Projektowanie regulatora ułamkowego rzędu dla określonej klasy obiektów z opóźnieniem / PAR 2/2009 / 2009 / Archiwum / Strona główna | PAR Pomiary - Automatyka - Robotyka

prof. dr hab. in
. Mikoaj Busowicz

Politechnika Biaostocka, Wydzia Elektryczny mgr in
. Tomasz Nartowicz

Studium Doktoranckie, Wydzia Elektryczny PB

PROJEKTOWANIE REGULATORA U
AMKOWEGO RZDU

DLA OKRELONEJ KLASY OBIEKTÓW Z OPÓNIENIEM

Rozpatrzono problem projektowania regulatora u
amkowego rzdu zapewniajcego zadany zapas stabilnoci uk
adu regulacji z obiektem inercyjnym pierwszego rzdu z ca
kowaniem i opónieniem. Proponowana metoda projektowania bazuje na zastosowaniu idealnej transmitancji Bodego jako wzorca dla uk
adu otwartego z regulatorem. Podano komputerow metod syntezy regulatora u
amkowego rzdu. Rozwaania zilustrowano przyk
adem liczbowym i wynikami bada symulacyjnych.

DESIGN OF FRACTIONAL ORDER CONTROLLER FOR A CLASS OF PLANTS WITH DELAY

The paper considers the design problem of fractional order controller satisfying gain and phase margin of the closed loop system with time-delay inertial plant with integral term. The proposed method is based on using Bode's ideal transfer function as a reference transfer function for the open loop system. Computer method for synthesis of fractional controller is given. The considerations are illustrated by numerical example and results of computer simulation.

1. WSTP

W ostatnich latach teoria analizy i syntezy liniowych ukadów uamkowego rzdu jest intensywnie rozwijana w literaturze wiatowej, patrz np. monografie [8, 10, 12, 14, 15] i cytowan tam literatur. Problem badania stabilnoci oraz odpornej stabilnoci liniowych ukadów uamkowych by rozpatrywany w pracach [3 - 7, 17].

Problemowi doboru nastaw regulatorów uamkowych rzdów s powicone prace [2, 9, 11, 13, 16, 18]. Podano w nich ró
ne metody syntezy regulatorów, midzy innymi bazujce na klasycznej metodzie Zieglera-Nicholsa, np. [16], jak i inne metody, np. optymalizacyjne [9]. Do pierwszych prac naukowych, w których zaczto rozpatrywa regulatory rzdu uamkowego nale
 prace Podlubnego [11, 13].

W niniejszej pracy zostanie rozpatrzony problem projektowania regulatora uamkowego rzdu, który zapewnia zadany zapas stabilnoci (tj. zapas moduu i zapas fazy) ukadu regulacji z obiektem cakujcym rzeczywistym z opónieniem. Proponowana metoda projektowania bazuje na zastosowaniu idealnej transmitancji Bodego (np. [1]) jako wzorca dla ukadu otwartego z regulatorem. Takie podejcie zastosowano w pracy [1] w przypadku syntezy klasycznego regulatora (tj. naturalnego rzdu) oraz w pracy [2] w przypadku syntezy uamkowego regulatora dla obiektu jednoinercyjnego z opónieniem.

Proponowana metoda jest rozszerzeniem metody podanej w pracy [2] na klas ukadów regulacji z obiektami bdcymi czonami cakujcymi rzeczywistymi z opónieniem.

2. SFORMU
OWANIE PROBLEMU

Wemy pod uwag ukad regulacji automatycznej o schemacie blokowym pokazanym na rys. 1, skadajcy si z obiektu o transmitancji operatorowej

G s k s s e sh ( ) (  )  1 W (1)

i szeregowego regulatora uamkowego rzdu o transmitancji C s( ).

Rys. 1. Rozpatrywany ukad regulacji automatycznej

Problem projektowania uamkowego regulatora by rozpatrywany w wielu pracach, np. [2, 9, 11, 13, 16, 18]. Zastosowano w nich ró
ne podejcia i metody rozwizania tego problemu. Do grupy pierwszych prac, w których zaczto rozpatrywa regulatory rzdu uamkowego, nale
 prace [11, 13].

Celem niniejszej pracy jest podanie prostej metody syntezy regulatora uamkowego rzdu zapewniajcego zadany zapas stabilnoci (tj. zapas moduu A_m i zapas fazy I_m) ukadu zamknitego. Proponowana metoda jest rozwiniciem metody podanej w pracy [2] w przypadku obiektu inercyjnego z opónieniem.

