Unterrichtsblätter für Mathematik und Naturwissenschaften, Jg. 6, No. 3

(1)

J a h r g a n g V I.

U nterriclitsblätter

1900. N r. 3.

für

Mathematik und Naturwissenschaften.

Organ des Vereins zur Förderung

des Unterrichts in der Mathematik und den Naturwissenschaften.

P ro f. D r. B. S c h w a lb e ,

Direktor des Dorothcenstädt. Realgymnasiums zu Berlin.

H erau sg eg eb en von und

P ro f. F r. P ie tz k e r ,

Oberlehrer am Königl. Gymnasium zu Nordbausen.

V e r l a g v o n O t t o S a l l e i n B e r l i n

W.

^30.

Redaktion: A lle für die Redaktion bestimmten M itteilungen und Sendungen ■werden nur an die Adresse des Prof. P i e t z k e r in Mordhausen erbeten.

Verein: Anm eldungen und B eitragszahlungen für den Verein (3 Mk. Jahresbeitrag oder einm aliger Beitrag von 45 Mk.) sind an den Schatzmeister, Oberlehrer P r e s l e r in Hannover, Lindenerstrassc 47, zu richten.

Verlag: Der B e z u g s p r e i s für den Jahrgang von 6 Nummern ist 3 Mark, für einzelne Nummern oo P f. Die Vereinsmit

glieder erhalten die Zeitschrift u n entgeltlich; frühere Jahr

gänge sind durch den V erlag bez. eineB uchhdlg. zu beziehen.

A n z e i g e n kosten 75 P f. für die3-gesp. N onpar.-Zeile; bei Aufgabe halber od. ganzer Seiten, sow ie bei W iederholungen Erm ässigung. — Beilagegcbühren nach Uebereinkunft.

Nachdruck der einzelnen A rtikel ist, wenn überhaupt n ich t besonders ausgenommen, nur m it g e n a u e r A ngabe der Quelle und m it der Verpflichtung der Einsendung eines Belegexem plars an den V erlag gestattet.

Inhal t : Vereins-Angelegenheiten (S. 87.)— Wissenschaft und Schule. Von Dr. He i n r i c h S c h o t t e n (S. 3 7 ).—

Die Definitionen in der Trigonometrie. Von Dr. S cli a f h e i tl in (S. 48), mit Nachschrift, hierzu von P. P i e t z k e r (S. 46). — Ausmessung der Kugel. Von Oberlehrer G r a e b e r (S. 48). — Bericht über die neunte Hauptversammlung des Vereins zur Förderung des Unterrichts in der Mathematik und den Naturwissenschaften zu Hamburg, Pfingsten 1900 (S. 49). — Schul- und Universitäts-Nachrichten [Uni

versität Jena; Ferienkurse Jena und Greifswald; Schaeffer-Museum] (S. 53). — Vereine und Versamm

lungen [Naturforscher-Versammlung zu München 1899) (S. 54). — Lehrmittel-Besprechungen (S. 54). — Büeher-Besprechungen (S. 55). — Zur Besprechung eingetr. Bücher (S. 58). — Anzeigen.

V e r e in s - A n g e le g e n h e it e n .

D ie vorliegende N um m er b e ric h te t ü b e r den allgem einen V e rla u f d e r w äh ren d d e r P lin g st- w oehe dieses J a h re s in H am b u rg abgelialtenen n eu n ten H auptversam m lung des V ereins. U eber die au f dieser V ersam m lung g eh alten en V o rträ g e und die daran g ek n ü p ften V erhandlungen w erden in d er b ish e r üblichen W eise E in z elb erich te erscheinen, m it denen in dieser N um m er d e r A n

fang g em ach t w ird.

satzungsgem äss ausscheidenden M itglieder des V ereinsvorstandes w ieder- dieser auch fü r die Z eit bis z u r n äch sten V ersam m lung aus den H erren P i e t z k e r (N ordhausen), P r e s l e r (H annover), S c h o t t e n (H alle a. S.), D as A m t des S ch atzm eisters w ird auch w eiterh in H e rr P r e s l e r v e r

l i e h e die N otiz am K opfe des B la tte s u n te r d e r R u b rik „V erein “).

D ie n ä c h stjäh rig e H auptversam m lung w ird in G i e s s e n sta ttfin d en , d er D ire k to r des d o rtig e n R ealgym nasium s, H e rr Dr. R a u s c h , h a t den V orsitz im O rtsausschuss d aselb st ü b e r

nommen. A n diesen oder an den H au p tv o rsta n d , z. H. von P ro f. P i e t z k e r , w erden alle au f die n äch ste V ersam m lung B ezug habenden Z u sch riften erbeten. D e r V o r sta n d .

Nachdem die g e w ä h lt sind, b e ste h t H a m d o r f f (G uben), S c h w a l b e (Berlin), w alten

W is s e n s c h a f t u n d S c h u le .

Vortrag, gehalten in der Hauptversammlung des Vereins zur Förderung des Unterrichts in der Mathematik und den Naturwissenschaften zu Hamburg (Pfingsten 1900).

Von Dr. H e i n r i c h S c h o t t e n ,

Direktor der städtischen Ober-Realschule zu Halle a. S.

H o ch v e reh rte A n w e se n d e !

D ie W en d e des J a h rh u n d e rts , vor d er w ir steh e n od er die w ir, w ie andere m einen, schon h in te r uns haben, h a t V eranlassung gegeben, a u f allen G ebieten m enschlicher T h ü tig k e it einen

R ü ck b lick au f das ablaufende J a h rh u n d e rt zu w e r fe n ; und die A rb e it und ih re E rfo lg e in ihm nach allen S eiten zu prü fen und zu w ürdigen.

G anz besonders le h rre ic h w aren die R eden,

| die bei d er u n g eordneten Ja h rh u n d e rtfe ie r an den verschiedensten Stellen von den versch ie

d ensten P ersonen g eh alten w orden sind. K ein g rö sse rer G egensatz is t w ohl d enkbar, als die R ede R i e d l e r s in C h a rlo tte n b u rg und die

jen ig e B e v s c h l a g s in H alle. Zw ischen diesen E xtrem en aber können w ir je nach dem S ta n d -

(2)

S. 38. [JNTERRICHTSBLÄTTER.

pxxnkt des R edners oder vielm ehr nach dem F ache, das er v e rtritt, alle Stufen von w arm er Anex-kennung, fre u d ig er B eg eisteru n g , a u frich tig e r D a n k b a rk e it bis zu v ö llig er A b sp rech u n g jeg lich e n F o rtsc h ritte s, j a bis zu r F e stste llu n g

eines sich tb aren R ü c k sc h ritte s verfolgen.

A ber n ic h t n u r in diesen bedeutsam en R eden is t die A rb e it des scheidenden Ja h rh u n d e rts g e w ü rd ig t w o r d e n , auch zusam m enfassende W e rk e sind erschienen, die zum teil in v orzüg

lich er W eise einen U eberblick ü b e r die Ge

sch ich te des 19. J a h rh u n d e rts nach allen S eiten hin liefern.

B edauerlicherw eise — od er soll m an lieb er sa g en glü ck lich erw eise — findet sich aus diesen B e tra c h tu n g e n ausgeschieden ein G egenstand, dem man h e u tz u ta g e von fa st allen Seiten die g rö sste T eilnahm e e n tg e g e n b rin g t: die höhere Schule in ih re r E n tw ick elu n g . F reilic h is t sie j a g e

rade in den letzten Jahx'zehnten in e in e rW e is e d er G egenstand d er allgem einen E rö rte ru n g g e

w esen : freilich finden sich tro tz d er l’egsten B esp rech u n g aller ih re r A n g eleg en h eiten , sei es von berufener, sei es von u n b eru fen er S eite, alle diese F rag en noch so seh r im F lu sse der B ew egung, dass es g erad e zum je tz ig e n Z e it

p u n k te schw er, ja unm öglich sein d ü rfte, ein allseitig abschliessendes U rte il zu fällen.

U nd doch w ird g erade au f diesem G ebiete ein R ückblick au f das verflossene J a h rh u n d e rt das U rteil freier m a c h e n : die M öglichkeit g e

w äh ren , gerade die m assgebenden P u n k te h erau s

zufinden, den fü r eine o b jek tiv e B eu rteilu n g a ller einschlägigen F ra g e n g eeig n eten S ta n d p u n k t zu gew innen. E r s t w enn w ir an der H a n d d e r h isto risch en B e tra c h tu n g die E n t

w ick elu n g des h öheren Schulw esens, die U n te r

schiede von je tz t und frü h e r ein erseits, die G leichheit andererseits b e tra c h te n , w erd en sich die P u n k te herausarbeiteix lassen, die als die in W a h rh e it m assgebenden in e rs te r L inie zu b erü ck sich tig e n sind. M ir is t bei diesem Studium

— entgegen wolil den A nsichten, die je tz t anx m eisten K u rsw e rt habeix — die E rk e n n tn is auf- gegaixgen, dass es sich in ex'ster L in ie bei der Beurteilxuxg aller Sclxulfragen darunx handelxx xxxüsse, festz u ste lle n : w as is t d er eigentliche in n ere Z w eck d er höheren Schxxlen, ixi welchenx V erh ältn isse steh en sie zur W issen sch aft.

