Jednowymiarowe problemy rozproszeniowe
28 pa´zdziernika 2020
1
opis metody
Problem rozpraszania na podwójnej barierze rozwi ˛a˙zemy metod ˛a ró˙znic sko´nczonych. Przyjmiemy krok siatki ∆x = 0.5 nm. Szeroko´s´c bariery i odległo´s´c mi˛edzy barierami b˛edzie wielokrotno´sci ˛a ∆x. Dajmy na obszarze mi˛edzy barierami (l) 100 oczek siatki. Na obszar bariery dajmy po 20 oczek siatki. Za barier ˛a i przed barier ˛a dajmy po 100 oczek siatki. W barierze przyjmujemy potencjał V (x) = 20 meV, poza barier ˛a V (x) = 0.
Przyj ˛a´c m = 0.067m0. Energia elektronu E = h¯
2q2
2m zwi ˛azana jest z wektorem
falowym q w obszarze gdzie potencjał jest równy zero (q = q
2mE/¯h2).
Elektron pada na barier˛e z lewej strony. Na lewo od bariery mamy fale padaj ˛ac ˛a i odbit ˛a, Ψ<= A exp(iqx) + B exp(−iqx), a za praw ˛a barier ˛a tylko fal˛e, któr ˛a przeszła
Ψ> = E exp(iqx).
Na ostatnim punkcie siatki xostmamy prawo przyj ˛a´c, Ψx>l(xost) = 1. Wtedy, z
formy funkcji falowej za barier ˛a wiemy, ˙ze Ψ>(xost− ∆x) = exp(−iq∆x).
Całku-jemy zdyskretyzowane równanie Schrödingera HΨ = EΨ od prawej strony do lewej Ψ(x − ∆x) = −2m¯h2(E − V (x))∆x
2
Ψ(x) − Ψ(x + ∆x) + 2Ψ(x).
Do okre´slenia prawdopodobie´nstwa przej´scia i odbicia musimy zna´c A oraz B. By wyznaczy´c wybieramy dwa s ˛asiednie punkty x1oraz x2, skrajne dwa na siatce po
lewej stronie (rysunek). Zapisujemy układ równa´n
Ψ1 = A exp(iqx1) + B exp(−iqx1), (1)
Ψ2 = A exp(iqx2) + B exp(−iqx2), (2)
(3)
gdzie Ψ1oraz Ψ2to warto´sci funkcji falowej na ostatnich punktach siatki. Rozwi ˛azanie
układu równa´n: A = Ψ1eiqx1−Ψ2eiqx2
(eiqx1)2−(eiqx2)2,
B = −(−Ψ2e
iqx1+eiqx2Ψ
1)eiqx1 +iqx2
(eiqx1)2−(eiqx2)2 . Prawdopodobie´nstwo odbicia, R =
|B|2
|A|2 oraz
przej´scia T = |A|12.
2
funkcja falowa
We´zmy E = 7 meV. Narysowa´c moduł z funkcji falowej i potencjał. 20 pkt Poli-czy´c A i B z powy˙zszych wzorów i odtworzy´c funkcj˛e Ψ<. Dorysowa´c jej moduł na
poprzednim rysunku. 20 pkt
3
T(E),R(E)
Narysowa´c T (E) oraz R(E) dla E ∈ [0, 50meV]. Pełen wykres dla T ∈ [0, 1] oraz zoom na zakres T ∈ [0.9, 1] . 40 pkt
4
rezonanse
Narysowa´c moduł z funkcji falowych dla czterech najni˙zszych warto´sci energii, przy których T (E) = 1. 20 pkt
