈ A.}

b) Istnieje ci¡g zbiorów {Ak = {2k}}k=1,2,..., gdzie Ak ∈ A dla ka»dego k = 1, 2, ...

oraz S∞

k=1Ak = {2k; k ∈ N} /∈ A, gdy» ]A = +∞ oraz ]Ac = +∞.

‚w. 1.2 Dla dowolnych n1, n2 ∈ N, n1 6= n2 zachodzi

{n1, n2} = {n1} ∪ {n2} ∈ a({n}; n ∈ N) ,

zatem

a({{n1, n2} ; n1, n2 ∈ N; n1 6= n2}) ⊆ a({n} ; n ∈ N).

Z drugiej strony dla dowolnego n ∈ N zachodzi

{n} = {n, n+1}∩{n, n+2} = ({n, n+1}c∪{n, n+2}c)c ∈ a({{n1, n2} ; n1, n2 ∈ N; n1 6= n2}) ,

zatem

a({{n1, n2} ; n1, n2 ∈ N; n1 6= n2}) ⊇ a({n} ; n ∈ N).

‚w. 1.3 C3 ⊆ a(C), gdy» zbiory z C3 s¡ uzyskane jako wynik dziaªa« dopuszczalnych w

algebrze na elementach klasy C. Nale»y zatem pokaza¢, »e a(C) ⊆ C3. W tym celu

wystarczy sprawdzi¢, »e C3 jest algebr¡ (gdy» C ⊆ C3).

• Ø, Ω ∈ C3

• A ∈ C3 ⇒ Ac ∈ C3

A jest postaci A = Pn_i=1Ai, Ai ∈ C2. Zatem

Ac = ( n X i=1 Ai)c = n \ i=1 Ac_i ∈ C3 na podstawie a) i b).

• A, B ∈ C3 ⇒ A ∪ B ∈ C3

A ∪ B = (Ac∩ Bc₎c _{∈ C} 3

na podstawie poprzedniego punktu oraz a). Uzasadnienie punktu a):

Niech B, D ∈ C3, tzn. B = Pni=1Bi, D = Pj=1m Dj, Bi, Dj ∈ C2. Wtedy

B ∩ D = ( n X i=1 Bi) ∩ ( m X j=1 Dj) = n X i=1 m X j=1 Bi∩ Dj ∈ C3 . Uzasadnienie punktu b):

Niech B ∈ C2, tzn. B = Tni=1Bi, Bi ∈ C1. Wtedy

Bc = ( n \ i=1 Bi)c = n X i=1 B_ic ∈ C3 , poniewa» Bc i ∈ C1 ⊆ C2. ‚w. 1.4 Zauwa»my, »e (0, 1) = (0,1 2) + [ 1 2, 2 3) + [ 2 3, 3 4) + ... = = J1+ J2+ J3+ ... . Zatem a({An; n ∈ N}) = {Ø, (0, 1), m [ n=1 Jkn, ( m [ n=1 Jkn) c , m ∈ N} oraz σ({An; n ∈ N}) = {Ø, (0, 1), m [ n=1 Jkn, m ∈ N ∪ {∞}} .

Wida¢, »e zbiory postaci S∞

n=1J2n nale»¡ do σ({An; n ∈ N}), a nie nale»¡ do

a({An; n ∈ N}). ‚w. 1.5 Poniewa» (n, n+1) = R\((−∞, n]∪[n+1, +∞)) = R\( ∞ [ k=1 [n−k, n−k+1]∪ ∞ [ k=1 [n+k, n+k+1]) , wi¦c σ(C1) ⊆ σ(C2).

Druga inkluzja nie zachodzi, poniewa»

{n} = [n − 1, n] ∩ [n, n + 1] ∈ σ(C2) ,

ale {n} /∈ σ(C1), gdy» σ(C1)skªada si¦ z przeliczalnych sum zbiorów postaci (n, n+1),

‚w. 1.6 Zbiór domkni¦ty jest borelowski, poniewa» jest dopeªnieniem zbioru otwartego. Zbiór jednopunktowy jest borelowski, poniewa» jest domkni¦ty.

Zbiór liczb wymiernych jest borelowski, poniewa» jest przeliczaln¡ sum¡ zbiorów jednopunktowych.

Zbiór liczb niewymiernych jest borelowski, poniewa» jest dopeªnieniem zbioru liczb wymiernych.

‚w. 1.7 Poniewa» σ(S1_{) ⊇ S}1 _{⊇ C}, wi¦c σ(S1_{) ⊇ σ(C)}.

Pozostaje pokaza¢, »e σ(S1_{) ⊆ σ(C). W tym celu wystarczy pokaza¢, »e S}1 _{⊆ σ(C).}

We¹my wi¦c dowolny element klasy S1_{, tzn. (−∞, a], a ∈ R}1_{. Istnieje ci¡g (q}

j) ⊆ Q

taki, »e qj & a. Otrzymujemy

(−∞, a] = ∞ \ j=1 (−∞, qj] = ( ∞ [ j=1 (−∞, qj]c)c ∈ σ(C) ,