U nd so m öchte ich m ir eidauben a u f diese beiden F rag en , von denen die ex’ste in engem Z usam m enhang m it d er zw eiten s te h t, h eu te n ä h e r einzugehen: sie zu prüfen und zu v e r

s u c h e n , sie zu b e a n tw o rte n u n ab h än g ig von alle dem, w as nach m einer A n sich t frem d und xxngehörig mit. diesen F ra g e n v erm en g t w ird und zum Schaden d er höheren S chulen in die B esp rech u n g ihres W esens xxnd W erd en s hineixx- g etra g e n w ird ; w as g e e ig n et ist, eine U nruhe in das innere Leben d e r Schule zu b rin g en , die

J a h rg . VI. No. 3.

— wenix sie noch lä n g e r a n d a u e rt — ganz gew iss das g eistig e G leichgew icht a u f das em pfindlichste schädigen w ird.

W as uns bei d er Beti'achtuxxg d er historischen E n tw ic k e lu n g d e r höheren Sclxxilen z u n ä ch st e n t

g e g e n tritt, das is t ein tiefg eh e n d er G egensatz zw ischen frü h e r u n d j e t z t ; es kom m t uns zum k la re n Bewxxsstsein, w as in d er T h a t die höhere Schule soll, w as ih r e ig e n tlic h e r Z w eck i s t : das is t die V o rb ereitu n g fü r den g e le h rten B e ru f in ei-s te r L in ie , die V erm ittelu n g ein er dem P ra k tisc h e n ab g ew an d ten rein en Geistesbilduxxg an d ererseits. D ieser Z w eck k o n n te unxsoreiner zu tag e t r e t e n , umso u n a b h ä n g ig e r v erfo lg t w e r d e n , als noch keine Bereclxtigungsfragexx sich einm ischten, noch xxiclxt von allen Seiteix alle m öglichen A nforderungen, zum teil u n erfü ll

b are A nfofderungen an die höheren Schxxlen g e ste llt w urden. U nd w ie au f d er einen Seite k eine B erechtigungen beso n d erer A rt xxxit dexxx B e

suche d e r höheren Schulen v e re in ig t w urden, so b ra u c h te a n d e rerse its die S chule a u f das V erlangen nach b eso n d erer Gestaltxxng, a u f die Pflege von Sondei-interessen keine, auch n ic h t die lixindeste R ü c k sic h t zxx nelixxxen. Es w ar noch die glü ck lich e Z eit, da es g en ü g te, dass der V a te r seinen Sohn fü r b e fäh ig t und fü r re if ex'klärte, die U n iv ersität zu besuchen, sich dem frei g ew äh lten w issen sch aftlich en Studiuxxx zu w idm en. Ob ein d e ra rtig e r Z u stan d h eu tz u ta g e . ü b e rh a u p t noch als m öglich zu d enken w äre, d a rf b illig bezw eifelt w e r d e n : sind w ir doclx in d er Bevonnuxxdxxng d er In d iv id u en h eu te g a r h errlich w e it g e d ie h e n ; so w eit, dass w ir in .erster. .Linie n ic h t m ehr fragen, w as h a s t Du

g elern t, sondern wo komixxst D u hex-.

In das frü h ere glü ck lich e V erh ältn is w urde nun B resche a u f B resche g esc h o sse n : das x-eiixe V e rh ä lt

nis d er Schule zu r W issen sch aft w u rd e durch sta a tlic h e B edenken allerh an d A rt g e stö rt. Dexx B eginn dieser E poche kö n n en w ir w ohl dahin setzen, wo die R e ifep rü fu n g e in g efü h rt w urde.

U nd doch w ie himixxelweit verschieden w a r die dam alige Reifeprüfuxxg von d er heu tig en .

A b er daxxxit n ic h t g e n u g : d er S ta a t, j a die G esellschaft se lb st v erlan g ten xxoch ixiehr: die Z ahl d er E ingriffe m eh rte sich. D ie allgem eine W e h rp flic h t — die keine allgem eine ist, denn sie k o n s ta tie rt U n tersch ied e, die f ü r diese g e m einsam e P flic h t aller B ü rg e r verschiedene K lassen von B ü rg ern schafft — die allgem eine W e h rp flic h t b ra c h te eine w e ite re Belastxxng d er höh eren Schulen zu n äch st d a d u rc h , dass die Versetzixng n ach ein er bestixxxmten K lasse die B e re c h tig u n g g e w ä h rte , ein jäh rig zu d ie n en : dann dass ein zw eites Exaxxxen nach den ersten sechs Ja h re n -des v o llständigen K u rsu s v e rla n g t w urde.

Gex-ade diese V erq u ick u n g d er A ufgaben der h öheren S chulen xxxit ein er ganz h etero g en en F o lg e

(3)

J a h rg . VI. No. 3. Wissen scha ft und Sc h u le. S. 39.

fü r ihre S chüler w ar dasjenige M oment, das das rein e V erh ältn is von W issenschaft, und Schule s tö rte , das sog en an n te p ra k tisc h e G esich tsp u n k te in die E n tw ick e lu n g des höheren Schulw esens h in e in b rach te: und d am it w a r nun ü b e rh a u p t der B e to n u n g d er p ra k tisc h e n G esic h tsp u n k te T h ü r u n d T h o r geöffnet. Sollen unsere höheren Schulen w ied er frei w erden von diesen ihrem in n eren W esen fre m d e n , ja ihnen geradezu feindlichen In teressen , so m üssen alle B erech

tig u n g sfrag en zum m indesten in ganz an d erer W eise w ie b ish er g e re g e lt w e rd e n : sie bilden den K rebsschaden in der E n tw ic k e lu n g des höh eren Schulw esens, m ag m an nun die M ilitär

b e re c h tig u n g o d er die vielen S o n d erb e rech ti

gungen fü r verschiedene A em ter od er die v e r

schiedenen B erech tig u n g en d er verschiedenen A rte n d er höheren Schulen ins A uge fassen.

D ie B erech tig u n g en b rin g en den A n d ran g von allen S eiten, auch von den u n g eeig n etsten Eie- | m enten, sie schaffen die B erü ck sich tig u n g von sogen an n ten p ra k tisc h e n F o rd e ru n g e n , sie er

schw eren nach je d e r R ic h tu n g hin die e ig e n t

liche A ufgabe d er höheren S c h u le , sie b eein flussen in v erd e rb lic h ste r W eise das V erhältnis d e r Schule zu r W issen sch aft.

D ass ich m ich h ier k e in e r U e b e rtre ib u n g sch u ld ig m ach e, das lie g t fü r den K undigen offen zutage, das verm ag e r aus den verschie

d ensten B eobachtungen zu erkennen. A ber auch d er L aie d ü rfte w ohl die W a h rh e it m einer A u sfü h ru n g en an erkennen, w enn e r ohne V or

u rte il an das S tudium dieser F ra g e n a ufgrund v e rg leich en d er B e tra c h tu n g e n zw ischen frü h e r und je tz t h e ra n tr itt. W e lc h e r F o rts c h ritt in der M ethodik — die K u n st des U n te rrich te n s is t eine W issen sch aft, d. h. le h rb a r g ew o rd en : eine W issen sch aft, die tro tz des L eugnens ih re r G egner und tro tz d e r F e h le r und U eb e rtrei- bungen ih re r F re u n d e sie g h a ft v o rd rin g t. Die Z eiten, da m an m it M itleid a u f den N ü rn b erg e r T ric h te r d er V olksschule, au f die sem inaristische B ild u n g und U n terw eisu n g herabsah, sie sind v o rü b e r: auch die L e h re r d er h öheren Schulen w erd en je tz t in einem S em inar fü r ihren B e ru f als L e h re r v o rg eb ild et, freilich m u ta tis m utandis.

A b er d a m it n ic h t genug, auch die H ochschule k a n n sich dieser E rk e n n tn is, diesen B estrebungen n ic h t m eh r en tzieh en : und das scheidende J a h r h u n d e rt, dessen A n fan g fa st noch keine andere K u n st des U n te rric h te n s , w ie die n atü rlic h e k a n n te u n d an erk an n te , es h a t diese K u n st in ein System g e b ra ch t, die K u n st zu r W issen sc h aft e n tw ick e lt, es h a t die H e rrsc h a ft der M ethodik au f die h öheren Schulen, es h a t sie au f die U n iv e rsitä t au sg e d e h n t: n ic h t w enige G eleh rte — und w ah rlich n ic h t die sch lech te ste n — v erlangen je t z t auch von den L ehrern d erH o ch sch u len , die h ö h er steh en als die höheren, eine V o rb e reitu n g fü r den B e ru f als L eh re r zu

w irk en neben d er w issenschaftlichen V orbildung, au f die selb stv erstän d lich das H a u p tg e w ic h t auch w eiterh in g eleg t w ird.

In dieser B eziehung also h a t das 19. J a h r h u n d e rt einen ungeheuren F o rts c h r itt g e b ra c h t:

ab e r den höheren Schulen sind die F lügel g e läh m t d urch das B erechtigungsunw esen. W as die M ethode geschaffen, es w ird aufgew ogen, reichlich aufgew ogen durch die N achteile, die die p ra k tisc h e n — ich bin im m er w ied er in V ersuchung zu s a g e n : die sogen an n ten p ra k tis c h e n — R ücksich tn ah m en den höheren Schulen au fg eb ü rd et haben. N u r e i n B eispiel fü r viele aus d e r n euesten Z e it: die höhere Schule soll

— w ie m an h ö rt — b e a u ftra g t w erden in ihrem n atu rw issen sch aftlich en U n te rric h te d afü r zu s o rg e n , dass die S ch ü ler m it ein er gehörigen Z ahn- und M undpflege b e k a n n t gem acht w erden.

