Ćwiczenia (13), AM I, 4.6.2019 Caki niewłaściwe, twierdzenia o wartości średniaj dla całek Zadanie 1. Oblicz średnią wartość funkcji

Ćwiczenia (13), AM I, 4.6.2019

Caki niewłaściwe, twierdzenia o wartości średniaj dla całek Zadanie 1. Oblicz średnią wartość funkcji f na przedziale [a, b], gdzie

(a) f (x) = 3x − 4, [a, b] = [1, 10];

(b) f (x) = 10 + sin x + 3 cos x, [a, b] = [0, 2π];

(c) f (x) = sin x sin(x + φ), [a, b] = [0, 2π], π ∈ R.

Zadanie 2. Oblicz (a) lim_n→∞^R₀¹_1+x^xn dx, (b) lim_n→∞^R₀^π/2sinⁿxdx, (c) lim_→0^R₀¹ _x^dx2+1, (d) lim_n→∞^R₀^π/2nxe^−nx2dx.

Zadanie 3. Niech θ = θ(x) będzie taka, że

Z x 0

f (t)dt = xf (θ · x).

Znajdź θ dla (a) f (x) = ln x, (b) f (x) = e^x. Zadanie 4. Oblicz

(a) ^R_a^{∞ dx}_x2, gdzie a > 0, (b) ^R₂^∞ _x2+x−2^dx ,

(c) ^R₋₁^{1 √dx}

1−x², (d) ^R₀^∞x²e^−xdx.

Zadanie 5. Korzystając twierdzeń o wartości średniej dla całki oszacować (a) ^R_100π^{200π sin x}_x dx, (b) ^R_a^{b e−αx}_x sin xdx.

Zadanie 6. Niech f : [0, ∞) → R będzie funkcją ciągłą i ograniczoną. Wykazać, że istnieje ξ ∈ (0, +∞) takie, że ^R₀^+∞f (x)e^−xdx = f (ξ).

Zadanie 7. Sprawdź zbieżność całek (a) ^R₀^∞ _x4^x−x^2dx2+1,

(b) ^R₀¹ _1−x^{ln x}2dx, (c) ^R₀¹ _{ln x}^dx,

(d) ^R₀^{+∞ cos ax}_1+xndx, gdzie a > 0, n ∈ N, (e) ^R₀^+∞x^α|1 − x|^βdx,

(f) ^R₀¹sin¹_xdx.

Zadanie 8. Sprawdź zbieżność i bezwzględną zbieżność całek (a) ^R₀^{+∞ sin x}_x dx,

(b) ^R₀^+∞

√x cos x x+100 dx, (c) ^R₀^+∞x²cos(e^x)dx,

(d) ^R₀^{+∞ sin(x+}_xa ^1x)dx, gdzie a ∈ R.

Zadanie 9. Oblicz wartość średnią funkcji f na przedziale (0, +∞), gdzie (a) f (x) = sin²x + cos²(x√

2), (b) f (x) = arctg x.

Zadanie 10. Niech funkcja f ∈ C¹([a, +∞)) będzie taka, że całka ^R_a^∞|f (x)|dx jest zbieżna.

Zakładamy również, że pochodna funkcji f jest ograniczona (z góry i z dółu). Wykazać, że limx→∞f (x) = 0. Czy prawdziwa jest teza zadania bez założenia o ograniczoności |f⁰|?

Zadanie 11. Oblicz ^R₀^+∞(−1)^bx2cdx.

2