Metody numeryczne w fizyce

(1)

Metody numeryczne w fizyce

FZP002934wcL

rok akademicki 2020/21 semestr letni

Wykład 3

Karol Tarnowski

karol.tarnowski@pwr.edu.pl

L-1 p. 220

(2)

• Układy równań liniowych

• Układy równań do łatwe rozwiązania

• Wyznaczanie rozkładów LU

• Eliminacja Gaussa

• Normy wektorów i macierzy

Plan wykładu

Na podstawie:

• D. Kincaid, W. Cheney, Analiza numeryczna

(3)

Układ równań liniowych

11 1 12 2 1 1

21 1 22 2 2 2

1 1 2 2

n n n n

n n nn n n

a x a x a x b a x a x a x b a x a x a x b

+ + + =

11 12 1 1 1

21 22 2 2 2

1 2

n n

n n nn n n

a a a x b

     

     

      =

     

     

Ax = b

(4)

• macierz A (rozmiaru n × p)

• macierz B (rozmiaru p × m)

• wynik mnożenia AB (macierz rozmiaru n × m)

Mnożenie macierzy

( ) ( )

=

=     

1

1 ,1

p

ik kj ij k

AB a b i m j n

(5)

Niech będą dwa układy n równań z n niewiadomymi:

Takie układy równań są równoważne, jeśli mają identyczne rozwiązania.

Chcąc rozwiązać układ równań możemy przekształcić go do równoważnego prostszego układu.

Równoważność układów równań

= , = .

Ax b Bx d

(6)

1. Przestawianie równań (E

_i

 E

_j

)

2. Mnożenie równania stronami przez pewną liczbę różną od zera (lE

_i

 E

_i

)

3. Dodawanie stronami do równania wielokrotności innego równania (E

_i

+ lE

_j

 E

_i

)

Operacje elementarne

(7)

Operacje elementarne

Przedstawianie równań

     

     = 

     

     

11 12 13 11 12 13

21 22 23 31 32 33

31 32 33 21 22 23

1 0 0 0 0 1 0 1 0

a a a a a a

     

      =

     

     

1 1

2 3

3 2

1 0 0 0 0 1 0 1 0

b b

(8)

Operacje elementarne

Mnożenie równania przez skalar

   

     

     = 

     

     

11 12 13 11 12 13

21 22 23 21 22 23

31 32 33 31 32 33

1 0 0

0 0

0 0 1

a a a a a a

 

     

     = 

     

     

1 1

2 2

3 3

1 0 0

0 0

0 0 1

b b

  0

(9)

Operacje elementarne

Dodawanie równania z mnożnikiem

   

     

     = 

     

     + + + 

     

11 12 13 11 12 13

21 22 23 21 22 23

31 32 33 21 31 22 32 23 33

1 0 0 0 1 0

0 1

a a a a a a

a a a a a a a a a

 

     

     = 

     

     + 

     

1 1

2 2

3 2 3

1 0 0 0 1 0

0 1

b b

b b b

(10)

Odwrotność macierzy

− −

−

=

1 1

1 Ax b

A Ax A b

x A b

(11)

Załóżmy, że macierz jest przekątniowa

Jeśli dla pewnego i jest a

_ii

= 0 oraz b

_i

= 0, to x

_i

może być dowolne, natomiast jeśli a

_ii

= 0 oraz b

_i

 0 to układ jest sprzeczny.

Układy łatwe do rozwiązania

     

     

      =

     

     

11 1 1

22 2 2

0 0

0

0 0 0

_nn _n _n

a x b

 

 

=  

 

 

1 11 2 22

n nn

b a x b a

b a

(12)

Załóżmy, że macierz jest trójkątna dolna. Ponadto załóżmy, że a

_ii

 0 dla wszystkich i.

podstawianie w przód

Układy łatwe do rozwiązania

−

     

     

      =

     

   

 

11 1 1

21 22 2 2

1 , 1

0 0

0

n n n nn n n

a x b

a a x b

a a a x b

( )



