DYFRAKCJA NA POJEDYNCZEJ I PODWÓJNEJ SZCZELINIE

DYFRAKCJA NA POJEDYNCZEJ I PODWÓJNEJ SZCZELINIE

I. Cel ćwiczenia: zapoznanie ze zjawiskiem dyfrakcji światła na pojedynczej i podwójnej szczelinie. Pomiar długości fali światła laserowego i szerokości pojedyn- czej szczeliny.

II. Przyrządy: laser LG 200 (λ = 632,8 nm), zestaw szczelin pojedynczych i podwójnych, ekran, miarka milimetrowa.

III. Literatura 1. D. Resnick, R. Holliday Fizyka, t.II.

2. F. C. Crawford Fale,

IV. Wstęp

Dyfrakcja jest to zjawisko polegające na uginaniu się promieni świetlnych przechodzących w pobliżu przeszkody, takiej jak np. brzeg szczeliny. Rysunek 1a pokazuje ogólny przypadek tzw.

dyfrakcji Fresnela, tzn. takiej, gdy źródło światła i ekran , na którym pojawia się obraz dyfrakcyj- ny, znajdują się w skończonej odległości od otworu, powodującego ugięcie. Czoła fal padających na otwór uginający i fal które po przejściu przez ten otwór oświetlają jakiś punkt P na ekranie, nie są płaskie. Odpowiednie promienie nie są równoległe.

Sytuacja upraszcza się, gdy źródło światła S i ekran C odsuwamy na duże odległości od otwo- ru uginającego, jak na rysunku 1b. Ten graniczny przypadek zwany jest dyfrakcją Fraunhofera.

S •

a)

b)

bardzo odległe źródło

bardzo odległy ekran

L

P

B

ekran

Rys.1 Warunki do wystąpienia dyfrakcji Fresnela a) i dyfrakcji Fraunhofera b).

C

Czoła fal padających na otwór uginający z odległego źródła są płaszczyznami a odpowiadające im promienie są do siebie równoległe. Podobnie czoła fal padających na jakiś punkt P na odległym ekranie C są płaskie.

Nałożenie się na siebie dwóch fal o tej samej częstości i stałej różnicy fazy (czyli spójnych) poruszających się w przybliżeniu w tym samym kierunku, powoduje, że ich energia nie jest rozło- żona w przestrzeni równomiernie, lecz jest maksymalna w pewnych punktach i minimalna w in- nych. Takie zjawisko nazywa się interferencją.

Ze względów historycznych obraz natężeń wytworzony przez nakładające się przyczynki ze skończonej liczby dyskretnych, spójnych źródeł zwany jest zwykle obrazem interferencyjnym, a obraz natężeń wytworzony przez nakładające się przyczynki z „ciągłego” rozkładu spójnych źró- deł, zwany jest zwykle obrazem dyfrakcyjnym.

Za dużą odległość szczeliny od ekranu uważa się taką, która spełnia warunek

2 2

1Dcos ) (

Lλ>> θ praktycznie Lλ >> D² (1)

gdzie L – odległość szczeliny od ekranu D – szerokość szczeliny

λ − długość fali świetlnej padającej na szczelinę.

Warunki do wystąpienia dyfrakcji Fraunhofera można zrealizować w laboratorium, używając jako źródła światła lasera i soczewki skupiającej (jeśli nie jest spełniony warunek (1)), która sprawia, że fale płaskie opuszczające otwór dyfrakcyjny skupiają się w punkcie P. Przedmiotem dalszych rozważań będzie tylko dyfrakcja Fraunhofera.

V. Dyfrakcja na pojedynczej szczelinie

Rysunek 2 przedstawia szczelinę o szerokości D podzieloną na N równoległych pasków o szero- kości ∆x. Każdy pasek jest źródłem fal kulistych Huygensa i wytwarza określone zaburzenie falo- we w punkcie P, którego położenie na ekranie można opisać za pomocą kąta θ.

∆ x

θ D θ

soczewka

ekran

P

Po

B

Rys.2 Szczelina o szerokości D podzielona na N pasków każdy o szerokości ∆x.

θ

∆ sinx

∆ x θ B

Jeżeli paski są dostatecznie wąskie, to wszystkie punkty na pasku mają w zasadzie te same długo- ści dróg optycznych do punktu P, a zatem całe światło z danego paska po dotarciu do P będzie miało tę samą fazę. Amplitudy ∆E_o natężenia pola elektrycznego w punkcie P pochodzące z róż- nych pasków można przyjąć za jednakowe, jeśli kąt θ nie jest zbyt duży. Natężenie pola elektrycz- nego E charakteryzuje zaburzenie falowe docierające do danego punktu ekranu.

Zaburzenia falowe pochodzące od sąsiednich pasków mają stałe różnice faz ∆ϕ dane wzorem

czyli

θ λ ∆

= π ϕ

∆ 2 xsin

(2) (różnica drogi = ∆x⋅sinθ).

Znajdźmy amplitudę E_θ wypadkowego zaburzenia falowego dla różnych wartości ∆ϕ (tj. dla róż- nych punktów P na ekranie odpowiadających różnym wartościom θ). W tym celu przedstawiamy poszczególne zaburzenia za pomocą odpowiednich wektorów i obliczamy amplitudę wypadkowe- go wektora.

Krzywa na rys.3 utworzona jest z wektorów, przedstawiających amplitudy zaburzeń falowych, jakie dochodzą do dowolnego punktu na ekranie odpowiadającego dowolnemu kątowi θ. Jeśli szczelinę podzielimy na nieskończoną ilość pasków o szerokości dx, to krzywa z rys.3 będzie zbli- żała się do łuku koła, którego promień R pokazany jest również na rysunku. Długość tego łuku wynosi E_o, czyli równy jest amplitudzie w środku obrazu dyfrakcyjnego, gdyż w środku tego ob- razu wszystkie zaburzenia falowe są zgodne w fazie i łuk ten staje się linią prostą.

Kąt ϕ w dolnej części rysunku 3 jest więc różnicą fazy między nieskończenie małymi wekto- rami leżącymi na lewym i na prawym krańcu łuku E_o. Oznacza to, że ϕ jest różnicą fazy między promieniami wychodzącymi z prawej i lewej strony szczeliny na rys.2 (rysunek przedstawia prze- krój poziomy).

Z rozważań geometrycznych wynika, że ϕ

θ = 2

sin1

R 2

E (3)

W mierze łukowej kąt ϕ wynosi, jak widać z rysunku 3

= ϕ

⇒

=

ϕ ^o E^o

R R

E Stąd otrzymujemy

różnica fazy

2π = różnica drogi λ

Eo

∆E_o Eθ

ϕ α α

R

R

ϕ

Rys.3 Konstrukcja, która służy do obliczenia natężenia fali w pewnym punkcie ekranu w przypadku dyfrakcji na jednej szczelinie.

ϕ

= ϕ

θ

2 1

2 1 osin

E E (4)

Ponieważ ϕ jest różnicą faz między promieniami wychodzącymi z dwu krańców, a różnica długo- ści tych promieni wynosi Dsinθ, więc (wzór (2))

λ θ

= π

ϕ 2 Dsin Wyrażenie (4) można zapisać w postaci

α

= α

θ

E sin

E _o (5)

gdzie

λ θ

= π ϕ

=

α Dsin

2

1 (6)

Natężenie światła I_θ jest proporcjonalne do kwadratu amplitudy E_θ natężenia pola elektrycznego czyli

2 o

I sin

I 



 



 α

= α

θ (7)

Wyrażenie (7) przyjmuje wartość minimalną dla π

±

=

α n n = 1, 2, 3, …

Uwzględniając (6) otrzymujemy warunek na minima dyfrakcyjne λ

±

= θ

⋅sin n

D n = 1, 2, 3, … (8)