3. ROZWIZANIE PROBLEMU

Przy syntezie regulatora wykorzystamy podejcie zastosowane w pracy [2], polegajce na takim dobraniu transmitancji uamkowego regulatora, aby transmitancja operatorowa ukadu otwartego rzdu uamkowego miaa tzw. idealn posta Bodego [1, 2]

K s s c ( ) §©¨ · , ¹¸ Z E (2) gdzie Z_c jest pulsacj odcicia moduu, tj. | (K jZ 1 za E jest liczb rzeczywist._c)|

Transmitancja operatorowa (2) opisuje uamkowy czon ró
niczkujcy dla E  0 za dla E ! 0 opisuje ona czon cakujcy uamkowego rzdu.

Je
eli 1 E 2, to logarytmiczna charakterystyka moduu ukadu o transmitancji (2) jest lini prost o nachyleniu 20E dB / dek za logarytmiczna charakterystyka fazy jest lini poziom o rzdnej równej 05. ES (rysunek 2). Ukad regulacji, którego transmitancja ukadu otwartego ma posta (2) ma stay zapas fazy I_m (1 0 5. ) .E S Dziki temu jest on niewra
liwy na zmiany wartoci wzmocnienia w ukadzie otwartym. Szersza analiza rozpatrywanego ukadu (w tym w dziedzinie czasu) jest podana w pracy [1].

atwo zauwa
y,
e aby uzyska transmitancj operatorow ukadu otwartego o postaci (2) (bez uwzgldniania czonu opóniajcego), transmitancja regulatora powinna mie posta

C s k sT

s

c

( ) (1_D ), (3)

gdzie D jest liczb rzeczywist dodatni, za T W. Wtedy y t₀( )

K s C s G s kk e s c sh ( ) ( ) ( ) .   D 1 (4) log Z 20 log| (K jZ)| log Z argK j( Z) 20E dB / dek S ES 2 0 Zc Im S(1E) 2

Rys. 2. Charakterystyki logarytmiczne czonu o transmitancji (2) przy 1 E 2 Transmitancj regulatora (3) przy T W mo
na napisa w postaci

C s k s s c ( ) §  . ©¨  ·¹¸ 1 1 D W D (5)

Obliczajc modu i faz transmitancji (4) oraz uwzgldniajc wzór (jZ)D | |ZDejDS/2,

otrzymamy | (K jZ)| kkc , ZD1 I Z Z Z D S ( ) arg (K j ) h ( 1) . 2 (6)

Zauwa
my,
e dla D E  1 transmitancja (4) ukadu otwartego ró
ni si od idealnej transmitancji Bodego (2) czonem exp(sh Obecno tego czonu w transmitancji (4) nie ). wpywa na zmian charakterystyki moduu, natomiast wpywa w sposób istotny na zmian charakterystyki fazowej (dochodzi skadnik hZ). Oznacza to,
e ukad zamknity o transmitancji ukadu otwartego (4) nie bdzie mia takich samych waciwoci jak ukad z idealn transmitancj Bodego (2).

Przeanalizujemy teraz proces projektowania regulatora uamkowego rzdu o transmitancji (5). Sprowadza si on do wyznaczenia wartoci wzmocnienia k_c regulatora oraz parametru D, dla których rozpatrywany ukad regulacji automatycznej ma zadany zapas moduu Am

i zadany zapas fazy I_m.

Dla pulsacji odcicia moduu Z_g oraz fazy Z_p zachodz nastpujce zale
noci

Zatem, uwzgldniajc wzór (6) mo
emy napisa kk_c g ZD1 1, hZp D  S _S ( 1) . 2 (8) Ze wzorów (8) wynika,
e ZDg1 kkc, Z D S p h  ( ) . 1 2 (9) Z (9) wynika,
e aby pulsacja Z_p bya liczb dodatni musi by speniony warunek D  1.