 −

 − −

1 1 11

2 2 21 1 22

3 3 32 2 31 1 33

x b a

x b a x a

x b a x a x a

−

=

 

  − 

 

¹



1 i

i i ij j ii

j

x b a x a

(13)

Załóżmy, że macierz jest trójkątna górna oraz a

_ii

 0 dla wszystkich i.

podstawianie wstecz

Układy łatwe do rozwiązania

−

     

     

      =

     

   

 

11 12 1 1 1

22 2 2

1,

0 0 0

n

n n

nn n n

a a a x b

a x b

a

a x b

( )

− − − − −



 −

,

1 1 1, , 1, 1

n n n n

n n n n n n n n

x b a

x b a x a

^{= +}

 

  − 

  

1 n

i i ij j ii

j i

x b a x a

(14)

W podobny sposób można rozwiązywać układy równań, których macierz powstaje z macierzy trójkątnej przez przestawienie wierszy.

Układy łatwe do rozwiązania

     

      =

     

     

     

      =

     

     

11 12 1 1

21 22 23 2 2

31 3 3

31 1 3

11 12 2 1

21 22 23 3 2

0 0 0 0 0 0

a a x b

a a a x b

a x b

a a x b

a a a x b

permutacja (3,1,2)

(15)

Załóżmy, że macierz A można wyrazić jako iloczyn macierzy trójkątnej dolnej L i górnej U

A = LU.

Wtedy rozwiązywanie układu równań Ax = b

można wykonać w dwóch etapach, bo L(Ux) = b.

• Lz = b rozwiązujemy względem z,

• Ux = z rozwiązujemy względem x.

Nie każda macierz ma rozkład LU.

Rozkład LU

(16)

Jeżeli rozkład LU istnieje, to nie jest określony jednoznacznie.

Rozkład LU

− −

     

     

   =   

     

     

11 12 1 11 11 12 1

21 22 21 22 22

1, 1,

1 , 1 1 , 1

0 0

n n

n n n n

n n n nn n n n nn nn

a a a l u u u

a a l l u

a u

a a a l l l u

=

A LU

(17)

Rozkład LU – algorytm

−

   

   

= =

   

   

11 11 12 1

21 22 22

1,

1 , 1

0 0

n

n n

n n n nn nn

l u u u

l l u

L U

u

l l l u

−

 

 

=  

 

 

11 12 1

21 22

1,

1 , 1

n

n n

n n n nn

a a a

a a

A a

a a a

= =

= 



^{min( , )}



1 1

0 0

n i j

ij is sj is sj

s s

is sj

a l u l u

l s i

u s j

(18)

Załóżmy, że znamy k-1 wierszy macierzy U oraz k-1 kolumn macierzy L.

Dla i=j=k mamy

ustaliwszy jeden z elementów l

_kk

lub u

_kk

obliczamy drugi.

Rozkład LU – algorytm

−

=

= 

¹

+

1 k

,

kk ks sk kk kk

s

a l u l u

=

^{min( , )}



1 i j

ij is sj

s

a l u

(19)

Znając l

_kk

oraz u

_kk

obliczamy pozostałe elementy k-tego wiersza macierzy U oraz k-tej kolumny macierzy L.

Rozkład LU – algorytm

( )

−

= =

−

= =

= = +   +

 

1

1 1

1

1 1

1

k k

kj ks sj ks sj kk kj

s s

k k

ik is sk is sk ik kk

s s

a l u l u l u k j n

a l u l u l u k i n

=

^{min( , )}



1 i j

ij is sj

s

a l u

(20)

• rozkład Doolittle’a l

_ii

= 1 dla 1 ≤ i ≤ n

• rozkład Crouta

u

_ii

= 1 dla 1 ≤ i ≤ n

• rozkład Cholesky’ego (dla macierzy rzeczywistej, symetrycznej, i dodatniookreślonej)

U = L

^T

, czyli A = LL

^T

Rozkład LU

(21)

Eliminacja Gaussa

−  

   

 

 −     

  =  

 

