Materiały dydaktyczne na zajęcia wyrównawcze z matematyki dla studentów pierwszego roku kierunku zamawianego

Materiały dydaktyczne na zajęcia wyrównawcze z matematyki dla studentów pierwszego roku kierunku zamawianego

Biotechnologia

w ramach projektu „Era inżyniera – pewna lokata na przyszłość”

18. Zadania uzupełniające

W poniższych zadaniach należy wybrać i zaznaczyć poprawne odpowiedzi. W każdym zadaniu co

1. Dla x ∈ (π,

π) funkcja a) f (x) = sin x jest rosnąca, b) f (x) = cos x jest malejąca,

c) f (x) = tg x jest rosnąca, d) f (x) = ctg x jest malejąca.

2. Do zbioru rozwiązań nierówności 4

> 2 należy punkt a) x = log

1,

b) x = 2 log

√ 2, c) x = 2 log

2, d) x = − log

√ 2.

3. Liczba 2, 4 + 3, 6 · (1

: 3, 3 −

) a) należy do przedziału (

, 2), b) jest większa niż

,

c) nie należy do przedziału ( √ 3, √

5 ), d) jest mniejsza niż 2.

4. Niech A = {x ∈ R : |x − 1| 6 1}, B = (−∞, 1] ∪ (2, +∞). Wtedy a) A ∪ B = R \ {2},

b) A ∩ B = [0, 1], c) A \ B = (1, 2],

d) B \ A = (−∞, 0) ∪ (2, +∞).

5. Liczba

2

jest równa

a) pierwiastkowi równania x

+ 2 √

3x + 3 = 0, b) odległości pomiędzy punktami A( √

3, 6) i B(0, 3), c) sumie pierwiastków równania x

+ √

3x − 6 = 0, d) √

3.

6. Wyrażenie √

x

− 4x + 4 jest równe a) x − 2 dla każdego x ∈ R,

b) x − 2 dla każdego x ∈ (−∞, 2), c) |2 − x| dla każdego x ∈ R, d) |x| + 2 dla każdego x ∈ (−∞, 0).

7. Rozwiązania równania 6x

− 11x + 5 = 0 należą do przedziału a)

,

,

b)

,

, c)

, 1

, d)

, π

.

8. Wpłacono do banku na lokatę (bez podatku Belki) 100 zł przy rocznym oprocentowaniu równym p. Bank wypłaci po roku

a) więcej niż 110 zł, jeżeli p = 10%, a kapitalizacja odsetek następuje co pół roku,

b) dokładnie 106,09 zł, jeżeli p = 6%, a kapitalizacja odsetek następuje co pół roku, c) mniej niż 104 zł, jeżeli p = 4%, a kapitalizacja odsetek następuje co kwartał, d) co najmniej 109 zł, jeżeli p = 9%, a kapitalizacja odsetek następuje co roku.

9. Równanie √

1 + x

= 2x ma

a) jedno rozwiązanie, przy czym jest ono ujemne, b) jedno rozwiązanie, przy czym jest ono dodatnie,

c) dwa rozwiązania o tych samych znakach, d) dwa rozwiązania o różnych znakach.

10. Nierówność 1 +

6

jest prawdziwa dla a) x ∈ R \ (−∞, 2) ∪ (3, +∞),

b) x ∈ [2, π),

c) x ∈ {x : x − x

> 0 }, d) x ∈ (0, 1) ∪ (1, 3].

11. Rozwiązanie układu równań

{

x − y = 3 2x +3y = 1 a) leży na prostej 3x − 2y = 8,

b) jest środkiem okręgu x

+ y

− 2y + 4x + 1 = 0, c) nie leży na okręgu (x − 1)

+ (y + 1)

= 1, d) jest wierzchołkiem paraboli y = x

− 4x + 3.

12. Dla x ∈ (2, +∞) funkcja

a) f (x) = |x

− 4| − 1 jest rosnąca, b) f (x) = − √

x − 1 jest rosnąca, c) f (x) = √

x

+ 2x + 1 − 2 jest malejąca, d) f (x) =

jest malejąca.

13. Jeden z pierwiastków równania 2x

− x

− 2x + 1 = 0 jest a) miejscem zerowym funkcji f (x) = 2x

− 7x + 3,

b) równy reszcie z dzielenia wielomianów (x

− 5x

+ 6x + 1) : (x − 3), c) współczynnikiem kierunkowym prostej 4x − 2y + 1 = 0,

d) równy √

2 · √

4 · 4

.

