Funkcja wykładnicza i jej własności

(1)

Funkcja wykładnicza i jej własności

Jeżeli a0, to funkcję f określoną wzorem f x a^x dla xR nazywamy funkcją wykładniczą o podstawie a, i jej wykres krzywą wykładniczą.

1. Dla różnych parametrów a0 narysuj na ekranie kalkulatora wykresy funkcji ^y^^a^x. Określ monotoniczność tych funkcji, podaj dziedzinę oraz przeciwdziedzinę. Wpisz dane do tabelki

a

funkcja Y1 monotoniczność dziedzina przeciwdziedzina 2

2 1 5

10 1

Jak monotoniczność zależy od parametru a? Zapisz wnioski.

...

Co możesz powiedzieć o dziedzinie i przeciwdziedzinie funkcji wykładniczej? Zapisz wnioski.

...

(2)

2. Narysuj wykresy funkcji ya^x oraz

x

y a



 



1 dla dowolnego a0 i a 1 w jednym układzie współrzędnych.

Jak położone są te wykresy względem osi y? Zapisz wnioski.

………

3. Porównaj liczby, wstaw między nie znaki nierówności

a) 4

3 33

,

0 2

2  d) 5^5⁴

b)

3 , 1 5

, 1

7 3 7

3 



 



 



 



  e)

 

² ²³

 

² ²

c) 0,6^⁴0,6⁵ f) ²

1 2

1

2 1 2

1 ^



 



 



 



 

Co zauważyłeś? Czy aby porównać te liczby należy koniecznie podnosić je do podanych potęg? Zapisz wnioski.

...

4. Uporządkuj rosnąco podane liczby, korzystając jedynie z własności funkcji wykładniczej (bez użycia kalkulatora).

(3)

a) ₃⁰^,³_,₃^⁰^,²_,₃⁴¹_,₃^_,₃³^,¹⁴: ...

b) ² ⁴³ ⁰^,⁵ ¹^,¹ ⁰

1

2 2 , , 1 2 , 1 2 2 ,

1 



 



 



 



 



 



 ^ : ...

5. Rozwiąż graficznie następujące układy równań:

a)

  





 8 2 2 x y

y

^x

b)

 

 







 

 



 



0 3 4

3 1

¹

y x y

x

c)



 













^

0 5 1

1 1 2

y x

y

^x

Odp.: Odp.: Odp.:

Uwagi metodyczne do karty

(4)

Funkcja wykładnicza i jej własności.

Karta „Funkcja wykładnicza i jej własności” jest przeznaczona dla uczniów liceum poziomu rozszerzonego. Dzięki zastosowaniu kalkulatora graficznego, uczniowie mają sposobność obejrzenia wykresów dla różnych podstaw a i prowadzenia obserwacji. W tabelkach wpisują dane o dziedzinie, przeciwdziedzinie i monotoniczności. Poznane własności wykorzystują do porównywania liczb ( zad.3 i 4) – powinni zrobić te zadania bez kalkulatora. Ostatnie zadanie pokazuje jak rozwiązać graficznie układy równań, w których występują równania

wykładnicze. Pozwala to na dalsze pogłębianie rozumienia funkcji wykładniczej, a także na samą istotę szukania rozwiązania układu równań. Jest to najistotniejszy sens tego zadania, gdyż rozwiązania uczniowie wyznaczą przy pomocy kalkulatora. Są więc zwolnieni z pracy rachunkowej –ważniejsza jest możliwość obejrzenia przecinających się wykresów,

sprawdzenia ile może być punktów przecięcia, zrozumienia, że rozwiązania są wyznaczone właśnie przez punkty przecięcia.

Karta jest kartą wprowadzającą nowe treści, ale może być również wykorzystana przy powtórzeniach.