Unterrichtsblätter für Mathematik und Naturwissenschaften, Jg. 7, No. 3

U n t e r r i c n t s b l ä t t e r

für

Mathematik und Naturwissenschaften.

O rg a n des V e re in s z u r F ö rd e ru n g

des U n te rric h ts in d e r M a th e m a tik u n d den N a tu rw isse n sc h a fte n .

B egründet unter M itw irkung von B e r n h a r d S c h w a l b e ,

herausgegeben von

F . P i e t z k e r ,

P ro fesso r am G ym nasium zu N ordhausen.

V e r l a g v o n O t t o S a l l e i n B e r l i n W. 3 0 .

Red ak tion: A lle f ü r die R e d a k tio n bestim m ten M itteilu n g en und S en d u n g en w erden n u r an d ie Adresse des P ro f. P i e t z k e r in Norcm ausen erb eten .

Ve rein : A nm eld u n g en u n d B e itra g sz a h lu n g e n fü r den V erein (3 Mk. Ja h re s b e itra g oder ein m a lig e r B e itra g von 45 Mk.) sind an den S ch atzm eiste r, P ro fesso r P r e s l e r in H an n o v er, L in d e n e rstra sse 47, zu rich ten .

V e rla g : D er B e z u g s p r e i s fü r den J a h rg a n g v o n 6 N um m ern is t 3 M ark, fü r ein zeln e N um m ern 6 0 T f . D ie V erein sm it­

g lied er e rh a lte n die Z e its c h rift u n e n tg e ltlic h ; frü h ere J a h r ­ gän g e sind du rch den V erlag bez. e in e B u c h h d lg . zu beziehen.

A n z e i g e n ko sten 25P f. fü r die3-gesp. N o n p a r.-Z e ile ; bei A ufgabe h a lb e r od. g a n z e r S eiten, sow ie bei W ied erh o lu n g en E rm ässig u n g . — B e ilag e g eb ü h rcn n ach U eb ero in k u n ft.

N ach d ru ck d er ein zeln en A rtik e l ist, w enn ü b e rh a u p t n ic h t besonders ausgenom m en, n u r m it g e n a u e r A n g ab e d er Quelle und m it d er V erp flich tu n g d er E in se n d u n g eines B elegexem plars an den V erlag g e sta tte t.

I n h a l t V ereins-A ngelegenheiten (S. 41). — B ern h ard Schw albe. G edächtnisrede von F . P i e t z k e r (S. 42). — U eber G rundfragen des physikalischen U nterrichts. V on F . P o s k e (S. 44). — Z u r M ethode des m athem atischen Schulunterrichts. V on .T. H e r m e s , Schluss (S. 48.) -— B e ric h t üb er die zehnte H auptversam m lung des V ereins zu r F ö rd e ru n g des U n terrich ts in der M ath em atik u nd den N a tu r­

w issenschaften zu Giessen, Pfingsten 1901 (S. 53). — L ehrm ittel-B esprechungen (S. 57). — Biicher- B esprechungen (S. 60). — Z u r B esprechung eingetr. B ücher (S. 61.) — A nzeigen.

V e r e i n s - A n g e l e g e n h e i t e n .

Die vorliegende Nummer berichtet über den allgemeinen Verlauf der w ährend der Pfingstw oche dieses Jahres in G i e s s e n abgehaltenen z e h n t e n H a u p t v e r s a m m l u n g d e s V e r e i n s . U eber die V orträge und Verhandlungen auf dieser Versammlung werden in der bisher üblichen W eise Einzelberichte erscheinen, m it denen in dieser Nummer der Anfang gem acht wird.

Die satzungsgemäss ausscheidenden M itglieder des Vereinsvorstandes sind in Giessen w iedergew ählt worden, an Stelle des uns durch den Tod entrissenen Professors B. Schwalbe ist der ordentliche Professor an der U niversität Giessen, H err Dr. A. H a n s e n neu in den Vor­

stand eingetreten. Demgemäss besteht der Vereinsvorstand bis zur nächsten Versammlung aus den H erren H a m d o r f f (Guben), H a n s e n (Giessen), P i e t z k e r (Nordhausen), P r e s l e r (Hannover), S c h o t t e n (Halle a. S.). Das Amt des Schatzm eisters w ird auch w eiterhin H err P r e s l e r verw alten (siehe die Notiz am Kopfe des B lattes unter der R ubrik „V erein“.)

Die nächstjährige Hauptversam m lung w ird in D ü s s e l d o r f stattfinden, der D irektor der dortigen Oberrealschule, H err Professor V i e h o f f , h at den Vorsitz im Ortsausschuss über­

nommen. An diesen oder an den H auptvorstand z. H. von Prof. P i e t z k e r werden alle auf die nächste Versammlung Bezug habenden Zuschriften und Anmeldungen erbeten.

D e r V o r s t a n d .

S. 42.

Un t e r r i c h t s b l ä t t e r.

Jahrg . VII. No. 3.

B e r n h a r d S c h w a lb e .

G edächtnisrede in der H auptversam m lung zu Giessen*) von

F. P i e t z k e r.

Noch vor wenigen W ochen durften w ir hoffen, von dieser Stelle A nregung und Beleh­

rung aus dem beredten Munde des Mannes zu empfangen, den ein unerbittliches Geschick uns und der ganzen U nterrichtsw elt zu früh e n t­

rissen h a t ; nun bleibt es uns nur übrig, ihm von hier aus ein W o rt dankbarer E rinnerung an das zu widmen, was er unserem Vereine von Anbeginn an gewesen ist.

W ie gross auch die Zahl der A nstalten und K örperschaften ist, die den H ingang B e r n h a r d S c h w a l b e s als schmerzlichen, ja unersetzlichen V erlust empfinden, w ir stehen unter ihnen in erster Reihe. Als den Unsei’en dürfen w ir ihn m it vollem R echt in Anspruch nehmen, w ar er doch einer der G ründer unseres V ereins, und von Anbeginn an bis zu seinem Scheiden ein M itglied seines Vorstandes, dessen volle Bedeu­

tung schon durch einen äusserlichen Um stand deutlich herv o rtritt. W ie Sie wissen, meine H e rren , ist der V ereinsvorstand fünfgliedrig, der Zufall h at es g efü g t, dass in der Zusam­

mensetzung dieses Vorstandes allmählich das m athem atische Elem ent der Zahl nach das U ebergew icht erhielt, vier von den V orstands­

m itgliedern waren, wenn auch den N aturw issen­

schaften nicht fremd gegenüberstehend, doch in erster Linie M athem atiker. S c h w a l b e w ar der einzige unter uns, der die N aturw issenschaft selbst in erster Linie vertrat. Und es ist be­

zeichnend, dass dieses für die N aturw issenschaft anscheinend so ungünstige Zahlenverhältnis nirgends als eine U nzuträglichkeit empfunden wurde, die gew altige Persönlichkeit Sclnvalbes genügte, um den von ihm repräsentirten W issens- fächern den ihnen gebührenden Einfluss inner­

halb der Vereinsleitung in vollem Umfange zu sichern.

Nun ist er dahin gegangen, aber sein Geist wird unter uns fo rtle b e n , lange über diese Stunde hinaus, in der w ir sein Lebensbild an uns noch einmal aufrollen und seine B edeutung und W irksam keit uns noch einmal zum beson­

ders lebendigen B ewusstsein bringen wollen.

D er äussere Gang seines Lebens lässt sich kurz darstellen. Am 23. O ktober 1841 zu Q u e d l i n b u r g geboren, h at er aus dieser S tadt auch den H au ptteil seiner Jugendeindrücke hinweggenommen, insofern er als Schüler des dortigen Gymnasiums den grössten Teil seiner Jugendzeit auch dann noch dort verbrachte, als seine M utter nach dem frühen Tode seines Vaters, eines Arztes, ihren W ohnsitz nach dem nahen T h a l e verlegte. So w ar er früh auf

*) s. S. 53.

ein e'g ew isse S elbständigkeit hingew iesen, die ja auch späterhin einen hervorstechenden Zug seines W esens b ild ete, w ährend zugleich die F erientage im H arz ihm eine immer neue Gelegen­

heit zu verständnisvoller Beschäftigung m it der N atu r und ihrem Leben gaben, die fü r seine Be­

rufsw ahl entscheidend werden sollte. Ostern 1860 m it einem vorzüglichen Reifezeugnis entlassen, w andte er sich denn auch ohne Zögern dem Studium der N aturw issenschaften zu, dem er in Bonn, Zürich und Berlin oblag, beginnend m it dem Studium der beschreibenden N atu r­

wissenschaften, dann sich zur Chemie und P h y ­ sik w endend, daneben auch in Berlin m athe­

matischen und philosophischen Studien ob­

liegend. Nach seiner Prom otion A ssistent erst bei H einrich Rose in B erlin, dann bei W isli- cenus in Zürich, steigerte er die schon in seiner S tudienzeit gewonnene Beherrschung des che­

m isch-physikalischen E xperim ents, anfänglich in der A bsicht, sich der akademischen Lelir- th ä tig k e it zuzuwenden, bis er mehr und m ehr in der L eh rth ätig k eit an den für die U niversität vorbildenden Schulen seinen eigentlichen B eruf erkannte und dieser T hätig k eit sein Leben zu widmen sich entschloss. Seine Lehram tsprüfung h atte er schon vor dem Uebergange nach Zürich m it Auszeichnung abgelegt, je tz t tr a t er erst I als H ülfslehrer, dann als ordentliches M itglied des L ehrkörpers bei der Königlichen Realschule (dem heutigen Kaiser-W ilhelm -Realgym nasium ) in Berlin ein, um von da nach 14jäh rig e r

| T h ätig keit im Ja h re 1879 zum D irekto r des

| D orotheenstädtischen Realgymnasiums berufen

| zu w erden, das er bis zum Tage vor seinem : Hinscheiden g eleitet hat. W ie er dann eben im Begriffe, als erw ählter Stafftschulrat zu Berlin

j

in einen weiteren W irkungskreis einzutreten, I vom Tode überrascht worden ist, das steh t uns

noch Allen im Gedächtnis, wie ja auch Keiner u n ter uns ist, dem die Fülle von rastloser auf­

reibender T hätig k eit, die Schwalbe über sein L ehram t hinaus übte, unbekannt wäre.

Als S tadtverordneter von Berlin, als M itglied einer grossen Zahl von gem einnützigen K örper­

schaften und Vereinen, denen er seine K räfte und seine Zeit in w eitestgehender W eise zur Verfügung stellte, als Vertrauensm ann der ober­

sten U nterrichtsbehörde in allen Fragen des exaktw issenschaftlichen U nterrichts, als Schöpfer und L eiter der B erliner Ferienkurse, als fru cht­

barer Schriftsteller überall h at er dauernde und tiefgehende Spuren seines W irkens h in terlasse n ; der B lick allein auf das ausserordentliche Mass dieser Leistungen zeigt, dass es ein Ungewöhn­

lichei", an B egabung und A rbeitskraft den D urch­

sch nitt w eit überragender Mann war, der in ihm von uns geschieden ist.

Aber dieser E indruck steig ert sich noch,

] wenn w ir den In h alt seiner T h ätig k eit näher

1901. No. 3.

Be r n h a r d Sc h w a l b e.

S. 43.

ins Auge fassen. Da dürfen w ir in erster Linie seine wissenschaftlichen A rbeiten nennen, die an sich bem erkensw ert sind und keinen Zweifel lassen, dass die Hochschule, der sich zuzuwenden eine Zeitlang seine A bsicht gewesen war, in ihm eine bedeutende L ehrkraft gewonnen haben würde. Im Einzelnen betrafen seine eigenen A rbeiten vorzugsweise das Gebiet der Geophysik, mehrere verdienstvolle A rbeiten über Gletscher und über Eishöhlen entstam m en seiner Feder, m it den Gypshöhlen des Harzes beschäftigte er­

sieh, wie m ir persönlich bekannt ist, noch in der letzten Z eit besonders eingehend. Als S ekretär der physikalischen Gesellschaft in Berlin, als m ehrjähriger H erausgeber der F o rt­

schritte der Physik, die in ihm auch nach Nieder­

legung der R edaktion einen wertvollen Mit­

arbeiter besass, h at er sich den besonderen D ank aller derer erworben, die den W e rt über­

sichtlicher und orientierender D arstellung der zu immer grösserem Umfange anschwellenden Masse der physikalischen Forschungsergebnisse zu w ürdigen wissen. Ein nicht genug zu w ür­

digendes Mass von A rbeit steck t in dem von ihm m it Beihülfe seiner Söhne und seiner Tochter hergestellten G eneralregister für die Bände

21

bis 43 der F o rtsch ritte der Physik, Schwalb es Sachkenntnis und L eistungsfähigkeit auch für diese A rt von A rbeit tra t dabei so deutlich zu Tage, dass, als es galt, aus D eutschland einen M itarbeiter für die H erstellung des internatio­

nalen wissenschaftlichen K atalogs in London zu entsenden, die Behörde keinen für diesen Auf­

trag geeigneteren Mann zu finden wusste, als ihn.

Zu Hülfe kam ihm dabei seine Beherrschung des Englischen, m it dem er, wie mit den w ichtigsten anderen modernen Sprachen, wohl v ertrau t w ar, ein Zeichen der Vielseitigkeit seines Geistes, die ja auch sonst überall her­

vortrat. So w ar e r , obwohl an sich nicht M athem atiker, nicht nur M itgründer des M athe­

matischen Vereins in Berlin, sondern auch bis zu seinem Tode ein M itglied der Deutschen M athem atiker-V ereinigung, ein warmes W o rt der E rinnerung widm et ihm in dieser Eigen­

schaft u . a . die internationale Zeitschrift „L ’En- seignem ent m athem atique. “ .

So w ertvoll nun auch Schwalbes wissen­

schaftliche T hätig k eit zu nennen ist, so bildete sie doch nicht den H auptinhalt seines Lebens, der vielm ehr darin bestand, die Ergebnisse der W issenschaft zum Gemeingut zu machen, ganz besonders dadurch, dass er ihre V erw ertung für den U nterrich t an den höheren Schulen nach M öglichkeit zu fördern suchte. E rhaltung der Fühlung zwischen der wissenschaftlichen F or­

schung und dem höheren Schulunterricht, das war sein Bestreben, von diesem Geiste war sein eigener U nterrich t und seine pädagogisch-schrift­

stellerische T hätigk eit getragen, aus diesem

G eiste heraus erwuchs die von ihm m it Vor­

liebe gepflegte und durch seine Unerm üdlichkeit verw irklichte Idee der B erliner Ferienkurse für auswärtige, dann auch für die Berliner Lehrer, den zehnten solcher Ferienkurse durfte er m it einem Rückblick eröffnen, der der Genugthuung über die erzielten Erfolge und der Hoffnung auf weiteren F o rtsc h ritt Ausdruck gab.

Von diesen Ferienkursen erhoffte er eine Hebung des Standes des naturw issenschaftlichen U nterrichts und von dieser Hebung wieder er­

w artete er eine Steigerung des W ertes, der in unserem ganzen Schulwesen, in der allgemein verbreiteten Auffassung vom W esen der Bildung auf die N aturerkenntnis gelegt wird. Mit Be­

dauern sah er die geringe G eltung, die diese Seite unserer B ildung fast überall zur Zeit noch findet, steh t ja doch die Bedeutung, die der von einer L ehranstalt gew ährten Bildung am t­

lich zugesprochen wird, zu dem Masse, in dem der Lehrplan solcher A nstalt die N aturw issen­

schaften berücksichtigt, geradezu im um gekehr­

ten Verhältnis.

Diesen Sachverhalt erkannte Schwalbe als einen U eb elstan d, an dessen Beseitigung er alle seine K räfte setzte. N icht im Gegensatz zu der sprachlich-geschichtlichen B ildung, der er selbst nichts weniger als fremd oder feind­

lich geg en ü b erstan d ; wie schon erwähnt, be­

herrschte er selbst eine Reihe von Frem d­

sprachen, in denen er auch gelegentlich U nter­

richt erteilte; ein wesentliches Zeugniss seiner W ürdigung der sprachlichen Bildung liefert u. a.

das von ihm verfasste Elem entai'buch der grie­

chischen Sprache, das den Schülern der R eal­

gymnasien ein Verständnis des Griechischen in dem für sie wünschenswerten Umfange ver­

m itteln s o llte ; als ein w eiteres bezeichnendes Zeugnis dürfen w ir den V ortrag anführen, den Schwalbe auf der Danziger H auptversam m lung unseres Vereins über die N om enklatur in der Physik gehalten hat.

