Statystyka matematyczna (3 mef, 2014/2015)
1. Rozkłady prawdopodobieństwa
Ćw. 1.1 Zważono 10 paczek masła i otrzymano wyniki (w gramach): X1, . . . , X10. Zakładamy, że jest to próbka losowa z rozkładu normalnego N(250, 102). Niech ¯X będzie średnią obliczoną na podstawie tej próbki, tzn. ¯X = 101 P10i=1Xi
(a) Oblicz E ¯X i V ar ¯X.
(b) Jakie jest prawdopodobieństwo, że ¯X przekroczy 251?
(c) Oblicz E( ¯X − 250)2.
Ćw. 1.2 Rozkład prawdopodobieństwa dziennej sprzedaży produktu A w pewnym sklepie jest w przybliżeniu normalny, N(200, 402). Rozkład dziennej sprzedaży produktu B jest w przy- bliżeniu N(150, 302). Zakładamy, że wysokości sprzedaży produktów A i B są niezależne.
Oblicz
(a) prawdopodobieństwo, że dzienna sprzedaż A będzie większa niż dzienna sprzedaż B;
(b) prawdopodobieństwo, że dzienna sprzedaż każdego z produktów A i B przekroczy 150PLN;
(c) prawdopodobieństwo, że dzienna sprzedaż produktów A i B razem przekroczy 350PLN.
Ćw. 1.3 Niech FX będzie dystrybuantą zmiennej losowej X, a fX jej gęstością. Wyznaczyć dys- trybuanty i gęstości następujacych zmiennych losowych:
(a) aX + b, a 6= 0, (b) |X|,
(c) X2, (d) √
X, P (X 0) = 1,
(e) sin(X), P X ∈ [−π2,π2]= 1.
Ćw. 1.4 Niech X będzie zmienną losową o rozkładzie z ciągłą i ściśle rosnącą dystrybuantą F . Pokazać, że zmienna losowa Y = F (X) ma rozkład jednostajny U (0, 1).
Ćw. 1.5 Niech U będzie zmienną losową o rozkładzie jednostajnym U (0, 1). Pokazać, że zmienne losowe
Y = −λ ln(1 − U ), Z = −λ ln(U ), λ > 0, mają rozkład wykładniczy E (1λ).
Ćw. 1.6 Wykazać, że jeżeli zmienna losowa X ma rozkład wykładniczy E (λ), to zmienna losowa Y = X1/α, α > 0, ma rozkład Weibulla We(α, λ−1/α).
1. Rozkłady prawdopodobieństwa Zadania do samodzielnego rozwiązania
Zad. 1.1 Typowy student spędza X godzin dziennie na czytaniu książek. Zakładamy, że X ma rozkład normalny N (3, 22). Niech ¯X będzie średnią obliczoną na podstawie próbki 20 losowo wybranych studentów, tzn. ¯X = 201Xi, gdzie Xi są niezależnymi zmiennymi losowymi o tym samym rozkładzie co X.
(a) Jaki jest rozkład prawdopodobieństwa zmiennej losowej ¯X?
Statystyka matematyczna (3 mef, 2014/2015)
(b) Jakie jest prawdopodobieństwo, że ¯X przekroczy 4?
(c) Oblicz E( ¯X − 3)2.
Zad. 1.2 (*) Niech U będzie zmienną losową o rozkładzie jednostajnym U (0, 1) i niech F będzie dystrybuantą pewnego rozkładu. Oznaczmy
F−1(t) = inf{x ∈ R; F (x) t}, 0 < t < 1.
Pokazać, że zmienna losowa Y = F−1(U ) ma rozkład o dystrybuancie F .
Zad. 1.3 Wykazać, że jeżeli zmienna losowa U ma rozkład jednostajny U (0, 1), to zmienna losowa X = x0U−1/α, x0, α > 0, ma rozkład Pareto Pa(x0, α).
Zad. 1.4 Wykazać, że jeżeli zmienna losowa X ma rozkład Pareto Pa(x0, α), to zmienna losowa 1/X ma rozkład potęgowy Po(1/x0, α), a zmienna losowa ln(X/x0) ma rozkład wykładniczy E(α).
Zad. 1.5 Niech X = (X1, . . . , Xk) będzie próbą prostą i niech Y = Pk
i=1
Xi. Udowodnić następujące stwierdzenia.
(a) Jeżeli Xi, i = 1, . . . , k, mają rozkład dwumianowy B(ni, p), to Y ma rozkład dwumia- nowy B Pk
i=1
ni, p
!
.
(b) Jeżeli Xi, i = 1, . . . , k, mają rozkład Poissona P(λi), to Y ma rozkład Poissona P Pk
i=1
λi
!
.
(c) Jeżeli Xi, i = 1, . . . , k, mają rozkład wykładniczy E (λ), to Y ma rozkład gamma G (k, λ).
(d) Jeżeli Xi, i = 1, . . . , k, mają rozkład Cauchy’ego C(αi, λi), to Y ma rozkład Cauchy’ego C Pk
i=1
αi, Pk
i=1
λi
!
.
Zad. 1.6 Udowodnić, że jeżeli zmienne losowe X1, . . . , Xnsą niezależne o jednakowym rozkładzie wykładniczym E (λ), to zmienna losowa T (X) = 2λPn
i=1
Xi ma rozkład χ2(2n).
Zad. 1.7 (*) Wykazać, że jeżeli zmienna losowa X ma rozkład normalny N (0, 1), zmienna losowa Y ma rozkład χ2(n) i zmienne te są niezależne, to zmienna losowa √
n√X
Y ma rozkład t- Studenta T (n).
Zad. 1.8 (*) Wykazać, że jeżeli X i Y są niezależnymi zmiennymi losowymi o rozkładzie normal- nym N (0, 1), to zmienna losowa X/Y ma rozkład Cauchy’ego C(0, 1).
Zad. 1.9 (*) Niech X1, X2 będą niezależnymi zmiennymi losowymi o jednakowym rozkładzie wykładniczym E (λ). Niech Y = X1− X2, Z = X2.
1. Wyznaczyć gęstość łącznego rozkładu wektora losowego (Y, Z).
2. Wykazać, że zmienna losowa Y ma rozkład Laplace’a La(0,1λ).
Zad. 1.10 (*) Niech X = (X1, . . . , Xn) będzie próbą prostą z rozkładu Poissona P(λ) i niech T = X1 + · · · + Xn. Wyznaczyć warunkowy rozkład wektora losowego X pod warunkiem T = t.