Ja , es w ä re w irklich zum L achen, w enn es n ich t so en tsetzlic h tr a u rig w äre.

W o sollen w ir hingelangen, w enn die höhere Schule zu r M agd aller täg lich en B edürfnisse ern ie d rig t w ird ? I s t es denn dann etw a w id er

n atü rlich , dass — w ie m an k la g t — alle Ideale verloren gehen? W as übrig en s nebenbei g e sa g t g a rn ic h t so schlim m ist, w ie es g em acht w ird.

D ie g eistig e K ra ft des w irk lich w issenschaft

lichen L ebens und In h a lte s d e r höh eren Schulen is t denn doch glücklicherw eise noch gross genug, um selb st m it d e ra rtig e n S türm en sich siegreich abfinden zu können. U nd es w ird zum G lück noch im m er m it W a sse r g ekocht.

W ie ab er diese B erech tig u n g sfrag en zu e r

ledigen seien, dieser F ra g e w ollen w ir h eu te n ic h t n äh e r tre te n , n u r im V orbeigehen möge ilire L ö su n g g e s tre ift w erd en : die R eifep rü fu n g z. B. e rse tz t durch das U rteil d e r K onferenz.

G erade dadurch, dass w ir g e rech t sein sollen, w erden w ir bei ein er P rü fu n g seh r o ft u n g e

rec h t. A uch k ann ich m it dem V o rw u rf n ic h t zu rü ck h alten , dass eine gew isse U n w a h rh a ftig k e it und v ielleich t ein A blehnen d er V eran t

w o rtlic h k e it in dieser E in ric h tu n g lie g t: m eine feste U eberzeugung is t allerdings, dass oft einer, j d er je tz t das R eifezeugnis e rrin g t, ohne P rü fu n g

; lä n g e r d a ra u f w a rte n m ü sste ; ab er an d ererseits w ü rd en unzw eifelhafte U n g e rech tig k eiten v e r

m ieden w erden. E r s t re c h t ab e r m üsste d ie so g en an n te A bsch lu ssp rü fu n g fallen, bei d e r alle diese E rw äg u n g en in erhöhtem M asse in b e tra c h t kom m en: und noch viele andere von g rö sser B ed eu tu n g . V ielleicht w äre die b este L ösung, w enn w irk lich die allgem eine und gleiche W e h r

pflicht ein g e fü h rt w ü rd e : u n d in d er T h a t g e w in n t dieser G edanke se it d er E in fü h ru n g d er zw eijährigen D ien stzeit in im m er w eiteren K reisen an A nhängern. F reilich bleiben v o rd e r

b an d viele w ich tig e E rw äg u n g en und F ra g e n zu lösen.

(4)

S. 40. Un t e r r ic h t s b l ä t t e r. Jalu-g. VI. No. 3.

Doch die W ic h tig k e it dieser F rag en sch ein t uns von unserem e ig en tlich en T hem a h in w eg g e fü h rt zu h a b en : w as — w erden vielleicht einige frag en — habe diese E rw äg u n g en m it dem V erh ältn is von W isse n sc h aft und Schule zu th u n . D a ra u f lä sst sich n u r a n tw o rte n : alles.

D ie höhere Schule m uss b e fre it w erden von d er R ü ck sich t a u f M om ente, die ihrem eig en tlich en W esen, ihrem eig en tlich en Zw ecke völlig fe rn lie g e n ; und die es unm öglich m achen, ih r V er

h ältn is zu r W issen sch aft u n b e irrt d urch N e b en frag en und n u r im H in b lick au f ih re w esentliche A ufgabe zu. re g e ln ; die das In te re sse einer M in o rität — w enn n ic h t der Zahl, so doch d er B ed eu tu n g nach — in allzu p rä g n a n te r W eise v e rtre te n .

Die w esentliche A ufgabe d er Schule ist nun freilich im L aufe des J a h rh u n d e rts auch eine w esen tlich andere g e w o rd en : n ic h t m eh r die V orbildung fü r den g ele h rte n B e ru f allein ist es od er auch n u r in d er H au p tsach e, die die höhere Schule von heute zu geben h a t : das, w as frü h e r n u r in w eitem A b stan d daneben in b e tra c h t kam , B ild u n g ü b e rh a u p t zu v erm itteln , das is t heute zum m indesten eine eb en b ü rtig e A ufgabe gew orden, die F o rts c h ritte d e r W isse n s c h a ft auch allen denen zu verm itteln , die au f diesem festen G runde in das v ie lg estaltig e L eben d e r J e tz tz e it, in den K am p f um s D asein als w a h rh a ft w o h lg erü ste te M änner e in tre te n w ollen: sie arb eiten und denken und anschauen zu le h re n : ihnen F re u d e an d er A rb eit, I n te r esse fü r höheres g eistig es L eben einzuprägen.

U nd so erkennen w ir denn, dass die höhere S chule — im G egensatz zu r H ochschule — n ic h t die A ufgabe b at, die W issen sch aft als solche zu fördern, sondern fü r ihre A u sb reitu n g , fü r das V erständnis fü r sie zu arb eiten , indem sie ihre S ch ü ler f ö r d e r t :

Und deshalb d a rf kein F ac h au f d er Schule S elb stzw eck sein, so n d ern alle m üssen u n te rg e o rd n e t w erden diesem allgem einen Ziel. Sobald e in F ach als eins h in g e ste llt w ird, das z u r B ildung u nerlässlich sei, is t d e r S ta n d p u n k t ein v e rk e h rte r. D as m ag au f den e rsten B lick p a radox erscheinen, aber, m eine v e re h rte n H erren , H and a u fs H erz und W a h rh a ftig k e it im H e rz e n : w erden w ir einen h erv o rrag en d en T heologen fü r u n g e b ild e t h alte n , w enn ihm o ft se lb st die a lle r

g ew ö h n lic h ste n n a tu rw issen sch aftlic h en K e n n t

nisse fehlen? U nd e rst re c h t um g ek eh rt, w erden w ir m it L o o f s den greisen G eleh rten H a e c k e 1 einen B arb are n schelten, w eil er von T heologie nichts v e rste h t und Q uellen fü r seine theologischen A nsich ten b e n u tzt, die von den Theologen se lb st als h ö ch st trü b e bezeich n et w e rd en ?

W en n nun in der T h a t diese zw eite A uf

gabe, die V erm ittelu n g einer allgem einen Bil

dung neben d er ideellen H e ra n b ild u n g zu arb eits- freu d ig eu , g eistig in te re ssie rte n In dividuen als

e b e n b ü rtig neben die g e tre te n ist, fü r das g e le h rte S tudium v o rzu b ereiten , so d ü rfte es w irk lich angem essen erscheinen, die höh ere Schule so zu g e sta lte n , dass sie ih re n S ch ü lern au f

— w enn auch n ic h t allen — so doch m öglichst vielen G eb ieten K en n tn isse v e rm itte lt. D ieser G edanke ist zum Schaden d e r höheren Schulen leider in W irk lic h k e it allm ählich im m er m ehr bei den L eh rp län en und R eform en zum A u s

d ru ck gekom m en. M an h a t — m ehr das äusser- liche, oberflächliche W esen, als den in n eren e r

zieherischen W e r t u n serer A rb e it b e ach ten d — die A ufgabe d e r h öheren Schule in die B reite g etrieb en , a n s ta tt sie m it den F o rts c h ritte n d er W isse n sc h a ft zu v e rtie fe n ; m an h a t p ra k tisc h e Ziele m assgebend sein lassen, wo m an h ä tte Id eale verfolgen sollen. In dieser V e rb re ite ru n g des U n terrich tssto ffes, in diesem m ulta haben w ir auch den G rund zu suchen fü r die w e it

gehende U niform ierung d e r höheren Schulen, fü r die bis ins einzelne h ineingehenden V or

sch riften , w odurch w a h rlich kein e c h t w issen sch a ftlic h e r G eist g e fö rd e rt w ird.

U nd dieses V ielerleiw issen, dieses enzyklo

pädische V ielerlei- und H albw issen, das m an als das Z iel d e r höheren S chulen a u fg e ste llt hat, es w ird seinen schädlichen E influss m it d er Z eit noch im m er m ehr offenbaren.

A n d e r S prache — sei es L a te in o d er E n g lisch, F ran zö sisc h od er G riechisch — soll d er S ch ü ler d e n k e n le rn e n ; dass er n e b e n b e i die S prache erle rn t, s te h t e rst in zw e ite r L in ie ; an d e r M athem atik soll er d e n k e n und a n s c h a u e n lernen, w ieviel K enntnisse er sich im speziellen erw irb t, is t N ebensache,

an d e r N a tu rk u n d e soll er a n s c h a u e n u n d d e n k e n le rn e n ; a u f die Summe d er E in zelk en n tn isse kom m t es w en ig er au.

U nd so k ö n n te n w ir alle F ä c h e r d u rc h n e h m e n ; in allen sind die E in zelk en n tn isse n u r die Be-, g le ite rsc h e in u n g des allgem ein b ildenden E in flusses, den sie a u sü b e n ; in diesem Sinne d a rf k ein F a c h als S elb stzw eck h in g e ste llt w e rd e n : d ah er kom m t es n ic h t au f die M enge d er F ä c h e r an, im G egenteil eine zu g rosse A nzahl von F ä c h e rn s te h t w irk lic h e r B ildung feindlich g eg e n über. M ultum , non m u lta : je d e w a h rh a ft w issen

sch aftlich e T h ä tig k e it is t e in se itig ; ab e r in d ieser E in s e itig k e it lie g t eine grosse, n ic h t zu u n te rsc h ä tz en d e K ra ft. U eb er d e r E xtension d a rf die In te n sio n n ic h t zuschaden kommen.

S ollen unsere höheren Schulen w irk lich e g e istig e B ild u n g sstä tte n sein, so m üssen sie sich in d er B esch rän k u n g als M eister zeigen. D as g ilt ab e r n ic h t n u r inbezug a u f die A nzahl d er F äch er, das g ilt in noch viel höherem M asse in n erh alb d er einzelnen F ä c h e r selb st. • Je d e w ah re W issen sch aft is t K r itik ; es fra g t sich also, in w iew eit g e h ö rt die W issen sch a ft a u f die Schule. S elb stv erstän d lich , da es n ic h t — w ie

(5)

J a h rg . VI. No. 3. Wissen sch a ft und Sc h u le. S. 41.

vorhin schon ausgesprochen — zu den A uf

gaben der Schule g eh ö rt, die W issen sch aft zu fördern, m uss alles S tr ittig e ; m uss alles, was noch im W e rd e n ; alles, w as noch im Z u stan d e des „sub ju d ic e lis e s t“ is t; dies alles muss von d er Schule fern bleib en : das b le ib t d e m Vorbehalten, der einen bestim m ten Z w eig der W issen sch aften als S tudium e r w ä h lt, seine K en n tn is und seine F ö rd e ru n g zu seinem L eb en s

zw ecke sich s e tz t: das g e h ö rt also a u f die H och

schule — gen au genom m en, n u r a u f die U niver

sitä t, n ic h t einm al au f die tech n isch e H ochschule, die doch im w esentlichen ih re S chüler n ic h t dazu v o rb e re ite t, die W issen sch aft als solche zu fö rd ern . Dem g eg en ü b er m uss die höhere Schule e rs t re c h t sich bescheiden.

D er V orzug und die S tä rk e des frü h ere n G ym nasium s b e ru h te n ic h t darin, dass es L ate in und G riechisch b e trie b , sondern darin, dass es diese F ä ch er i n t e n s i v b etrie b und dam it dem L ernenden w irk lich e B ildung, n ic h t d arin, dass es ihm eine g ro sse Sum m e von K enntnissen ü b e rm itte lte . Sobald m an dem G ym nasium seinen intensiven B etrieb des L atein isc h en nahm , san k es von seiner stolzen H öhe herab.

H ö rt m an h e u tz u ta g e die K lag en üb er die neuen L ehrpläne, im m er w ied er tö n t es einem entgegen, d er klassische G eist habe E inbusse g e litte n ; ehrlich g e sa g t, w ie w enig w irk lich klassisch er G eist is t se lb st bei dem intensiven B e trie b e und bei den F e h lern der früheren M ethodik a u sg e b re ite t w o rd en ; die V orzüge lagen nach einer ganz a n d ere n S e ite : die S chüler le rn te n arb eiten , sie lern te n sich in eine Sache vertiefen, sie gew annen F re u d ig k e it an d erA i'b eit.

E s lie g t d ah e r n ic h t im L atein die K ra ft d er B ildung, n ic h t im a n tik e n G eiste, w ie im m er noch von allzuvielen fälschlich angenom m en w ird, sondern sie lag in d er K o n zen tratio n , lange bevor dieser B egriff ein S ch lag w o rt d er m oder

nen P ä d a g o g ik gew orden, sie lag in dem in te n siven B e trie b eines Faches, in d er A bw endung von d e r O b erfläch lich k eit u n d V erflachung.

E s is t m eine feste U eberzeugung: m it jedem F ach e lassen sich M enschen bilden, m ag das F ach sein, w elches es w ill. Um ein bek an n tes W o r t zu m odeln: Je d es F ach ist g u t, m an m uss es n u r intensiv betre ib e n , in den M itte lp u n k t stellen und darum herum die anderen F äch er gru p p ieren , so dass sie, w enn m öglich, auch noch zu r U n te rstü tz u n g des H au p tfac h es m it- w irken. So w a r es frü h e r am G ym nasium m it dem L atein — dam als w a r das Gym nasium eine ausgezeichnete Schule.

W aru m ab er — frag e ich — m uss es gerade L ate in sein? W a ru m n ic h t D eutsch od er eine m oderne S prache od er M athem atik oder G eo

g rap h ie ?

Die h eftig en A u sfälle, die von denen, die allein die w ahre B ildung g e p a c h te t zu haben

m einen, gegen solche A nsich ten g e ric h te t w erden, haben m ir nie den B ew eis fü r deren w irk lich e B ildung liefern k ö n n e n : und ich habe m it w ahrem V ergnügen seh r o ft erleb t, dass es ein M ensch fü r g e b ild e t h ielt, seinem G egenüber zu sagen, D u b ist n ic h t geb ild et, w eil D u n ic h t so viel L atein k a n n st, w ie ich.

I s t das a n tik e r G e ist? I s t das ideale Ge

sin n u n g ?

Also m an ste lle ein F ach in die M itte; ab e r se lb st dieses — m an m ag w ählen, w elches m an w ill — d a rf u n te r k einen U m ständen als S e lb st

zw eck b in g e ste llt w e r d e n : der S chüler soll z. B.

g a r n ic h t F ran zö sisch lernen, er soll n u r durch den U n te rric h t im F ran zö sisch en g e b ild e t w erden.

F ranzösisch le rn t er in d er B erlitz School oder

— w enn es ihm seine M ittel g e sta tte n , in F ra n k re ic h in seh r viel k ü rz e re r Z e it und seh r viel besser. Ic h w erde gleich noch an diesen G edanken w e ite r an knüpfen, m öchte ab er n ic h t un terlassen , e rs t noch d aran zu erinnern, dass w ir den B eginn des französischen U n te rric h ts in eine Z e it setzen, wo w ir — d arin w erden wohl alle m it m ir übereinstinnnen, und es th u t m ir w ohl, auch einm al einen solchen G edanken auszusprechen — wo w ir über die m an gelhafte F e rtig k e it u n serer S chüler im deutschen A usdruck fo rtw äh ren d zu k lagen haben. D ie deutsche E rz ä h lk u n st, die F ä h ig k e it g e w an d t und sich er etw as in d eu tsch er S prache auszudrücken, sie lie g t tlia tsäch lich jäm m erlich d a rn ie d e r: ab er das th u t n ich ts : w ir lern en daneben F ranzösisch und verlangen, w enn w ir ganz w asch ech t sind, dass unsere selben Ju n g e n , die sich deutsch n ic h t auszudrücken verm ögen, französisch p a r

lieren können. W ir v erlangen e s : und sehen im g ü n stig ste n F alle ein ein g elern tes N ach

p lap p ern von S ätzen in etw as an d e re r F o rm : ein ig e, an deren W a h rh a ftig k e it zu zw eifeln ich keine U rsache habe, b eh au p ten , im w e se n t

lichen sei es in den höheren K lassen n ic h t viel besser.

U nd das soll zu r B ild u n g des G eistes eines heranw achsenden M enschenkindes b eitrag en ! L ehren w ir bei diesem U n te rric h t denken, lernen dies dabei unsere S c h ü le r? Ich hoffe, dass ich n ic h t m issverstanden w erde, vielleicht beuge ich dem vor, w enn ich u n te r au sd rü ck lich er H e r

v o rh e b u n g meines g eg en teilig en S ta n d p u n k te s m itteile, w as m ir ein v ielg ereister G rosskauf

m ann sag te, d er m einte, am b esten w äre es, w enn w ir au f den Schulen n u r V okabeln lernen Hessen, das w äre die beste V orb ereitu n g zugleich fü r eine R eise ins A u slan d : F lexion und Syntax lerne m an dann rasch, w enn m an alles zu be

nennen im stande sei. E r h a tte gew iss von seinein S ta n d p u n k te aus n ich t U nrecht, ab er es e rh e llt eben aus ein er solchen A eusserung die völlige V erkennung d e r eigentlichen A ufgabe d er höheren S ch u le: dass ab er solche M issver-

(6)

S. 42. Un t e r r ic h t s b l ä t t e r. J a h r g . VI. No. 3.

stän d n isse m öglich sind, d aran tra g e n die Be- j Strebungen d er sogenannten n eueren M ethode und die in den neuen L e h rp län en zum A u sd ru ck gekom m enen G run d g ed an k en en tsch ied en bei.

N och ein w eite re r Irrtu m w ird durch die an diese F ra g e n anknüpfenden K o n tro v ersen g e fö rd e rt: die schiefe B e u rteilu n g d er verschiedenen A rten d er höheren Schulen. D er U n tersch ied zw ischen diesen b e ru h t n i c h t in d er M ethode und n i c h t in den Zielen, sondern einzig und allein in der M a t e r i e . D urch die M ethode S sind im G egenteil die höheren Schulen als solche | ch a ra k te risiert, im G egensatz zu den Volks- j schulen einerseits, zu den H ochschulen an d erer- ! seits. In den u n te re n K lassen w erden w ir uns in d er M ethode m ehr jen en , in den oberen K lassen j diesen nähern, ab er w ir bilden zw ischen ih n en | ein durchaus selb stän d ig es E lem en t fü r die B il

du n g — und d arin sind alle A rten h ö h e re r Schulen durchaus g leich w ertig .