Auch der sehr ausgeprägte Sinn für das geschichtliche W erden, der sich in allen Geistes­

äusserungen Schwalbes offenbart, w ar geeignet, ihn vor einer einseitigen U eberschätzung der naturw issenschaftlichen B ildung zu bew ahren;

was er erstrebte, das w ar die H erstellung eines angemessenen Gleichgewichts zwischen den ver­

schiedenen Seiten der G eistesbildung; die A rt, in der thatsächlich in unserem V aterlande das Schwergewicht auf der Pflege des G edanken­

ausdrucks liegt, erregte in ihm die Besorgnis, dass darüber die gedankliche D urchdringung der Sache selbst nicht immer zu ihrem R echte komme, es lag ihm am Herzen neben dem Sprach­

unterricht auch dem S achunterricht sein R echt zu verschaffen, als dessen hauptsächlichsten T räger er die N aturw issenschaft betrachtete.

Dieser P u n k t w ar es, auf den es ihm vornehm-

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Jah rg. VII. No. 3.

lieh ankam, nicht der Gegensatz, den eine falsche Unterscheidung zwischen N atur- und Geistes- W issenschaft konstru iert hat. Auch die N atur­

w issenschaft ist eine Geisteswissenschaft, die, aus dem menschlichen Geiste geboren, nicht nur die N aturerscheinungen selbst, sondern in nicht minderem Grade auch die zur B ew ältigung dieser N aturerscheinungen vom menschlichen Geiste ersonnenen V orstellungen und Begriffe zu ihrem Gegenstand hat.

D er A nerkennung der N aturw issenschaft als eines vollberechtigten F aktors der Geistesbildung w ollte Schwalbe zum Siege verhelfen, das war die Lebensaufgabe, die er sich gestellt hatte.

In letzter Instanz ist es dieser Zweck, dem er durch sein E intreten in die Realschulbewegung d ie n te ; dieser Zweck ist es ganz unm ittelbar, für den er durch seine M itw irkung an der Gründung unseres Vereins und durch seine B eteiligung an

f

unseren Vereinsbestrebungen eine wirksame

\

F örderung erhoffte.

Von dem Umfange dieser B eteiligung giebt unser Vereinsorgan ein sprechendes Zeugnis, in dem R egister der ersten Jahrgänge dieser selbst auch nur unter seiner Beihülfe ins Leben getretenen Z eitschrift figurierte kein Name m it einer grösseren Zahl an B eiträgen als der seinige, wertvollen B eiträgen der verschiedensten A rt. D arüber hinaus aber h at er dem Verein und der vom Verein vertretenen Sache die grössten D ienste durch die B eachtung geleistet, die er den Vereinsverhandlungen und Vereins- besclilüssen an m assgebender Stelle verschaffte.

Die ins Auge fallende B edeutung seiner P ersön­

lichkeit , deren mächtigem E indruck sich Nie­

mand entziehen konnte, kam der von ihm befürw orteten Sache zu gute.

Und daran anschliessend sei auch auf die rein menschlichen Eigenschaften Schwalbes hin­

gewiesen. Grosses im Leben erstreb t und erreicht nur der, dessen W esen von einem tief­

gehenden Idealism us getragen w ird , und das tra f bei Schwalbe in vollstem Masse zu. W as e r w ollte und was er durchfiihrte, das geschah nicht aus persönlichem In teresse, es geschah aus idealer B egeisterung für die Lebensanschau­

ungen, die er als richtig und g u t erkannt zu haben glaubte, ihnen widmete er selbstlos seine ganze, fa st unerschöpflich scheinende L eistungs­

fähigkeit; in selbstloser H ingabe für diese Zwecke h a t er seine K ra ft, wie w ir vielleicht sagen müssen, allzusehr angespannt und aufgerieben, i

F ü r uns ste h t er da als ein leuchtendes Beispiel d afü r, dass Idealismus und Realismus keine Gegensätze sind, dass sie sich gegenseitig ergänzen, indem ein ideales S treben sich auf die tiefere E rkennung der realen, uns überall um gebenden, frisch pulsierenden W e lt der G egenw art richtet. Das w ar Schwalbes Lebens­

anschauung, sein W unsch die H erstellung einer

Schulverfassung, die dieser Anschauung gerecht

| wird, und w ir dürfen sagen, er h at dafür nicht I erfolglos gekämpft.

N icht m ehr wie vormals nu r in dämmernder

! Ferne, nein in immer greifbarer erscheinenden

j

Umrissen ersteh t vor uns das Bild einer Schul- i gestaltung, die dieses Bildungsideal zu verw irk­

lichen geeignet ist. Und wenn im Laufe der Jah re das, was w ir je tz t nur noch halb und unvollendet sehen, zu voller D urchführung ge­

lan gt sein wird, dann w ird man unter den Männern, denen dieser Erfolg zu danken ist, an erster Stelle auch S c h w a l b e s Namen nennen.

In der Geschichte unseres U nterrichtsw esens w ird er stets einen hervorragenden P latz ein­

nehmen, in unserm Vereine kann er nie ver­

gessen werden.

Ehre bleibt ihm unter uns und ein unver­

gängliches Gedächtnis.

U e b e r G r u n d f r a g e n d e s p h y s i k a l i s c h e n U n t e r r i c h t s .

V o rtra g , g e h a lte n a u f d er H a u p tv e rsa m m lu n g des V erein s z u r F ö rd e ru n g des U n te rric h ts in d e r M a th em atik u n d den N a tu r­

w issenschaften in Giessen*).

Von F. P o s k e in Berlin.

Meine H erren! Ueber Grundfragen des phy­

sikalischen U nterrichts habe ich die A bsicht zu Ihnen zu sprechen. Ich meine dam it nicht solche F rag en , die sich auf die äusseren Be­

dingungen unseres U nterrichts beziehen, obwohl auch diese F ragen nicht nebensächlich, ja zum Teil sogar geradezu Lebensfragen des physika­

lischen U nterrichts sind, wie die Fragen der ausreichenden Beschaffung der L eh rm ittel, der für den U nterrich t erforderlichen Stundenzahl, der V orbildung und F ortbildung der L ehrer des Faches.

Als G rundfragen m öchte ich vielm ehr solche bezeichnen, die eine gänzlich innere Angelegen­

h eit des U nterrichtes selbst sind und die in engem Zusam m enhänge m it der einen H au p t­

frage ste h e n : W ie b r i n g e n w i r d e n e i g e n t ­ l i c h e n B i l d u n g s g e h a l t d e s p h y s i k a ­ l i s c h e n U n t e r r i c h t s z u m ö g l i c h s t v o l l - k o m m e n e r W i r k u n g ?

D arüber, was u n ter diesem B ildnngsgehalt zu verstehen sei, dürfte ziemlich allgemeines E in ­ verständnis vorhanden sein. H ö f l e r in W ien h at dem schon vor Jah ren in der klassischen Form A usdruck gegeben, der P hy siku nterrich t habe den Vorzug, dass hier der Schüler an dem denkbar einfachsten Stoff die denkbar exaktesten M ethoden geübt s e h e ; **) und er h at dies noch näher e rlä u te rt, indem er d arleg te, dass die wissenschaftlichen Methoden der P hysik die

*) S. diese N um m er, S. 53.

**) A ehnlich haben schon die preuss. L eh rp lä n e von 1882 sieh hinsichtlich des chem ischen U n te rric h ts aus­

gesprochen (daselbst S. 37).

1901. No. 3.

Ue b e r Gr u n d f r a g e n d e s p h y s i k a l i s c h e n Un t e r r i c h t s.

