Metody numeryczne w fizyce

Metody numeryczne w fizyce

FZP002934wcL

rok akademicki 2019/20 semestr letni

Wykład 4

Karol Tarnowski

karol.tarnowski@pwr.edu.pl L-1 p. 220

• Zagadnienie początkowe

• Metody adaptacyjne Rungego-Kutty

• Zbieżność

• Notacja O i o

Plan wykładu

Typowe zagadnienie początkowe opisane jest równaniem

W zagadnieniu początkowym może występować więcej zmiennych

Zagadnienie początkowe

   

 , , ₀  ₀.

df g t f f t f

dt

   

 , , ₀  ₀.

d t t

dt

f g f f f

Metoda Rungego-Kutty rzędu czwartego

½

0 ½

0 0 1

1/6 1/3 1/3 1/6

     





 

 





     



 

    

 

    

  

1 2 3 4

1

2 1

3 2

4 3

1 2 2

6 ,

1 1

2 , 2

1 1

2 , 2

,

f t h f t k k k k

k hg t f t

k hg t h f t k

k hg t h f t k k hg t h f t k

Metoda Rungego-Kutty rzędu czwartego

   

   

 

   

   

5

ˆ 2 2 5

f t h f t h Ch f t h f t h C h

   

   ˆ   15 ⁵

0 f t h f t h 16Ch

       

 

         

5 16 ˆ ˆ

Ch 15 f t h f t h f t h f t h

Metody adaptacyjne Rungego-Kutty

Metoda Rungego-Kutty-Fehlberga

Liczba obliczonych wartości funkcji 1 2 3 4 5 6 7 8

Maksymalny rząd metody 1 2 3 4 4 5 6 6

   

   

 





 





 

 

  

  

 

    

 





 

6

1 6

1

1 1

1 1

ˆ :

:

: ,

i i i

i i i

i i

i ij ij j

j j

f t h f t k

f t h f t k

k hg t h f t k

Metody adaptacyjne Rungego-Kutty

Metoda Rungego-Kutty-Fehlberga

i _i _i-_i d_i1 d_i2 d_i3 d_i4 d_i5 1 16

135

1 360

2 0 0 1

4 3 6656

12825 − 128 4275

3 32

9 32 4 28561

56430 − 2197 75240

1932

21967 −7200 2197

7296 2197 5 − 9

50

1 50

439

216 −8 3680

513 − 845 4104

6 2

55

2

55 − 8

27 2 −3544

2565

1859

4104 −11 40

Metody adaptacyjne Rungego-Kutty

Metoda Rungego-Kutty-Fehlberga

    ^{ } 







     









1

5

: ˆ

/128

i i i

i

e f t h f t h k

e

e Ch e

Metody adaptacyjne Rungego-Kutty

ode23 Bogacki-Shampine

i _i _i d_i1 d_i2 d_i3

1 2

9

7 24

2 1

3

1 4

1 2

3 4

9

1

3 0 3

4

4 0 1

8

2 9

1 3

4 9

   

   

 

4

1 4

1

1 1

1 1

ˆ :

:

: ,

i i i

i i i

i i

i ij ij j

j j

f t h f t k

f t h f t k

k hg t h d f t d k









 

 

  

  

 

    

 





 

W wielu przypadkach program komputerowy generuje ciąg przybliżeń rozwiązania.

Zbieżność określa jak szybko uzyskamy dostatecznie dobre przybliżenie.

Zbieżność

𝑥_𝑛 = 1 + 1 𝑛

𝑛

𝑛→∞lim 𝑥_𝑛 = 𝑒 ≈ 2,718281828

𝑥₁ = 2,00000 0 𝑥₂ = 2,25000 0 𝑥₅ = 2,48832 0 𝑥₁₀ = 2,59374 2

𝑥₁₀₀ = 2,70481 4 𝑥₁₀₀₀ = 2,71692 4

Zbieżność

𝑥_𝑛+1 = 𝑥_𝑛−1𝑥_𝑛 + 1

𝑥_𝑛−1 + 𝑥_𝑛 , 𝑥₀ = 0, 𝑥₁ = 2 𝑥_𝑛+1 = 1

2𝑥_𝑛 + 1

𝑥_𝑛 , 𝑥₁ = 2 𝑥₀ = 0

𝑥₃ = 0,8 𝑥₁ = 2 𝑥₂ = 0,5

𝑥₄ = 1,076923077 𝑥₅ = 0,991803278

𝑥₆ = 0,999695214873514

𝑥₁ = 2

𝑥₄ = 1,414216 𝑥₂ = 1,5

𝑥₃ = 1,416667

2 = 1,414213

Niech 𝑥_𝑛 będzie ciągiem zbieżnym do 𝑥^∗.