Meine A n sich t also ü b e r die S te llu n g d er h öheren S chulen zu r W isse n sch aft g e h t zu n äch st dahin, dass w ir w enige F äch er, diese a b e r g rü n d lich b e treib en m üssen, w enn ich auch n ic h t so

w e it gehe wie einer u n serer h e rv o rra g en d sten m ath em atischen U n iv ersitätsleh rer, d e r m ir voll U eberzeugung aussprach, dass e r a u f die P h y sik an den G ym nasien g ern verzich ten w ü rd e : aber In te n sio n m uss das h errsc h en d e P rin z ip sein, die E xtension fü h rt zu r V erflachung u n d zur S elb stü b erh eb u n g , d er g e fä h rlic h ste n B e g le ite r

sch e in u n g der H albbildung.

U nd nun m öchte ich mich zu den einzelnen F ä c h e rn w enden und innerhalb ih re r G ebiete das V erh ältn is zu r W issen sch a ft p rä z isiere n ; Sie w erd en w ohl voraussehen, dass derselbe G e

danke, d er m ich zuvor bei den allgem einen B e

tra c h tu n g e n g e le ite t h a t, auch h ie r m einer U eb er

zeu g u n g e n ts p r ic h t: auch in dieser H in sich t muss intensiv, n ic h t extensiv u n te rric h te t w e r

den, soll an d ers d er hohe Z w eck M enschen zu M enschen heranzubilden e rre ic h t w erden. D a bei d a rf nie und n irg en d s a u s 'd e n A ugen v e r

lo re n w erden, dass w ir n ic h t P h ilologen, n ich t M ath em atik er, n ic h t N atu rw isse n sc h a ftle r h e r

anbilden sollen und w o lle n , sondern dass w ir alle F ä c h e r dem höheren Ziele u n tero rd n e n m üssen, arb e iten und denken und anschauen zu lehren, u n d eine gem einsam e G rundlage g e isti

g e r Aus- und V orbildung zu schaffen. D as nervöse V o rw ä rts h a s te n : F ranzösisch, w enn L a te in noch n ich t s itz t; G riechisch, w enn w eder F ran zö sisch noch L a te in ein einigerm assen g e sic h e rte r B esitz s i n d ; A rith m e tik , w enn die Ju n g e n noch n ic h t rechnen k ö n n e n , ku rz und g u t die E in fü h ru n g in neue F ä ch er, w enn die frü h ere n eben m ühselig ab so lv iert sin d : dieses selbe nervöse V o rw ä rtsh asten , es m acht sich noch unangenehm er fü h lb a r fü r L e h re r und S ch ü ler innerhalb der einzelnen F ä c h e r; und es

m ach t L e h re r und S ch ü ler nervös und ra u b t jed en falls dem S ch ü ler le ic h t je d e F re u d ig k e it am A rb eite n und je d e F re u d e an d e r Schule.

Ich glaube, dass das im allgem einen den L e h rern g a r n ic h t se h r zum B ew u sstsein ko m m t, w eil sie von ihrem S ta n d p u n k te aus g ern v o rw ärts-

| sch reiten , das langsam e V orw ärtskom m en, das längere V erw eilen bei einem T hem a le ic h t un

angenehm em pfinden.

U nd so g e h ts denn schon in d er V orschule an, dass ü b er das Z iel h in au sg eg an g en w ird : od er in d er V olksschule od er in d er M ittelsch u le : und in den h öheren L e h ra n sta lte n w irds m u n te r fo rtg e se tz t. E s sollte bei sch w erer S tra fe v e r

bo ten w erden, dass eine S c h u la rt in das G ebiet d er anderen ü b e rg re ift. A uch die höhere Schule d a rf sich keine E in b rü ch e in das G eb iet der U n iv e rsitä t g e s ta tte n . E in uns allen w o h lb e

k a n n te r S cliü lg eleh rter b egann sein R e fe ra t ü b er H olzm üllers d ritte n B an d dam it, dass er sagte, er habe einen w ahren S chrecken bekom m en, als er nach dem schon w e it h inausgehenden zw eiten B and nun auch noch den um fangreichen d ritte n e rb lic k t habe. Ich k an n ihm versichern, dass sein S chrecken gew iss noch lange n ic h t so gross w ar, w ie der m einige, als ich seinen A rtik e l las, d e r die E in fü h ru n g d e r N ich t-E u k lid isch en G eo

m etrie in die höheren S chulen em pfahl, oder sein P ro g ram m , aus dem zu ersehen ist, dass er von seinen P rim a n e rn b e trä c h tlic h m ehr, ab er s e h r b e trä c h tlic h m ehr v erlan g t, als im S ta a ts exam en von denen v e rla n g t w ird, die die II.

S tufe d e r L e h rfa k u lta s in M athem atik sich e r

w erb en w ollen. — E in P ro fe sso r d er Chemie sa g te m ir, ich bin froh, dass ich n ich t alles zu w issen b ra u c h e , w as die O berp rim an er einer O berrealschule w issen m ü s s e n : und ein an d erer erzäh lte m ir, dass, als ihm d er L eh rp lan d er Chemie an e in er nordd eu tsch en M ittelschule z u r P rü fu n g v o rg eleg t w orden sei, er n u r h ab e an tw o rte n k ö n n e n : es is t etw as m ehr als das, w as ich in meinem zw eisem estrigen K olleg v o rzu trag en pflege. S eh r v e re h rte A n w e se n d e , diese B ei

spiele, wo ü b e r das Ziel hinausgeschossen w ird, Hessen sich ad lib itu m v erm eh ren ; in allen diesen F ä lle n is t an S telle eines g esunden intensiven B etrieb es ein ü b e rsp a n n te r ex ten siv er g e tre te n : nach m einer festen U eberzeu g u n g aus m ehr als einein G runde zum S chaden d e r S ch ü ler wie d er Schulen selb st. A uch h ie r g ilt: „M an gebe dem K aiser, w as des K aisers is t, und G ott, w as G o ttes i s t .“

D as V erh ältn is d er W issen sch aft z u r Schule w ird rein äusserlich genom m en nach zw ei R ich

tu n g en hin zu ta g e tr e te n : in den P rü fu n g s

bestim m ungen fü r die L e h re r und in den L e h r

plänen. A uf beiden G ebieten w eist das 19. J a h r h u n d e rt g ro sse A enderungen auf ; die le tzte P rü fu n g so rd n u n g le n k t zum G lück w ied er ein in eine gew isse w issenschaftliche E in se itig k e it,

(7)

J a h rg . VI. No. 3. Die De f in it io n e n in d e r Tr ig o n o m e t r ie. S. 43.

es w erden n ic h t m ehr so v ielseitige A nforde

ru n g en g e ste llt, w ie es besonders bei d er v o r

le tz te n P rü fu n g so rd n u n g d er P a ll w ar, w odurch ein en tschieden u n w issen sch aftlich er Z ug in die P rü fu n g gekom m en w ar. Man b ra u c h t j a hier n u r an die F a k u ltä te n jä g e r zu e rin n e rn : n u r in se h r seltenen F ällen linden w ir bei ihnen in ihrem fern eren Leben auch n u r g erin g e S puren w issen sch aftlich er T h ä tig k e it. F re ilic h w ird man m ir h ier en tgegnen, die Schule soll j a die W issen sc h aft n ic h t f ö r d e r n : ganz g e w is s ; ab er der L e h re r sollte doch neben sein er S c h u lth ä tig k e it ein G ebiet sich heraussuchen, au f dem er — auch ohne d urch B estim m ungen dazu g etrieb en zu w erden, das reine B ad w issen sch aftlich er A rb e it sich g ö n n t ; allerdings m uss diese M ög

lic h k e it d urch eine E n tla s tu n g im B e ru f g e

schaffen w erden, obw ohl dem, d er ern stlich will und d e r diese rein en F reu d e n p ro d u k tiv e r A rbeit, w issen sch aftlich er T h ä tig k e it k ennen g elern t, auch bei den heu tig en Z u stän d en im allgem einen Z eit genug ü b rig b leibt. D ie F ä h ig k e it au f E i

nem G ebiete w issen sch aftlich arb eiten zu können, m uss die P rü fu n g nachw eisen, daneben n a tü rlic h auch anderes b erü c k sic h tig e n , ab er da sollte m an m ehr K en n tn is d er P rin zip ien , d e r G ru n d g edanken, d er System e und d er M ethoden v e r

langen, als a u f eine grosse M enge von E inzel

k en n tn isse n G ew icht zu legen. A ller rein ge- d äc h tn ism ässig er B a lla st ab e r m üsste aus den P rü fu n g so rd n u n g e n verschw inden.

(Schluss folgt).

D ie D e fin itio n e n in d er T r ig o n o m e tr ie . Von Dr. S c h . a f h e i t l i n in Berlin.