Dla małych kątów sinθ≈θ i wówczas położenie pierwszego minimum dyfrakcyjnego określone jest przez zależność

D

±λ

=

θ (8a)

Znajdźmy położenia i natężenia dalszych maksimów dyfrakcyjnych. W przybliżeniu leżą one w środku między sąsiednimi minimami a więc w punktach dla których

π



 

 +

±

≈

α 2

n 1 (9)

tzn. (po uwzględnieniu (6))

λ



 

 +

±

≈

⇒

π



 

 +

± λ ≈

π

2 n 1 Dsinθ 2 n 1

Dsinθ (10)

Podstawiając (9) do równania (7) otrzymamy w rezultacie

(

)

o n

1 I

) ( I

π

= +

θ gdyż sin²(n+ ₂¹)π=1 (11)

Stąd otrzymujemy, że dla n = 1, 2, 3, … stosunek I(θ)/I_o = 0,045, 0,016, 0,0083 itd. A więc natę- żenia maksimów bardzo szybko maleją.

Rysunek 4 pokazuje krzywe I_θ dla różnych wielkości stosunku D/λ. Obraz staje się coraz bardziej wąski, gdy D/λ wzrasta (przy λ = const. odpowiada to szerszej szczelinie).

VI. Dyfrakcja na podwójnej szczelinie

Schemat doświadczenia dyfrakcji na dwóch szczelinach przedstawia rysunek 5. Równoległa wiązka światła z lasera 1 (padająca fala płaska) oświetla przesłonę z bardzo wąskimi szczelinami S₁ i S₂.

Szerokość każdej szczeliny wynosi D, a odległość między ich środkami jest d. Zgodnie z zasadą Huygensa, powierzchnia każdej szczeliny staje się źródłem wtórnych fal tj. światło ulega dyfrakcji na każdej szczelinie. Ugięte fale są spójne, ponieważ powstały z czoła padającej fali płaskiej i w wyniku interferencji na ekranie 3 możemy obserwować obraz interferencyjny (przy spełnieniu warunku (1)).

Rys.4

Załóżmy, że składowe pola elektrycznego dwu fal wychodzących ze szczelin S1 i S2 zmie- niają się w czasie w punkcie P następująco

t sin E E₁ = _o ω

) t sin(

E

E₂ = _o ω +ϕ′ (12)

gdzie ω (= 2πν) jest częstością kołową fal, ϕ′ − różnicą faz między nimi wynikającą z różnicy dróg optycznych. Zauważmy, że ϕ′ zależy od położenia punktu P, które z kolei przy ustalonej geometrii doświadczenia, opisywane jest przez kąt θ (rys. 5). Przyjmijmy też, że szczeliny są tak wąskie, że światło ugięte na każdej z nich oświetla środkową część ekranu równomiernie. Znaczy to, że E_o w pobliżu środka ekranu nie zależy od położenia punktu P, a zatem od θ.

Wypadkowe natężenie pola w punkcie P jest równe

) t sin(

E t sin E E E

E= ₁+ ₂ = _o ω + _o ω +ϕ′ (13)

Po wykonaniu odpowiednich przekształceń trygonometrycznych otrzymamy )

t sin(

E

E= _θ ω +β (14)

gdzie Eθ jest amplitudą wypadkowego natężenia pola, która jest równa β

= ϕ′

θ =2E cos 2E cos

E _{o 2}¹ _o (15)

ϕ′

=

β 2

1 (16)

(przekształcenia prowadzące do zależności (15) można znaleźć w D. Halliday, R. Resnik – Fizyka, tom 1, rozdział 19-7 Interferencja fal)

Różnica fazy ϕ′ wiąże się z różnicą dróg promieni r1 i r2 (rys.5), która wynosi ∆=dsinθ. Z podobnej relacji jak w przypadku wzoru (2) można znaleźć różnicę fazy ϕ′

