2. Funkcja i jej własności

Materiały dydaktyczne na zajęcia wyrównawcze z matematyki dla studentów pierwszego roku kierunku zamawianego

Biotechnologia

w ramach projektu „Era inżyniera – pewna lokata na przyszłość”

2. Funkcja i jej własności

2.1. Definicja funkcji

Załóżmy, że X, Y są dowolnymi zbiorami. Przypomnijmy, że iloczynem kartezjańskim zbiorów X i Y nazywamy zbiór

X × Y = {(x, y) : x ∈ X, y ∈ Y }.

Dowolny podzbiór R ⊂ X × Y nazywamy relacją.

Relację f ⊂ X × Y nazywamy funkcją, jeśli są spełnione następujące dwa warunki:

1. ∀

∃

(x, y) ∈ f, 2. ∀

∀

(

(x, y) ∈ f ∧ (x, y

) ∈ f =⇒ y = y

.

Jeśli relacja f ⊂ X × Y będzie funkcją, to będziemy pisali f : X → Y . Zbiór X (oznaczany często przez D

) nazywamy dziedziną funkcji f , natomiast zbiór Y przeciwdziedziną funkcji f . Zbiór wartości funkcji f (oznaczany często przez ZW

) to zbiór tych elementów y ∈ Y , dla których istnieje x ∈ X taki, że y = f (x).

2.2. Własności funkcji

Niech f : X → Y .

1. Punkt x

∈ X jest miejscem zerowym funkcji f wtedy i tylko wtedy, gdy f(x

) = 0.

2. Dwie funkcje f i g są równe wtedy i tylko wtedy, gdy:

• D

= D

= D,

• dla każdego x ∈ D f (x) = g(x).

3. Monotoniczność funkcji:

• Funkcję f nazywamy silnie rosnącą w zbiorze A ⊂ X, jeśli

∀

(x

< x

= ⇒ f(x

) < f (x

)).

• Funkcję f nazywamy silnie malejącą w zbiorze A ⊂ X, jeśli

∀

(x

< x

= ⇒ f(x

) > f (x

)).

• Funkcję f nazywamy rosnącą w zbiorze A ⊂ X, jeśli

∀

(x

< x

= ⇒ f(x

) 6 f(x

)).

• Funkcję f nazywamy malejącą w zbiorze A ⊂ X, jeśli

∀

(x

< x

= ⇒ f(x

) > f(x

)).

• Funkcję f nazywamy stałą w zbiorze A ⊂ X, jeśli

∃

∀

f (x) = c.

4. Funkcję f : X → Y nazywamy funkcją różnowartościową (iniekcją) wtedy i tylko wtedy, gdy każdej parze różnych argumentów przyporządkowuje różne wartości funkcji, tzn.

∀

(x

̸= x

= ⇒ f(x

) ̸= f(x

)).

5

5. Funkcję f : X → Y nazywamy funkcją „na” (surjekcją) wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdego y ∈ Y istnieje x ∈ X taki, że y = f(x).

6. Funkcję f : X → Y nazywamy funkcją wzajemnie jednoznaczną (bijekcją) wtedy i tylko wtedy, gdy f jest iniekcją i surjekcją.

7. Jeżeli dane są funkcje f : X → Y

oraz g : Y

→ Z, gdzie Y

⊂ Y

, to istnieje funkcja h : X → Z określona wzorem h(x) = (g ◦ f)(x) = g(f(x)), zwana złożeniem funkcji f z funkcją g.

8. Funkcję g : Y → X nazywamy odwrotną do funkcji f : X → Y wtedy i tylko wtedy, gdy (g ◦f)(x) = x dla każdego x ∈ X oraz (f ◦ g)(y) = y dla każdego y ∈ Y .

Uwaga: Wykresy funkcji i funkcji do niej odwrotnej są wzajemnie symetryczne względem prostej o równaniu y = x.

9. Funkcja okresowa o okresie t ̸= 0 to funkcja f : X → Y taka, że dla każdego x ∈ D

również (x + t) ∈ D

oraz f (x) = f (x + t) dla każdego x ∈ X.

10. Funkcja parzysta to funkcja f taka, że dla każdego x ∈ D

mamy −x ∈ D

i f ( −x) = f(x).

Uwaga: Wykres funkcji parzystej jest symetryczny względem osi OY .

11. Funkcja nieparzysta to funkcja f taka, że dla każdego x ∈ D

mamy −x ∈ D

i f ( −x) = −f(x).

Uwaga: Wykres funkcji nieparzystej jest symetryczny względem punktu (0, 0).

12. Funkcja ograniczona to funkcja, której zbiór wartości jest zbiorem ograniczonym.

2.3. Przekształcenia wykresów funkcji

Załóżmy, że mamy wykres funkcji f : D → R, D ⊂ R. Aby na podstawie tego wykresu otrzymać wykres funkcji”

• g(x) = f(x − p) + q, należy wykres funkcji f przesunąć o wektor ⃗u = [p, q].

• g(x) = −f(x), należy wykres funkcji f odbić symetrycznie względem osi OX.

• g(x) = f(−x), należy wykres funkcji f odbić symetrycznie względem osi OY .