 −   

 

 − −   − 

     

1 2 3 4

6 2 2 4 12

12 8 6 10 34

3 13 9 3 27

6 4 1 18 38

x x x x

 − 

   

 

   

 − 

   

  =

   

 − 

   

     − 

 − − 

 

1 2 3 4

6 2 2 4

12 2 4 2 2 10

1 2 12 8 1 21 1 2 3 14 26

x x x x

−  

   

 

 −     

  =  

 

 −   

 −     − 

     

1 2 3 4

6 2 2 4 12

0 4 2 2 10

0 12 8 1 21

0 2 3 14 26

x

(22)

Eliminacja Gaussa

 − 

   

 

   

 − 

   

  =

   

 − 

   

     − 

 − − 

 

1 2 3 4

6 2 2 4

12 2 4 2 2 10

1 2 12 8 1 21 1 2 3 14 26

x x x x

 − 

   

 

   

 − 

   

  =

   − 

 − 

   

     − 

 − − − 

 

1 2 3 4

6 2 2 4

12 2 4 2 2 10

1 2 3 2 5 9 1 1 2 4 13 21

x

(23)

Eliminacja Gaussa

 − 

   

 

   

 − 

   

  =

   − 

 − 

   

     − 

 − − − 

 

1 2 3 4

6 2 2 4

12 2 4 2 2 10

1 2 3 2 5 9 1 1 2 4 13 21

x x x x

 − 

   

 

   

 − 

   

  =

    −

 − 

   

      −

 − − − 

 

1 2 3 4

6 2 2 4

12 2 4 2 2 10

1 2 3 2 5 9 1 1 2 2 3 3

x

(24)

Eliminacja Gaussa

 − 

   

 

   

 − 

   

  =

    −

 − 

   

      −

 − − − 

 

1 2 3 4

6 2 2 4

12 2 4 2 2 10

1 2 3 2 5 9 1 1 2 2 3 3

x x x x

− −

     

 −     − 

   =   

 −     − 

 − −   − −   − 

     

6 2 2 4 1 0 0 0 6 2 2 4

12 8 6 10 2 1 0 0 0 4 2 2

3 13 9 3 1 2 3 1 0 0 0 2 5

6 4 1 18 1 1 2 2 1 0 0 0 3

   

=  

  −

   

1

3

2

1 x

(25)

Eliminacja Gaussa

Znaczenie elementów głównych

     

  =

   

     

1 2

0 1 1

1 1 2

x x

     

      =

      0 1 1 1

1 1 1 2

  

   

  =

   

     

1 2

1 1

1 1 2

x x



⁻



⁻

 

   

  =

 −   − 

     

1

1 1

2

1 1

0 1 2

x x

( ^

⁻

) ( ^

⁻

) ⁽ ⁾ ^

⁻

= −

¹

−

¹

= −

¹

2

2 1 ,

1

2

x x x

= =

2

1,

1

0 x x

(26)

Eliminacja Gaussa

Znaczenie elementów głównych

  

   

  =

   

     

1 2

1 1

1 1 2

x x



 

   

  =

   

     

1 2

1 1 2

1 1

x x

 

 

   

  =

 −   − 

     

1 2

1 1 2

0 1 1 2

x x

= =

2

1,

1

1 x x

(27)

• P – macierz permutacji (P powstaje z I poprzez przestawianie wierszy)

Eliminacja Gaussa

Wybór elementów głównych

=

PA LU

=

Ax b PAx = Pb

=

Lz Pb Ux = z

( ) ^P

_ij

⁼ ^

_{p j}_i

(28)

• P – macierz permutacji (P powstaje z I poprzez przestawianie wierszy)

Eliminacja Gaussa

Wybór elementów głównych

=

PA LU

=

Ax b PAx = Pb

=

Lz Pb Ux = z

( ) ^P

_ij

⁼ ^

_{p j}_i

(29)

W przestrzeni wektorowej V norma jest funkcją określoną na V, o wartościach rzeczywistych nieujemnych, która ma trzy własności: