8 Ukªady i równania liniowe o staªych
wspóª-czynnikach
8.1 De nicja ukªadu równa« ró»niczkowych liniowych o
staªych wspóªczynnikach.
De nicja. Ukªadem n równa« ró»niczkowych zwyczajnych liniowych jednorod-nych o staªych wspóªczynnikach nazywamy ukªad
(ULSn) x0 = Ax,
gdzie A ∈ Rn×n.
8.2 Podstawowe wªasno±ci macierzy e
tANiech A = [aij]ni,j=1 b¦dzie macierz¡ o wyrazach zespolonych. W niniejszym
rozdziale kAk oznacza¢ b¦dzie norm¦
kAk := (
n
X
i,j=1
|aij|2)1/2.
Lemat 8.1. Dla dowolnych macierzy A, B ∈ Cn×n zachodzi
(8.1) kABk ¬ kAkkBk.
(Norm¦ na przestrzeni Cn×n speªniaj¡c¡ wªasno±¢ (8.1) nazywamy norm¡
macierzow¡1.) Dla A ∈ Cn×n i t ∈ R oznaczmy etA := ∞ X k=0 (tA)k k! = I + tA 1! + t2A2 2! + t3A3 3! + . . .
(zauwa»my »e macierz zerowa podniesiona do pot¦gi zero to I). etA b¦dziemy
czasem oznaczali exp (tA). Niekiedy spotyka si¦ te» zapis eAt, exp (At).
Jak na razie, w powy»szej de nicji mamy tylko formalny zapis. Nale»y udowodni¢, »e powy»szy szereg jest zbie»ny. B¦dzie to tre±ci¡ pierwszej cz¦±ci poni»szego twierdzenia.
1Niekiedy norma macierzowa to po prostu dowolna norma okre±lona na przestrzeni
liniowej zªo»onej z macierzy. Wtedy o normie speªniaj¡cej (8.1) mówimy, »e jest submul-typlikatywna (lub podmulsubmul-typlikatywna).
Twierdzenie 8.2. a) Dla ka»dego M > 0, szereg funkcji macierzowych
P∞
k=0
(tA)k
k! jest zbie»ny jednostajnie na przedziale [−M, M].
b) Funkcja R 3 t 7→ etA ∈ Cn×n jest ró»niczkowalna, oraz
d dte
tA = AetA
∀t ∈ R.
Szkic dowodu. a) Zbie»no±¢ jednostajna oznacza, »e dla ka»dego ε > 0 ist-nieje k0 ∈ N takie, »e
etA− k X j=0 (tA)j j! < ε
dla wszystkich k k0 i wszystkich t ∈ [−M, M]. Jednak wci¡» jeszcze nie wiemy, czy etA istnieje. Lecz powy»sze stwierdzenie mo»emy zast¡pi¢
rów-nowa»nym (odnosz¡cym si¦ do ci¡gów podstawowych): dla ka»dego ε > 0 istnieje k1 ∈ N takie, »e
l X j=k+1 (tA)j j! < ε
dla wszystkich k, l k1 i wszystkich t ∈ [−M, M]. Powy»sza nierówno±¢ wynika z nast¦puj¡cych oszacowa«
l X j=k+1 (tA)j j! ¬ l X j=k+1 k(tA)jk j! ¬ l X j=k+1 MjkAkj j!
i ze zbie»no±ci szeregu liczbowegoP∞
j=0ξj/j!, jednostajnie i bezwzgl¦dnie dla
ξ z przedziaªu zwartego.
b) Ró»niczkuj¡c formalnie szereg
I + tA 1! + t2A2 2! + t3A3 3! + . . . wyraz po wyrazie otrzymujemy
A 1! + 2tA2 2! + 3t2A3 3! + · · · = A I + tA 1! + t2A2 2! + . . . ! .
Z cz¦±ci a) wynika, »e szereg I +tI
1!+. . . jest zbie»ny jednostajnie na [−M, M] do etA, zatem szereg A(I + tI
1! + . . . ) jest zbie»ny jednostajnie na [−M, M] do AetA. Kopiuj¡c dowód twierdzenia o ró»niczkowalno±ci ci¡gu funkcji
rze-czywistych wyraz po wyrazie otrzymujemy, »e je»eli szereg pochodnych jest zbie»ny jednostajnie (co wªa±nie udowodnili±my) i szereg wyj±ciowy jest zbie»-ny cho¢ w jedzbie»-nym punkcie, to suma wyj±ciowego szeregu jest ró»niczkowalna i jej pochodna jest równa sumie szeregu pochodnych.