In n e u e re r Z e it z e ig t sich a u f allen G ebieten d er elem entaren M ath em atik das B esU eben, an die ü b erliefe rten B ew eise und M ethoden die k ritisc h e Sonde anzulegen und zu untersuchen, ob dieselben in lo g isch er und päd ag o g isch er H in sic h t allen b e re c h tig te n A n forderungen g e

nügen. E s is t se lb stv e rstä n d lic h , dass n ich t alle V orschläge zu A enderungen den un b ed in g ten B eifall aller oder auch n u r der m eisten M athe

m a tik e r finden w e rd e n ; tro tzd em ist ein nicht v ö llig g e g lü c k te r V ersuch s te ts dazu a n g eth an , die V o rstellu n g en nach d er einen oder anderen R ic h tu n g zu v erv o llstän d ig en oder zu vertiefen.

In ein er von dem herköm m lichen G ange ziem lich abw eichenden W eise is t in einem neueren L e h rb u c h : M ath em atisch er L eitfaden fü r R e a lsc h u le n , z w eiter T eil von B o r k , C r a n t z und H a e n t z s c h e l , L eipzig 1898, die E rw e ite ru n g d er D efinitionen d er trig o n o m etrisch en F u n k tio n en a u f beliebige W in k el e n tw ic k e lt w orden und die G ründe, die diese A en d eru n g als b e re c h tig t, w enn n ich t g a r n o t

w endig erscheinen lassen sollen, sind von H e rrn H a e n t z s c h e l in zw ei S ch riften auseinander

g e se tz t w orden, die beide den T itel fü h r e n :

„Lieber die verschiedenen G rundlegungen in der T rig o n o m e trie“ und von denen die eine als B eg le itsc h rift zu dem L e itfad en und die andere als w issenschaftliche B eilage zum J a h re s b e ric h t des K öllnischen G ym nasium s zu B erlin O stern 1900 erschien. D a die A usführungen d er B e

g le itsc h rift einesteils im L eitfaden, a n d e rn teils in d er P ro g ram m ab h an d lu n g e n th a lte n sind, so w erde ich m ich n u r an den L eitfad e n und das P rogram m halten.

In fesselnder W eise zeig t in diesem H e rr H a e n t z s c h e l w ie bis zu E u le r’s Z e iten die Sinus, Cosinus etc. als L inien au fg efasst w urden und w ie allm ählich die W a n d lu n g in den uns allen geläufigen F u n k tio n sb e g riff zu stan d e g e

kom m en i s t ; so w eit ich w enigstens in K ollegen

k reisen F ü h lu n g besitze, w ird d er Sinus ü b erall als F u n k tio n , als unb en an n te Z ahl und n ich t als S treck e b e tra c h te t, g leich g iltig ob seine E rk lä ru n g am re c h tw in k lig e n D reie ck oder am E in h e itsk reise gegeben w ird. D ah er kann ich d e r B eh a u p tu n g des H e rrn H a e n t z s c h e l n ic h t zustim m en, dass ein him m elw eiter U n terschied sei zw ischen d er E rk lä ru n g d e r F u n k tio n e n ein erseits als S eiten v erh ältn isse, an d ererseits als S treck en im E in h eitsk reise. D enn w as b e d e u te t das V erhältniss b : c? D och nich ts anderes als die M asszahl d er S treck e b gem essen d urch die S treck e c od er m it anderen W o rte n die M asszahl von b, falls z u r M esseinheit c g e w äh lt w ird. So is t dem nach d er Cosinus die M ass

zahl d er P ro je k tio n des bew eglichen Schenkels au f den A nfangsschenkel gem essen durch den R adius, also die M asszahl d er P ro je k tio n , w enn d er R adius gleich eins g e w äh lt w ird . Bei m anchen L e h rb ü c h e rn , die den E in h eitsk reis benutzen, is t allerdings insofern eine F lü c h tig k e it vorhanden, als das W o rt M asszahl vielfach n ic h t e rw ä h n t w ird : h ierdurch k an n ein M iss

verstän d n is bei den S chülern erm ö g lich t w erden, w enn n ich t d e r L e h re r das V erh ältn is k la r s te llt.

I s t das aber ein g a r so g rö sser M angel eines fü r die S chule bestim m ten B u ch es? Ich glaube nic h t, da das B uch den L eh re r n ic h t ersetzen soll. Vieles w as in einem L eh rb u ch tro tz g rö sste r P räcisio n im A usdruck — oder vielleicht gerade deshalb — dem S ch ü ler sch w er v erstän d lich ist, w ird durch F ra g e und A n tw o rt in d er K lasse häufig leich t völlig zu klarem B ew usstsein g e b ra c h t. W en n auch die A uslassung des W o rte s M asszahl sich er ein M angel ist, so b ra u c h t m an deshalb noch n ic h t anzunehm en, dass dem V er

fasser d er Sinus eine S treck e und keine Z ahl bedeute. G erade das von H e rrn H a e n t z s c h e l a n g efü h rte B eispiel d er neueren A uflagen des b e k a n n te n M ehler’sclien B uches z e ig t ja , d ass d e r V erfasser die F u n k tio n en als Z ahlen auffasst und dass es n u r eine gew isse F lü c h tig k e it sein k a n n , w enn er n achher das W o rt M asszahl u n te rd rü c k t. Als M ilderungsgrund liesse sich

(8)

S. 44. Un t e r r ic h t s b l ä t t e r. J a h rg . VI. No. 3 . anführen, dass es in anderen K a p ite ln d e r G eo

m etrie ebenso g em ach t w ird. D er um ständliche S a tz : „D ie M asszahl des In h a lts eines P a ra lle lo gram m s is t gleich dem P ro d u k te aus den Mass-

zahlen d er G rundlinie und d er H öhe, v o rau s

g e se tz t, dass m an als F lä c h e n e in h e it dasjenige Q u ad rat annim m t, dessen S eite die L ä n g e n e in h e it i s t “ w ird doch s te ts n ach h er in d er b e

k a n n ten ku rzen F a ssu n g g e le rn t: D er In h a lt eines P arallelo g ram m es is t gleich dem P ro d u k te aus G rundlinie und H öhe. So b e re c h tig t also v o r Z eiten d er K am pf gegen die trig o n o m e

trisch en L inien w ar, so überflüssig is t er h e u t

zu tag e .

G egen die B enutzung des E inheitski-eises w e n d e t sich ab e r H e rr H a e n t z s c h e l noch aus einem anderen G ru n d e ; er h ä lt es fiir zw eck

m ässiger und stre n g e r die E rw e ite ru n g der F u n k tio n e n au f beliebige W in k el a rith m e tisch v o rz u n e h m e n ; die fü r den e rste n Q u ad ran ten g ü tig e n G rundform eln „d u rch s te tig e F o rts e tz u n g “ au f alle Q u ad ran ten auszudehnen. E s w erd en hierzu die F orm eln fü r den Sinus und Cosinus des d o p p elten W in k els b e n u tz t. W as z u n äc h st die H e rle itu n g dieser F orm eln b etrifft, so w ird die G leichung sin

a —

^{2 sin} ^{• cos ”} ^{in b e}

k a n n te r W eise aus dem g leich sch en k lig en D re i

eck e n tw ic k e lt, w äh ren d die A b le itu n g der G leichung cos

a =

1 — 2 sin 2 “ im L e itfad en und im P ro g ram m in w esen tlich verschiedener F o rm gesch ieh t. Im L e itfa d en w ird sie a r ith m etisch aus d er obigen S inusgleichung u n te r B e n u tzu n g d er F orm el sin 2

n

4 - cos2

a

= 1 e n t

w ic k e lt; d ad u rch e rh ä lt m an z u n äch st cos

n

⁼

:.r ( l — 2 sin 2 -“ ). Im ersten Q u a d ran ten g ilt nun das positive Zeichen, es s o l l allgem ein gelten.

N un h a t eine solche F estse tz u n g , ■wenn sie auch zulässig ist, se h r den Schein d er W illk ü r an sich. W a ru m soll g erad e bei dieser Form el das V orzeichen g e w a h rt bleiben, w arum n ic h t bei der F o rm el cos a = -f- j / 1— sm2 a, die schon viel frü h e r e rh alten w u rd e ? D as P ro g ram m is t in diesem P u n k te e in w a n d sfre i; h ier w ird die F orm el ebenfalls g eom etrisch aus dem g le ich sch e n k lig en D reieck gew onnen.

N un g e lin g t es n atü rlich , die E ig e n sch aften der F u n k tio n e n b elieb ig g rö sser W in k e l stre n g a rith m e tisc h aus diesen F orm eln ab zu leiten und d ah er g la u b t H e rr H a e n t z s c h e l a u f diesem W ege, da w e ite r n ic h ts als diese beiden F orm eln b e n u tz t w e rd e n , das k o n serv a tiv e P rin z ip d er M athem atik am b esten g e w a h rt zu haben. D ieser A n sic h t k an n ich m ich n ic h t anschliessen. D a die erste E in fü h ru n g d e r F u n k tio n e n eine g eo m etrische ist, so m eine ich, w ird das k o n se r

vative P rin zip besser erh a lte n , w enn auch die F o rtse tz u n g a u f geom etrischem W eg e g esch ieh t.

E s m uss m einer M einung nach den S ch ü ler b e frem den u n d s tu tz ig m achen, w enn G rössen, m it denen e r b ish er g eom etrische B eziehungen in V e rb in d u n g b ra c h te , nun p lö tzlich rein a rith m etisch w e ite r b e h a n d e lt w erd en , tro tzd em m erk w ü rd ig erw eise das A rg u m e n t ein W in k e l b le ib t;

w enigstens m üsste g e fo rd e rt w erden, dass nun auch das A rg u m en t einfach als Z ahl und n ich t als G rad a u fg efasst und e in g e fü h rt w ird. Dem von H errn H a e n t z s c h e l v o rgeschlagenen V erfahren k ö n n te ich n u r dann zustim m en, w enn von A nfang an die F u n k tio n re in arith m etisch , u n ab h än g ig von S eiten v erh ältn issen und das A rg u m en t als rein e Z ahl b e tra c h te t w ü r d e ; b ei

spielsw eise m ü ssten aus d er P o te n z re ih e die E ig en sch aften d e r F u n k tio n e n e n tw ic k e lt und g ezeig t w erden, dass, w enn die A rgum ente als W in k el au fg efasst w erd en , die F u n k tio n e n als

dann die b e k a n n te g eom etrische B ed eu tu n g b e sitzen. Solange ein d e ra rtig e s V erfahren n ic h t g e z e ig t w ird, is t m einer persö n lich en A uffassung nach d e r U eb erg an g von ein er u rsp rü n g lich geo m etrischen D efinition zu ein er arith m etisch en g erad ezu ein W id e rsp ru c h geg en das von H e rrn H a e n t z s c h e l v e rtre te n e k o n serv a tiv e P rin zip .

Jed en falls ab e r d a r f man fo rd ern , dass o h n e n e u e A n n a h m e n — u n d g e rad e diesen P u n k t h e b t H a e n t z s c h e l als V orzug seines V erfahrens h e rv o r — die W e r te d er F u n k tio n e n b elieb ig er W in k el aus den D efiuitionsgleichungen d urch ste tig e F o rts e tz u n g aus dem ersten Q ua

d ra n te n e rh a lte n w erd en können. N un is t es m ir ab er u n erk lä rlich , w ie m an aus den M u lti

p lik atio n sth e o rem en zu den W e rte n d e r F u n k tio n en n e g a tiv e r W in k e l gelangen soll. D urch die D efinitionsgleichungen k an n m an n a tü rlic h d u rch fo rtg e se tz te V erdo p p elu n g oder H a lb ieru n g zu den F u n k tio n sw e rte n b elieb ig g rö sse r oder k lein e r p o sitiv e r W in k e l gelangen, ab e r ich sehe n ic h t ein, w ie m an aus ein er M u ltip lik a tio n s

form el von p o sitiv en zu n eg ativ en W in k eln kom m en soll. M öglich is t dies, w enn die A ddi- tions- resp. S u b tra k tio n sth e o re m e zu r D efinition herangezogen w e rd e n ; davon ab e r sc h e in t H e rr H a e n t z s c h e l n ich ts w issen zu w ollen, w ie aus einer B em erk u n g geg en H e rrn M a x S i m o n au f S eite 29 des P ro g ram m s h erv o rg eh t. A ller

dings g e la n g t auch H e rr H a e n t z s c h e l zu den F u n k tio n e n n e g a tiv e r W in k e l; die P e rio d i

z itä t d er F u n k tio n e n w ird bew iesen, also is t sin (360° —

a)

= sin (—

a

^{) !} D ie fü r positive W in k el bew iesene E ig e n sc h a ft d e r P e rio d iz itä t w ird dem nach als g ü tig auch fü r n eg ativ e W in k el a n g e n o m m e n . E s m üsste dagegen z u e rst aus d e r D efinitionsgleichung g ezeig t w erden, dass sin ( —

a) —

— sin

n

is t und dann m it H ilfe von sin (360° — u) = — sin

a

g efo lg e rt w erden, dass die P e rio d iz itä t allgem eiu g iltig ist. H e rr H a e n t z s c h e l m ach t h ier au f S eite 20 des P ro g ram m s denselben F e h l

(9)

J a h rg . VI. No. 3. Di e De f in it io n e n in

schluss, den er w enige Seiten sp ä te r bei H e rrn S c h w e r i n g rü g t.

N un k ö n n te h ie ra u f e n tg e g n e t w erden, dass eine A usdehnung d er F u n k tio n e n au f n eg ativ e W in k e l überflüssig sei. D a ra u f is t zu erw idern, dass es jed en falls ganz gegen H e rrn H a e n t z s c h e l ’s A n sich t w ä re , an ein er S telle sagen zu m ü sse n : bis h ierh er und n ic h t w e i t e r ; denn g erade deshalb v e rw irft er fü r den zw eiten Q u ad ran ten das von H e rrn H u b . M ü l l e r h e r

angeholte P rin zip d er A usnahm slosigkeit, das fü r höhere Q u ad ran te n n ic h t m ehr anw endbar ist. A bgesehen hiervon m uss m an ab er sagen, dass es in d er ebenen T rig o n o m etrie fü r den p ra k tisc h e n R ech n er viel w ic h tig e r is t die F u n k tionen n e g ativ er W in k el zu kennen als diejenigen stu m p fer W in k el m it A usnahm e des Sinus.

W ill m an die n eg ativ en W in k e l fallen lassen, so m uss m an e rs t re c h t die stum pfen und liber- stum pfen W in k el fallen lassen, im m er m it A us

nahm e des Sinus stu m p fer W in k e l, den m an le ic h t als V erhältnis d e r G egenseite zum D u rc h m esser des U m kreises eines D reiecks e rk lären k ö n n te. D enn in den fü r logarithm ische R ech

nu n g g eeigneten Form eln, zu denen d er Cosinus

satz n ic h t g e h ö rt, tre te n n u r im S inussatz die ganzen, so n st n u r die halben W in k e l a u f und es lassen sich alle diese F orm eln ohne den C'osinussatz a b le ite n ; fo rtw äh ren d ab er tre te n in denselben A rgum ente von d e r F orm *

(a

—

ß)

a u f und w enn m an hierbei die n eg ativ en A rg u m ente auch verm eiden k a n n , so w ird es jedem R ech n er doch einm al passieren, dass er dabei au f einen n egativen W in k e l stö sst. L ä sst sich dies bei den einfachsten A ufgaben bei einiger A u fm erk sam k eit verm eiden, so lä sst sich diese S c h w ierig k e it n ic h t m ehr um gehen, sobald man etw as kom p liziertere A ufgaben w ä h lt z. 13. g e geben a , m i,,

y.

B ezeichnet <5 den W inkel, u n te r dem die M ittellinie m i, die Seite b schneidet, so e rh ä lt m an die F o rm e ln :

a sin

y

^{2 a sin}

(y

^-{-

ó)

sin

o

⁼ - - und b — .— - —

ni|, sin

<)

und m an w ird fü r die W eite rrec h n u n g au f die T angentenform el gew iesen. D a nun s te ts die F o rm elrech n u n g völlig d u rc h g e fü h rt sein muss, ehe z u r L o g arith m en rech n u n g g e sc h ritte n w ird, so is t es ganz unm öglich von vornherein neg a

tiv e W in k el auszuschliessen; j a es k an n bei dieser A ufgabe falls a > m i , ist, d er F a ll ein- tre te n , dass fü r die eine L ö su n g a > b, fü r die andere a < b ist. D ah er g laube ich m it R ec h t sagen zu dürfen, dass fü r den R ech n er e h er die stum pfen als die n egativen W in k e l e n t

b e h rt w erden können. W ill m an also durchaus das a u f geom etrischen F un d am en ten ruhende G ebäude a rith m etisch w e ite r bauen, so kann m an dazu n u r die vier A dditionstheorem e b e

nutzen.

d e r Tr ig o n o m e t r ie. S. 45.

S ind denn ab er nun die G ründe, die H e rr H u b e r t M ü l l e r gegen das V erfahren m it dem E in h e itsk re is h erv o rh e b t und die H e rr H a e n t z s c h e l als ric h tig an erk en n t, w irk lich so triftig und stic h h a ltig , um dieses viel anschaulichere V erfahren zu v erw erfen? D a in den Schulen die analytische G eom etrie e rst nach d e r T rig o n o m etrie g e le h rt w ird, so m uss nach A n sich t d er gen an n ten H erren den Schülern das H erein ziehen von V orzeichen bei den verschiedenen R ich tu n g en fre m d artig und w illk ü rlich er

scheinen ; es d a rf eine e rs t s p ä te r ein tre te n d e D isziplin h ier n ic h t schon a n tiz ip ie rt w erden.

W eil auch ich die L eh rb ü ch er von H errn H u b. M ii 11 e r seh r h o c h sc h ä tz e , liess ich m ich z u e rst von diesen A rgum enten blenden und versuchte a u f anderem WTege zum Ziele zu g elan g en ; schon lange a b e r bin ich w ieder zum ersten V erfahren zu rü c k g e k e h rt, w eil ich ü b erzeu g t bin, dass je n e E in w än d e n ic h t so schw erw iegend sind, um die V orteile, die diese M ethode b ie te t, zu übertreffen. W o llte man än g stlich je d en A u sd ru ck verm eiden, d er d er an aly tisch en G eom etrie en tle h n t ist, weil diese D isziplin e rs t s p ä te r g e le h rt w ird, so d ü rfte m an auch einem Q u artan er n ic h t sagen, w ie d e r In h a lt eines Q uadrats gefunden w ird, w eil die In h a ltssä tz e e rs t in d er O b e rte rtia im Z usam m en

h ang g e le h rt w erden.