S. 45.

relativ einfachsten Typen für den späteren bew usst logischen B etrieb irgend w elcher E r­

fahrungsw issenschaften sind. Man darf in der T h at m it H ö f 1 e r behaupten : w er P hysik nicht kennt, h at keinen Begriff von exakter W issen­

schaft. Insbesondere über die logisch-bildende K raft des P hysikunterrichtes sind von mehreren Seiten neuerdings wertvolle- Studien veröffent­

licht. Aber doch dürften diese B estrebungen nicht so zu verstehen sein, als ob der W ert der P hysik nun hauptsächlich darin bestehe, dass sie eine Vorschule für die Logik abgebe;

es mag sogar dahingestellt bleib en, ob und w iew eit es ausführbar ist, auf der obersten Stufe des U nterrichts zu einer direkten Formu-' lierung und U nterscheidung der logischen Me­

thoden des Erkennens fortzuschreiten. Der eigentliche B ildungsw ert der P hysik liegt viel­

mehr in der inneren Logik und F olgerichtigkeit des V orgehens, das zu einer stufenweise aus­

gedehnteren E rkenntnis der W i r k l i c h k e i t führt. W as man in der P hysik und Chemie und nirgends sonst so gu t lernen kann ist dies;

e i n e n r e i n e n T h a t b e s t a n d o h n e V o r ­ e i n g e n o m m e n h e i t u n d o h n e v o r g e ­ f a s s t e B e g r i f f e a u f z u f a s s e n , vielmehr die zur Auffassung nötigen Begriffe an der H and der Thatsachen selbst erst zu bilden, mit Hülfe dieser Begriffe die Thatsachen zu verknüpfen, und so allmählich fortschreitend zu Gesetzen aufzusteigen, die nicht den Dingen vom Geiste anfgezwungen s in d , sondern aus den Dingen und Vorgängen selbst geschöpft sind. H ierm it un trennbar verbunden ist die Erziehung zu objektiver Treue, unbestechlicher W ahrhaftigkeit, unbedingter A nerkennung einer W irk lich k eit, an der w ir durch unser Denken nichts ändern können. D er Begriff der W irk ­ lichkeit in diesem Sinne is t freilich nicht be­

schränkt auf das Greifbare, Materielle, das der P hysik als eigentliches O bjekt vorliegt; aber an diesen greifbaren Dingen w ird die Fähigkeit, um die es sich hier handelt, zunächst geübt und ausgebildet.

Die von m ir dargelegte Auffassung von dem, was den B ildungsw ert der Physik ausmacht, entspricht durchaus dem schon vor Jahren von Prof. E r n s t M a c h aufgestellten Satze, dass d i e A n p a s s u n g d e r G e d a n k e n a n d i e T h a t s a c h e n u n d d e r G e d a n k e n a n e i n ­ a n d e r das Ziel der N aturw issenschaft und des naturw issenschaftlichen Unterrichts sei.

W enn dam it der Gedankenprozess, der zum A ufbau unserer physikalischen Erkenntnis führt, gleichsam in eine kurze Form el zusammenge­

fasst ist, so ist mit dieser auch schon eine A ntw ort auf unsre F rage an die H and gegeben:

D er U nterrich t ist so einzurichten, dass dieser W erdegang des naturw issenschaftlichen E r­

kennens auch im Geiste des Schülers sich voll-

' zieht; der Lehrstoff darf nicht dogm atisch über-

| m ittelt werden, sondern er muss in fortgesetzter D enkbarkeit an der H and der Thatsachen er­

arb eitet werden.

W enn w ir uns nun fragen, inw iew eit unser I U nterrich t diesem Ideal entspricht, so müssen w ir freilich gestehen, dass noch viel an der : Erreichung dieses Zieles fehlt. Unser U nter­

richt ist eben an vielen Stellen noch zu sehr ein blosses Lehren, ein Bekanntm achen m it E r­

kenntnissen, s ta tt eines eigentlichen Schaffens oder besser Neuerzeugens solcher Erkenntnisse.

Zwei Gefahren sind es, von denen unsre A rbeit in dieser R ichtung bedroht und beein­

träc h tig t ist.

A uf der einen Seite w iderspricht die Tradi­

tion der physikalischen Lehrbücher — man kann sagen seit Jahrhunderten — einer solchen freieren und lebendigeren G estaltung des U nter­

richts. Die L ehrbücher sind von jeh er einer system atisch-deduktiven D arstellung geneigt ge­

wesen. Hierzu tru g im Jah rh u n d ert 16 die herrschende kartesische Philosophie bei, die der m athem atischen Form des Denkens einen unbe­

dingten Vorzug vor jed er anderen zuerkannte.

Im Jah rh u n d ert 17 w ar in gleicher R ichtung der überw ältigende E indruck des N e w t o n sehen Systems der N aturphilosophie wirksam. Unter­

dessen Einfluss stand auch K a n t , als er den berühm ten A usspruch that, dass in jeder beson­

deren N aturlehre nur soviel eigentliche W issen­

schaft sei, als M athematik darin anzutreffen sei.

Und noch heu t stehen w ir u n ter dem Zeichen dieses Ausspruchs, zu dessen Stütze die F o rt­

sch ritte der theoretischen P hysik im abgelaufenen Jah rh u n d ert nicht w enig beigetragen haben. Man h at demgeinäss in älterer wie in neuerer Zeit danach gestrebt, den Lehrdarstellungen eine m öglichst streng deduktive G estalt zu geben, und man hat die Mechanik als das vollendetste K apitel der P hysik gepriesen, weil hier die m athem atisch-deduktive B ehandlung am konse­

quentesten durchgeführt sei. Hierzu kommt, dass auch die L ehrer der Physik in früherer Zeit (und zum Teil noch heute) überwiegend M athem atiker waren, denen vielfach selbst das Verständnis für die eigenartige N atu r der in der Physik zur A nwendung kommenden M etho­

de fehlte, und die daher, wenn sie überhaupt experim entierten, dem Experim ent doch nur eine beiläufige und untergeordnete Rolle zuwiesen.

Aus der Uebersclüitzung der deduktiven Darstellungsform entsprangen denn auch Miss­

griffe wie etw a der, dass man die W ärm elehre m it Auseinandersetzungen über die Schwingun­

gen der Aetherm olekiile begann, oder in der

ersten P hysikstunde die A ggregatzustände auf

Grund hypothetischer K räfte der M aterie (etw a

nach K a n t ) definierte — oder dass man an

den Anfang der Physik das Dogma s te llte : alle

S. 46.

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Jahrg. VII. No. 3.

Erscheinungen der Physik sind Bewegungen und dergl. mehr.

Aus derselben Ueberschiitzung ging auch die heute wohl schon etwas zuriickgetretene Mei­

nung hervor, als müsse auf der U nterstufe vor­

wiegend induktiv, auf der Oberstufe vorwiegend deduktiv verfahren werden. Daraus folgte dann, dass man das Experim ent m öglichst auf der U nterstufe abzumachen suchte, um auf der Ober­

stufe für die m athem atische B ehandlung P latz zu haben — ein Vorgehen, das der eigentlich physikalischen N atur des U nterrichts erheblich Abbruch gethan hat. Es muss vielmehr ver­

langt werden, dass auch auf der Oberstufe m öglichst keine Stunde ohne Experim ent ver­

laufe. Die B eiträge, die H ö f 1 e r und Pr. C.

G. M ü l l e r zur Lehre von den Schwingungs­

bew egungen geliefert haben, geben ein vortreff­

liches Beispiel für das, was in dieser R ichtung geschehen kann. Auch die Lehrpläne von 1892 geben ja ganz allgemein die Vorschrift, dass der Versuch bei a l l e n B etrachtungen in den Vor­

dergrund zu stellen sei.

A uf der anderen Seite steh t die Gefahr einer Ueberschätzung des Experim ents, die Gefahr einer Häufung von Thatsachen, ohne dass die gestaltende, schöpferische K raft des Geistes darüber schwebt. Auch diese R ichtung h at ihren S chutzpatron — keinen geringeren als B a c o v o n V e r u l a m , der m it seinen Vor­

schriften einer bloss äusserliclien Ansammlung von Thatsachen Vorschub leistete und unter dem charakteristischen Titel silva silvarum, W ald der W älder, ein wahres Arsenal von W issens­

stoff zusamm enbrachte, ohne dadurch die W issen­

schaft selbst auch nur im m indesten zu fördern.

Man kom mt bei dieser A rt des Vorgehens besten­

falls zu einer klassifizierenden Uebersiclit, aber nicht zu einer in den Zusammenhang der Dinge eindringenden E rkenntnis.

Zwischen beiden V erfahrungsarten, der ein­

seitig deduktiven und der einseitig em piristi- sehen, wie ich sie kurz nennen will, steh t die­

jenige, die dem Gang des physikalischen Denkens selbst entspricht. Das physikalische Denken h eb t m it Problem en an, die im

davuaQuv,

im philosophischen E rk e n n tn istrieb , ihre W urzel haben, und deren jedes, sobald es gelöst ist, ein oder m ehrere neue Problem e nach sich zieht, wie die H ydra, wenn ein K opf abgeschlagen, sogleich m ehrere neue hervorbringt.

Auch der U n terricht w ird seine Aufgabe nicht besser lösen können, als indem er den Problem en nachgeht, die sich schon bei den einfachsten N aturerscheinungen aufdrängen.

