Przestrzenie unitarne i przestrzenie Hilberta - cd.
1. Niech H = l2 będzie rzeczywistą przestrzenią Hilberta ciągów sumowalnych z kwadratem.
Obliczyć iloczyn skalarny x, y, jeśli x = (1n)∞n=1, y = ((−1)2nn)∞n=1.
2. Sprawdzić, które z podanych funkcji są iloczynami skalarnymi w R2, jeśli:
(i) f (x, y) = x1+ x2+ y1+ y2,
(ii) f (x, y) = x1y1+ 2x1y2+ 2x2y1+ x2y2, (iii) f (x, y) = x1y1+ x2y2+ 3,
dla x = (x1, x2) i y = (y1, y2).
3. Sprawdzić, które z podanych funkcji są iloczynami skalarnymi w R3, jeśli:
(i) f (x, y) = 2x1y1+ 3x1y2+ 3x2y1+ x2y2+ x3y3, (ii) f (x, y) =3i=1xiyi+3i,j=1xiyj,
dla x = (x1, x2, x3) i y = (y1, y2, y3).
4. Sprawdzić, które z podanych funkcji są iloczynami skalarnymi w rzeczywistej przestrzeni liniowej L2([0, 2]):
(i) f (x, y) =02|x(t)y(t)| dt, (ii) F (x, y) =02tx(t)y(t) dt, (iii) f (x, y) =01x(t)y(t) dt.
5. Niech H = R2 z normą ||x|| = x21+ x22− x1x2 dla x = (x1, x2) ∈ R2. Wyznaczyć ilo- czyn skalarny, od którego pochodzi ta norma (dowodząc w ten sposób, że H z tą normą jest przestrzenią Hilberta).
6. Niech H = L2([0, 1]) będzie rzeczywistą przestrzenią Hilberta. Niech dalej x0(t) = t oraz S =y ∈ H : 01|y(t)| dt = 1. Obliczyć odległość d(x0, S).
(Wykorzystać, że d(x0, S) = infy∈S||x0− y||).
7. Niech f, gn ∈ H, gdzie H jest przestrzenią Hilberta, n ∈ N. Niech ||f|| = ||gn|| = 1 oraz limn→∞f, gn = 1. Pokazać, że limn→∞gn = f .
Arkusz 16
