Metody numeryczne w fizyce

Metody numeryczne w fizyce

FZP002934wcL

rok akademicki 2018/19 semestr letni

Wykład 8

Karol Tarnowski

karol.tarnowski@pwr.edu.pl

A-1 p. 411B

• Równania niezależne od czasu

– Metody:

• różnic skończonych

• Galerkina

• Rayleigha-Ritza

D. Kincaid, W. Cheney, Analiza numeryczna, Wydawnictwa Naukowo-Techniczne, 2006, rozdziały 9.3, 9.4

Plan wykładu

• Równanie Laplace’a

• Zagadnienie Dirichleta

Zadania niezależne od czasu

Różnice skończone

  0

xx yy

u u

    ^{, 0 , na w}

xx yy

u u

u x y g x y

  

 

Zadania niezależne od czasu

Różnice skończone

   ^{x y , : 0 x 1,0 y 1} 

     

 x y

^,

     i x j h ^,   ⁰  i j n ^,   ¹ 

   

1, , 1, , 1 , , 1

2 2

2 2

i j i j i j i j i j i j

0

u u u u u u

x y



 

 

 

 

 

, 1, 1, , 1 , 1

4 u

 u

 u

 u

 u

 0 1  i j n , 

Zadania niezależne od czasu

Różnice skończone



,

, ,

,

,

, ,

, ,

,

, ,



U  u u u u u u u u u

2 2

0 0

0 0

0 0 _{n n}

T I

I T I

A

I

I T _

  

  

 

 

   

  

 

4 1 0 0

1 4 1

0 0

1

0 0 1 4 _{n n}

T



  

  

 

 

   

  

 

0 AU 

Zadania niezależne od czasu

Różnice skończone



,

,

,

,

,

,

,

,



U  u u u u u u u u u

9 9

0 0

T I

A I T I

I T _

  

 

   

  

 

3 3

4 1 0

1 4 1

0 1 4

T



  

 

   

  

 

Zadania niezależne od czasu

Różnice skończone

11 21 31 12 22 32 13 23 33

u u u u

U u

u u u u

  

  

  

  

  

  

  

9 9  

4 1 0 1 0 0 0 0 0

1 4 1 0 1 0 0 0 0

0 1 4 0 0 1 0 0 0

1 0 0 4 1 0 1 0 0

0 1 0 1 4 1 0 1 0

0 0 1 0 1 4 0 0 1

0 0 0 1 0 0 4 1 0

0 0 0 0 1 0 1 4 1

0 0 0 0 0 1 0 1 4

A



 

 

   

 

   

   

 

 

    

 

  

 

   

 

  

 

   

 

Zadania niezależne od czasu

Metoda Galerkina

Lu  f

1 n

j j

j

u c u



 

1 n

j j

j

c Lu f



 

1 n

j j

j

c Lu f



 

• wybieramy funkcjonały liniowe

f

f

f

i żądamy aby

Zadania niezależne od czasu

Metoda Galerkina

 

1

0 1

n

i j j

j

c Lu f i n

f



 

   

 

  

  ^{   }

n

i j j i

j

Lu c f i n

f f



  



1

• w klasycznej metodzie Galerkina przyjmujemy, że funkcje należą do przestrzeni Hilberta i że

Zadania niezależne od czasu

Metoda Galerkina

  ^{, 1}  

i

v u v

i n

f   

 

1

, , 1

n

i j j i

j

u Lu c u f i n



  



  ^{   }

n

i j j i

j

Lu c f i n

f f



  



1

• Przykład

Zadania niezależne od czasu

Metoda Galerkina – zagadnienie Dirichleta

   ^{x y , : x 1, y 2} 

   

  ^{, 0}

^{na w}

xx yy

u u

u x y x y

  

  

Lu  f

2

| Lu u

u

  

     

f 0

x y

 

     

Zadania niezależne od czasu

Metoda Galerkina – zagadnienie Dirichleta

  ^{ }

   

   

   

   

0 1

2 2 2

3 3 2 2 3

4 4 2 2 4 3 3

5 5 3 2 4 4 2 3 5

6 6 4 2 2 4 6 5 3 3 5

1,

,

2 ,

3 3 ,

6 4 4 ,

10 5 5 10 ,

15 15 6 20 6 ,

z x iy z

z x iy

z x y xy i

z x xy x y y i

z x x y y x y xy i

z x x y xy x y x y y i

z x x y x y y x y x y xy i

 



 

  

   

    

     

      

• przykładowy wybór funkcji bazowych

Zadania niezależne od czasu

Metoda Galerkina – zagadnienie Dirichleta

1

2 2

2

4 2 2 4

3

6 4 2 2 4 6

4

1

6

15 15

u

u x y

u x x y y

u x x y x y y



 

  

   

   

4 2 2

1

, +y

j j

j

c u x y x



 



• wybieramy cztery punkty na brzegu obszaru (0, 2), (1, 0), (1, 1), (1, 2)

Zadania niezależne od czasu

Metoda Galerkina – zagadnienie Dirichleta

   

4 2 2

1

, +y

j j

j

c u x y x



 



1 2 3 4

1 4 16 64 4

1 1 1 1 1

1 0 4 0 2

1 3 7 117 5

c c c c

 

     

     

      

      

      

     

1

2 2

2

4 2 2 4

3

6 4 2 2 4 6

4

1

6

15 15

u

u x y

u x x y y

u x x y x y y



 

  

   

1,8261 0,7870 0,04348 0,004348 c

 

  

 

   

 

 

• wybieramy m punktów na brzegu obszaru i szukamy minimum wyrażenia

Zadania niezależne od czasu

Metoda Galerkina – zagadnienie Dirichleta

   

4

2 2

1 1

,

m

j j i i i i

i j

c u x y x y

 

 

 

 

 

 

Zadania niezależne od czasu

Równanie Poissona

    ^,   ^{, , na w}

xx yy

w w f x y w x y g x y

  

 

    ^{, 0 , na w}

xx yy

v v

v x y g x y

  

 

  ^{, 0}   ^{, na w}

xx yy

u u f x y u x y

  

 

w u v  

1 n

j j

j

u c u



 

1 n

j j

j

c u f



 



• przestrzeń unitarna V, której elementami są funkcje u mające pochodne u_xx i u_yy ciągłe w  i znikające na brzegu obszaru

Zadania niezależne od czasu

Metoda Rayleigha-Ritza

   

, , ,

u v u x y v x y dxdy

 

  ^{u v ,  }

^{u v ,  u , }

^{v } _

 ^{u v}

^{ u v dxdy}



  ^,

u  u u

• dla wybranych funkcji bazowych

wyznaczamy współczynniki

tak, aby w sensie normy suma

była najbliższa dokładnego rozwiązania u

Zadania niezależne od czasu

Metoda Rayleigha-Ritza

1

, ,

,

u u u  V

1

, , ,

c c  c

1 n

j j j

c u



Zadania niezależne od czasu

Metoda Rayleigha-Ritza

 

1

1

n

j j i

j

u c u u i n



    

   

1

, , 1

n

j j i i

j

c u u u u i n



    

 



  ^{u u ,}

^{= }

^{u u ,}

^{=  f u ,}

¹  ^{  i n} 

 

1

, , 1

n

j j i i

j

c u u f u i n



     

 