Z powy»szego twierdzenia wynika, »e dla A ∈ R funkcja macierzowa
t 7→ etA jest rozwi¡zaniem macierzowego równania ró»niczkowego
X0 = AX. Lemat 8.3.
AetA = etAA.
Dowód. Ka»da suma cz¦±ciowa szeregu de niuj¡cego etA komutuje z A.
Twierdzenie 8.4. a) e0·A = I,
b) e(s+t)A = esAetA dla wszystkich s, t ∈ R,
c) e−tA = (etA)−1 dla wszystkich t ∈ R.
Dowód. Cz¦±¢ a) jest oczywista. Aby udowodni¢ b), ustalmy s ∈ R i oznacz-my C(t) := e(s+t)A. Korzystaj¡c ze wzoru na ró»niczkowanie funkcji zªo»onej ªatwo sprawdzi¢, »e C0(t) = Ae(s+t)A. Zatem funkcja C(·) jest rozwi¡zaniem zagadnienia pocz¡tkowego dla macierzowego równania ró»niczkowego linio-wego jednorodnego X0 = AX X(0) = esA.
Lecz funkcja macierzowa D(t) := esAetA te» speªnia powy»sze zagadnienie
pocz¡tkowe (zauwa»my, »e D0(t) = esAAetA = AesAetA = AD(t)). Poniewa»
zagadnienie pocz¡tkowego dla liniowego macierzowego równania ró»niczko-wego ma dokªadnie jedno rozwi¡zanie nieprzedªu»alne, wynika st¡d teza.
Aby wykaza¢ c), korzystamy z równo±ci
etAe−tA = e(t−t)A = e0·A = I.
Z powy»szych twierdze« wynika, »e gdy A jest macierz¡ rzeczywist¡, to funkcja t 7→ etA jest macierz¡ fundamentaln¡, za± Φ(t; s) = e(t−s)A macierz¡ Cauchy'ego dla ukªadu równa« ró»niczkowych liniowych o staªych wspóª-czynnikach (ULSn). Rozwi¡zaniem zagadnienia pocz¡tkowego
x0 = Ax
x(t0) = x0 jest funkcja wektorowa t 7→ e(t−t0)Ax0.
Wzór na uzmiennianie staªych przyjmuje posta¢: rozwi¡zaniem zagadnie-nia pocz¡tkowego x0 = Ax + h(t) x(t0) = x0 jest funkcja wektorowa
e(t−t0)Ax
0+
Z t
t0
e(t−s)Ah(s) ds.
8.3 Dalsze wªasno±ci exp (tA)
Lemat 8.5. Je»eli macierze A i B komutuj¡, to
et(A+B)= etAetB ∀t ∈ R.
Dowód. Poniewa» Pk
j=0
(tA)j
j! komutuje z B, przechodz¡c z k do ∞
otrzymu-jemy
etAB = BetA.
Mamy
d dte
t(A+B)= (A + B)et(A+B)
oraz
d dt(e
tAetB) = AetAetB+ etABetB = AetAetB+ BetAetB = (A + B)et(A+B).
Obie funkcje et(A+B) i etAetB s¡ rozwi¡zaniami zagadnienia pocz¡tkowego
X0 = (A + B)X X(0) = I, zatem s¡ identyczne.
Gdy macierze A i B nie komutuj¡, mo»e zachodzi¢
et(A+B) 6= etAetB.
Podobnie, dla ukªadu
x0 = A(t)x,
gdzie A: (a, b) → Rn×n jest ci¡gª¡ funkcj¡ macierzow¡, wzór na
macierz Cauchy'ego:
Φ(t; s) = exp
t
Z
s
nie musi zachodzi¢. Wzór ten jest prawdziwy na przykªad, gdy dla dowolnych t1, t2 ∈ (a, b) macierze A(t1)i A(t2)komutuj¡. W takim przypadku natomiast prawdziwy jest wzór
Φ(t; s) = I + t Z s A(τ1) dτ1+ t Z s A(τ1) Zτ1 s A(τ2) dτ2 dτ1+ + t Z s A(τ1) Zτ1 s A(τ2) Zτ2 s A(τ3) dτ3 dτ2 dτ1+ . . . , s, t ∈ (a, b), którego prawa strona zwana jest szeregiem PeanoBakera2
Lemat 8.6. Niech A ∈ Cn×n b¦dzie dowoln¡ macierz¡ i B ∈ Cn×n b¦dzie
macierz¡ nieosobliw¡. Wówczas
exp (t(BAB−1)) = BetAB−1 ∀t ∈ R.