14. Funkcja f (x) = ax

+ 2x + a przyjmuje wartości większe od zera dla a) a ∈ (−1, 1),

b) a ∈ (−∞, −1),

c) a ∈ (−∞, −1) ∪ (1, +∞), d) a ∈ (1, +∞).

15. Dla x ∈ (−∞, 0) funkcja a) f (x) =

jest rosnąca,

b) f (x) = (x + 1)

− 1 przyjmuje wartości mniejsze od zera, c) f (x) = |x| + |x − 1| jest różnowartościowa,

d) f (x) = x

− 2x

− 3x przyjmuje wartości różne od zera.

16. Dziedzina funkcji f (x) =

x²−1

zawiera zbiór a) (1, + ∞),

b) ( −∞, −1) ∪ (1, +∞),

c) [ −1, 1], d) ( −1, 1).

17. Liczba √

32 jest równa a) 4

·

32 √

2 , b)

√

2 √

8 , c) 2

, d) 2

.

18. Niech A =

−

, −

∪

,

, B =

−

,

. Wtedy a) A ∪ B =

−

,

,

b) A ∩ B =

−

, −

∪

,

, c) A \ B =

−

, −

∪

,

, d) B \ A =

−

,

.

19. Równanie √

x

+ 1 = 2x − 1

a) ma dwa rozwiązania, przy czym jedno z nich jest większe od 1, b) ma jedno rozwiązanie,

c) nie ma rozwiązań,

d) ma dwa rozwiązania, przy czym jedno z nich jest mniejsze od

.

20. Reszta z dzielenia wielomianów (x

+ 5x

+ 7x

+ 4x − 1) : (x

+ 2x + 2) jest a) pierwiastkiem równania |x − 2| = 1,

b) równa −x

+ x − 1,

c) miejscem zerowym funkcji f (x) = cos(x − 1), d) równa długości boku kwadratu o polu równym 1.

21. Jeden z pierwiastków równania x − 6 = 2 √

x − 3 jest równy a) 80% liczby 5,

b) 60% liczby 20,

c) reszcie z dzielenia wielomianów (x

− x

+ x + 11) : (x − 1), d) promieniowi okręgu x

+ y

= 16.

22. Liczba ( √

3 + 1)

+ ( √

3 − 3)

− 20 jest

a) równa wartości największej funkcji f (x) = |x

− 2|, b) rozwiązaniem równania x +

=

+

,

c) mniejsza niż √

7, d) równa √

3.

23. Nierówność 2 −

>

jest prawdziwa dla a) x ∈ (1,

),

b) x ∈ (

, + ∞),

c) x ∈ {x : 4x

− 12x + 9 6 0}, d) x ∈ [

, 2).

24. Liczba

8

jest a) mniejsza niż 1,3,

b) miejscem zerowym funkcji f (x) = x

+ (1 − √

2)x − √

2,

c) rozwiązaniem równania x

+ 2 = 0,

d) równa wartości najmniejszej funkcji f (x) = x

− 2 √ 2x + 2.

25. Równanie prostej prostopadłej do prostej 2x − y − 3 = 0 i przechodzącej przez punkt P (2, −3) jest postaci

a) y − 2x + 7 = 0, b) 2y + x + 4 = 0, c) 2y + x − 8 = 0, d) y − 2x + 1 = 0.

26. Punkt przecięcia prostych x − y − 3 = 0, 2x + 3y − 1 = 0 a) nie należy do wykresu funkcji f (x) =

,

b) jest wierzchołkiem paraboli y = x

− 4x + 3,

c) nie jest środkiem okręgu x

+ y

− 4x + 2y + 1 = 0, d) jest środkiem odcinka AB, jeśli A( −1, 2), B(5, −4).

27. Równanie x

− 3x

= 4 a) nie ma rozwiązań,

b) ma co najmniej dwa rozwiązania,

c) ma cztery rozwiązania, przy czym jedno z nich jest równe 2, d) ma cztery rozwiązania, przy czym jedno z nich jest równe −2.

28. Nierówność

> 1 jest prawdziwa dla a) x ∈ (−∞, −1),

b) x ∈ (−∞, −1) ∪ [2, +∞), c) x ∈ (2, +∞),

d) x ∈ R \ (−∞, 2).

29. Prosta przechodząca przez punkt A(2, −3) i nachylona do prostej 2x − y + 1 = 0 pod kątem 45

dana jest równaniem

a) 3x + y − 9 = 0, b) 3x + y − 3 = 0, c) x − 3y − 11 = 0, d) x + 2y + 4 = 0.