Zbieżność jest co najmniej liniowa, jeśli istnieją stała c < 1 i liczba całkowita N takie, że

𝑥_𝑛+1 − 𝑥^∗ ≤ 𝑐 𝑥_𝑛 − 𝑥^∗ 𝑛 ≥ 𝑁

Zbieżność jest co najmniej nadliniowa, jeśli istnieje ciąg zbieżny do 0 𝜀_𝑛 i liczba całkowita N takie, że

𝑥_𝑛+1 − 𝑥^∗ ≤ 𝜀_𝑛 𝑥_𝑛 − 𝑥^∗ 𝑛 ≥ 𝑁

Rząd zbieżności

Niech 𝑥_𝑛 będzie ciągiem zbieżnym do 𝑥^∗.

Zbieżność jest co najmniej kwadratowa, jeśli istnieją stała dodatnia C i liczba całkowita N takie, że

𝑥_𝑛+1 − 𝑥^∗ ≤ 𝐶 𝑥_𝑛 − 𝑥^{∗ 2} 𝑛 ≥ 𝑁

Zbieżność jest co najmniej rzędu α, jeśli istnieją stała dodatnia C, stała α>1 i liczba całkowita N takie, że

𝑥_𝑛+1 − 𝑥^∗ ≤ 𝐶 𝑥_𝑛 − 𝑥^{∗ 𝛼} 𝑛 ≥ 𝑁

Rząd zbieżności

Niech 𝑥_𝑛 i 𝛼_𝑛 będą dwoma różnymi ciągami.

𝑥_𝑛 = 𝑂 𝛼_𝑛

jeśli istnieją takie stałe C i n₀, że 𝑥_𝑛 ≤ 𝐶 𝛼_𝑛 dla każdego 𝑛 ≥ 𝑛₀.

𝑥_𝑛 = 𝑜 𝛼_𝑛 jeśli lim

𝑛→∞

𝑥_𝑛

𝛼_𝑛 = 0. Istnieje ciąg liczb nieujemnych zbieżny do 0 taki, że 𝑥_𝑛 ≤ 𝜀_𝑛 𝛼_𝑛 .

Notacja O i o

Jeśli 𝑥_𝑛 → 0, 𝛼_𝑛 → 0 oraz 𝑥_𝑛 = 𝑂 𝛼_𝑛 to ciąg 𝑥_𝑛 dąży do 0 co najmniej tak szybko jak 𝛼_𝑛 .

Jeśli 𝑥_𝑛 → 0, 𝛼_𝑛 → 0 oraz 𝑥_𝑛 = 𝑜 𝛼_𝑛 to ciąg 𝑥_𝑛 dąży do 0 szybciej niż 𝛼_𝑛 .

Notacja O i o

𝑛 + 1

𝑛² = 𝑂 1 𝑛 1

𝑛 ln 𝑛 = 𝑜 1 𝑛

5

𝑛 + 𝑒^−𝑛 = 𝑂 1 𝑛 1

𝑛 = 𝑜 1

ln 𝑛 𝑒^−𝑛 = 𝑜 1

𝑛²

Notacji tej używa się nie tylko dla ciągów.

Istnieją otoczenie punktu 0 i stała C takie, że w tym otoczeniu

Istnieją takie stałe r i C, że 𝑓 𝑥 ≤ 𝐶 𝑔 𝑥 dla każdego 𝑥 ≥ 𝑟.

Notacja O i o

sin 𝑥 = 𝑥 − 𝑥³

6 + 𝑂 𝑥⁵ 𝑥 → 0

sin 𝑥 − 𝑥 + ^𝑥3

6 ≤ 𝐶 𝑥⁵ . 𝑓 𝑥 = 𝑂 𝑔 𝑥 𝑥 → ∞ .

𝑥² + 1 = 𝑂 𝑥 𝑥 → ∞

jeśli istnieją takie stałe C i otoczenie punktu 𝑥^∗ takie, że w tym otoczeniu

Podobnie

jeśli .

Notacja O i o

𝑓 𝑥 = 𝑂 𝑔 𝑥 𝑥 → 𝑥^∗

𝑓 𝑥 ≤ 𝐶 𝑔 𝑥 .

𝑓 𝑥 = 𝑜 𝑔 𝑥 𝑥 → 𝑥^∗

𝑥→𝑥lim^∗

𝑓 𝑥

𝑔 𝑥 = 0

• Zagadnienie początkowe

• Metody adaptacyjne Rungego-Kutty

• Zbieżność

• Notacja O i o

Podsumowanie