Przy zadanym zapasie moduu A_m i zadanym zapasie fazy I_m zachodz poni
sze zale
noci kk A c p m ZD1 1 , I_m S hZ_g (D1)S. 2 (10) Ze wzorów (10) mamy

Uwzgldniajc pierwszy ze wzorów (10) i pierwszy ze wzorów (9) otrzymamy A_m p g   Z Z D D 1 1. (12)

Podstawiajc z kolei drugie ze wzorów (9) i (11) do (12) otrzymamy

A_m m    § © ¨ · ¹ ¸  ( ) ( ) . 1 1 2 1 D S D S I D (13) Nieliniowe równanie (13) wi
e ze sob zadane zapasy moduu i fazy ( A_m i I_m)

z uamkowych rzdem regulatora (4). Zatem warto parametru D, która nie mo
e by wiksza ni
1, mo
emy obliczy rozwizujc nieliniowe równanie (13). Wtedy warto wzmocnienia k_c regulatora mo
na obliczy ze wzorów

k k kA c g p m   ZD 1 ZD 1 (14) na podstawie znajomoci wzmocnienia k obiektu i obliczonej pulsacji odcicia moduu lub

pulsacji odcicia fazy (drugie ze wzorów (9) i (11)).

Zauwa
my,
e do wyznaczenia wartoci parametru D potrzebna jest znajomo tylko zadanego zapasu stabilnoci, tj. zapasu moduu A_m i zapasu fazy I_m. Natomiast do wyznaczenia wzmocnienia k_c regulatora niezbdna jest znajomo dodatkowo pulsacji odcicia moduu Z_g (lub pulsacji odcicia fazy Z_p) i wzmocnienia k obiektu.

Z powy
szych rozwa
a wynika prosty algorytm postpowania przy projektowaniu regulatora uamkowego rzdu opisanego transmitancj operatorow (5) przy zadanym zapasie moduu A_m i zapasie fazy I_m.

Algorytm postpowania:

Krok 1. Rozwizujemy nieliniowe równanie (13) i wyznaczamy liczb rzeczywist D.

Krok 2a. Obliczamy pulsacj odcicia moduu z drugiego ze wzorów (11) i wzmocnienie k_c regulatora wyznaczamy ze wzoru (14).

Krok 2b. Obliczamy pulsacj odcicia fazy z drugiego ze wzorów (9) i wzmocnienie k_c regulatora wyznaczamy ze wzoru (14).

Krok 3. Transmitancj operatorow projektowanego regulatora wyznaczamy ze wzoru (5). 4. PRZYK
AD

Wemy pod uwag ukad regulacji automatycznej o schemacie pokazanym na rysunku 1, przy czym obiekt regulacji jest opisany transmitancj operatorow

G s s s e s ( ) . (  ) .  0 55 1 62 10 (15) Nale
y wyznaczy parametry transmitancji regulatora (5) tak, aby ukad zamknity mia

zapas moduu A_m 4 (ok. 12dB) i zapas fazy I_m 55D (ok. 0.9599rad). W rozpatrywanym przypadku mamy: k 055. ; W 62; h 10.

Syntez regulatora przeprowadzimy korzystajc z podanego algorytmu postpowania. Krok 1. Rozwizujc równanie (13) otrzymamy D 0134. .

Krok 2a. Obliczamy pulsacj odcicia moduu z drugiego ze wzorów (11) i otrzymamy Zg 01 0 866 0 5. ( . ˜ . S0 9599. ) 0 04. . Ze wzoru (14) mamy kc 0 55 g 0 0472

1

. ZD . .

Krok 2b. Obliczamy pulsacj odcicia fazy z drugiego ze wzorów (9) i otrzymamy Zp 0 1 0 866. ˜ . S/2 0 136. . Ze wzoru (14) mamy kc ZD 1p /kAm 0 0472. .

Krok 3. Transmitancja operatorowa projektowanego regulatora ma zatem posta

C s s s s s ( ) . (_.  ) . § _.  . . ©¨ ·¹¸ 0 0472 1 62 0 0472 1 62 0 134 0 134 0 8660 (16)

Sprawdzimy teraz zaprojektowany ukad regulacji automatycznej w dziedzinie czstotliwoci oraz czasu.

Wyznaczajc transmitancj operatorow oraz transmitancj widmow ukadu otwartego otrzymamy odpowiednio K s C s G s kk e s s e c sh s ( ) ( ) ( ) ._. ,    D 1 1134 10 0 026 (17) K j j e K j e j j K j ( ) . ( ). | ( )| , arg ( ) Z Z Z Z Z  0 026 1134 10 (18) gdzie | (K jZ)| ._. , Z 0 026 1134 arg (K jZ) . . S _Z 1134  2 10 (19)

Obliczajc pulsacje odcicia moduu i fazy oraz zapas stabilnoci odpowiednio otrzymamy Zg 0 026 0 0400 1 1134 . / . . , Z_p 0 05 2 1134. (  . )S 0 136. , A_m 1 K j _p p 0 026 4 0037 1134 /| ( )| . . , . Z Z Im S arg (K jZg) 55 0217. D.

