1. Rozkłady prawdopodobieństwa

Statystyka matematyczna

1. Rozkłady prawdopodobieństwa

Ćw. 1.1 Zważono 10 paczek masła i otrzymano wyniki (w gramach): X₁, . . . , X₁₀. Zakładamy, że jest to próbka losowa prosta z rozkładu normalnego N(250, 10²). Niech ¯X będzie średnią obliczoną na podstawie tej próbki, tzn. ¯X = ₁₀^{1 P10}_i=1X_i

(a) Oblicz E ¯X i V ar ¯X.

(b) Jakie jest prawdopodobieństwo, że ¯X przekroczy 251?

(c) Oblicz E( ¯X − 250)².

Ćw. 1.2 Rozkład prawdopodobieństwa dziennej sprzedaży produktu A w pewnym sklepie jest w przybliżeniu normalny, N(200, 40²). Rozkład dziennej sprzedaży produktu B jest w przy- bliżeniu N(150, 30²). Zakładamy, że wysokości sprzedaży produktów A i B są niezależne.

Oblicz

(a) prawdopodobieństwo, że dzienna sprzedaż A będzie większa niż dzienna sprzedaż B;

(b) prawdopodobieństwo, że dzienna sprzedaż każdego z produktów A i B przekroczy 150PLN;

(c) prawdopodobieństwo, że dzienna sprzedaż produktów A i B razem przekroczy 350PLN.

Ćw. 1.3 Niech F_X będzie dystrybuantą zmiennej losowej X, a f_X jej gęstością. Wyznaczyć dys- trybuanty i gęstości następujacych zmiennych losowych:

(a) aX + b, a 6= 0, (b) |X|,

(c) X², (d) √

X, P (X ­ 0) = 1,

(e) sin(X), P ^X ∈ [−^π₂,^π₂]^= 1.

Ćw. 1.4 Niech X będzie zmienną losową o rozkładzie z ciągłą i ściśle rosnącą dystrybuantą F . Pokazać, że zmienna losowa Y = F (X) ma rozkład jednostajny U (0, 1).

Ćw. 1.5 Niech U będzie zmienną losową o rozkładzie jednostajnym U (0, 1). Pokazać, że zmienne losowe

Y = −λ ln(1 − U ), Z = −λ ln(U ), λ > 0, mają rozkład wykładniczy E (¹_λ).

Statystyka matematyczna

1. Rozkłady prawdopodobieństwa Zadania do samodzielnego rozwiązania

Zad. 1.1 Typowy student spędza X godzin dziennie na czytaniu książek. Zakładamy, że X ma rozkład normalny N (3, 2²). Niech ¯X będzie średnią obliczoną na podstawie próbki 20 losowo wybranych studentów, tzn. ¯X = ₂₀^{1 P20}

i=1

X_i, gdzie X_i są niezależnymi zmiennymi losowymi o tym samym rozkładzie co X.

(a) Jaki jest rozkład prawdopodobieństwa zmiennej losowej ¯X?

(b) Jakie jest prawdopodobieństwo, że ¯X przekroczy 4?

(c) Oblicz E( ¯X − 3)².

Zad. 1.2 Wykazać, że jeżeli zmienna losowa U ma rozkład jednostajny U (0, 1), to zmienna losowa X = x₀U^−1/α, x₀, α > 0, ma rozkład Pareto Pa(x₀, α).

Zad. 1.3 Wykazać, że jeżeli zmienna losowa X ma rozkład wykładniczy E (λ), to zmienna losowa Y = X^1/α, α > 0, ma rozkład Weibulla We(α, λ^−1/α).

Zad. 1.4 Wykazać, że jeżeli zmienna losowa X ma rozkład Pareto Pa(x₀, α), to zmienna losowa 1/X ma rozkład potęgowy Po(1/x₀, α), a zmienna losowa ln(X/x₀) ma rozkład wykładniczy E(α).

Zad. 1.5 Niech X = (X₁, . . . , Xk) będzie próbą prostą i niech Y = ^Pk

i=1

Xi. Udowodnić następujące stwierdzenia.

(a) Jeżeli X_i, i = 1, . . . , k, mają rozkład dwumianowy B(n_i, p), to Y ma rozkład dwumia- nowy B ^Pk

i=1

n_i, p

!

.

(b) Jeżeli X_i, i = 1, . . . , k, mają rozkład Poissona P(λ_i), to Y ma rozkład Poissona P ^Pk

i=1

λ_i

!

.

(c) Jeżeli X_i, i = 1, . . . , k, mają rozkład wykładniczy E (λ), to Y ma rozkład gamma G (k, λ).

(d) Jeżeli X_i, i = 1, . . . , k, mają rozkład Cauchy’ego C(α_i, λ_i), to Y ma rozkład Cauchy’ego C ^Pk

i=1

α_i, ^Pk

i=1

λ_i

!

.