Dowód. Sprawdzamy, »e równo±¢ zachodzi dla sum cz¦±ciowych, i przecho-dzimy do granicy.
Fakt 8.7. Niech A b¦dzie macierz¡ blokow¡,
A = " B 0 0 C # , gdzie B ∈ Cm×m, C ∈ C(n−m)×(n−m). Wówczas etA= " etB 0 0 etC # . Wniosek.
exp(t diag(a1, . . . , an)) = diag(ea1t, . . . , eant).
Twierdzenie 8.8. Niech A ∈ Cn×n b¦dzie klatk¡ Jordana,
A = λ 1 0 . . . 0 0 λ 1 . . . 0 ... ... ... ... ... 0 . . . 0 λ 1 0 . . . . 0 λ .
Wówczas etA = eλt eλt t 1! e λt t2 2! . . . e λt tn−1 (n−1)! 0 eλt eλt t 1! . . . e λt tn−2 (n−2)! ... ... ... ... ... 0 . . . 0 eλt eλt t1! 0 . . . . 0 eλt .
Dowód. Macierz A mo»na zapisa¢ jako λI + B, gdzie
B = 0 1 0 . . . 0 0 0 1 . . . 0 ... ... ... ... ... 0 . . . 0 0 1 0 0 . . . 0 0 .
Macierze λI i B komutuj¡, zatem etA = etλIetB = eλtetB (Lemat 8.5).
Wy-starczy teraz zauwa»y¢, »e
B2 = 0 0 1 0 . . . 0 0 0 0 1 . . . 0 ... ... ... ... ... ... 0 . . . 0 0 0 1 0 . . . . 0 0 0 0 . . . . 0 0 , . . . , Bn−1 = 0 . . . 0 1 0 0 . . . 0 ... ... ... ... 0 . . . 0 0 ,
Bj = 0 dla j = n, n + 1, . . . , i zastosowa¢ de nicj¦ etB.
Powró¢my do ukªadu równa« ró»niczkowych liniowych jednorodnych o staªych wspóªczynnikach
(ULSn) x0 = Ax,
gdzie A jest macierz¡ o wyrazach rzeczywistych. Jak wiadomo, przy pomocy odpowiedniej zmiany bazy macierz A mo»na doprowadzi¢ do postaci Jordana. Jako »e wiemy ju» jak wygl¡da exp dla macierzy w postaci Jordana, (teore-tycznie) znamy rozwi¡zanie ogólne powy»szego ukªadu. Jednak rozwi¡zanie to mo»e wyra»a¢ si¦ w postaci zespolonej kombinacji liniowej funkcji wekto-rowych o skªadowych zespolonych, podczas gdy interesuj¡ nas rozwi¡zania o skªadowych rzeczywistych.
W istocie nie jest to zbyt wielkim utrudnieniem, gdy», jak ªatwo spraw-dzi¢, je±li ϕ: R → Cn jest rozwi¡zaniem ukªadu (ULSn), to sprz¦»enie ¯ϕ
te» jest rozwi¡zaniem ukªadu (ULSn). Wynika z tego natychmiast, »e Re ϕ i Im ϕ s¡ te» rozwi¡zaniami ukªadu.
Lemat 8.9. Zaªó»my, »e n rozwi¡za« (ϕ1, . . . , ϕj, ψ1, ¯ψ1, . . . , ψs, ¯ψs) ukªa-du (ULSn), gdzie ϕ1, . . . , ϕj s¡ rzeczywiste, jest liniowo niezale»nych nad
ciaªem liczb zespolonych. Wówczas n rozwi¡za« rzeczywistych
ϕ1, . . . , ϕj, Re ψ1, Im ψ1, . . . , Re ψs, Im ψs
jest liniowo niezale»nych nad ciaªem liczb zespolonych, czyli tym bardziej nad ciaªem liczb rzeczywistych.
Dowód. Zauwa»my, »e zªo»enie odwzorowa« liniowych z (zespolonej) prze-strzeni liniowej wszystkich zespolonych rozwi¡za« ukªadu w siebie, zadanych na bazach wzorami: Re ψ = 1 2(ψ + ¯ψ), Im ψ = 1 2i(ψ − ¯ψ), oraz ψ = Re ψ + i Im ψ, ψ = Re ψ − i Im ψ,¯
jest identyczno±ci¡. Zatem oba te odwzorowania, w szczególno±ci pierwsze z nich, s¡ izomor zmami liniowymi, wi¦c zachowuj¡ liniowe niezale»no±ci. Twierdzenie 8.10. Zaªó»my, »e macierz A ∈ Rn×n ma rzeczywiste warto±ci
wªasne λ1, . . . , λj, którym odpowiadaj¡ klatki Jordana wymiaru odpowiednio
k1, . . . , kj, oraz zespolone (nierzeczywiste) warto±ci wªasne α1 + iβ1, α1 −
iβ1, l, αs+ iβs, αs− iβs, gdzie β1 > 0, . . . , βs > 0, którym odpowiadaj¡ klatki
Jordana wymiaru odpowiednio l1, l1, . . . , ls, ls, przy czym k1+ . . . + kj+ 2(l1+
. . . + ls) = n. Wówczas elementy macierzy fundamentalnej ukªadu x0 = Ax
s¡ kombinacjami liniowymi funkcji
eλ1t, teλ1t, . . . , tk1−1eλ1t, . . . . eλjt, teλjt, . . . , tkj−1eλjt, eα1tcos(β 1t), teα1tcos(β1t), . . . , tl1−1eα1tcos(β1t), eα1tsin(β 1t), teα1tsin(β1t), . . . , tl1−1eα1tsin(β1t), . . . . eαstcos(β st), teαstcos(βst), . . . , tls−1eαstcos(βst), eαstsin(β st), teαstsin(βst), . . . , tls−1eαstsin(βst),
8.4 De nicja równania ró»niczkowego liniowego o
sta-ªych wspóªczynnikach.
De nicja. Równaniem ró»niczkowym zwyczajnym n-tego rz¦du liniowym jed-norodnym o staªych wspóªczynnikach nazywamy równanie ró»niczkowe (RLSJn) x(n)+ a1x(n−1)+ . . . + an−1x0+ anx = 0,
gdzie a1, . . . , an ∈ R.
8.5 Podstawowe wªasno±ci równa« liniowych
jednorod-nych o staªych wspóªczynnikach
Przez C∞ = C∞
(R, C) b¦dziemy oznaczali przestrze« liniow¡ (nad ciaªem liczb zespolonych) funkcji zespolonych klasy C∞ okre±lonych na (−∞, ∞).
Oznaczmy przez L operator ró»niczkowy dziaªaj¡cy z C∞ w C∞:
Lϕ := ϕ(n)+ a
1ϕ(n−1)+ . . . + an−1ϕ0+ anϕ.
atwo sprawdzi¢, »e L jest odwzorowaniem liniowym.
Od tej chwili do odwoªania b¦dziemy dopuszczali te» rozwi¡zania równa-nia (RLSJn) b¦d¡ce funkcjami zespolonymi. Kopiuj¡c dowody odpowiednich faktów dla rozwi¡za« rzeczywistych mo»na si¦ przekona¢, »e zbiór wszystkich zespolonych rozwi¡za« równania ró»niczkowego (RLSJn) tworzy przestrze« liniow¡ nad ciaªem liczb zespolonych wymiaru n.
Funkcja ϕ jest rozwi¡zaniem równania ró»niczkowego (RLSJn) wtedy i tylko wtedy, gdy
Lϕ = 0,
czyli, innymi sªowy, gdy
ϕ ∈ ker L.