Zauwa
my,
e obliczone wartoci zapasu moduu oraz zapasu fazy ró
ni si nieco od zadanych. Wynika to z dokadnoci numerycznego rozwizania nieliniowego równania (13) przy obliczaniu wartoci parametru D.

Logarytmiczne charakterystyki moduu i fazy rozpatrywanego ukady z regulatorem (16) s pokazane na rysunku 3. Na tym rysunku kókami ("o") zaznaczono pulsacj odcicia moduu i fazy za pionowymi odcinkami linii prostych zaznaczono zapas moduu oraz zapas fazy.

-3 -2 -1 -0.5 -20 0 20 40 logZ 20 log|K j( Z)| -3 -2 -1 -0.5 -6 -4 -2 0 logZ argK j( Z) S

Rys. 3. Charakterystyki czstotliwociowe ukadu otwartego z regulatorem (16)

Charakterystyki skokowe zaprojektowanego ukadu regulacji automatycznej, wyznaczone w drodze symulacji dla kilku wartoci wspóczynnika wzmocnieni k obiektu, s pokazane na rys. 4. Przypomnijmy,
e uamkowy regulator by projektowany dla wzmocnienia k = 0,55, któr mo
na nazwa wartoci nominaln. Wyznaczona nominalna charakterystyka skokowa ma przeregulowanie ok. 30  za czas regulacji wynosi ok. 150 s. Dla wikszych wartoci wzmocnienia ukadu otwartego (badano zmian wartoci wzmocnienia do 0,7) przeregulowanie nieznacznie wzrasta, przy czym dla k = 0,7 wynosi ono ok. 35  za czas regulacji prawie nie ulega zmianie. Warto przeregulowania nieznacznie te
wzrasta dla wartoci wspóczynnika wzmocnienia ukadu otwartego mniejszych od wartoci nominalnej (badano zmian wartoci wzmocnienia do k = 0,3) przy czym jednoczenie wzrasta te
czas regulacji.

Analizowany ukad zamknity by te
badany w pracy [2], przy czym obiekt regulacji by tam czonem inercyjnym pierwszego rzdu z opónieniem o takich samych wartociach parame-trów jak czon (15) za zaprojektowany regulator uamkowego rzdu mia posta C s( ) / , s gdzie C s( ) ma posta (16). W takiej sytuacji transmitancja ukadu otwartego otrzymana w [2]

jest taka sama jak w niniejszym przykadzie i ma posta (17). Do bada symulacyjnych w pracy [2] zamiast czonu opóniajcego zastosowano aproksymacj Pade drugiego rzdu. Spowodowao to,
e wyznaczone charakterystyki skokowe ukadu zamknitego dla wartoci wzmocnienia ukadu otwartego k[ . , . ]015 0 94 miay prawie stae przeregulowanie rzdu kilku procent (a wic du
o mniejsze od otrzymanych w wyniku symulacji bez aproksymacji czonu opóniajcego). 0 100 200 300 400 500 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 charakterystyki skokowe czas t k 0 3. k 0 55. k 0 7.

Rys. 4. Charakterystyki skokowe ukadu zamknitego

5. UWAGI KOCOWE

W pracy rozpatrzono problem projektowania regulatora uamkowego rzdu zapewniajcego zadany zapas stabilnoci ukadu zamknitego w przypadku, gdy obiekt regulacji jest rzeczywistym czonem cakujcym z opónieniem o transmitancji operatorowej (1). Zaproponowano metod projektowania polegajc na takim doborze transmitancji regulatora, aby transmitancja ukadu otwartego miaa posta podobn do idealnej transmitancji Bodego (2). W analizowanym przypadku nie jest mo
liwe (ze wzgldu na opónienie na wejciu obiektu) otrzymanie postaci (2) transmitancji ukadu otwartego. Dlatego te
przyjto posta (4) jako transmitancj odniesienia ukadu otwartego. Wtedy transmitancja regulatora ma posta (3) (lub (5)). Podano komputerow metod i sposób postpowania przy wyznaczania parametrów tego regulatora przy zadanym zapasie moduu A_m i zadanym zapasie fazy I_m. Rozwa
ania zilustrowano przykadem syntezy regulatora. Przeprowadzono badania symulacyjne w rodowisku systemu Matlab/Simulink. Potwierdziy one spenienie wymaga projektowych.