30. Jeżeli x

, x

są pierwiastkami równania x

− 2x − 2 = 0, to a) x

· x

= 2,

b) |x

+ x

| = 2, c) x

+ x

= 8, d) x

+ x

< 20.

31. Jeżeli a ∈ (0, 1), to a) a

> a

,

b) a

< a

, c) √

a > √

a, d) √

a < √

a.

32. Wyrażenie [a

b(ab

)

(a

)

]

jest a) równe b

,

b) równe a

b

,

c) równe 1, gdy a =

, b =

2

, d) równe 1, gdy a = √

2, b = √

4.

33. Rozwiązaniem równania |x − 1| + x = 1 jest zbiór a) pusty,

b) co najwyżej dwuelementowy, c) co najmniej trzyelementowy, d) R \ (1, +∞).

34. Funkcja f (x) = |x − 2| + |x + 1| − 2 jest a) różnowartościowa,

b) parzysta,

c) stała, gdy x ∈ (−1, 1), d) malejąca, gdy x ∈ (−∞, −2).

35. Nierówność x

+ 3x

− 4x

− 12x

¬ 0 jest prawdziwa dla a) x ∈ [2, +∞),

b) x ∈ {x ∈ R : |x − 1| = 1}, c) x ∈ R \ [−3, +∞),

d) x ∈ {x ∈ R : |x| 6 2}.

36. Liczba log

√

27 + log

2 jest równa a) log

4,

b) √ 12, c) √

8,

d) długości przekątnej kwadratu o boku równym √ 2.

37. Objętość walca o promieniu podstawy r = 2 √

3 cm i wysokości h = √

3 cm jest a) większa od objętości kuli o promieniu równym √

9 cm, b) mniejsza lub równa objętości kuli o promieniu równym √

9 cm, c) większa od objętości sześcianu o boku równym √

3 cm, d) równa 4 √

9 π cm

.

38. Równanie sin x + cos

x = 1 w przedziale [0, 2π] ma a) co najmniej trzy rozwiązania,

b) co najwyżej trzy rozwiązania, c) dwa rozwiązania,

d) cztery rozwiązania.

39. Nierówność log

2

(3x + 1) > 0 jest prawdziwa dla a) x ∈ (−

, 0],

b) x ∈ (−∞, 0], c) x ∈ [0, +∞), d) x ∈ (−

, +∞].

40. Do zbioru rozwiązań nierówności 4

> 2 należy punkt a) x = log

1,

b) x = 2 log

√

2,

c) x = 2 log

2,

d) x = − log

√ 2.

41. Pole trójkąta równoramiennego ABC, w którym kąt przy wierzchołku C wynosi 120

, a bok BC ma długość 4 cm jest równe

a) polu trójkąta równobocznego o boku 4 cm, b) polu prostokąta o bokach 3 cm i √

3 cm, c) √

27 cm

, d) √

48 cm

.

42. Mamy dany ciąg geometryczny (a

), w którym a

= 4, a

= 64 √

2. Wtedy a) a

= √

2, b) a

= 2 √

2, c) a

= √

8, d) q = 2 √

2.

43. Granica lim

x→+∞

arc tg x jest równa a) arc sin( −1),

b) arc sin 1, c) arc cos 0, d) − arc cos 0.

44. Dla x ∈ (0, +∞) funkcja a) f (x) = ln |x| jest malejąca,

b) f (x) = | log

x | jest różnowartościowa, c) f (x) = |3

− 1| + 1 jest rosnąca,

d) f (x) =

− 2 przyjmuje wartości z przedziału (−2, 0).

45. Spośród poniższych tożsamości trygonometrycznych prawdziwa jest a) cos

x = 1 + tg

x,

b) cos( −x) = cos(x + 2π), c) cos( −x) = cos(x − 2π), d) sin( −x) = sin(x − 2π).

46. Jeden z pierwiastków równania 3

= 9

a) nie należy do dziedziny funkcji f (x) = log(x

− x − 2), b) jest większy od liczby log

5 · log

27,

c) jest mniejszy od liczby sin

+ cos(

π),

d) jest równy wartości wyrażenia a

− 3a

+ 2a

, gdzie a

= n + 2

. 47. Dla x ∈ (

π, 2π) funkcja

a) f (x) = sin x jest rosnąca, b) f (x) = cos x jest rosnąca,

c) f (x) = tg x przyjmuje wartości mniejsze od zera, d) f (x) = ctg x przyjmuje wartości mniejsze od zera.