λ θ

= π

ϕ′ 2 dsin

(17) S₁

S2

θ

θ

r2

r1

L

P

Po

1

2

3 laser

przesłona

ekran

∆

∆

∆

∆ = d⋅⋅⋅⋅sinθθθθ θθθθ

d

Rys.5 Dyfrakcja na dwóch szczelinach

λ θ

= π ϕ′

=

β dsin

2

1 (17a)

Ponieważ natężenie I fali płaskiej i monochromatycznej jest proporcjonalne do kwadratu amplitu- dy, to dla powstałej fali ugiętej mamy

ϕ′

=

=

=I_θ kE_θ² k4E_o²cos² ₂¹

I (18)

gdzie k jest współczynnikiem proporcjonalności.

Gdyby ekran oświetlała tylko jedna szczelina natężenie fali wynosiłoby

o 2 o 2

1 I kE I

I = = =

Uwzględniając ostatnią zależność wyrażenie (18) można przedstawić w postaci ϕ′

= ϕ′

θ = int 221

m 2

21 o

int 4I cos I cos

I (18a)

Z zależności (18a) wynika, że natężenie fali wypadkowej w maksimach od dwu wąskich szczelin jest czterokrotnie większe od tego, jakie wytworzyłaby pojedyncza szczelina.

Maksima interferencyjne wystąpią dla tych kątów, dla których cos² ₂¹ϕ′ we wzorze (18a) wynosi 1, czyli

π

±

=

ϕ′ n

2 1

Uwzględniając (17) otrzymujemy warunek na maksima interferencyjne zwane głównymi λ

±

=

θ n

sin

d n = 0, 1, 2, … (19)

Dla zakresu małych kątów sinθ≈θ wówczas położenie maksimów wyznacza zależność ndλ

±

=

θ (19a)

Minima wystąpią dla tych kątów, dla których ₂¹

ϕ′ = ± ( n +

) π

λ



 

 +

±

=

θ 2

n 1 sin

d , n = 0, 1, 2, … (20)

a dla sinθ≈θ mamy

d 2

n 1 λ



 

 +

±

=

θ (20a)

Ze względu na to, że fale uginające się na każdej ze szczelin dają na ekranie pod różnymi kątami θ drgania o różnych amplitudach (gdy nie jest spełniony warunek wąskich szczelin, D <<λ) natężenie światła w maksimach interferencyjnych będzie zależało od położenia na ekranie. Aby to uwzględnić trzeba wziąć pod uwagę wygląd obrazu dyfrakcyjnego pojedynczej szczeliny o szero- kości D (patrz punkt V, wzór (7)). Rzeczywisty rozkład natężenia światła na ekranie otrzymamy, gdy stałą amplitudęI w równaniu (18a) zastąpimy zmienną amplitudą ^int_m I , której zależność od ^θ_m kąta θ dana jest równaniem (7). Otrzymamy wówczas następujące wyrażenie na wypadkowe natę- żenie obserwowane na ekranie

 ϕ′







 ϕ

= ϕ ϕ′

= ^θ

θ 2

2 1 2

2 1 2 1 2 m

21

m sin cos

I cos

I

I (21)

gdzie θ

λ

= π

ϕ′ 2 dsin

, θ

λ

= π

ϕ 2 Dsin .

W ostatnim wzorze (21) opuszczono wskaźnik związany z interferencją (int).

Czynnik cos² ₂¹ϕ′ zwany czasem interferencyjnym daje szybką zależność natężenia od kąta θ, charakterystyczną dla dwu szczelin. Czynnik (sin₂¹ϕ/¹₂ϕ)²daje modulację związaną z szerokością szczeliny (tzw. czynnik dyfrakcyjny). Efekt modulacji pokazuje rysunek 6.

W zakresie małych kątów θ, odległość kątowa między dwoma pierwszymi minimami dyfrak- cyjnymi leżącymi po prawej i lewej stronie punktu 0 (patrz rys.6 i wzór (8a)) wynosi

D 2

1 1 dyf

= λ θ

− θ

= θ

∆

= θ

∆ ₋ (22)

W płaszczyźnie ekranu odpowiadająca kątowi ∆θ_dyf odległość liniowa ∆x wynosi D L

x 2λ

=

∆ (22a)

gdzie L jest odległością ekranu od szczelin.