A b er g erad e das, w as allein aus d er an a ly tisch en G eom etrie g e b ra u c h t w ird , näm lich die U n tersch eid u n g d e r en tg eg en g esetzten R ich

tu n g e n ein er G eraden d u rch die V orzeichen, is t jedem U n te rte rtia n e r geläufig. W o llte m an bei d er E in fü h ru n g d er n egativen Z ahlen n u r sagen, dass die A ufgabe a — b auch dann eine B ed eu tu n g haben soll, w enn b < a ist, und dass das E rg eb n is eine n egative Z ahl heisst, so w ürden die S ch ü ler ihren L e h re r w ohl m it än g stlich en A ugen a u f seinen G eisteszu stan d hin ansehen. M einer U eberzeu g u n g nach kann m an dem S ch ü ler am leich testen von dem Sinn und d er N o tw en d ig k eit n e g ativ e r Zahlen eine V orstellung beibringen, w enn m an von B eispielen au sg eh t, bei denen ein w illk ü rlich g e w äh lter, ein re la tiv e r N u llp u n k t vorhanden ist, wie z. B.

bei d er christlich en Z eitrech n u n g , bei H öhen

m essungen und v ielleich t am einfachsten am T herm om eter, dessen E in ric h tu n g allen S chülern hin reich en d b e k a n n t ist. B ei d e r G eldrechnung, die häufig b e n u tz t w ird, sind die V erhältnisse n ic h t so einfach, w eil h ier ein w irk lich er N u ll

p u n k t vorhanden ist. D enn w enn m an 3 M k.

im P o rtem o n n aie h a t, so is t jedem S chüler k lar, dass m an d a v o n n ic h t 4 Mk. bezahlen kann.

F ü h r t man hier die V o rstellu n g d e r Schulden ein, so nim m t m an gew isserm assen schon vo r

w e g , dass man dieselben als neg ativ es V er

m ögen b e tra c h te t u n d v erw an d elt dad u rch die G eg en sätzlich k eit zw ischen V erm ögen und

(10)

S. 46. Un t e r r ic h t s is l ä t t e r. J a h rg . VI. No. 3.

Schulden in einen g rad u ellen U n tersch ied . Beim T herm om eter b ra u c h t m an n u r das F a h ren h eitsch e zu erw ähnen, um dem S ch ü ler k la r zu m achen, dass zw ischen K älte und W ärm e kein G egen

satz, sondern n u r ein G rad u n tersch ied h e rrsc h t und dass m an eben n u r w illk ü rlich , gew isser- m assen der O rien tieru n g w egen irg en d w o einen j N u llp u n k t g e w ä h lt h at. D ad u rch f ü h rt eine leichte V erallgem einerung zu r E in fü h ru n g der Vorzeichen bei beliebigen e n tg e g en g ese tzte n ! R ich tu n g en , bei beliebigen g erad en L in ien und ich glaube kaum , dass irgendw o bei d er E in- j fü h ru n g n e g a tiv e r Z ahlen a u f diese g eom etrische V o rstellu n g v e rz ic h te t w ird, w enigstens in dem L eitfad en der H erren B o r k , C r a n t z und H a e n t z s c h e l w ird es auch so g em ach t (e rste r T eil Seite 142).

F e rn e r w erden w ohl in seh r vielen A n sta lte n in der O b e rte rtia K o n stru k tio n sau fg ab en d u rch algebraische A nalysis g e lö st und es w ird doch je d e r L e h re r d a ra u f hinw eisen, w ie zw ei A uf

gaben, die n u r d urch A ddition oder S u b tra k tio n gew isser vorkom m ender G rössen sich u n ter- s c h e id e n , in eine einzige zusam m engefasst w erden können, w enn man den S treck e n V or

zeichen b eilegt. W as also einem U n ter- resp.

O b e rte rtia n er verstän d lich ist, soll p lö tz lic h fü r einen S ek u n d an e r «u hoch und a b s tr a k t sein?

M einer A n sich t nach is t es am zw eck- m ässigsten die F u n k tio n e n zu n äc h st am re c h t

w inkligen D reieck zu e rk lä ren und dann am K reise den Cosinus als M asszahl d er P ro je k tio n ;

au f den A nfangsschenkel u n d den Sinus als M ass- j zahl d er P ro je k tio n a u f das L o t zum A nfangs- j Schenkel zu definieren, v o rau sg esetzt, dass m an ! als Mass den R adius des K reises b en u tzt. D as Mass, w om it alle S trec k en gem essen w erden, m uss se lb stv erstän d lich im m er d a s s e lb e , also auch ste ts po sitiv sein, w as den S chülern b e sonders zu erw ähnen zw eckm ässig sein d ü rfte.

W e n n ich aus verschiedenen G ründen dazu gekom m en b i n , mich en tsch ied en gegen die von H errn H ä e n t z s c h e l b e fü rw o rte te Me

th o d e auszusprechen, so b ie te t doch die P r o g ram m abhandlung eine solche F ü lle in te re ssa n te r h isto risc h e r N otizen, dass ich sie den H e rre n K ollegen n u r drin g en d zum S tudium em pfehlen k a n n ; ich se lb st bin dem H e rrn V erfasser zu leb h aftem D an k e d afü r v e rp flic h te t, d ass ich m eine A nschauungen nach m ehreren R ich tu n g en hin k o rrig ie rt und v e rtie ft habe.

N a c h s c h r i f t von F. P i e t z k e r.

Z u dem v o rsteh en d en A ufsatz m öchte ich auch m einerseits noch eine E rg ä n z u n g geben.

A uch ich sehe in d er k laren P räzisio n der P u n k te , in denen d er w esen tlich e U n tersch ied d er verschiedenen G rundlegungen in d er T rig o n o m etrie b eru h t, eine se h r verd ien stlich e L eistu n g ,

| die allein g e n ü g t, dem P ro g ram m a u fsatz des H e rrn H a e n t z s c h e l eine se h r aufm erksam e B e

ac h tu n g von seiten d er F a c h le h re r zu w ünschen.

A ber m it dem p o sitiv en V orschlag des H e rrn H a e n t z s c h e l zu r L ö su n g d er vorhandenen S ch w ierig k eiten k an n ich m ich n ic h t befreunden, ic h w ende gegen sie vor allem das ein, dass eine A ngabe w ie die G leichung

o .

a a

sin n = 2 sin -- cos

2 2

als eine D efinition des Sinus seh r bed en k lich ist.

In dieser F o rm gegeben w irk t sie geradezu v e r

w irre n d , w eil u n te r den M itteln, die z u r E r k lä ru n g des zu erk lären d en B egriffs (Sinus) h e r

angezogen w erden, dieser B egriff se lb st a u ftritt.

Um den Sinus des ganzen W in k els begreiflich zu m achen, w erden Sinus und Cosinus des halben W in k els h eran g ezo g en , die doch an sich um kein H a a r b eg reiflich er sind als je n e r.

W ill m an die von H e rrn H a e n t z s c h e l vorgeschlagene D efinition von diesem M angel befreien, so k a n n m an dies g a r n ic h t anders als d u rch die u n te r V erw endung d er B eziehung c o s 2

a

+ s in 2 o = 1 zu b ew irk en d e A u fstellu n g d er G leichung

sin 2 o = 2 sin

a V

l — sin 2 o

d. h. d urch eine F u n k tio n a lg le ic h u n g , w elche das G esetz an g ieb t, n ach dem sich die F u n k tio n Sinus ä n d ert, w enn das F u n k tio n sa rg u m e n t sich v erd o p p elt. U nd ob ein solches m it F u n k tio n a l

g leichungen o perierendes D efin itio n sv erfah ren an das B egriffsverm ögen d er S ch ü ler n ic h t w e it höhere A n fo rd eru n g en s te llt, als die (w e ite r

hin zu w ürdigende) H e ran zieh u n g d er B egriffe, gegen deren Z u lä ssig k eit H e rr H. u n te r A n- ' nähm e des S ta n d p u n k te s von H u b e r t M ü l l e r V erw ah ru n g einlegt, das is t eine F ra g e , a u f die es w ohl n u r eine A n tw o rt geben d ürfte.

Im ü b rig en habe ich gegen einen zw eck m ässigen G ebrauch je n e r G leichung g a r n ic h ts einzuw enden, ich pflege sie s e it J a h re n im trig o n o m etrisch en U n te rric h t d er U n ter-S ek u n d a u n te r etw as v e rä n d e rter, ab e r ä h n lich er B e g rü n d u n g se lb st z u .b e n u tz e n , und indem ich d abei auch den F a ll ins A uge f a s s e , dass

^ > 4 5 ° , d er W in k el

n

also stu m p f ist, den S ch ü lern einen A u sb lick a u f den S a ch v erh alt zu eröffnen, bei dem m an au ch m it trig o n o m etrisch en F u n k tio n e n von W in k eln , die ü b er 9 0 ° hinausgehen, zu th u n h at. D am it ab e r is t die R olle, die diese G leichung sp ielt, ersch ö p ft ; als G rundlage fü r die E in fü h ru n g d e r F u n k tio n e n stu m p fe r u n d k onvexer W in k el k ann sie meines D a fü rh a lte n s n ic h t dienen. B ew iesen is t sie am gleich sch en k lig en D reieck ja doch n u r fin

den F a ll eines W in k e ls

a

<C 9 0 °, die A u sd eh n u n g a u f stu m p fe W in k el ohne w eitere B eg rü n d u n g w äre ein G e w a lta k t, die V erw endung d er g e