48. Pole powierzchni kuli, której objętość jest równa 36π cm

wynosi a) 36π cm

,

b) 42π cm

,

c) 48π cm

,

d) 54π cm

.

49. Pole trójkąta prostokątnego wpisanego w okrąg o promieniu 5 cm, w którym stosunek przyprosto- kątnych wynosi 3:4 jest

a) równe polu kwadratu, którego przekątna jest równa 4 √ 3 cm, b) równe co najwyżej 24 cm

,

c) mniejsze od pola trójkąta równobocznego o boku równym 6 cm, d) większe od pola sześciokąta foremnego o boku równym 4 cm.

50. Długość przekątnej sześcianu o boku 3 jest równa a) √

18, b) tg

,

c) √ 12, d) 6 cos

. 51. Dla x ∈ (

, π)

a) nierówność | sin x| >

jest prawdziwa,

b) funkcja f (x) = sin |x| + 1 jest różnowartościowa,

c) funkcja f (x) = 2 sin(2x) przyjmuje wartości z przedziału [ −2, 2), d) równanie tg(2x) = 1 ma co najwyżej jedno rozwiązanie.

52. Spośród poniższych tożsamości trygonometrycznych prawdziwa jest a) sin

x = 1 + tg

x,

b)

= tg

x,

c) ctg x − tg x = 2 ctg 2x, d) sin( −x) = sin(x − 2π).

53. Nierówność 0, 5

>

jest prawdziwa dla a) x ∈ {x ∈ R : −2x

+ 5x − 3 < 0}, b) x ∈ R \

1,

,

c) x > √

3 cos

, d) x < sin

+ log

2.

54. Zbiór rozwiązań nierówności log

>

zawiera się w zbiorze a) {x ∈ R : x

− 7x + 12 > 0},

b) będącym dziedziną funkcji f (x) = log

(x − 2) + log

(4 − x), c) R \ (−∞, π),

d) {x ∈ [0, 2π] : cos x < 0}.

55. Wiadomo, że log

√

a =

. Wtedy wyrażenie log

a jest równe a) cos(4π),

b) sin

π

, c) log

6 − log

3,

d) wartości największej funkcji f (x) = cos(2x) + 1.

56. Liczba cos 75

jest równa a)

√3+1 2

, b)

√6−√ 2

4

,

c)

√2

√3+1

,

d)

. 57. Granica lim

x→1 x²−1

2x²−3x+1

jest równa a) √

3 cos

+

ctg

, b) log

3,

c) log

2−2 1−√

2

)

, d) − sin(

π).

58. Objętość graniastosłupa trójkątnego prawidłowego, którego wszystkie krawędzie są równe √

3 cm a) jest większa od objętości sześcianu o boku równym 1 cm,

b) jest mniejsza od objętości kuli o promieniu równym 0,5 cm, c) jest równa co najmniej

cm

,

d) jest równa co najwyżej

cm

.

59. Jeden z pierwiastków równania log

(x − 1) = 2 log

(3 − x) jest równy a) log

5 · log

27 + log

√

3, b) 3 √

25

,

c) 2 sin

− tg

+ 2 cos

,

d) wartości największej funkcji f (x) = 1 − sin x.

60. Liczba cos(2π) −

sin(

π)

a) nie należy do dziedziny funkcji f (x) = log(3

− 3

), b) jest pierwiastkiem równania 2

=

√

2

√

2 √

2, c) jest równa cos(2 arc sin

),

d) jest mniejsza od tg α, jeżeli sin α =

oraz α ∈ (0,

).

61. Pierwszy wyraz ciągu arytmetycznego, w którym a

=

i a

=

jest

a) równy sumie pierwszych czterech wyrazów ciągu geometrycznego, w którym a

=

i q =

, b) mniejszy lub równy cos α, jeżeli tg α = 2 √

2 oraz α ∈ (0,

), c) większy od liczby log

( √

3)

, d) pierwiastkiem równania 2

=

. 62. Liczba log

(3 + √

3 ) − log

(1 + √

3 ) jest równa

a) różnicy ciągu arytmetycznego, w którym a

=

i a

=

, b) ilorazowi ciągu geometrycznego, w którym a

= 2 i a

= 16,

c) cos

π

, d) sin

π

.

63. Nierówność 1 ¬

jest prawdziwa dla a) x ∈ {x ∈ R : |x

− 2| = 0},

b) x ∈ {x ∈ R : |x| <

, tg x > √ 3 }, c) x ∈ [− √

2, −1), d) x ∈ (log

2, √

2 ].