I θ

θdyf

∆

λ

= 5 D

θ 0

I θ

λ

= 10 D

0 θ

I θ ^inf

θ

∆

θinf

∆

λ

= D

θ 0

Rys.6 Rozkład natężeń światła w obrazach interferencyjnych dla układu dwóch szczelin (różne szerokości pojedynczych szczelin). Odległość wzajemna d szczelin na rysun- kach a), b), c) jest taka sama. Linią przerywaną zaznaczono rozkład natężenia w płasz- czyźnie obrazu, pochodzący od jednej szczeliny (gdy zasłonić drugą szczelinę).

a)

c) b)

Zerowe maksimum dyfrakcyjne jest tym szersze im węższa jest szczelina oraz im większa jest długość fali świetlnej.

Wykorzystując zależność (19a) otrzymujemy szerokość kątową maksimów głównych (interferen- cyjnych)

1 d

n n int

= λ θ

− θ

= θ

∆ ₋ (23)

Jeśli przez x′∆ oznaczymy odległość liniową na ekranie między sąsiednimi maksimami (lub mi- nimami), to będzie ona równa

Ld

x λ

′=

∆ (23a)

Między dwoma pierwszymi minimami dyfrakcyjnymi powstanie k maksimów interferencyjnych D

d 2 x

k x

int dyf = θ

∆ θ

= ∆

∆ ′

= ∆ (24)

Jeżeli n–te minimum interferencyjne pokrywa się z pierwszym minimum dyfrakcyjnym tzn., że mamy

int n min, dyf

1 =θ

θ

d 2 n 1 D

λ



 

 + λ =

dyf

θ − położenie kątowe pierwszego minimum dyfrakcyjnego, 1 int

n

θmin, − położenie kątowe minimum głównego n–tego rzędu,

to wówczas liczba zaobserwowanych maksimów interferencyjnych wyrażona przez stosunek odle- głości dwóch szczelin i ich szerokość lub przez n-ty rząd maksimum interferencyjnego wyniesie (przy uwzględnieniu wzoru (24))

1 n D 2

d

k=2 = + (25)

W ogólnym przypadku relacja podająca związek między szerokością D pojedynczej szczeliny, odległością d szczelin i obserwowaną liczbą k maksimów interferencyjnych w obszarze głównego maksimum dyfrakcyjnego nie jest dana równością (25). Stosunek 2d/D może być bowiem dowol- ną liczbą, niekoniecznie całkowitą i nieparzystą. Znając z obserwacji liczbę maksimów k, stosunek 2d/D można tylko oszacować:

D k 2 2d

k− < ≤ (26)

VI. Układ pomiarowy i metoda pomiarów.

Zestaw do ćwiczenia składa się ze źródła światła spójnego (laser), z zestawu szczelin poje- dynczych i podwójnych, ekranu (patrz rys. 7).

Płytka ze szczelinami jest umieszczana w uchwycie znajdującym się na koniku na ławie optycznej. Obraz interferencyjny obserwuje się na ekranie.

Przy pomocy zestawu doświadczalnego z rysunku 7 można wyznaczyć : 1) długość fali λ światła laserowego,

2) liczbę k maksimów interferencyjnych występujących w obrębie głównego maksimum dy- frakcyjnego,

3) szerokość D pojedynczej szczeliny.