Freilich ist fü r einen solchen Gang des U n ter­

richts wenig A nhalt zu finden, weder in den üblichen Lehrbüchern, noch auch in den Hoch- schulvorlesungen, die der Regel nach nicht auf den Bildungszweck im allgemeinen Sinne, son­

dern auf eine gewisse Fachvorbildung oder auf eine erste O rientierung in dem Ganzen der physikalischen Lehren und leider zum eist auf eine gewisse Exam ensvorbereitung für S tudie­

rende anderer Fächer zugeschnitten sind. Die beste A nleitung findet man in dem Studium der O riginalschriftsteller, aber doch ist es im allgemeinen nicht thunlieh, einfach dem Gang der historischen E n tw ickelun g, der oft ein Zickzackweg ist, zu folgen. N ur eine „ g e ­ d u l d i g e L ä u t e r u n g u n d S i c h t u n g d e s L e h r s t o f f e s i m g r o s s e n u n d k l e i n e n “ kann allmählich dem Ziel näher führen, und nur die gemeinsame A rbeit vieler kann uns hierin vorw ärts bringen. *)

Ich darf hier wohl daran erinnern, dass die Lehre vom elektrischen P otential, wie sie heute schon von vielen von uns im U n terricht gehand- h ab t wird, in einer bew ussten A bwendung von den L ehrbüchern und von der H ochschulpraxis ihren U rsprung hat, und dass diese Lehre nur aus dem Eingehen äuf die historische E ntstehung des hierbei in b etrach t kommenden Begriffs des elektrischen Zustandes einen neuen In h alt ge­

winnen konnte, der dem natürlichen Gang des D enkens entsprach.

Ich erlaube m ir ferner daran ■ zu erinnern, dass auch in der H ydrostatik eine gew altsam

! deduktive, auf P a s c a l zurückzufiihrende Dar-

i

Stellung den eigentlichen Gang der Entw icklung

| in sein Gegenteil verk ehrt hatte, und dass es j auch hier nu r durch gänzliche Loslösung von der L ehrbuchtradition möglich war, einen natur- gemässeren Zusammenhang der Thatsachen und Gesetze herzustellen.

Von neueren Bemühungen in derselben R ich­

tu n g nenne ich die lehrreiche Programm -Ab­

handlung von O t t in W eim ar (1901) über das Them a: „W ie lassen sich die Anregungen, die N e w t o n in seiner O ptik giebt, für den U n ter­

rich t v erw erte n ?“ —

H eut möchte ich auf zwei w eitere K apitel aufmerksam m achen, die ebenfalls durch den B ruch m it der L ehrbuchtradition ein ganz an­

deres Aussehen gewinnen. Es sind dies die A e r o ­ s t a t i k und die Lehre vom G l e i c h g e w i c h t a m H e b e l und an den einfachen Maschinen überhaupt.

In der A ë r o s t a t i k ist wie in der H ydro­

s ta tik bis auf den heutigen T ag eine Lehrdar- stellung herrschend geblieben, die gleichfalls auf P a s c a l zurückgeht und zw ar auf dessen 1653 verfassten (1663 nach seinem Tode ver­

öffentlichten) T raité de l’équilibre des liquides et de là pesanteur de la masse de l ’air. D er Torricellische Versuch wird hier als ein beson­

derer F all des Gleichgewichts der Flüssigkeiten

*) H ö f 1 e r, N a c h ru f a u f B . Maiss, W ien er V iertel­

ja h rsb e ric h t 1900, H e ft 2 un d 3.

1901. No. 3.

Ue b e r Gr u n d f r a g e n d e s p h y s i k a l i s c h e n Un t e r r i c h t s.

S. 47.

an die Spitze gestellt, und die einzelnen E r­

scheinungen an Pumpen, Hebern, beim Saugen usw. als Anwendungen des Druckes der Flüssig­

keiten, hier der Lnft, erk lä rt — ein Muster deduktiver D arstellung, an dem jeder m athem a­

tisch beanlagte K opf seine F reude haben kann.

Unsere L ehrbücher folgen zum eist noch heut diesem Gang, und kommen nur in Verlegenheit, wohin sie die von P a s c a l noch nicht berück­

sichtigte Luftpum pe stellen sollen , die nun streng genommen nur als eiu Anhängsel an die W asserpum pen — U nterabteilung so und so viel — ein Unterkommen finden kann. Die Luftpum penversuche werden dann in mehr oder w eniger system atischer Folge aneinandergereiht.

Dass die Luftpumpe, selbst ein w ichtiges H ilfs­

m ittel der F orschung w ar und ist, daran ist kaum noch eine E rinnerung vorhanden.

Geht man dem historischen Gange nach, so zeigt sich, dass auf diesem Gebiete zwei E n t­

wicklungen unabhängig von einander sta ttg e ­ funden haben. Auf der einen Seite die Reihe, die m it T o r r i c e l l i s , an einen G a

1

i l e i sehen Gedanken anknüpfenden Versuch beginnt, dessen richtige D eutung übrigens bis in die 60 er Jahre jenes Jahrhund erts Gegenstand h eftiger Contro- versen war. A uf der anderen Seite O t t o v o n G u e r i c k e s Forschungen, die sich an die E r­

findung der Luftpum pe anschliessen und zum Teil wohl noch demselben Jah rzeh n t des J a h r­

hunderts XVI, wie T o r r i c e l l i s Versuch an­

gehören. O t t o v o n G u e r i c k e h at später T o r r i c e l l i s Versuch kennen gelernt, doch spielt dieser bei ihm eine ganz untergeordnete Rolle, da alles wesentliche bereits ohne diesen Versuch feststand.

Beim Vergleich der beiden E ntdecker ist es nun für mich keine Frage, dass sich eine An­

lehnung an G u e r i c k e ungleich m ehr empfiehlt, als T o r r i c e l l i . Ich sehe dabei ganz davon ab, dass es uns nicht gleichgiltig sein kann, wenn ein so hervorragender deutscher Forscher wie G u e r i c k e , eine der wenigen L ichtge­

stalten in der deutschen K ultur jenes unseligen Jahrhunderts, dadurch m ehr in den V ordergrund g erückt wird. Massgebend ist, dass seine Ver­

suche an U rsprünglichkeit und Einfachheit des Gedankens wie an überzeugender Bew eiskraft die T o r r i c e l l i sehe E ntdeckung w eit über­

treffen. Auch ordnen sie sich aufs natürlichste in eine Folge von Problem stellungen ein, die ich folgendermassen formulieren m öchte:

1. Die F rage nach der K örperlichkeit der L uft (bereits bei Heron von Alexandrien beantw ortet) ;

2. Die F rage nach der Schwere der Luft (diese F rage ist ohne Luftpum pe durch galileische Versuche zu entscheiden);

3. Die Frage, ob innerhalb der Luft, wie in anderen schweren Flüssigkeiten, ein D ruck

von der A rt des hydrostatischen vor­

handen ist.

H ier ist nun der P unkt, wo O t t o v o n G u e r i c k e s Entdeckungen einsetzen. Ich nehme keinen Anstand, im U n terricht hier zunächst einen Exkurs über W asserpum pen einzuschieben, obwohl dies einV erstoss gegen die system atische A nordnung zu sein scheint, da die richtige E r­

klärung ih rer W irkung erst an einer späteren Stelle des Lehrgangs nachgeholt werden kann;

•aber ich halte dies fü r keinen Fehler, da hier­

m it wieder ein Problem in den Gang der D ar­

stellung eingeftigt wird, das ein lebhaftes In ter­

esse hervorruft.

Also an die W asserpum pe schliesst sich 0 . v. G u e r i c k e s Erfindung der Luftpum pe, diese fü h rt sofort zur B eantw ortung der Frage nach dem Druck der L u ft; bekannte Versuche machen den D ruck der L u ft sinnenfällig.

Es folgt nun 4) die F rage nach der Grösse des L uftdrucks. G u e r i c k e h at ihn durch An­

hängen von Gewichten an den Kolben eines evakuierten Getässes, aber auch durch die Höhe einer W assersäule gemessen. Zur genauen Messung kann dann T o r r i c e l l i s Versuch dienen, dessen Verständniss nun hinreichend vorbereitet ist. Immerhin genügt es auch je tz t noch nicht, den Versuch einfach aus dem vorher als vor­

handen nachgewiesenen L uftdruck zu erklären, sondern man muss den direkten Nachweis liefern, dass der Luftdruck w irklich die U r­

sache für das Hängenbleiben des Quecksilbers in der Röhre ist.