Powy»szy wynik nie jest tak oczywisty, jak by si¦ wydawaª na pierwszy rzut oka: je±li ϕ jest rozwi¡zaniem równania (RLSJn), to z de nicji jest to funkcja
n-krotnie ró»niczkowalna i taka, »e ϕ(n)(t) = −a1ϕ(n−1)(t) − . . . − anϕ(t)
dla ka»dego t ∈ R. Skoro prawa strona jest w oczywisty sposób funkcj¡ ró»niczkowaln¡, ϕ(n) jest te» funkcj¡ ró»niczkowaln¡, i zachodzi ϕ(n+1)(t) =
−a1ϕ(n)(t) − . . . − a0ϕ0(t). Prawa strona jest ró»niczkowalna, zatem ϕ jest (n + 2)-krotnie ró»niczkowalna. Przez indukcj¦ dowodzimy, »e ϕ jest klasy
C∞, zatem musi nale»e¢ do j¡dra operatora L.
Niech D oznacza operator ró»niczkowania,
Zachodzi
L = Dn+ a
1Dn−1+ . . . + an−1D + anId.
(Tutaj i poni»ej, dla odwzorowania liniowego L z przestrzeni liniowej w t¦ sam¡ przestrze«, Lk, k ∈ N, oznacza k-krotne zªo»enie odwzorowania L.
Podobnie, dla operatorów liniowych L i M, dla których zªo»enie L ◦ M jest okre±lone, b¦dziemy pisali LM zamiast L ◦ M.)
De nicja. Wielomianem charakterystycznym równania ró»niczkowego (RLSJn) nazywamy wielomian (zmiennej zespolonej)
w(λ) := λn+ a1λn−1+ · · · + an−1λ + an.
Równanie charakterystyczne równania (RLSJn) to
w(λ) = 0.
Mo»na formalnie zapisa¢
L = w(D).
Niech
w(λ) = (λ − λ1)k1. . . (λ − λm)km
b¦dzie rozkªadem wielomianu charakterystycznego na czynniki liniowe. Za-kªadamy, »e pierwiastki λ1, . . . , λm s¡ parami ró»ne. Zapiszmy
L = (D − λ1Id)k1. . . (D − λ
mId)km
Lemat 8.11. ker (D − λ Id)kjest k-wymiarow¡ przestrzeni¡ liniow¡ rozpi¦t¡
przez funkcje eλt, teλt, t2eλt, . . . , tk−1eλt.
Dowód. Oznaczmy przez M: C∞ → C∞ operator mno»enia przez funkcj¦
e−λt, (Mϕ)(t) := e−λtϕ(t). M jest izomor zmem liniowym. Zachodzi M(D − λ Id) = DM,
co poci¡ga
M(D − λ Id)k = DkM.
Teza lematu wynika z nast¦puj¡cego ci¡gu (niemal) oczywistych równowa»-no±ci:
ϕ ∈ ker (D − λ Id)k⇐⇒ ϕ ∈ ker (M(D − λ Id)k) ⇐⇒ ϕ ∈ ker (DkM) ⇐⇒ ⇐⇒ Mϕ ∈ ker Dk ⇐⇒ Mϕ ∈ lin
C{1, t, t
2, . . . , tk−1} ⇐⇒
⇐⇒ ϕ ∈ linC{eλt, teλt, t2eλt, . . . , tk−1eλt}.
Dla j = 1, . . . , m oznaczmy
Ej := linC{e
λjt, teλjt, t2eλjt, . . . , tkj−1eλjt}.
Twierdzenie 8.12. Zbiór zespolonych rozwi¡za« równania liniowego jedno-rodnego n-tego rz¦du o staªych wspóªczynnikach (RLSJn) jest przestrzeni¡ liniow¡ generowan¡ przez funkcje
eλ1t, teλ1t, . . . , tk1−1eλ1t,
...
eλmt, teλmt, . . . , tkm−1eλmt.
Dowód. Ustalmy na moment j ∈ {1, . . . , m}. Poniewa» L mo»na zapisa¢ w postaci L(j)(D − λjId)kj, gdzie
L(j)= (D − λ1Id)k1. . . (D − λkj−1Id)
kj−1(D − λ
kj+1Id)
kj+1. . . (D − λ
mId)km,
zachodzi Ej ⊂ ker L. Daje to E1+. . .+Em ⊂ ker L. Oczywi±cie Ej∩El= {0}
dla j 6= l, co daje
E1⊕ . . . ⊕ Em ⊂ ker L.