Rys. 7 Układ pomiarowy z laserem i ekranem.

ad 1. Długość fali λλλλ

Ze wzoru (23) odległość kątowa pojedynczego maksimum interferencyjnego wynosi

int d

= λ θ

∆ (27)

Z drugiej strony ta odległość kątowa może być obliczona z zależności 1

k

n

int ′−

θ

= ∆ θ

∆ ^′

gdzie ∆θ_n′ jest odległością kątową między skrajnymi maksimami rzędu ± , między którymi n′

dokonuje się pomiarów (n ≤′ n),

k′ − liczba maksimów występujących w obrębie mierzonego odcinka ekranu ∆x_n′. Z regu- ły liczba k′ nie jest równa maksymalnej liczbie obserwowanych maksimów k),

xn_′

∆ − odległość liniowa między skrajnymi maksimami, dla których dokonywano pomiaru odległości (rys.7 i rys.8b).

Ponieważ

L θ_n′ =∆x^n′

∆ , to

) 1 k ( L

x_n

int ⋅ ′−

= ∆ θ

∆ ^′ (28)

Ze wzorów (27), (28) wynika równość ich prawych stron, a stąd dostaniemy

(

)

L

∆x

d _n

−

′

⋅

= ⋅

λ ^′ . (29)

ad 2. Liczba maksimów k

Obserwowana liczba maksimów zawsze będzie liczbą nieparzystą. Gdy wszystkie maksima mają równą szerokość, to wartość stosunku szerokości D szczeliny i wzajemnej odległości d speł- nia warunek (25):

n′

D k

2d = gdzie k = 3, 5, 7, ….

Stosunek 2d/D może być jednak dowolną liczbą rzeczywistą większą od 1 i wówczas liczbę ocze- kiwanych maksimów ustalimy w sposób następujący. Oznaczmy część całkowitą stosunku 2d/D przez p. Wówczas:

a) Jeśli stosunek D

d

2 jest równy dokładnie całkowitej nieparzystej liczbie (3, 5, 7..), to tyle równej szerokości maksimów interferencyjnych spodziewamy się zaobserwować (gdy ta liczba jest równa 1, to dwie szczeliny równej szerokości stanowią jedną szczelinę o szerokości 2D).

b) Jeśli część całkowita p jest liczbą nieparzystą (czyli p = 2n+1 dla n = 0, 1, 2, 3,…), ale istnieje również część ułamkowa stosunku, to liczba spodziewanych maksimów jest równa k = p + 2 . c) Jeśli część całkowita p jest liczbą parzystą (czyli p = 2n dla n = 1, 2, 3,…), to liczba oczekiwa-

nych maksimów wynosi k = p + 1.

W przypadkach b) i c) krańcowe prawe i lewe maksima mają szerokość mniejszą niż pozostałe (patrz Uzupełnienie strona 14).

ad 3. Szerokość D pojedynczej szczeliny Ze wzoru (22) wynika, że

D 2

dyf

= λ θ

∆

Z drugiej strony szerokość zerowego maksimum dyfrakcyjnego jest równa:

L x

dyf

= ∆ θ

∆ Stąd

x L D 2

D

2λ L

∆x

∆

⋅ λ

= ⋅

⇒

= (30)

VII. Wykonanie ćwiczenia

1. Włożyć płytkę z 4 pojedynczymi szczelinami o znanych szerokościach D w odpowiedni uchwyt umieszczony na koniku na ławie optycznej. Oświetlić szczelinę światłem lasera, regulując w razie konieczności położenie szczeliny względem wiązki światła laserowego (w poziomie i w pionie).

Opis użytych płytek ze szczelinami:

NO SLITS – liczba szczelin (1 lub 2),

SLIT WIDTH – szerokość szczeliny (w tekście instrukcji jest to D), SLIT SPACE – odległość szczelin (w tekście instrukcji jest to d).

2. Zmierzyć na ekranie odległość ∆x między dwoma minimami leżącymi po obu stronach zerowe- go maksimum dyfrakcyjnego dla każdej z czterech pojedynczych szczelin (rys.7 i rys.8a). Wy- niki pomiarów zapisać w tabeli 1.