Proponowana metoda syntezy uamkowego regulatora dla obiektu (1) jest uogólnieniem metody podanej w pracy [2] w przypadku obiektu inercyjnego pierwszego rzdu z opónieniem.

* * *

Praca naukowa finansowana ze rodków Komitetu Bada Naukowych w latach 2007-2010 jako projekt badawczy nr N N514 1939 33.

LITERATURA

1. Barbosa R. S., Machado J. A., Ferreira I. M.: Tuning of PID controllers based on Bode's ideal transfer function. Nonliner Dynamics, 2004, vol. 38, pp. 305-321.

2. Boudjehem B., Boudjehem D., Tebbikh H.: Simple analytical design method for fractional-order controller. Proc. 3-rd IFAC Workshop on Fractional Differentiation and its Applications, Ankara, Turkey, 2008 (CD-ROM).

3. Busowicz M.: Frequency domain method for stability analysis of linear continuous-time fractional systems. W: Malinowski K., Rutkowski L.: Recent Advances in Control and Automation, Academic Publishing House EXIT, Warszawa 2008, pp. 83-92.

4. Busowicz M.: Stabilno liniowych cigych ukadów uamkowych rzdu wspómiernego. Pomiary Automatyka Robotyka, 2 (2008), str. 475-484 ( CD-ROM). 5. Busowicz M.: Robust stability of convex combination of two fractional degree

charac-teristic polynomials. Acta Mechanica et Automatica, 2008, vol. 2, No. 2, pp. 5-10.

6. Busowicz M.: Stability analysis of linear continuous-time fractional systems of commensurate order. Journal of Automation, Mobile Robots and Intelligent Systems (w druku).

7. Busowicz M., Kalinowski T.: Odporna stabilno liniowego cigego ukadu uamkowego rzdu wspómiernego o funkcji charakterystycznej zale
nej liniowo od jednego niepewnego parametru. Pomiary Automatyka Robotyka, 2 (2008), str. 465-474. 8. Das. S.: Functional Fractional Calculus for System Identification and Controls. Springer,

Berlin 2008.

9. Monje C. A., Calderon A. J., Vinagre B. M., Chen Y., Feliu V.: On fractional PI controllers: some tuning rules for robustness to plant uncertainties. Nonliner Dynamics, 2004, vol. 38, pp. 369-381.

10. Ostalczyk P.: Zarys rachunku ró
niczkowo-cakowego uamkowych rzdów. Teoria i zas-tosowania w automatyce. Wydawnictwo Politechniki ódzkiej, ód 2008.

11. Podlubny I.: Fractional order systems and fractional order controllers. The Academy of Sciences Institute of Experimental Physics, Kosice, Slovalk Republic, 1994.

12. Podlubny I.: Fractional Differential Equations. Academic Press, San Diego 1999.

13. Podlubny I.: Fractional-order systems and PID-controllers. IEEE Trans. Autom. Control, 1999, vol. 44, No. 1, pp. 208-214.

14. Kilbas A. A., Srivastava H. M., Trujillo J. J.: Theory and Applications of Fractional Differential Equations. Elsevier, Amsterdam 2006.

15. Sabatier J., Agrawal O. P., Machado J. A. T. (Eds): Advances in Fractional Calculus, Theoretical Developments and Applications in Physics and Engineering. Springer, London 2007.

16. Valerio D., da Costa J. S.: Tuning of fractional PID controllers with Ziegler-Nichols type rules. Signal Processing, 2006, vol. 86, pp. 2771-2784.

17. Vinagre B. M., Monje C. A., Calderon A. J.: Fractional order systems and fractional order control actions. Lecture 3 of IEEE CDC’02 TW#2: Fractional Calculus Applications in Automatic Control and Robotics, 2002, Las Vegas.

18. Zhao Ch., Xue D., Chen Y.-Q.: A fractional order PID tuning algorithm for a class of fractional order plant. Proc. IEEE Intern. Conf. on Mechatronics & Automation, Niagara Falls 2005, Canada, pp. 216-221.