Ale
dimC(E1⊕ . . . ⊕ Em) = dimCE1+ . . . + dimCEm = k1+ . . . + km = n,
oraz dimC(ker L) = n, zatem E1⊕ . . . ⊕ Em = ker L.
Twierdzenie 8.13. Zaªó»my, »e wielomian charakterystyczny równania (RLSJn) ma pierwiastki rzeczywiste λ1, . . . , λs, krotno±ci odpowiednio k1, . . . , ks, oraz
pierwiastki zespolone α1+ iβ1, α1− iβ1, . . . , αr+ iβr, αr− iβr, krotno±ci
odpo-wiednio ks+1, ks+1, . . . , ks+r, ks+r, gdzie β1 > 0,. . . , βr > 0, oraz k1+. . .+ks+
2(ks+1+ . . . + ks+r) = n. Wówczas zbiór (rzeczywistych) rozwi¡za« równania
(RLSJn) jest przestrzeni¡ liniow¡ generowan¡ przez funkcje
eλ1t, teλ1t, . . . , tk1−1eλ1t, ... eλst, teλst, . . . , tks−1eλst, eα1tcos (β 1t), teα1tcos (β1t), . . . , tks+1−1eα1tcos (β1t), eα1tsin (β 1t), teα1tsin (β1t), . . . , tks+1−1eα1tsin (β1t), ... eαrtcos (β rt), teαrtcos (βrt), . . . , tks+r−1eαrtcos (βrt), eαrtsin (β rt), teαrtsin (βrt), . . . , tks+r−1eαrtsin (βrt).
Dowód. Zauwa»my, »e gdy ϕ(t) = te tjest rozwi¡zaniem równania (RLSJn),
to sprz¦»enie ¯ϕ(t) = tle¯λjt te» jest rozwi¡zaniem. Wynika st¡d, »e Re ϕ =
1
2(ϕ+ ¯ϕ)oraz Im ϕ = 1
2i(ϕ− ¯ϕ)s¡ rozwi¡zaniami. Widzimy zatem, »e funkcje z tezy bie»¡cego twierdzenia s¡ rozwi¡zaniami równania (RLSJn). Oczywi±cie, s¡ to rozwi¡zania rzeczywiste.
Dalej, skoro ϕ = Re ϕ + i Im ϕ, ¯ϕ = Re ϕ − i Im ϕ, ka»de rozwi¡zanie z tezy Tw. 8.12 mo»na zapisa¢ jako kombinacj¦ liniow¡ (o wspóªczynnikach z C) funkcji z tezy bie»¡cego twierdzenia. Zatem baz¡ (zespolonej) przestrzeni liniowej rozwi¡za« równania (RLSJn) jest zarówno rodzina n funkcji z tezy Tw. 8.12, jak i rodzina n funkcji z tezy bie»¡cego twierdzenia. Wynika st¡d, »e ta ostatnia jest liniowo niezale»na nad ciaªem liczb zespolonych, tym bardziej zatem nad ciaªem liczb rzeczywistych.
8.6 Zastosowanie do obliczania exp(tA)
Twierdzenie 8.14. Niech λn + d1λn−1 + . . . + d
n−1λ + dn b¦dzie
wielo-mianem charakterystycznym macierzy A ∈ Rn×n. Oznaczmy przez ϕ j, j =
0, 1, . . . , n − 1, rozwi¡zanie równania ró»niczkowego
x(n)+ d1x(n−1)+ . . . + dn−1x0+ dnx = 0
speªniaj¡ce warunki pocz¡tkowe
ϕ(l)j (0) = δjl dla j, l ∈ {0, . . . , n − 1}.
Wówczas
etA = ϕn−1(t)An−1+ ϕn−2(t)An−2+ . . . + ϕ1(t)A + ϕ0(t)I.
(Zawarte w pracy: I. E. Leonard, The matrix exponential, SIAM Rev. 38(3) (1996), 507512.)
Dowód. Rozwa»my macierzowe równanie ró»niczkowe liniowe jednorodne n--tego rz¦du (8.2) X(n)+ d1X(n−1)+ . . . + dn−1X0+ dnX = 0 z warunkami pocz¡tkowymi (8.3) X(0) = I X0(0) = A X00(0) = A2 ... X(n−1)(0) = An−1
Powy»sze zagadnienie pocz¡tkowe ma jednoznaczne rozwi¡zanie okre±lone na (−∞, ∞).
Funkcja macierzowa
t 7→ etA
speªnia równanie (8.2) na podstawie twierdzenia CayleyaHamiltona. Oznaczmy
Φ(t) := ϕn−1(t)An−1+ ϕn−2(t)An−2+ . . . + ϕ1(t)A + ϕ0(t)I. Liczymy: Φ(n)(t) + d1Φ(n−1)(t) + . . . + dn−1Φ0(t) + dnΦ(t) = = ϕ(n)0 (t) + d1ϕ (n−1) 0 (t) + . . . + dn−1ϕ00(t) + dnϕ0(t) I + + ϕ(n)1 (t) + d1ϕ (n−1) 1 (t) + . . . + dn−1ϕ01(t) + dnϕ1(t) A + ... + ϕ(n)n−1(t) + d1ϕ(n−1)n−1 (t) + . . . + dn−1ϕ0n−1(t) + dnϕn−1(t) An−1,
co jest równe 0. Obie funkcje macierzowe speªniaj¡ ponadto warunki po-cz¡tkowe, zatem, na podstawie twierdzenia o jednoznaczno±ci rozwi¡zania zagadnienia pocz¡tkowego, musz¡ by¢ sobie równe.
Alternatywn¡ metod¦ obliczania exp (tA) daje nast¦puj¡ce: Twierdzenie 8.15 (Algorytm Putzera3). Niech λ1, λ
2, . . . , λn b¦d¡
(nieko-niecznie ró»nymi) warto±ciami wªasnymi macierzy A ∈ Rn×n. Oznaczmy
M0 := I oraz Mk:= k Y j=1 (A − λjI),
dla 1 ¬ k ¬ n. Dalej, niech ψ = col(ψ1, . . . , ψn) speªnia
ψ0 = λ1 0 0 . . . 0 1 λ2 0 . . . 0 0 1 λ3 . . . 0 ... ... ... ... ... 0 . . . 0 1 λn ψ, ψ(0) = 1 0 0 ... 0 . Wówczas etA = ψ1(t)M0+ ψ2(t)M1+ . . . + ψn(t)Mn−1.
3Eugene James Putzer, matematyk ameryka«ski, aktywny w latach 50-tych i 60-tych
Dowód. Oznaczmy
Φ(t) := ψ1(t)M0+ ψ2(t)M1+ . . . + ψn(t)Mn−1.
Z uwag poni»ej Twierdzenia 8.2 oraz z jednoznaczno±ci rozwi¡zania zagadnie-nia pocz¡tkowego wynika, »e wystarczy wykaza¢, i» Φ(·) speªzagadnie-nia zagadnienie pocz¡tkowe
X0 = AX, X(0) = I.
Warunek pocz¡tkowy jest speªniony. Aby wykaza¢, ze speªnione jest macie-rzowe równanie ró»niczkowe, zauwa»my, »e
ψ10(t) = λ1ψ1(t),
ψj0(t) = ψj−1(t) + λjψj(t)
dla 2 ¬ j ¬ n. Liczymy dalej Φ0(t) − AΦ(t) = = n−1 X k=0 ψk+10 (t)Mk− A n−1 X k=0 ψk+1(t)Mk= =λ1p1(t)M0+ n−1 X k=1 (λk+1ψk+1(t) + ψk(t)) Mk− n−1 X k=0 ψk+1(t)AMk = =λ1p1(t)M0+ n−1 X k=1 (λk+1ψk+1(t) + ψk(t)) Mk− n−1 X k=0 ψk+1(t) (Mk+1+ λk+1Mk) = = n−1 X k=1 ψk(t)Mk− n−1 X k=0 ψk+1(t)Mk+1 = = − pn(t)Mn,
za± Mn = 0 na podstawie twierdzenia CayleyaHamiltona.
8.7 Metoda wspóªczynników nieoznaczonych
W niniejszym podrozdziale b¦dziemy rozpatrywali równania ró»niczkowe li-niowe niejednorodne o staªych wspóªczynnikach, których niejednorodno±ci s¡ specjalnej postaci.
Twierdzenie 8.16. Dla równania liniowego niejednorodnego o staªych wspóª-czynnikach
gdzie P (·) jest wielomianem stopnia l o wspóªczynnikach zespolonych, µ ∈ C, istnieje rozwi¡zanie postaci tsQ(t)eµt, gdzie s jest krotno±ci¡ µ jako
pierwiast-ka wielomianu charakterystycznego, za± Q jest wielomianem o wspóªczynni-kach zespolonych stopnia co najwy»ej l.
Dowód. Oznaczmy przez E zespolon¡ przestrze« liniow¡ zªo»on¡ z funkcji
R(t)eµt, gdzie R jest wielomianem stopnia co najwy»ej l. Niech L oznacza,
jak poprzednio, operator Dn+ a
1Dn−1+ . . . + an−1D + anId. Szukamy wi¦c
takiego ϕ ∈ E, »e Lϕ = P (t)eµt.
• s = 0, czyli µ nie jest pierwiastkiem wielomianu charakterystycznego. Wtedy ker (L|E) = ker L ∩ E = {0} (na podstawie Tw. 8.12), zatem
L|E: E → E jest izomor zmem. Za ϕ ∈ E bierzemy (L|E)−1(P (t)eµt).
• s > 0. Zapiszmy L = L1(D − µ Id)s. Podobnie jak w poprzednim
przy-padku dowodzimy, »e L1|E: E → E jest izomor zmem. Zatem
zagad-nienie nasze sprowadza si¦ do znalezienia ψ postaci ψ(t) = tsQ(t)eµt,
ta-kiego, »e (D − µ Id)sψ = (L
1|E)−1(P (t)eµt). Oczywi±cie funkcja po
pra-wej stronie jest elementem E (oznaczmy t¦ funkcj¦ przez χ). Oznaczmy przez M: C∞→ C∞operator mno»enia przez funkcj¦ eµt, (Mϕ)(t) :=
eµtϕ(t). M jest izomor zmem liniowym. Analogicznie jak w dowodzie
Lematu 8.11 wykazujemy, »e (D − µ Id)sM = MDs. Zagadnienie
na-sze sprowadza si¦ do znalezienia wielomianu ψ1 postaci ψ1(t) = tsQ(t),
gdzie Q jest wielomianem stopnia co najwy»ej l, speªniaj¡cego (D − µ Id)sMψ1 = χ,
czyli
Dsψ1 = M−1χ. Jest to mo»liwe, gdy» M−1
χ jest wielomianem stopnia co najwy»ej l.
Twierdzenie powy»sze ma odpowiednik dla rozwi¡za« rzeczywistych. Twierdzenie 8.17. (a) Dla równania liniowego niejednorodnego o staªych
wspóªczynnikach
x(n)+ a1x(n−1)+ · · · + an−1x0+ anx = P (t)eµt,
gdzie P (·) jest wielomianem stopnia l o wspóªczynnikach rzeczywistych oraz µ ∈ R, istnieje rozwi¡zanie postaci tsQ(t)eµt, gdzie s jest
krot-no±ci¡ µ jako pierwiastka wielomianu charakterystycznego, za± Q jest wielomianem stopnia co najwy»ej l.
(b) Dla równania liniowego niejednorodnego o staªych wspóªczynnikach
x(n)+a1x(n−1)+· · ·+an−1x0+anx = eαt(P1(t) cos (βt) + P2(t) sin (βt)) , gdzie P1(·), P2(·) s¡ wielomianami stopnia odpowiednio l1, l2 o wspóª-czynnikach rzeczywistych oraz α, β ∈ R, istnieje rozwi¡zanie postaci
tseαt(Q
1(t) cos (βt) + Q2(t) sin (βt)), gdzie s jest krotno±ci¡ α+iβ jako pierwiastka wielomianu charakterystycznego, za± Q1 i Q2 s¡ wielomia-nami stopnia co najwy»ej max (l1, l2).
Twierdzenie to jest teoretyczn¡ podstaw¡ metody wspóªczynników nie-oznaczonych (zwanej te» metod¡ przewidywa«). Dowód jego przebiega ana-logicznie do dowodu Tw. 8.4, cho¢ jest bardziej skomplikowany. Na przykªad, w cz¦±ci (b) rol¦ przestrzeni E peªni linR{eαtcos (βt), eαtsin (βt), teαtcos (βt),