Dies geschieht, indem man die ganze Vor­

richtung in den Rezipienten der Luftpum pe bringt und zeigt, dass m it der W egnahm e der Ursache auch die W irkung wegfällt. Man h at gerade hier Gelegenheit, ein wichtiges m etho­

disches Prinzip der Forschung im U nterricht vorzuführen.

W as die S p a n n k r a f t der L uft betrifft, so w ird diese vielfach m it den übrigen Erschei­

nungen zusammengeworfen. Es verdient aber B eachtung, dass die S pannkraft noch für 0 . v. G u e r i c k e etw as Frem des war, wom it er sich nicht rech t einlassen mochte. Vielmehr hat erst R o b e r t B o y 1 e diese von anderer Seite bereits erkannte Eigenschaft näher erforscht.

Es liegt hier ein besonderes Problem vor, auf das man bei verschiedenen Gelegenheiten stösst. Es drängen sich etwa die Fragen auf:

W oher kommt es, dass der Torricellisehe Versuch unverändert bleibt, wenn man die ganze V orrichtung in einen völlig geschlosse­

nen B ehälter b rin g t, oder wenn man den offenen Schenkel eines Heberbarom eters lu ft­

dicht schliesst ? W oher kommt es, dass beim Auspumpen des R ezipienten die Quecksilber­

säule allmählich sin k t? W oher kommt es, dass

eine geringe Menge Luft, in das Torricellisehe

S. 48.

U N T E R R f C H T S B L Ä T T E R .

Jah rg . VII. No. 3.

Vacuura gebracht, ein beträchtliches Sinken der Quecksilbersäule zur Folge hat? W oher komm t es, dass es 0 . v. G u e r i c k e gar nicht gelingen w ollte, sämtliche L uft aus dem Rezipi­

enten zu entfernen ? — Durch solche Fragen kom mt man dem Begriff der S pannkraft näher, der dann durch bekannte Versuche w eiter er­

läu tert und in seinem gesetzm ässigen Verhalten untersucht wird. H ier ist ein Beispiel, wie ein Begriff an der H and der E rfahrung erzeugt, und an der H and der E rfahrung präzisiert wird.

Eine ausführliche D arstellung des Lehrgangs liegt ausserhalb meiner A b sic h t; ich habe nur zeigen wollen, wie au f Grund der geschicht­

lichen Entw ickelung auch die U nterrichts­

behandlung von der bloss system atischen An­

ordnung abgezogen und auf eine lebensvolle V erknüpfung der Problem e gew endet werden kann.

(Schluss folgt.)

+

Z u r M e t h o d e d e s m a t h e m a t i s c h e n S c h u l u n t e r r i c h t s .

Von

J . H c r m e 3 (O snabrück.) (S c h lu ss.)

A b s c h n i t t I I . Die Gerade im Raume.

Die im folgenden gegebene D arstellung ist eine sym m etrische; eine solche verdient in Bezug au f B) wegen ih rer D urchsichtigkeit vor anderen, scheinbar einfacheren (z. B. m it Hilfe von Vek­

toren und Richtungscosinus) den Vorzug, während fü r A) (Aufgabenlösen) letztere oft bequemere Verwendung finden.

[Im folgenden sind die B uchstaben d als

„Differenz“ und A als doppelte „D reiecksfläche“

in A nwendung gebracht. Da nun aber drei Differenzen und drei Dreiecke zugleich auftreten und d i d

-2

d

3

; A i A s A

3

zu schw erfällig ge­

wesen wäre, so sind d ; e ; f und A ; E ; (|> als Bezeichnung gewählt.] vgl. Fig. 8

s = : d2 + e2 + f2. Xo yo zo 1 1) Nach 4') bedeutet: y x ^

1

= °>

! x « y 2 Z o l j

dass die vier P u n k te P o ; P ; Pi ; P

2

auf einer Ebene liegen. W ir denken uns nun Pi und Po fest, Po aber völlig beliebig, die Gleichung jedoch stets erfüllt, so wird ein auf die Axe reduziertes E b e n e n b ü s c h e l entstehen, denn P w ird sich nur auf der Axe Pi P

2

bewegen können und es müssen die vier Koeffizienten a ; b ; c ; b von xo ; yo ; zo ; 1 einzeln gleich Null sein. F ühren w ir zur Abkürzung die aus

xo v-> zo > s*c^ ergebenden, bei superponierten

1 ^-m

lyi Zii

*

-j- genommenen k ön n en ^ zy = : A ; xt yi

= : <|), ferner

— i-v o i

■ X o Z o j

= : ® *) und '

' ¡ X 2 } 2

V V

x

2

— x i = : d ; y2 — yi = : e und z 2 — zi = : f ein, so werden die vier Gleichungen: et = : A -j-

J i j “ » ! » — * + = 0, c = : <J> + j ^) j = 0 ; — b = : x A “f - y E - { - z ( J > = 0, die aber nicht unabhängig von einander sind.

jx2 — xi yo — yi z

2

— zd

Da j xi yi zi i identisch = 0,

I X 2 y 2 Z 2

so b esteht auch zwischen den 6 Grössen A ; E ; (]p und d ; e ; f die Relation d A - j - e E - j - f < i ) = 0 die zur P robe benutzt werden kann und im folgenden kurz m it „P ro b e“ zitiert werden mag.

M ultiplizieren w ir nun die ersten beiden jen er 4 Gleichungen m it d und e und addieren, so

d e .

erhalten w ir: d A - j - e E - j - d e f ' = 0, oder x y z ;

m it R ücksicht auf die Probe — f cf) — f L J = 0 d e1 d e

!xy|

oder auch <|> -f- x ^ = 0 , das ist die dritte Gleichung. W erden je tz t die drei ersten Glei­

chungen m it x ; y ; z m ultipliziert und addiert, so ergiebt sich

x y z

x A - f y E - j - z ( [ ) - [ - d e f — 0 oder auch x y z

x A - f - y E - j - z < | ) = 0, das ist die vierte Gleichung, die eine durch den A nfangspunkt 0 und die Axe gehende Ebene bedeutet.

Unsere 4 Gleichungen repräsentieren also nur z w e i unabhängige Gleichungen für die Axe P i P 2, die durch die Grössen ^ - ’— 2 gegeben

d , e ,

1

ist, falls d A - f - e E - f f(J) = 0 ist.

Um nun zu entscheiden, ob ein P u n k t X

3

ya Z

3

auf dieser Axe ^ liegt, schreibe

d ; e ; f

man X

3

; y

3

; Z

3

h erun ter und sind nun A , I e f I „ .' | f d

1

" H y ;

yr3 z .?

; E — 1— ! beide identisch = 0,

’ 1 Z3 X3 ;

so ist die F rage zu bejahen.

So liegt z. B. der P u n k t 0 ; f

. - 1 $ • E _stets

auf der Axe, denn A -j- ;— <f> E| is t =

0

nach d d

*) H ie r könnte m an n un schon das „Z yklische“

benutzen u nd E — : z lX f schreiben.

Z n X o

1901. No. 3.

Zu r M e t h o d e d e s m a t h e m a t i s c h e n Un t e r r i c h t s.

S. 49.

j f dj

d e r P r o b e u n d E E ^ i s t i d e n t i s c h = 0.

2 ) I s t m - j - n = l , so i s t

m x a .- f - n x i;

m jt2 - f - n y i; m z 2 - f - n z i e in P u n k t P3 d e r G e r a d e n

Pi P 2, denn aus A - f - :

A

e tc . .

m |y i z i

y2 Z‘ 2

^{+ n}

\ r2 Z o

| y i z i

e f y2 Z2

+ n

3

' 1

zi

^{f o l g t}

= A — (m + n) A == 0

B il d e n w i r n u n P i P3, so e r h a l t e n w ir , d a w e g e n in - | - n — 1 a u c h m x2 -{- (n •— 1^{) x i =}

Yl ’ Z 1

m (X_v 2— x i ) i s t u n d _{' r a y}2 1 n y i ; m z’ 2 - j - n z i1 in

A

w i r d , ... f ü r d ie A x e :

m

A

; m E ; m <|) m d ; 111 e ; m f

H i e r a u s r e c h t f e r t i g t s i c h d ie s y m b o lis c h e B r u c h f o r m , d e n n es d ü r f e n d ie s e c h s B e s tim - m u n g s s t ü c k e d u r c h e in e n b e li e b i g e n F a k t o r g e ­ h o b e n w e r d e n . D a n o c h d ie a ls „ P r o b e “ b e - z e i c h n e t e R e la t i o n h i n z u k o m m t , so s i n d a ls o v i e r u n a b h ä n g i g e G r ö s s e n f ü r d ie G e r a d e im R a u m e n ö ti g .