Tabela 1 Szczelina A

D = 0,02 mm

Szczelina B D = 0,04 mm

Szczelina C D = 0,08 mm

Szczelina D D = 0,16 mm Odległość

liniowa ∆x [mm]

3. Zmierzyć odległość L ekranu od szczelin.

4. Włożyć płytkę z 4 układami szczelin podwójnych (układy szczelin podwójnych na płytce ozna- czono literami A, B, C, D). Najlepiej nie zmieniać odległości L ekranu od szczelin (pojemnika na szczeliny).

5. Policzyć liczbę kdośw wszystkich (dobrze i słabo widocznych) maksimów interferencyjnych występujących w obrębie zerowego maksimum dyfrakcyjnego dla każdego układu szczelin po- dwójnych (rys 8b). Tę informację proponuje się zapisać w pierwszym wierszu tabeli 2 w for- mie:

k równej szerokości + 2 wąskie (lub bardzo wąskie).

Jeśli nie zmieniono odległości L ekranu od szczelin, to nie zachodzi potrzeba pomiaru tej od- ległości ponownie. W przeciwnym przypadku trzeba zmierzyć nową odległość L.

6. Zmierzyć dla każdego układu szczelin podwójnych odległość liniową ∆x_n′ między skrajnymi dobrze widocznymi maksimami rzędu ± n′ (w obrębie zerowego maksimum dyfrakcyjnego).

Policzyć liczbę k′ maksimów występujących w obrębie mierzonej odległości ∆x_n′. Wyniki zapisać w tabeli 2.

Tabela 2

Układ A dwu szczelin D = 0,04 mm d = 0,250 mm

Układ B dwu szczelin D = 0,04 mm d = 0,500 mm

Układ C dwu szczelin D = 0,08 mm d = 0,250 mm

Układ D dwu szczelin D = 0,08 mm d = 0,500 mm Liczba mak-

simów kdośw

Odległość liniowa ∆x_n′

[mm]

Liczba mak- simów k′

∆x

xn_′

∆

n′− + n′

x

0 x

I Rys.8 a) Obraz dyfrakcyjny dla poje- dynczej szczeliny o szerokości D,

b) układ maksimów interferen- cyjnych obserwowanych na ekranie dla dwu szczelin o jed- nakowych szerokościach D.

a)

b)

VIII. Opracowanie wyników.

1. Obliczyć długość fali λ światła użytego w doświadczeniu ze wzoru (29). Obliczenia wykonać dla każdego układu szczelin podwójnych i obliczyć wartość średnią λ . Do obliczeń wykorzy- stać odległość szczelin d, odległość L ekranu od szczelin oraz wartości ∆x_n′, k′ z tabeli 2.

Porównać otrzymaną wartość długości fali z długością fali podaną dla użytego światła lasero- wego.

2. Porównać liczbę maksimów interferencyjnych, które pojawiają się w obrębie zerowego maksi- mum dyfrakcyjnego (kdośw w tabeli 2), z liczbą wynikającą z analizy ilorazu 2d/D (p-kt VI, pod- punkt ad.2) Liczba maksimów k).

3. Obliczyć szerokość D pojedynczej szczeliny dla każdej z czterech szczelin korzystając ze wzoru (30). Do obliczenia szerokości D wykorzystać wartość długości fali podaną dla użytego światła laserowego, odległość L oraz wartości x∆ zapisane w tabeli 1.

Porównać otrzymane wartości D z umieszczonymi przy szczelinach i sformułować wnioski.

4. Porównać obraz otrzymywany na ekranie przez układ szczelin podwójnych A z obrazem układu C oraz układ B z D (różne szerokości szczelin D, takie same ich odległości d). Porównać także obrazy układu A i B oraz C i D (takie same szerokości szczelin D, różne odległości d) i sformu- łować wnioski.

5. Obliczyć niepewność wyznaczenia długości fali λ:



 





′− + ′ + λ

±

= λ

∆

′

′

1 k

k

∆ L

∆L

∆x )

∆(∆x

n n

Niepewność wyznaczenia d przyjęto równą 0. Ocenić niepewność ∆(∆x_n′), ∆L, k∆ ′ . 6. Obliczyć niepewność wyznaczenia szerokości D szczelin:



 





λ λ + ∆ +

±

= ∆x

∆(∆x) L

D ∆L

∆D

Długość fali światła laserowego użytego w ćwiczeniu wynosi: λ = 632,8 nm.

Niepewność jaką jest obarczona podana długości fali światła lasera przyjąć równą:

∆λ = ∆_tλ = 1,0 nm.

Uwaga

Niepewnościami obarczone są również wyniki zaczerpnięte z literatury lub tablic fizycznych.

Jeśli brak jest jakiejkolwiek informacji o niepewności, przyjmujemy, że niepewność tablico- wa ∆∆∆∆tλλλλ jest równa 10 jednostkom ostatniego miejsca dziesiętnego.

UWAGA

Laser włączać tylko na czas przeprowadzania pomiarów.

Nie oświetlać oczu światłem laserowym.

Uzupełnienie

2 =9 D

d 2 =7

D d

2 =8 D

d

θ θ

θ I θ

I θ

I θ

0

0

0 a)

b)

c)

Rys.9 Rozkład natężeń światła dla układu dwóch szczelin. Na rysunkach a), b), c) szerokość szczelin D jest taka sama, natomiast odległość wzajemna d jest różna.

1. Gdy stosunek 2d/D jest dokładnie równy 7 (rys. 8a), to wówczas pierwsze minimum dyfrakcyj- ne pokrywa się z czwartym minimum interferencyjnym (n = 3).W obrębie głównego maksi- mum dyfrakcyjnego mieści się dokładnie k = 7 maksimów interferencyjnych równej szerokości.

2. Gdy 2d/D rośnie od 7 do 8, pojawiają się dodatkowo dwa skrajne maksima (prążki). Będzie ich więc teraz 9 szt. Początkowo te dwa nowe będą wąskie (a więc słabo widoczne) a przy stosun- ku 2d/D = 8 ich szerokość wyniesie połowę standardowej szerokości maksimów (rys. 8b).

3. Gdy 2d/D rośnie dalej od 8 do 9 obserwuje się w dalszym ciągu k = 9 maksimów (prążków), przy czym dwa skrajne stają się coraz szersze.

4. Gdy 2d/D = 9 (rys.9c) skrajne prążki osiągają szerokość pozostałych maksimów. Widocznych jest k = 9 maksimów jednakowej szerokości. Teraz pierwsze minimum dyfrakcyjne pokrywa się z piątym minimum interferencyjnym (n = 4).

Obserwowana liczba maksimów zawsze będzie liczbą nieparzystą. Gdy wszystkie maksima mają równą szerokość, to wartość stosunku szerokości D szczeliny i wzajemnej odległości d speł- nia warunek

D k

2d = gdzie k = 3, 5, 7, ….

Z analizy przedstawionego przykładu wynika, że możemy zaobserwować taką samą liczbę maksimów (chociaż nie wszystkie są jednakowej szerokości) przy różnym stosunku 2d/D. Z ilości obserwowanych maksimów nie można więc uzyskać jednoznacznej informacji o wartości stosun- ku 2d/D. Natomiast z analizy wartości tego stosunku można uzyskać informacje o liczbie maksi- mów możliwych do zaobserwowania (patrz punkt VI, ad 2. Liczba maksimów k, przypadki a), b), c)).

Przykład 1

d = 0,26 mm, D = 0,04 mm mm

04 0

mm 26 0 2 D 2d

,

⋅ ,

= = 13,0 k = 13 (przypadek a)).

Przykład 2

d = 0,225 mm, D = 0,04 mm 0,04mm

0,225mm 2

D

2d ⋅

= = 11,25, p = 11, k = p + 2 = 13 (przypadek b)).

Przykład 3

d = 0,20 mm, D = 0,04 mm mm

04 0

mm 20 0 2 D 2d

,

⋅ ,

= = 10,0 p = 10, k = p +1 = 11 (przypadek c)).