Podstawy statystyki praktycznej, lista zadań nr 5
Konwersatorium
1. Testowano symetrię monety, wykonując nią cztery niezależne rzuty i zliczając liczbę orłów.
Jeśli prawdopodobieństwo wyrzucenia orła w pojedynczym rzucie wynosi p ∈ (0, 1), to możemy powiedzieć, że testowano hipotezę H : p = 12 przeciwko K : p 6= 12. Jeśli wypadły dwa orły, to wówczas orzekano, że brak jest podstaw do odrzucenia hipotezy H na rzecz K, w przeciwnym wypadku odrzucano H. Oblicz rozmiar tak przeprowadzonego testu.
2. Niech X1, X2, . . . , X10 będzie próbą z rozkładu N (µ, 25), gdzie µ ∈ R uznajemy za nie- znane. Testujemy H : µ = 15 przeciwko K : µ > 15. Statystyką, jaką się posłużymy, będzie średnia próbkowa.
a) Hipotezę H odrzucamy, gdy X > 25. Oblicz rozmiar tego testu tj. najmniejszy możliwy poziom jego istotności. Oblicz moc tego testu przy alternatywie µ = 30.
Wyznacz p-wartość tego testu, jeśli X = 18. Jaka jest konkluzja tego testu?
b) Wyznacz zbiór krytyczny standardowego testu w opisanym problemie na poziomie istotności 0.05. Jaka będzie konkluzja tego testu przy X = 18?
3. Niech X1, X2, . . . , X10będzie próbą z ustalonego rozkładu normalnego N (µ, σ2), w którym oba parametry: µ ∈ R i σ2 > 0 uznajemy za nieznane. Testujemy H : µ = 7 przeciwko K : µ 6= 7.
a) Test odrzuca H na rzecz K, gdy |T | > 2.5, gdzie T jest standardową statystyką dla testowania w tym problemie tj.
T = X − 7
q P10
i=1(Xi− X)2
· 3√ 10.
Oblicz poziom istotności tego testu oraz jego p-wartość, jeśli T = 3. Nie musisz po- dawać wyników liczbowych; wystarczą wyrażenia algebraiczne z odpowiednią dys- trybuantą. Jaka jest konkluzja tego testu?
b) Wyznacz zbiór krytyczny standardowego testu na poziomie istotności 0.1 w opisanym problemie. Następnie podaj konkluzję tego testu, gdy T = 3, gdzie T jest statystyką podaną wyżej.
4. Niech X1, X2, . . . , X25będzie próbą z ustalonego rozkładu normalnego N (µ, σ2), w którym oba parametry: µ ∈ R i σ2 > 0 uznajemy za nieznane. Rozważamy problem testowania hipotez H : σ2 = 5 przeciwko K : σ2 > 5.
a) Odrzucamy H na rzecz K, gdy wariancja próbkowa nieobciążona przekracza 6. Ob- licz poziom istotności tego testu oraz jego p-wartość, gdy owa wariancja próbkowa nieobciążona wynosi 5.5. W tych przypadkach nie musisz podawać wyników licz- bowych; wystarczą wyrażenia algebraiczne z odpowiednią dystrybuantą. Jaka jest konkluzja tego testu? Oblicz też moc testu przy alternatywie σ2 = 6.
b) Wyznacz zbiór krytyczny na poziomie standardowego testu na poziomie istotności 0.001 w rozważanym problemie i przeprowadź test, gdy wariancja próbkowa nieob- ciążona wynosi 5.5.
5. Niech X1, X2, . . . , X15 będzie próbą z rozkładu Exp(λ), gdzie parametr λ > 0 uznajemy za nieznany. Testujemy H : λ = 0.1 przeciwko λ < 0.1.
a) Odrzucenie H na rzecz K następuje, gdy X > 12. Oblicz poziom istotności tego testu oraz jego p-wartość, gdy X = 15. Jaka jest konkluzja tego testu? Nadto wyznacz jego moc przy alternatywie λ = 0.09. W wypadku powyższych nie musisz podawać wyniku liczbowego; wystarczą wyrażenia algebraiczne z odpowiednią dystrybuantą rozkładu standardowo pojawiającego się w tablicach.
b) Wykonaj standardowy test w opisanym problemie na poziomie istotności 0.05, gdy X = 15.
Laboratorium
Wygeneruj próbę X1, X2, . . . , X100pochodzącą z podanego rozkładu. Następnie, traktując wska- zane parametry jako nieznane, na zadanym poziomie istotności α przeprowadź procedurę te- stowania w przedstawionych problemach w oparciu o podaną statystykę T . Uczyń to w dwóch językach: najpierw sprawdzając, czy statystyka testowa zawiera się w odpowiednim zbiorze krytycznym, potem zaś obliczając p-wartość i sprawdzając, czy jest ona mniejsza od α.
1. X1, X2, . . . , X100 ∼ N (2, 0.25) , X1, X2, . . . , X100∼ N (µ, 0.25), µ ∈ R, a) H : µ = 2.05, K : µ < 2.05,
b) H : µ = 2.05, K : µ 6= 2.05,
T = X − 2.05
0.5 · 10, α = 0.05
2. X1, X2, . . . , X100 ∼ N (5, 4) , X1, X2, . . . , X100 ∼ N (µ, σ2), µ ∈ R, σ2 > 0 a) H : µ = 5.5, K : µ > 5.5,
b) H : µ = 5.5, K : µ 6= 5.5, T = X − 5.5 q1
99
P100
i=1(Xi− X)2
· 10, α = 0.01
3. X1, X2, . . . , X100 ∼ N (20, 25) , X1, X2, . . . , X100 ∼ N (µ, σ2), µ ∈ R, σ2 > 0 a) H : σ2 = 30, K : σ2 > 30,
b) H : σ2 = 30, K : σ2 6= 30, T = P100
i=1(Xi− X)2
30 , α = 0.1
4. X1, X2, . . . , X100 ∼ Exp(0.1) , X1, X2, . . . , X100 ∼ Exp(λ), λ > 0 a) H : λ = 0.25, K : λ > 0.25,
b) H : λ = 0.25, K : λ 6= 0.25,
T = 2 · 100 · 0.25 · X, α = 0.1
5. X1, X2, . . . , X100 ∼ b(1, 0.6) , X1, X2, . . . , X100 ∼ b(1, p), p ∈ (0, 1) a) H : p = 0.5, K : p > 0.5,
b) H : p = 0.5, K : p 6= 0.5, T = X − 0.5 q
X(1 − X)
· 10, α = 0.05