• g(x) = −f(−x), należy wykres funkcji f odbić symetrycznie względem punktu (0, 0).

• g(x) = |f(x)|, należy wykres funkcji f odbić symetrycznie względem osi OX dla wartości ujemnych, natomiast dla wartości dodatnich pozostawić bez zmian.

• g(x) = f(|x|), należy wykres funkcji f dla argumentów ujemnych usunąć, natomiast dla argumen-

tów nieujemnych pozostawić bez zmian i odbić symetrycznie względem osi OY .

2.4. Przykładowe zadania

1. Na podstawie wykresu funkcji f opisać jej własności, takie jak:

a) dziedzina, zbiór wartości, b) miejsca zerowe,

c) monotoniczność,

d) parzystość, nieparzystość, e) różnowartościowość, f) okresowość,

g) najmniejsza i największa wartość.

Odpowiedź:

a) D

= R, ZW

= [−4, −1] ∪ [0, 4].

b) Miejsca zerowe: −2.

c) Funkcja f jest silnie malejąca w przedziale ( −1, 1).

Funkcja f jest silnie rosnąca w przedziałach: ( −2, −1), (1, 2).

Funkcja f jest stała w przedziałach: ( −∞, −2), (2, +∞).

d) Funkcja f nie jest nieparzysta i nie jest parzysta.

e) Funkcja f nie jest różnowartościowa.

f) Funkcja f nie jest okresowa.

g) W punkcie 1 funkcja f przyjmuje najmniejszą wartość równą −4, natomiast w punkcie −1 największą wartość równą 4.

2. Na podstawie wykresu funkcji f naszkicować wykres funkcji g(x) = −f(−x).

Rozwiązanie: Wykres funkcji f odbijamy symetrycznie względem punktu (0, 0).

Odpowiedź:

7

2.5. Zadania

Na podstawie wykresu funkcji f opisać jej własności, takie jak:

a) dziedzina, zbiór wartości, b) miejsca zerowe,

c) monotoniczność,

d) parzystość, nieparzystość, e) różnowartościowość, f) okresowość,

g) najmniejsza i największa wartość.

1.

2.

3.

4.

5.

6.

Na podstawie wykresu funkcji f naszkicować wykres funkcji:

7. g(x) = f (x + 1) + 1.

8. g(x) = f ( −x).

9. g(x) = −f(x).

10. g(x) = −f(−x).

11. g(x) = f ( |x|).

12. g(x) = |f(x)|.

Na podstawie wykresu funkcji f naszkicować wykres funkcji:

13. g(x) = f (x + 1) + 1.

14. g(x) = f ( −x).

15. g(x) = −f(x).

16. g(x) = −f(−x).

17. g(x) = f ( |x|).

18. g(x) = |f(x)|.

Na podstawie wykresu funkcji f , w oparciu o przekształcenia wykresów funkcji, narysować wykres funkcji g, jeżeli:

19. f (x) = |x|, g(x) = −|2 − |x − 1||.

20. f (x) = x

, g(x) = (x −

)

+

. 21. f (x) = x

, g(x) = |(x + 1)

− 3|.

22. f (x) = x

, g(x) = |x

− 1| + 2.

23. f (x) = √

x, g(x) = 2 − √

x.

24. f (x) =

, g(x) =

.

25. f (x) = 3

, g(x) = |3

− 1| + 1.

26. f (x) = (

)

, g(x) = (

)

+ 3.

27. f (x) = log

x, g(x) = 1 − log

(x −

).

28. f (x) = ln x, g(x) = − ln |x − 3|.

29. f (x) = sin x, g(x) = | sin x|.

30. f (x) = cos x, g(x) = cos(x +

).

31. f (x) = arc tg x, g(x) = arc tg |x − 1| +

. 32. f (x) = ctg x, g(x) = | ctg x|.

33. f (x) = arc sin x, g(x) = arc sin |x| +

. 34. f (x) = arc cos x, g(x) = arc cos( −x) + π.

Na podstawie definicji ustalić, które z podanych funkcji są parzyste, a które nieparzyste:

35. f (x) = x

+ x |x|.

36. f (x) = 3 − 2|x| − x

.

37. f (x) =

+

+

. 38. f (x) =

.

9

39. Niech h = g ◦ f, gdzie f(x) = 2x − 1, g(x) = √

x − 1. Obliczyć h(5).

40. Niech h = g ◦ f, gdzie f(x) = x + 3, g(x) = 1 +

. Obliczyć h(

).

41. Niech h = g ◦ f, gdzie f(x) = |x − 2|, g(x) = √

x + 1. Obliczyć h( −6).

42. Niech f, g : [1, + ∞) → [1, +∞), f(x) = x

−2x+2, g(x) = 1+ √

x − 1. Dla x ∈ [1, +∞) wyznaczyć g(f (x)), f (g(x)). Czy funkcja f jest funkcją odwrotną do g?

43. Niech f, g : R → R, f(x) = 2x + 6, g(x) =

x − 3. Dla x ∈ R wyznaczyć g(f(x)), f(g(x)). Czy

funkcja f jest funkcją odwrotną do g?