3 ) D ie N e n n e r z a h l e n d : e : f b il d e n d a s V e r ­ h ä l t n i s d e r C o s in u s d e r W i n k e l , w e lc h e d ie G e r a d e m i t d e n A x e n b i l d e t

d e f

c o s a = - ¡ T y j ; COS ß = y s ; c o s

y

⁼

j

.

A * E - cb d i k u l a r b l a t t e z u d e r G e r a d e n ; — 2— L-±- m u s s

d ; e ; f

d ie G le ic h u n g d x - f - e y - ) - f z = d x o - f - e y o - 4 - f z o z u k o m m e n , d e n n d ie K o e f f iz ie n te n d : e : f v o n x ; y ; z b e z e i c h n e n j a d a s V e r h ä l t n i s d e s C o s in u s d e r W in k e l , d ie d a s L o t z u d e r g e s u c h t e n E b e n e m i t d e n A x e n b i l d e t u n d d ie s e s L o t i s t e b e n d e r g e g e b e n e n G e r a d e n p a r a l l e l . D ie G le i c h u n g m u s s a ls o d x - f - e y - j - f z = fr . G l. l a u t e n u n d d ie s f r . G lie d m u s s d xo - f - e 3ro - j - f zo s e in , w e il d ie E b e n e f ü r d e n P u n k t x o ; J o ; zo i d e n t i s c h e r f ü l l t s e in m u s s .

5 ) E in L o t d u r c h x u ; y o ; z o a u f E b e n e u x + v y + w z + l = 0 z u f ä l le n . D a d e r N e n n e r u ; v ; w ; s e in m u s s ( F a k t o r 1 ), s o

' x o y o Z O I

u V w I

i s t d e r Z ä h l e r a u s z u e n tn e h m e n ,

A 37o zo

V w e tc .

D a s L o t w i r d a ls o j x o y o z o

u v w [ F u s s -

p u n k t n a c h 8) z u b e s tim m e n ] .

6) D e r W i n k e l >), d e n z w e i G e r a d e m i t e i n a n d e r b i l d e n , [ g le ic h v ie l, o b s ie s i c h s c h n e i d e n o d e r s ic h k r e u z e n ,] w i r d d u r c h

d di -(- e ei -j- f fi

c o s & — — 7= = ---7= = i—

V ■! • V \ !

b e stim m t-, e v i d e n t n a c h 3 ') . F ü r i? = 0 e r g i e b t s i c h d ie B e d i n g u n g d e r P e r p e n d i k u l a r i t ä t : d d i - f e e i + f f 1 = 0.

7 ) D e r S c h n i t t z w e ie r E b e n e n u x - | - v y +

w

z 4 - 1 = = 0 u n d u i x - ] - v i y - f - Wi z 4 - 1 = 0

k a n n so e r m i t t e l t w e r d e n .

D ie d u r c h d e n A n f a n g s p u n k t u n d d ie s e n S c h n i t t g e l e g t e E b e n e w ir d

(u i — u ) x 4- (vi — v ) y 4- (w > — w ) z = 0, d a h e r A : E : — (u i — u ) : (v i — v ) : (w i — w .)

D e r N e n n e r h a t b e id e B e d in g u n g e n d e r P e r p e n d i k u l a r i t ä t z u d e n L o t e n d e r g e g e b e n e n G e r a d e n z u e r f ü lle n , a u c h d e r P r o b e z u g e n ü g e n ,

. . . .... , u v I e r m u s s m i th i n m 1 v w i... : m ... .. 1 w u :: m ... | s e i n ,

: m Ul\: m i

¡Vl Wl | 1 jWl

: 1

M i th i n w i r d e in d u r c h xo ; V o; zo z u ^ : d ; e ; f Xo 3ro zo| _ g e z o g e n e r P a r a 11 e 1 s t r a h 1: d e f ’ l a u t e n ;

d ; e ; f

d e n n d e r N e n n e r m u s s d e r s e lb e , a ls o d ; e ; f s e in , ! in d e m m = 1 a n g e n o m m e n w e r d e n d a r f , u n d I

1 e f |

nun muss A i 4 - ! = 0 s e i n , ... also .

1

;yo Zoi

a

_Jy°zo!

A i | e f | > • • •

4 ) E in e m d u r c h Xo; y o ; zo g e h e n d e n P e r p e n -

111 — u v i — v w i — w

d a m u v w = 0 ^{u n d}

Ul Vl Wl |

| u v w | iq Vj Wj

m I u v w = 0, w ie a u c h m u v w I = = 0 i s t .

u,

D e r S c h n i t t i s t a ls o :

ui vi w il

u ; v t — v ; w x u v w

w

Ul VL W

w e il m = 1 w i r d , d e n n e in P u n k t d ie s e s (w , — w ) Vl

S c h n i t t e s , z. B . 0 ; v w

m ¡v w k a n n

|v,w,|

n u r f ü r 111 = - j - 1 d ie u r s p r ü n g l i c h e n G le i­

c h u n g e n d e r E b e n e n e r f ü lle n . [M an k a n n a u c h

S. 50.

^Un t k r t c i c h t s b l ä t t k r.

Jah re. VII. No. 3 gleich anfangs in beiden Ebenen

x — 0

setzen,

und so einen P u n k t des Schnittes bestimmen, etc.]

8) D er P u n k t, in welchem eine Ebene*) A ; E ; d>

u x + v V + w z

+ 1

=

0

von exnerGeraden - - -

J

cl; e ; t

getroffen wird ( S t i c h ) , muss durch Auflösung der G leichungen: —• f y 4 - e z 4 ~ A = 0 A x -f- E y -j- $ z — 0 und u x -j- v y -f- w z -j- 1 = 0 erhalten werden. Es ergiebt sich

■^(-d+ -* D s -H— +'1* ^ä D!

¿ H + l Ä e |)

fü r N = d u - f e v - f - f w .

9) Die durch eine Gerade zu einer Ebene gefällte senkrechte Ebene ( H a n g ) w ir d :

d e f

u v wj = A u -f- E v -(- $ w,

| x y z

denn die Bedingung des Senkrechtstehens ist erfüllt, indem :

e f I . I f dl , d e | _ u -4- v i i -f- w

= 0

V W j 1 W U ] 1 j l l v j

ist, auch läuft der H ang der Geraden parallel, da ebenfalls d ie ^ 1 4 - e * ^ -]- f

^

ö' = 0 ist.

:v wj 1 w u. 1 |u v.

E r enth ält aber auch die G erade, da irgend

— (b E ein P u n k t derselben, z . B . 0 ; , , , der

d d

Gleichung des Hanges genügt, n äm lich :

— f ( i Cb 4 - id C E = d A u + ( l E v 4 - d c b w jw u| ^

1

|u vj

soviel wie

— fu $ 4 " d w $ d v E — u e E = d A u + d E v

4

d (J) w

oder auch u (A d 4 - E e 4~ $ f) — 0. „P ro b e“.

[Für die S p u r dieser Geraden auf der ge­

gebenen Ebene ex-giebt sich nach 7), wenn u 2 4 - v 2 4 " mit k abgekürzt w ird und A u 4~ E v 4~ $ w 31, nach U m form ung:

9t u 4 - le f

1

jv w 1 ; 91

^V

4 - !

1

l

f d

w u ; 91 w

4

- d e|

u V

d N u k

le NI i ; <

i

iv

^{E 1}

? . _{w k} ^{f NI}

welcher der Stich aus

8

) genügt. Die Spur auf die Horizontalebene (oo z 4~ 1 = 0) w ird, indem durch

a>- (o> —

oo) gehoben w ird :

0

,

0

, $ . , - | d e i „

—

J

d as is t $ + x y| -

0

woraus die B edeutung dieser Gleichung erhellt.]

*) I s t sie in d e r F orm A x + B y - f C z + D = 0 gegeben, so w ird N = d A - ) - e B + f C u nd d e r Z ähler

j C A I

^ A r

10)

d e f

!d! e, f, |

Z w e i G e r a d e.

W erden die Grössen D ;

E

; F d u rc h :

; bestimmt, so wird das durch die e r s t e Gerade zur • zw eiten Geraden gelegte P arallel­

b latt, desseix Normale also zu beiden Geraden senkrecht steht, Dx

E y - \ -

Ez = freiem Gliede sein, denn es gelten identisch: dD + e / i + f F = 0

jd e f | und d

1

D - ] - e

1

/ i

4

_

4

E =

0

, weil (

und

^{4 ei c h}

di ei f, f ; , ^

l ei E]

f =

0

0

sind.

Das freie Glied kann , da ja 0 $ d ist, durch

Id e | E ' ldi e j d =

E d

d 24 -£24-f2(

D

2

4 -

E -

4 - F-’.

z. B. von y , : — D e - f

ein P u n k t der ersten Geraden

— / ? $

,

F E d f $

” d \

1

d !di fil d

A d, 4 - E et - f $ fj gegeben werden (Probe).

Das durch die zweite Gerade zur ersten gelegte P arallelb latt wird also, da Dj = — D

E x = — E ; i \

= —

F

ist■: D x - f

E y

- f F z = - ( A jd - j- B ie 4~ $ tf) uncf (fer A b s t a n d R R t = p beider Geraden von einander gleich der Differenz der vom U rsprünge 0 auf die beiden P a ra lle l­

ebenen gefällten Lote 0 R — Ö R t

_ A d( 4~ E e, 4~ $ fj 4“ (f “t- e Ei 4“ f $1

V

M

~~ ± I S; fur S :

Is t M =

0

, so s c h n e i d e n sich die Ge­

raden ; (im P un kte R, den w ir w eiter unten bestimmen wollen).

Die Bedingung M = 0 für das Sich-schneiden zweier Gei'aden kann auch, wie leicht ersichtlich

(d 4~ dj) (A 4“ A4 4- (e 4- ei) (E 4“ E ,)

4-4 4 - 4) (<$> + 4h) —0

geschrieben werden. Man h a t also den in der Anwendung bequemen S atz: „Geben zwei Ge­

rade bei A ddition ih rer entsprechenden Be­

stim m ungsstücke das Symbol einer Geraden, so schneiden sie sich in einem P unkte. Auch können noch F ak to ren m und nq eingeführt w erden ([ebenes] Strahlbüschel). Ausdehnung auf drei nicht in derselben Ebene befindliche Strahlen, die durch denselben P u n k t gehn. [Strahlbündel].

Es soll nun ferner die gemeinsame Normale für zwei Gerade aufgestellt w erden; der Nenner muss schon nach dem Vorhergehenden D :

E :

F sein. Es handelt sich nu r noch um den Zähler;

1 1 )

Bestimmen w ir zunächst die durch

A ; E ; $ . , , T , T.

Xo ; yo ; zo zu - gelegte i < o r m a 1 e. Von d ; e ; t

den beiden G leichungen:

1) Des durch xo ; yo ; zo gelegten Perpendi-

k ularb lattes vergl. 4):

1901. No. 3.

Zu r M e t h o d e d e s m a t h e m a t i s c h e n Un t e r r i c h t s.

S. 51.

d (x — xo) + e (y — y 0) - f f (z — z0) =

0

und 2) der B edingung: A x - f E y - f < f z = 0 dafür, dass x ; y ; z auf der durch

0

und die Gerade gehenden Ebene liegt, kann die zweite Gleichung, falls x ; y ; z der F usspunkt R ist, auch

r

VA + y

0

z„ } <x — x °) + {E + ¡z

0

xo') (y — yo) + jcl ) + ; : xoyo|(z_zo) = 0)

geschrieben werden, denn die hinzutretenden Glieder heben sich fort, indem:

N o y o z o : x y z

x i

yi

z i |

+ d e f durch : (verg l.:

2

)

X 2 J ' 2 Z21 X o y o Z o

xo

. Y o z o x y z

— m Xj zi i -f- m [x — Xi y — yi z — zu — 0

x y z x

0

y

0

z

0

ersetzt werden k a n n , wenn man den P u n k t xs V

2

za auf der gegebenen Geraden durch den gesuchten P u n k t R ersetzt denkt, woduch die Gerade nicht verändert w ird. (F ak to r m).

M ithin lässt sich aus den beiden Gleichungen

1

) d (x — x0) - f e (y — y0) - f f (z — z0) =

0

und

2

) a

0

(x — x0) + *><> (y — To) + co (z - zo) =

0

(x — x0) : (y - y0) : (z — z0) = d ’ : e ': f folgern, wo

d

g

f

d '; e' ; f' durch f | ; bestim mt sind. Die

“o o

'■0

gesuchte, durch x0 ; y 0 ; z

0

gelegte Normale ist xn y<i zo . „ f

daher d' e' f V ; a0 — : A + ; etc. . . d

^/

_{; e ; f}

^{/ pr J u u}

12) Hiernach muss sich nun bei der Aufgabe von der g e m e i n s a m e n N o r m a l e zu zwei

A ; E ; , A i ; E i ; $ j

•• , — T und

J

d

j

g j i di , Gj j ii wenn je tz t x ; y ; z ein b e l i e b i g e r P u n k t dieser Normalen sein soll, in Bezug auf die erste

^ C f m D ; m

E

; m F ergeben, gegebenen Geraden:

Gerade a b c

denn w ir h atten am Schlüsse von 10) den N enner als D :

E

: F festgestellt ; doch könnte ein uns unbekannter F ak to r m hinzutreten, so dass m D = : d ' ; m E = e ' ; m F = f aus 11) ist. W erden die W erte für a ; b ; c eingesetzt,

d e f ;

also ¡e f if d , d e ' A + yz ;E + z x - ^ + xyjl gebildet, so erh ält man die Gleichungen:

f — s x — d t -(- e <|> — f E = . m D;di

— s jT — e t - j - f A — d cj) = m

E \ t

l

| — s z — f t d E — e A = m Fjfj worin t durch d x - j “ e y -r i ,z _ !_ *'=:::® a^s E n "

bekannte eingeführt wird. W erden die Glei­

chungen m it di ; ei ; fi m ultipliziert und addiert und aus dt x

- f -

ei y -f- fi z -j- ti

= 0

, ti als zweite U nbekannte nebst den A bkürzungen:

d d i + e e j + f f , = : K D A + ^ E + Fc)5 = :P Di Ai -j- E i Ei -f- Fi cj)i = : Pi eingeführt, so erhalten w ir die G leichung:

— K t - | - s t i — P = 0, m ithin analog si t — K ti — Pt = 0 in Bezug auf zweite Gerade. Hieraus t =

™ ± ! L *

b K P, + st P

die und und ti =

denn s s , ( l - ( . A . ) " )

x y zi •

oder gehoben | D j B F j ’ , worin weil s sx — K

2

= S , , s st sin

2d

= S nach

V

s

Vb1

2')

Zusatz, oder auch direkt zu verifizieren.

Die gemeinschaftliche Normale w ird nun

! x y z j jm D m ß m F '

m D ; m £ ; m F D ;A 1;F

die nunm ehr zu erm ittelnden W erte von x, y, z einzusetzen wären.

Nach 7) ergiebt sich aber d irek t a u s : d x -j— e y — |— f z — |— t =

0

)

und di x -j- ei y -j- ft z -j- ti — OJ für den Schnitt dieser beiden Ebenen, der eben die verlangte gemeinsame Normale ist, das Symbol:

jt d j jt e j jt f j jti di

1

’ ¡ti ei] ’ |ti

D ;

E

; F.

13) F ü r die F usspunkte R (und Ri), die die Endpunkte von o sind, erhält man (R)

[(Rj) durchweg Index 1,] denn R ist der Stich der ersten Geraden in die Ebene d x - f e y -j- f z -j- t = o, mithin nach

8

)

+ e

2

- f f

2

_ s_

t — t

und der Zähler von der K oordinate in R ichtung

1

e f

der x - Axe = — d - f '

4

j (J) j» woraus die Uebereinstim mung erhellt.

14) F ü r den g e m e i n s a m e n P u n k t R und die g e m e i n s a m e E b e n e : @, falls also M = A di - f E ex - f <|> f

- f d A i - f e E, - f f (fj = 0 ist, findet man gewöhnlich [vergl. Clebsch - Lindemann, Vor­

lesungen über Geometrie, Bd. 2, pag. 41 ff.]

folgende Form eln angegeben: R wird

d A i - f E et - f cf» fj ; e Ej - f A dj - f cf> fj ;

D E

A j f j f A d , - f E e,

F

und ® h at die G leichung: